MT1565 · Chapter 6 · Shear and bending-moment diagrams

6.1 grund

Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken med snittmetoden. Bestäm M_max och V_max.

Draw the shear and bending-moment diagrams for the beam using the section method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Detta är den enklaste lastfallet för en gångbro: en fritt upplagd balk med en punktlast i mitten — exakt vad som händer när en person står still mitt på en provisorisk arbetsplattform eller en byggsteges övergångsbalk. Snittmetoden här ger M_max vid lastpunkten, och det är den siffran som styr balkens höjd i nästa kapitel via σ = M·y/I. Varje FE-programs 'beam element' använder samma princip — automatiserat. 💡 **Se även problem 5.1** — samma stång under vridning vs böjning. 💡 **Se även problem 7.1** — först momentdiagrammet, sedan böjspänningen σ = M·y/I. This is the simplest load case for a footbridge: a simply supported beam with one centre point load — exactly what happens when a person stands still on a temporary work platform or scaffold crossover plank. The section method here gives M_max under the load, and that number sets the beam height in the next chapter via σ = M·y/I. Every FE solver's 'beam element' uses this same principle — just automated. 💡 **See also problem 5.1** — same shaft under torsion vs bending. 💡 **See also problem 7.1** — first the moment diagram, then bending stress σ = M·y/I.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 0,6 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 0.6 m)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Börja med statiken: bestäm reaktionerna från ΣF_y = 0 och ΣM = 0. Börja med statiken: bestäm reaktionerna från ΣF_y = 0 och ΣM = 0.

2. Dela balken i kontinuerliga områden mellan varje diskontinuitet. Snitta i varje område, frilägg en sida, summera krafter och moment. Dela balken i kontinuerliga områden mellan varje diskontinuitet. Snitta i varje område, frilägg en sida, summera krafter och moment.

3. V_max och M_max identifieras från diagrammet. Kom ihåg: M_max ligger där V = 0 (eller där V växlar tecken via diskontinuitet). V_max och M_max identifieras från diagrammet. Kom ihåg: M_max ligger där V = 0 (eller där V växlar tecken via diskontinuitet).

≈ 8 min≈ 8 min · snittmetoden grundläggande V-och-M

Figure 6.1 — Fig. 6.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Snittmetoden steg för steg: (1) Frilägg balken och beräkna stödreaktioner. (2) Identifiera områden mellan laster. (3) För varje område, ta ett snitt vid position x och tillämpa jämvikt på den ena delen (vanligtvis vänster) för att få V(x) och M(x). (4) Beräkna gränsvärden i snittpunkterna. (5) Rita V- och M-diagrammen. Section method step by step: (1) Free-body the beam and find reactions. (2) Identify regions between loads. (3) For each region, cut at position x and apply equilibrium on one piece (usually left) to get V(x) and M(x). (4) Compute boundary values. (5) Draw V and M.

Var uppträder det maximala böjmomentet typiskt? Where does the maximum bending moment typically occur?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

M är extremt där V = 0 (eftersom dM/dx = V). Här M_max = 2,4 kNm. M is extreme where V = 0 (since dM/dx = V). Here M_max = 2.4 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M = 0 \;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner)}} $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster om snittet}} $$

2. Givna värdenGiven values

Fritt upplagd balk, en punktlast nedåt vid x = 0,6 m, totala spannet 1,8 m. Simply supported beam, one downward point load at x = 0.6 m, total span 1.8 m.

$$ F = 6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid }x = 0{,}6\;\text{m)}} $$

$$ L = 1{,}8\;\text{m},\;\;\textcolor{#888}{\text{stöd vid A (x=0) och C (x=1,8 m)}} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

Tag moment om A för att eliminera A_y och lösa C_y. Tag sedan ΣF_y = 0 för att få A_y. Take moments about A to eliminate A_y and solve C_y. Then ΣF_y = 0 for A_y.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;C_y\cdot 1{,}8 - 6\cdot 0{,}6 = 0 $$

$$ C_y = \dfrac{6\cdot 0{,}6}{1{,}8} = 2\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + C_y - 6 = 0 $$

$$ A_y = 6 - 2 = 4\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

4. Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 0,6 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 0.6 m)

Sätt ett snitt vid godtycklig position x i område I (före punktlasten). Räkna jämvikt på den VÄNSTRA delen. På den delen verkar A_y = 4 kN uppåt och på snittfasen verkar den inre tvärkraften V₁ och böjmomentet M₁. Konvention: V positiv när höger del verkar uppåt på vänster del; M positiv när det orsakar sjunkning. Cut at arbitrary position x in region I (before the load). Apply equilibrium to the LEFT piece. On that piece: A_y = 4 kN up, internal V₁ and M₁ on the cut face. Convention: V positive when right side acts upward on left; M positive for sagging.

FrikroppFree-body diagram

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + V_1(x) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; V_1(x) = -A_y = -4\;\text{kN} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{\text{snitt}} = 0:\;\;M_1(x) - A_y\cdot x = 0 \;\;\Rightarrow\;\; M_1(x) = 4x\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Notera: Madeleines konvention ger }V_1 = -4\text{ kN; teckenkonvention varierar mellan källor.}} $$

5. Snitt i område II (0,6 ≤ x ≤ 1,8 m)Section in region II (0.6 ≤ x ≤ 1.8 m)

Nu inkluderar vänster del även punktlasten F = 6 kN vid x = 0,6. Den verkar nedåt så den bidrar med -6 till V. Now the left piece includes the point load F = 6 kN at x = 0.6. It acts downward so contributes -6 to V.

FrikroppFree-body diagram

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y - F + V_2(x) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; V_2(x) = F - A_y = 6 - 4 = 2\;\text{kN} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{\text{snitt}} = 0:\;\;M_2(x) - A_y\cdot x + F\cdot (x - 0{,}6) = 0 $$

$$ M_2(x) = 4x - 6(x - 0{,}6) = -2x + 3{,}6\;\text{kNm} $$

6. Gränsvärden för V och MBoundary values for V and M

Evaluera V(x) och M(x) i ändpunkterna för varje område. Det ger oss alla nyckelpunkter på V- och M-diagrammen. Evaluate V(x) and M(x) at the endpoints of each region. This gives all key points on the V and M diagrams.

$$ V_1(0) = -4,\;\;V_1(0{,}6^{-}) = -4\;\text{kN} $$

$$ V_2(0{,}6^{+}) = 2,\;\;V_2(1{,}8) = 2\;\text{kN} $$

$$ M_1(0) = 0,\;\;M_1(0{,}6) = 4\cdot 0{,}6 = 2{,}4\;\text{kNm} $$

$$ M_2(0{,}6) = -2\cdot 0{,}6 + 3{,}6 = 2{,}4\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(kontinuerligt vid lasten)}} $$

$$ M_2(1{,}8) = -2\cdot 1{,}8 + 3{,}6 = 0 $$

7. V- och M-diagramV and M diagrams

V-diagrammet hoppar från -4 till +2 vid x = 0,6 (storlek av punktlasten F = 6 kN). M-diagrammet är linjärt-stigande i område I (slope = +V_1 = +4 ... vänta, slope-relationen varierar med konvention). Topp på M ligger där V byter tecken — här vid lasten. V-diagram jumps from -4 to +2 at x = 0.6 (magnitude of F). M-diagram is linear in each region. Peak of M is where V changes sign — here at the load.

$$ |V|_{max} = 4\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(i område I)}} $$

$$ |M|_{max} = 2{,}4\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid lasten, x = 0,6 m)}} $$

8. Visuell sammanfattning — teckenkonvention + deformerad formVisual summary — sign convention + deformed shape

Kanonisk referensbild för hela kapitel 6. Övre delen visar teckenkonventionen: positiv V verkar uppåt på vänsterdelens högerkant (höger del 'lyfter' vänster del); positivt M är sjunkande (sagging) — balken kröker nedåt. Nedre delen visar den verkliga deformerade formen för 6.1: balken sjunker mest vid lastpunkten x = 0,6 m (där M_max = 2,4 kNm). Den röda markören anger den kritiska sektionen. Canonical reference figure for chapter 6. Top: sign convention — positive V acts upward on the left piece's right face (the right piece 'lifts' the left); positive M is sagging — beam curves concave-up. Bottom: actual deformed shape for 6.1 — beam sags most at the load x = 0.6 m (where M_max = 2.4 kNm). Red marker = critical section.

FrikroppFree-body diagram

$$ +V:\;\text{höger del verkar uppåt på vänster del},\quad +M:\;\text{sjunkande balk} $$

9. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 4\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 2{,}4\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 0{,}6\;\text{m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 0.90 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-06_wrong_x_in_new_region

I region II är M(x) inte samma uttryck som i region I. Antingen byter du koordinat (mätt från regionstart) eller behåller global x men inkluderar startkonstanten från föregående region. In region II, M(x) is not the same expression as in region I. Either switch the coordinate (measured from the region start) or keep global x but include the initial constant from the previous region.

6.2 grund

Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken med snittmetoden. Bestäm M_max och V_max.

Draw the V and M diagrams using the section method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Två punktlaster på en fritt upplagd balk är topologin för en lyfttruckmast som lyfter en pall med last på två gafflar — eller en taklast på en hall där två takstolar landar på en åsbalk. M_max hamnar mellan lasterna, inte vid en av dem. Just det här mönstret tränas på 6.1–6.3 så att du kan göra det i sömnen — kapitel 7 kräver M_max som indata till σ = M·y/I. Two point loads on a simply supported beam is the topology of a forklift mast lifting a pallet on two forks — or a roof load where two trusses land on a purlin. M_max sits between the loads, not at one of them. This pattern is drilled in 6.1–6.3 until you can do it in your sleep — chapter 7 will demand M_max as input to σ = M·y/I for sizing the section.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — fast-inspänningens reaktionerFree-body — reactions at the fixed end
Snitt i kontinuerligt område (0 ≤ x ≤ 2,5 m)Cut in continuous region

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Reaktioner först. Är det fritt upplagd eller konsolbalk? Det avgör hur många reaktionsobekanta du har. Reaktioner först. Är det fritt upplagd eller konsolbalk? Det avgör hur många reaktionsobekanta du har.

2. Vid varje punktlast och varje stöd börjar ett nytt 'kontinuerligt område'. Räkna områdena innan du snittar. Vid varje punktlast och varje stöd börjar ett nytt 'kontinuerligt område'. Räkna områdena innan du snittar.

3. Snitta från vänster i varje område. V(x) = Σ F_y till vänster. M(x) = Σ moment kring snittet av krafterna till vänster. Snitta från vänster i varje område. V(x) = Σ F_y till vänster. M(x) = Σ moment kring snittet av krafterna till vänster.

≈ 8 min≈ 8 min · snittmetoden grundläggande

Figure 6.2 — Fig. 6.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Konsolbalk fast inspänd vid A med jämnt fördelad last q = 12 kN/m över ett område. Räkna fastinspänningens reaktionsmoment och tvärkraft, sedan snitt-metoden i (minst ett) kontinuerligt område för att få V(x) och M(x). Cantilever beam fixed at A with UDL q = 12 kN/m. Compute the fixed-end reaction force and moment, then section method in at least one continuous region for V(x), M(x).

Vid en punktlast gör tvärkraftsdiagrammet... At a point load, the shear-force diagram makes...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

En punktlast ger ett vertikalt hopp i V. Här M_max = 37,5 kNm, V_max = 30 kN. A point load gives a vertical jump in V. Here M_max = 37.5 kNm, V_max = 30 kN.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner vid fast inspänning)}} $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster}} $$

2. Givna värdenGiven values

Konsolbalk; UDL över hela längden. Cantilever; UDL over the full length.

$$ q = 12\;\text{kN/m},\;\;L = 2{,}5\;\text{m} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Fast inspänning vid A; fri vid }x = 2{,}5\;\text{m}} $$

3. Frilägg balken — fast-inspänningens reaktionerFree-body — reactions at the fixed end

UDL ersätts med resultant W = q·L = 30 kN i mitten av lastzonen. Detta ger A_y och M_A. Replace UDL with resultant W = q·L = 30 kN at the centre of the loaded zone. Yields A_y and M_A.

$$ W = q\cdot L = 12\cdot 2{,}5 = 30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid }x = 1{,}25\;\text{m})} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y - W = 0 \;\;\Rightarrow\;\; A_y = 30\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;M_A + W\cdot 1{,}25 = 0 \;\;\Rightarrow\;\; M_A = -37{,}5\;\text{kNm} $$

4. Snitt i kontinuerligt område (0 ≤ x ≤ 2,5 m)Cut in continuous region

Endast ett område — UDL utan diskontinuiteter. Snittet vid position x ger en vänsterdel med A_y, M_A och en del-UDL av storlek q·x. Centroid av del-UDL ligger vid x/2. Only one region — UDL with no discontinuities. Cut at position x gives a left piece with A_y, M_A and a partial UDL of magnitude q·x with centroid at x/2.

FrikroppFree-body diagram

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y - q\cdot x + V(x) = 0 $$

$$ V(x) = q\cdot x - A_y = 12x - 30\;\text{kN} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{\text{snitt}} = 0:\;\;M(x) + M_A - A_y\cdot x + (q\cdot x)\cdot (x/2) = 0 $$

$$ M(x) = A_y\cdot x + M_A - \dfrac{q\,x^{2}}{2} = 30x - 37{,}5 - 6x^{2} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Eller skrivet runt fria änden:}}\;\;M(x) = -\dfrac{q\,(L-x)^{2}}{2} = -6\,(2{,}5 - x)^{2} $$

5. Gränsvärden för V och MBoundary values

Evaluera V och M i båda ändpunkterna. Evaluate V and M at both endpoints.

$$ V(0) = -30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid fast inspänningen, A)}} $$

$$ V(2{,}5) = 12\cdot 2{,}5 - 30 = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid fri änden)}} $$

$$ M(0) = 30\cdot 0 - 37{,}5 - 0 = -37{,}5\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(hogging vid A)}} $$

$$ M(2{,}5) = 75 - 37{,}5 - 37{,}5 = 0\;\;\checkmark\;\;\textcolor{#888}{\text{(fri änd)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Magnitud: }|M|_{max} = 37{,}5\;\text{kNm vid A}} $$

6. V- och M-diagramV and M diagrams

V är linjär från -30 vid A till 0 vid fri änden. M är kvadratisk från 37,5 vid A till 0 vid fri änden, böjer sjunkande. V is linear from -30 at A to 0 at the free end. M is quadratic from 37.5 at A to 0 at the free end, sagging.

$$ |V|_{max} = 30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A)}} $$

$$ |M|_{max} = 37{,}5\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A, fast inspänningen)}} $$

7. Visuell tolkning — deformerad form (konsolbalk)Visual interpretation — deformed shape (cantilever)

Konsolbalk: |M| är störst vid fast inspänningen (negativt moment ⇒ hogging, balken kröker uppåt vid stödet). Den fria änden är obelastad så M(L) = 0. Röd markör visar M_max-läget; deformationen är överdrivet skalad. Cantilever: |M| peaks at the fixed end (negative moment ⇒ hogging, beam curves concave-down at the support). Free end is unloaded so M(L) = 0. Red marker = M_max location; deformation is exaggerated for clarity.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M(0) = -37{,}5 \text{ kNm (hogging)},\;\; M(L) = 0} $$

8. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 30\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 37{,}5\;\text{kNm}\;\;(\text{vid fast inspänning})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 1.25 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-06_wrong_x_in_new_region

I region II är M(x) inte samma uttryck som i region I. Antingen byter du koordinat (mätt från regionstart) eller behåller global x men inkluderar startkonstanten från föregående region. In region II, M(x) is not the same expression as in region I. Either switch the coordinate (measured from the region start) or keep global x but include the initial constant from the previous region.

M6-07_T_vs_V_notation

EduME använder T(x), modern konvention V(x). Båda betyder samma sak — Madeleines anteckning 'OBS!!! V(x) är T(x) i lösningen' på varje sida av kapitel 6. EduME uses T(x); modern convention uses V(x). Both mean the same thing — Madeleine's note 'NOTE!!! V(x) is T(x) in the solution' on every page of chapter 6.

6.3 grund

Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken med snittmetoden. Bestäm M_max och V_max.

Draw the V and M diagrams using the section method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Tvärbalkar i en stamppress (t.ex. Olofström-anläggningen) ligger mellan två linjära stöd och bär punktlaster från dynstöd och hållare. När matrisen pressas ner överförs lasterna in i balken vid kända positioner — exakt topologin i 6.3. Konstruktören använder M_max från detta diagram som indata till böjspänningsberäkningen σ = M·y/I (kapitel 7). Cross-beams in a stamp press (e.g. the Olofström facility) sit between two supports and carry point loads from blank holders. The exact topology of 6.3. The designer uses M_max as input to the bending stress σ = M·y/I (chapter 7).

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 0,4 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 0.4 m)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Börja med statiken: bestäm reaktionerna A_y och D_y från jämvikt. Sedan dela balken i tre kontinuerliga områden och tillämpa snittmetoden i varje. Start with statics: find reactions A_y and D_y. Then divide into three continuous regions and apply the section method in each.

2. ΣM_D = 0: A_y · 1.5 − 6 · 1.1 − 12 · 0.4 = 0 → A_y = 7.6 kN. ΣF_y = 0: D_y = 10.4 kN. Snitta i varje region från vänster och summera. ΣM_D = 0: A_y · 1.5 − 6·1.1 − 12·0.4 = 0 → A_y = 7.6 kN. ΣF_y = 0: D_y = 10.4 kN. Then cut in each region from the left and sum.

3. Region I (0 ≤ x ≤ 0.4): V = 7.6, M = 7.6x. II (0.4 ≤ x ≤ 1.1): V = 1.6, M = 1.6x + 2.4. III (1.1 ≤ x ≤ 1.5): V = −10.4, M = −10.4x + 15.6. V_max = 10.4 kN, M_max = 4.16 kNm (vid x = 1.1). Region I: V = 7.6, M = 7.6x. II: V = 1.6, M = 1.6x + 2.4. III: V = −10.4, M = −10.4x + 15.6. V_max = 10.4 kN, M_max = 4.16 kNm at x = 1.1.

≈ 10 min≈ 10 min · fritt-upplagd punktlaster anchor-problem section-method

Figure 6.3 — Fig. 6.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Snittmetoden för balk med tre laster: två punktlaster vid x = 0,4 m och x = 1,1 m, plus en utbredd last. Tre olika områden mellan diskontinuiteter, så vi behöver tre snitt. Section method for beam with three loads: two point loads at x = 0.4 m and x = 1.1 m, plus distributed load. Three regions between discontinuities, so three section cuts.

Vid ett fritt upplagt ändstöd (ledat) är böjmomentet... At a simply-supported (pinned) end, the bending moment is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Ett ledat ändstöd kan inte ta upp moment → M = 0 där. M_max = 4,16 kNm uppträder inne i fältet. A pinned end cannot carry a moment → M = 0 there. M_max = 4.16 kNm occurs within the span.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0 $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster}} $$

2. Givna värdenGiven values

Balk på två stöd, total längd L = 1,5 m. Laster: 6 kN vid x = 0,4 m, 12 kN vid x = 1,1 m. Beam on two supports, total length L = 1.5 m. Loads: 6 kN at x = 0.4 m, 12 kN at x = 1.1 m.

$$ F_1 = 6\;\text{kN}\;(\text{vid }x_1 = 0{,}4),\;\;F_2 = 12\;\text{kN}\;(\text{vid }x_2 = 1{,}1) $$

$$ L = 1{,}5\;\text{m}\;\;\textcolor{#888}{\text{(stöd A vid }x=0,\;\text{B vid }x=L)} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM_A = 0 ger B_y direkt. Sedan ΣF_y för A_y. ΣM_A = 0 gives B_y directly. Then ΣF_y for A_y.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;B_y\cdot 1{,}5 - 6\cdot 0{,}4 - 12\cdot 1{,}1 = 0 $$

$$ B_y = \dfrac{2{,}4 + 13{,}2}{1{,}5} = \dfrac{15{,}6}{1{,}5} = 10{,}4\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + B_y - F_1 - F_2 = 0 $$

$$ A_y = 6 + 12 - 10{,}4 = 7{,}6\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

4. Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 0,4 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 0.4 m)

Före första punktlasten. Vänsterdelen har endast A_y = 7,6 kN. Before the first load. Left piece has only A_y = 7.6 kN.

FrikroppFree-body diagram

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + V_I(x) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; V_I(x) = -A_y = -7{,}6\;\text{kN} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{\text{snitt}} = 0:\;\;M_I(x) - A_y\cdot x = 0 \;\;\Rightarrow\;\; M_I(x) = 7{,}6x $$

5. Snitt i område II (0,4 ≤ x ≤ 1,1 m)Section in region II (0.4 ≤ x ≤ 1.1 m)

Mellan punktlasterna. Vänsterdelen har A_y och F_1 (nedåt). Between the two loads. Left piece has A_y and F_1 (down).

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{II}(x) = -A_y + F_1 = -7{,}6 + 6 = -1{,}6\;\text{kN} $$

$$ M_{II}(x) = A_y\cdot x - F_1\cdot (x - 0{,}4) = 7{,}6x - 6(x - 0{,}4) $$

$$ M_{II}(x) = 1{,}6x + 2{,}4 $$

6. Snitt i område III (1,1 ≤ x ≤ 1,5 m)Section in region III (1.1 ≤ x ≤ 1.5 m)

Efter andra punktlasten. Vänsterdelen har A_y, F_1 och F_2. After the second load. Left piece has A_y, F_1, F_2.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{III}(x) = -A_y + F_1 + F_2 = -7{,}6 + 6 + 12 = 10{,}4\;\text{kN} $$

$$ M_{III}(x) = A_y\cdot x - F_1\cdot (x - 0{,}4) - F_2\cdot (x - 1{,}1) $$

$$ M_{III}(x) = 7{,}6x - 6(x-0{,}4) - 12(x-1{,}1) = -10{,}4x + 15{,}6 $$

7. Gränsvärden för V och MBoundary values for V and M

Evaluera V och M vid varje områdesgräns (snittpunkterna vid lasterna och vid stöden). Evaluate V and M at each region boundary (cut points at loads and supports).

$$ V_I(0) = V_I(0{,}4) = -7{,}6\;\text{kN} $$

$$ V_{II}(0{,}4) = V_{II}(1{,}1) = -1{,}6\;\text{kN} $$

$$ V_{III}(1{,}1) = V_{III}(1{,}5) = 10{,}4\;\text{kN} $$

$$ M_I(0) = 0,\;\;M_I(0{,}4) = 7{,}6\cdot 0{,}4 = 3{,}04\;\text{kNm} $$

$$ M_{II}(0{,}4) = 3{,}04,\;\;M_{II}(1{,}1) = 1{,}6\cdot 1{,}1 + 2{,}4 = 4{,}16\;\text{kNm} $$

$$ M_{III}(1{,}1) = 4{,}16,\;\;M_{III}(1{,}5) = -10{,}4\cdot 1{,}5 + 15{,}6 = 0\;\;\checkmark $$

8. V- och M-diagramV and M diagrams

V hoppar vid varje punktlast (med lastens storlek). M är linjär i varje område. M_max ligger vid x = 1,1 m (där V byter tecken mellan -1,6 och +10,4). V jumps by the load magnitude at each point load. M is linear in each region. M_max at x = 1.1 m (where V changes sign from -1.6 to +10.4).

$$ |V|_{max} = 10{,}4\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(i område III)}} $$

$$ |M|_{max} = 4{,}16\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid }x = 1{,}1\;\text{m)}} $$

9. Visuell tolkning — deformerad formVisual interpretation — deformed shape

Balk på två stöd böjer sjunkande (positivt M) under båda punktlasterna. Den största sjunkningen ligger nära den tyngre lasten (12 kN @ x = 1,1 m) — där har M sitt maximum. Röd markör visar M_max-läget; deformationen är överdrivet skalad. Simply-supported beam sags (positive M) under both point loads. Maximum deflection sits near the heavier load (12 kN @ x = 1.1 m) — that's where M peaks. Red marker = M_max location; deformation is exaggerated.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} = +4{,}16 \text{ kNm @ } x = 1{,}1 \text{ m (sjunkande)}} $$

10. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 10{,}4\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 4{,}16\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 1{,}1\;\text{m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 0.75 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-06_wrong_x_in_new_region

I region II är M(x) inte samma uttryck som i region I. Antingen byter du koordinat (mätt från regionstart) eller behåller global x men inkluderar startkonstanten från föregående region. In region II, M(x) is not the same expression as in region I. Either switch the coordinate (measured from the region start) or keep global x but include the initial constant from the previous region.

M6-09_M_at_free_support_must_be_zero

Vid ett fritt upplagt stöd (pinne eller rulle) är M = 0 (ingen reaktionsmoment). Om M(L) inte blir noll har du räknat fel — det är en kontroll. At a simple support (pin or roller) M = 0 (no reaction moment). If M(L) is not zero you have made an error — that's a sanity check.

Se även:See also: Kap. 1 — Inre krafter och momentCh. 1 — Internal forces and moments — Samma 'knife-cut' intuition från Ch1, applicerad vid varje x-position istället för ett enstaka snitt. · Kap. 7 — BöjspänningarCh. 7 — Bending stresses — M_max = 4.16 kNm blir indata till böjspänningsformeln σ = M·y/I i kapitel 7. · Kap. 8 — Balkböjning — superpositionCh. 8 — Beam deflection — superposition — Regions[]-strukturen återanvänds: varje regions M(x) integreras två gånger för att hitta w(x) i kapitel 8.

6.4 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod för uppgift 6.1.

Draw V and M diagrams using the simplified method for problem 6.1.

VerklighetsanknytningReal-world context Förenklad metod är vad konstruktörer faktiskt använder i fält. När en brokontrollant står under en stålbro och ska bedöma om en ny lastbil får passera, ritar hen V- och M-diagrammen i huvudet på sekunder — punktlast ger ett språng i V, kvadratisk M-kurva mellan stöd. Samma teknik används när man dimensionerar takbalkar på en industrihall eller bedömer en kranbom innan ett lyft. 💡 **Se även problem 8.2** — superposition av två lastfall vs ett enkelt diagram. The simplified method is what designers actually use in the field. When a bridge inspector stands under a steel bridge judging whether a new truck can cross, they sketch the V- and M-diagrams in their head in seconds — point load → V-jump, parabolic M-curve between supports. The same technique is used sizing rafters on a factory hall or checking a crane jib before a lift. 💡 **See also problem 8.2** — superposition of two load cases vs a single diagram.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värden (från uppgift 6.1)Given values (from problem 6.1)
V-areor och ΔM per områdeV-areas and ΔM per region
V- och M-diagrammenV and M diagrams

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Förenklad metod: bygg V-diagrammet direkt utan att skriva ut V(x). Starta vid vänster stöd, V börjar vid +A_y. Förenklad metod: bygg V-diagrammet direkt utan att skriva ut V(x). Starta vid vänster stöd, V börjar vid +A_y.

2. Vid varje punktlast → V hoppar med −F (om lasten pekar nedåt). Under utbredd last → V lutar med −q. Vid varje punktlast → V hoppar med −F (om lasten pekar nedåt). Under utbredd last → V lutar med −q.

3. M-diagrammet: arean under V mellan två punkter = ΔM. Bygg M från vänster, sektion för sektion. M-diagrammet: arean under V mellan två punkter = ΔM. Bygg M från vänster, sektion för sektion.

≈ 8 min≈ 8 min · förenklad-metod grafisk

Figure 6.4 — Fig. 6.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. Här fokuserar du på att rita diagrammet direkt utan att skriva ut V(x) och M(x) explicit. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M. Here you draw the diagram directly without writing V(x) and M(x) explicitly.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Förenklad metod: vi använder att arean under V-diagrammet mellan två punkter är lika med ändringen i M. Eftersom uppgift 6.1 redan gett oss V-diagrammet (V = -4 kN i område I, V = +2 kN i område II), kan vi få M_max direkt som A_I = |V_I| · Δx_I = 4 · 0,6 = 2,4 kNm utan att räkna snitt-ekvationer. Simplified method: the area under the V-diagram between two points equals the change in M. Since problem 6.1 has given us the V-diagram (V = -4 kN in region I, +2 kN in region II), M_max follows directly as A_I = |V_I|·Δx_I = 4·0.6 = 2.4 kNm — no section equations needed.

Med förenklade metoden ger arean under V-diagrammet... With the simplified method, the area under the V-diagram gives...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

ΔM = arean under V mellan två punkter; momentet byggs upp kumulativt längs balken. ΔM = the area under V between two points; the moment accumulates along the beam.

$$ \Delta M_{a\to b} = \int_a^b V(x)\,dx = \text{area under }V\text{ mellan }a, b $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Referens: uppgift 6.1 ger }V_1 = -4\text{ kN, }V_2 = +2\text{ kN.}} $$

2. Givna värden (från uppgift 6.1)Given values (from problem 6.1)

Fritt upplagd balk, F = 6 kN vid x = 0,6 m, span L = 1,8 m. Stödreaktioner A_y = 4 kN, C_y = 2 kN beräknade i 6.1. Simply supported beam, F = 6 kN at x = 0.6 m, span L = 1.8 m. Reactions A_y = 4 kN, C_y = 2 kN from problem 6.1.

$$ A_y = 4\;\text{kN},\;\;C_y = 2\;\text{kN} $$

$$ V_I = -4\;\text{kN}\;(0 \le x \le 0{,}6),\;\;V_{II} = +2\;\text{kN}\;(0{,}6 \le x \le 1{,}8) $$

3. V-areor och ΔM per områdeV-areas and ΔM per region

Område I är en rektangel med höjd 4 kN och bredd 0,6 m → arean A_I = 4·0,6 = 2,4 kNm (M ökar med 2,4 från x=0 till x=0,6). Område II är en rektangel med höjd 2 kN och bredd 1,2 m → arean A_{II} = 2·1,2 = 2,4 kNm (M minskar med 2,4 tillbaka till noll vid stödet C). Region I is a rectangle of height 4 kN over width 0.6 m → area A_I = 4·0.6 = 2.4 kNm (M rises by 2.4 from x=0 to x=0.6). Region II is a rectangle of height 2 kN over width 1.2 m → area A_{II} = 2·1.2 = 2.4 kNm (M falls by 2.4 back to zero at C).

FrikroppFree-body diagram

$$ A_I = |V_I|\cdot \Delta x_I = 4\cdot 0{,}6 = 2{,}4\;\text{kNm} $$

$$ A_{II} = |V_{II}|\cdot \Delta x_{II} = 2\cdot 1{,}2 = 2{,}4\;\text{kNm} $$

$$ M(0) = 0,\;\;M(0{,}6) = A_I = 2{,}4\;\text{kNm},\;\;M(1{,}8) = M(0{,}6) - A_{II} = 0\;\checkmark $$

4. V- och M-diagrammenV and M diagrams

V-diagrammet hoppar från -4 till +2 vid x = 0,6 (storlek av punktlasten F = 6 kN). M-diagrammet är triangulärt med topp 2,4 kNm vid x = 0,6 (linjärt från 0 upp till 2,4, sedan linjärt ner till 0 vid C). V-diagram jumps from -4 to +2 at x = 0.6 (magnitude of F). M-diagram is triangular with peak 2.4 kNm at x = 0.6 (linear up from 0 to 2.4, then back down to 0 at C).

$$ |V|_{max} = 4\;\text{kN} $$

$$ |M|_{max} = 2{,}4\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid lasten, }x=0{,}6\text{ m)}} $$

5. Visuell tolkning — deformerad formVisual interpretation — deformed shape

Samma balk som 6.1 — fritt upplagd, F = 6 kN vid x = 0,6 m. Sjunkningskurvan visar att M är positiv (sagging) i hela spannet och M_max ligger vid lasten. Same beam as 6.1 — simply supported, F = 6 kN at x = 0.6 m. The sag curve shows M positive (sagging) across the span and M_max at the load.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} = +2{,}4 \text{ kNm @ } x = 0{,}6 \text{ m}} $$

6. SlutsvarFinal answer

Förenklad metod ger samma svar som det fulla snittmetod-räknat i 6.1 — bekräftar konsistens. Simplified method matches the full section-method answer from 6.1 — internal consistency confirmed.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 4\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 2{,}4\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 0{,}6\;\text{m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 0.90 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.5 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod för uppgift 6.2.

Draw V and M diagrams using the simplified method for problem 6.2.

VerklighetsanknytningReal-world context Snabb diagnostik av en lastbärande balk på byggarbetsplatsen kräver exakt denna förmåga: att kunna 'läsa' V- och M-formerna direkt från lastfördelningen utan att räkna. En platschef som inspekterar en travers eller en upplagd HEB-balk inför en tung montagedag måste på fem sekunder se var moment-toppen sitter — en felbedömning här har orsakat flera takkollapser vid snölast i Sverige. Quick diagnostics of a load-bearing beam on a construction site demands exactly this skill: 'reading' the V- and M-shapes straight from the load distribution without calculating. A site supervisor inspecting an overhead trolley beam or a propped HEB before a heavy lift day must see in five seconds where the moment peak sits — misjudging this has caused several Swedish roof collapses under snow load.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värden (från uppgift 6.2)Given values (from problem 6.2)
V-area och ΔMV-area and ΔM
V- och M-diagrammenV and M diagrams

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Samma förenklade metod som 6.4. Börja vid vänster stöd, läs av lasterna åt höger, rita V och M. Samma förenklade metod som 6.4. Börja vid vänster stöd, läs av lasterna åt höger, rita V och M.

2. Identifiera diskontinuiteter: punktlaster → V hoppar, punktmoment → M hoppar, utbredd last → V/M lutar/krökar. Identifiera diskontinuiteter: punktlaster → V hoppar, punktmoment → M hoppar, utbredd last → V/M lutar/krökar.

3. Sanity-check: M(L) ska vara 0 vid ett fritt upplagt stöd. Sanity-check: M(L) ska vara 0 vid ett fritt upplagt stöd.

≈ 8 min≈ 8 min · förenklad-metod grafisk

Figure 6.5 — Fig. 6.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Förenklad metod på konsolbalken från uppgift 6.2: V varierar linjärt från -30 vid A till 0 vid fri änden. Arean under V-diagrammet är en triangel; integrationen ger en kvadratisk M(x). Simplified method on the cantilever from problem 6.2: V varies linearly from -30 at A to 0 at the free end. The V-area is a triangle; integrating gives a quadratic M(x).

Under en jämnt utbredd last lutar tvärkraftsdiagrammet... Under a uniformly distributed load, the shear diagram slopes...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

dV/dx = −q ⇒ konstant q ger en rät, lutande V-linje. M_max = 37,5 kNm. dV/dx = −q ⇒ a constant q gives a straight, sloping V-line. M_max = 37.5 kNm.

$$ \Delta M_{a\to b} = \int_a^b V(x)\,dx = \text{area under }V\text{ mellan }a, b $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Referens: uppgift 6.2 ger }V(x) = 12x - 30, \;V(0) = -30, \;V(2{,}5) = 0.} $$

2. Givna värden (från uppgift 6.2)Given values (from problem 6.2)

Konsolbalk fast inspänd vid A, jämnt fördelad last q = 12 kN/m över hela längden L = 2,5 m. Reaktioner: A_y = 30 kN, M_A = -37,5 kNm. Cantilever fixed at A, UDL q = 12 kN/m over the full length L = 2.5 m. Reactions: A_y = 30 kN, M_A = -37.5 kNm.

$$ q = 12\;\text{kN/m},\;\;L = 2{,}5\;\text{m} $$

$$ A_y = 30\;\text{kN},\;\;M_A = -37{,}5\;\text{kNm} $$

3. V-area och ΔMV-area and ΔM

V-diagrammet är en rät linje från -30 vid x=0 till 0 vid x=2,5. Arean är en triangel med bas 2,5 m och höjd 30 kN. Eftersom V är negativ är ΔM negativ — M minskar i magnitud från sitt maximum vid den fasta änden ner till 0 vid fri änden. V-diagram is a straight line from -30 at x=0 to 0 at x=2.5. The area is a triangle with base 2.5 m and height 30 kN. Since V is negative ΔM is negative — M decreases in magnitude from its peak at the fixed end down to 0 at the free end.

FrikroppFree-body diagram

$$ A_{V} = \tfrac{1}{2}\cdot b\cdot h = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}5\cdot 30 = 37{,}5\;\text{kNm} $$

$$ M(0) = -M_A = 37{,}5\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(fast inspänning)}} $$

$$ M(2{,}5) = M(0) - A_V = 37{,}5 - 37{,}5 = 0\;\;\checkmark $$

4. V- och M-diagrammenV and M diagrams

V är linjär från -30 till 0. M är kvadratisk (parabel) från 37,5 vid A till 0 vid den fria änden, böjer sjunkande. V is linear from -30 to 0. M is quadratic (parabolic) from 37.5 at A to 0 at the free end, sagging.

$$ |V|_{max} = 30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A)}} $$

$$ |M|_{max} = 37{,}5\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A)}} $$

5. Visuell tolkning — deformerad konsolbalkVisual interpretation — cantilever deformed shape

Samma konsolbalk som 6.2. M är negativt (hogging) genom hela balken med maximal magnitud vid fast inspänningen. Den fria änden böjer fritt nedåt. Same cantilever as 6.2. M is negative (hogging) throughout, peaks in magnitude at the fixed end. Free end deflects downward.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M(0) = -37{,}5 \text{ kNm},\;\; M(L) = 0} $$

6. SlutsvarFinal answer

Förenklad metod ger samma svar som det fulla snittmetod-räknat i 6.2. Simplified method matches the full section-method answer from 6.2.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 30\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 37{,}5\;\text{kNm}\;\;(\text{vid fast inspänning})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 1.25 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-09_M_at_free_support_must_be_zero

Vid ett fritt upplagt stöd (pinne eller rulle) är M = 0 (ingen reaktionsmoment). Om M(L) inte blir noll har du räknat fel — det är en kontroll. At a simple support (pin or roller) M = 0 (no reaction moment). If M(L) is not zero you have made an error — that's a sanity check.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.6 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod för uppgift 6.3.

Draw V and M diagrams using the simplified method for problem 6.3.

VerklighetsanknytningReal-world context Notera: M_max ligger där V passerar noll. För punktlast-bara-balkar händer det vid en lastpunkt; för balkar med utbredd last händer det inuti ett område där V faktiskt går igenom noll. Just denna detalj är det som gör att en traversbana måste analyseras för vagnens olika positioner — det värsta läget är inte mitten, utan den position där V byter tecken. Konstruktörer av lyftutrustning gör denna iteration vid varje ny dimensionering. Note: M_max sits where V passes through zero. For point-load-only beams that happens at a load point; for beams with distributed load it sits inside a region where V actually crosses zero. This detail is why an overhead crane runway must be analysed for several trolley positions — the worst case is not midspan but wherever V changes sign. Lifting-equipment designers iterate this on every new sizing.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värden (från uppgift 6.3)Given values (from problem 6.3)
V-areor per områdeV-areas per region
Kumulativ M(x)Cumulative M(x)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Som 6.4 och 6.5. Bygg V från vänster med hopp vid punktlaster, sedan M från arean under V. Som 6.4 och 6.5. Bygg V från vänster med hopp vid punktlaster, sedan M från arean under V.

2. M_max ligger där V hoppar genom noll. För denna balk är det vid punktlasten C (x = 1.1 m). M_max ligger där V hoppar genom noll. För denna balk är det vid punktlasten C (x = 1.1 m).

3. M_max = arean under V från 0 till 1.1 = 7.6·0.4 + 1.6·0.7 = 3.04 + 1.12 = 4.16 kNm. ✓ M_max = arean under V från 0 till 1.1 = 7.6·0.4 + 1.6·0.7 = 3.04 + 1.12 = 4.16 kNm. ✓

≈ 8 min≈ 8 min · förenklad-metod M-via-area

Figure 6.6 — Fig. 6.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Förenklad metod på balken från uppgift 6.3: tre områden, tre konstanta V-värden (-7,6, -1,6, +10,4 kN). M får man genom att summera areorna under V från vänster. Simplified method on the beam from problem 6.3: three regions, three constant V-values (-7.6, -1.6, +10.4 kN). M obtained by summing V-areas from the left.

Arean under V-diagrammet mellan två punkter ger... The area under the V-diagram between two points gives...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

M(x₂) − M(x₁) = arean under V mellan x₁ och x₂. M_max = 4,16 kNm. M(x₂) − M(x₁) = the area under V between x₁ and x₂. M_max = 4.16 kNm.

$$ \Delta M_{a\to b} = \int_a^b V(x)\,dx $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Referens: uppgift 6.3 — }V_{I} = -7{,}6, V_{II} = -1{,}6, V_{III} = +10{,}4 \text{ kN}} $$

2. Givna värden (från uppgift 6.3)Given values (from problem 6.3)

Balk på två stöd, L = 1,5 m. Laster: F_1 = 6 kN vid x = 0,4 m, F_2 = 12 kN vid x = 1,1 m. Reaktioner: A_y = 7,6, B_y = 10,4 kN. Beam on two supports, L = 1.5 m. Loads: F_1 = 6 kN at x = 0.4, F_2 = 12 kN at x = 1.1 m. Reactions: A_y = 7.6, B_y = 10.4 kN.

$$ A_y = 7{,}6\;\text{kN},\;\;B_y = 10{,}4\;\text{kN} $$

$$ \Delta x_I = 0{,}4,\;\;\Delta x_{II} = 0{,}7,\;\;\Delta x_{III} = 0{,}4\;\text{m} $$

3. V-areor per områdeV-areas per region

Rektangulära V-block i varje område. Tecknet på V ger tecknet på ΔM. Rectangular V-blocks in each region. Sign of V gives sign of ΔM.

FrikroppFree-body diagram

$$ A_I = V_I \cdot \Delta x_I = -7{,}6 \cdot 0{,}4 = -3{,}04\;\text{kNm} $$

$$ A_{II} = V_{II} \cdot \Delta x_{II} = -1{,}6 \cdot 0{,}7 = -1{,}12\;\text{kNm} $$

$$ A_{III} = V_{III} \cdot \Delta x_{III} = +10{,}4 \cdot 0{,}4 = +4{,}16\;\text{kNm} $$

4. Kumulativ M(x)Cumulative M(x)

Börja med M(0) = 0 och addera arean efter varje område. M_max är största absolutvärde. Start with M(0) = 0 and add the area after each region. M_max is the largest absolute value.

$$ M(0) = 0 $$

$$ M(0{,}4) = 0 - A_I_{abs} = 3{,}04\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(V negativ → M ökar uppåt med konvention; här sätter vi |area|)}} $$

$$ M(1{,}1) = 3{,}04 + 1{,}12 = 4{,}16\;\text{kNm} $$

$$ M(1{,}5) = 4{,}16 - 4{,}16 = 0\;\;\checkmark $$

5. Visuell tolkning — deformerad formVisual interpretation — deformed shape

Samma balk som 6.3 (förenklad metod). Sjunkningen är störst nära den tyngre punktlasten (12 kN @ x = 1,1 m). M positivt över hela spannet. Same beam as 6.3 (simplified method). Deflection peaks near the heavier load (12 kN @ x = 1.1 m). M positive across the span.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} = +4{,}16 \text{ kNm @ } x = 1{,}1 \text{ m}} $$

6. SlutsvarFinal answer

Förenklad metod bekräftar 6.3:s resultat. Simplified method confirms problem 6.3's results.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 10{,}4\;\text{kN}\;\;(\text{i område III}) \\[2pt] M_{max} = 4{,}16\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 1{,}1\;\text{m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 0.75 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.7 grund

En balk på två stöd belastas av jämnt fördelad last q = 5 kN/m. a) Frilägg och bestäm stödkrafter A och B. b) V(x) och M(x) i de två delområdena (fyra ekvationer). c) Rita diagram från ekvationerna. d) Rita diagram med förenklad metod.

Simply supported beam with UDL q = 5 kN/m. a) FBD and reactions at A and B. b) V(x), M(x) in two domains (four equations). c) Draw the diagrams from the equations. d) Draw them using the simplified method.

VerklighetsanknytningReal-world context En travers eller brokran består av en balk som bär både sin egen tyngd (utbredd last) och en flyttbar last (vagnens punktlast). När konstruktören dimensionerar måste hen hitta värsta läget för vagnen — det läget som ger M_max. Det blir inte i mitten av balken, och inte vid stödet, utan vid den position där V passerar noll. An overhead crane has a beam carrying both its self-weight (UDL) and a movable trolley load (point load). The designer must find the worst-case trolley position — that which produces M_max. It is neither at midspan nor at the support, but at the location where V passes through zero.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 2 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 2 m)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Två metoder: (1) Lång — snitta i två regioner. (2) Förenklad — bygg V-diagrammet från lasterna, hitta var V = 0, beräkna M där. Two methods: (1) long-form section method; (2) simplified — build V from loads, find V = 0, compute M there.

2. ΣM_B = 0 → A_y = 7.143 kN. B_y = 2.857 kN. V_I(x) = 7.143 − 5x (för 0 ≤ x ≤ 1, ändras vid punktlasten). ΣM_B = 0 → A_y = 7.143 kN. B_y = 2.857 kN. V_I(x) = 7.143 − 5x for 0 ≤ x ≤ 1.

3. V = 0 vid x_FS = 7.143/5 = 1.43 m. M(1.43) = 7.143·1.43 − 2.5·1.43² = 5.10 kNm. Detta är M_max. V = 0 at x_FS = 1.43 m. M(1.43) = 5.10 kNm. This is M_max.

≈ 15 min≈ 15 min · utbredd-last V=0-i-interior anchor-problem förenklad-metod

Figure 6.7 — Fig. 6.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. Med utbredd last är V(x) linjär och M(x) kvadratisk i varje delområde. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M. With UDL, V(x) is linear and M(x) is quadratic in each domain.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Balk på två stöd, fördelad last q = 5 kN/m över de första 2 m från A. Snittmetoden: först stödreaktioner, sedan ett snitt per kontinuerligt område (inom UDL och bortom UDL). Beam on two supports, UDL q = 5 kN/m over the first 2 m from A. Section method: first reactions, then one section per continuous region (within the UDL and beyond).

Under en utbredd last är momentkurvan M(x)... Under a distributed load, the moment curve M(x) is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Konstant q ⇒ V linjär ⇒ M parabolisk. M_max = 5,1 kNm där V = 0. Constant q ⇒ V linear ⇒ M parabolic. M_max = 5.1 kNm where V = 0.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner)}} $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster om snittet}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Två områden: I (inom UDL, } 0 \le x \le 2), \text{ II (bortom UDL, } 2 \le x \le 3{,}5).} $$

2. Givna värdenGiven values

Balk med stöd A vid x=0 och stöd B vid x=3,5 m. UDL q = 5 kN/m verkar över [0, 2 m]. Beam with support A at x=0 and support B at x=3.5 m. UDL q = 5 kN/m acts over [0, 2 m].

$$ q = 5\;\text{kN/m},\;\;L = 3{,}5\;\text{m},\;\;L_{UDL} = 2\;\text{m} $$

$$ Q_{tot} = q\cdot L_{UDL} = 5\cdot 2 = 10\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(resultant vid }x = 1\;\text{m)}} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM om A: B_y·3,5 − 10·1 = 0. Sedan ΣF_y = 0 ger A_y. ΣM about A: B_y·3.5 − 10·1 = 0. Then ΣF_y = 0 gives A_y.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;B_y\cdot 3{,}5 - 10\cdot 1 = 0 $$

$$ B_y = \dfrac{10}{3{,}5} = 2{,}857\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + B_y - 10 = 0 $$

$$ A_y = 10 - 2{,}857 = 7{,}143\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

4. Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 2 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 2 m)

Inom UDL. Vänsterdelen har A_y och en del-UDL av storlek q·x med centroid vid x/2. Within the UDL. Left piece has A_y and a partial UDL of magnitude q·x with centroid at x/2.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_I(x) = A_y - q\cdot x = 7{,}143 - 5x\;\text{kN} $$

$$ M_I(x) = A_y\cdot x - q\cdot x\cdot \dfrac{x}{2} = 7{,}143\,x - 2{,}5\,x^{2}\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{V_I = 0 \text{ vid } x^{*} = 7{,}143/5 = 1{,}429\;\text{m}\;\;(\text{farligt snitt})} $$

5. Snitt i område II (2 ≤ x ≤ 3,5 m)Section in region II (2 ≤ x ≤ 3.5 m)

Bortom UDL. Hela UDL-resultanten Q = 10 kN ligger nu till vänster om snittet, vid centroid x=1 m. Beyond the UDL. The full UDL resultant Q = 10 kN now lies left of the cut, at centroid x=1 m.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{II}(x) = A_y - Q_{tot} = 7{,}143 - 10 = -2{,}857\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konstant)}} $$

$$ M_{II}(x) = A_y\cdot x - Q_{tot}\cdot (x - 1) = 7{,}143\,x - 10(x - 1) = -2{,}857\,x + 10\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{M_{II}(2) = -2{,}857\cdot 2 + 10 = 4{,}29 \;(\text{matchar }M_I(2)),\;\;M_{II}(3{,}5) = 0\;\checkmark} $$

6. Gränsvärden och farligt snittBoundary values and critical section

Evaluera V och M vid områdesgränserna och vid V=0-punkten. M_max ligger där V byter tecken (V=0 inom område I, vid x* = 1,429 m). Evaluate V and M at region boundaries and at V=0. M_max is where V changes sign (V=0 within region I at x* = 1.429 m).

$$ V_I(0) = 7{,}143,\;\;V_I(2) = 7{,}143 - 10 = -2{,}857\;\text{kN} $$

$$ V_{II}(2) = V_{II}(3{,}5) = -2{,}857\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konstant)}} $$

$$ M_I(0) = 0,\;\;M_I(2) = 7{,}143\cdot 2 - 2{,}5\cdot 4 = 14{,}29 - 10 = 4{,}29\;\text{kNm} $$

$$ M_I(1{,}429) = 7{,}143\cdot 1{,}429 - 2{,}5\cdot 1{,}429^{2} = 10{,}21 - 5{,}10 = 5{,}10\;\text{kNm}\;\;\boxed{M_{max}} $$

$$ M_{II}(3{,}5) = -2{,}857\cdot 3{,}5 + 10 = 0\;\;\checkmark $$

7. V- och M-diagram (förenklad metod-kontroll)V and M diagrams (simplified-method cross-check)

Triangelarea under V från 0 till x*: A = ½·1,429·7,143 = 5,10 kNm — bekräftar M_max. Triangle area under V from 0 to x*: A = ½·1.429·7.143 = 5.10 kNm — confirms M_max.

$$ A_{triangle} = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}429\cdot 7{,}143 = 5{,}10\;\text{kNm}\;\;\checkmark $$

$$ |V|_{max} = 7{,}143\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid x = 0}^{+}\text{)}} $$

$$ |M|_{max} = 5{,}10\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid x}^{*} = 1{,}429\text{ m)}} $$

8. Visuell tolkning — deformerad formVisual interpretation — deformed shape

UDL på vänster halva, fri (obelastad) på höger halva. Sjunkningen är störst där V byter tecken — x* = 1,429 m, inom UDL-zonen. Röd markör visar M_max. UDL on the left half, unloaded on the right half. Deflection peaks where V changes sign — x* = 1.429 m, inside the UDL zone. Red marker = M_max.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} = +5{,}10 \text{ kNm @ } x^{*} = 1{,}429 \text{ m}} $$

9. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y = 7{,}143\;\text{kN} \\[2pt] B_y = 2{,}857\;\text{kN} \\[2pt] T_{max} = 7{,}143\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 5{,}10\;\text{kNm}\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 1.75 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

Se även:See also: Uppg. 6.3 — Rita tvärkrafts- och momentdiagram för balken med snittmetod…Prob. 6.3 — Draw the V and M diagrams using the section method. Find M_m… — Utan utbredd last är V piecewise konstant och M_max vid en punktlast. Med utbredd last är V piecewise linjär och M_max kan ligga inuti ett område. · Kap. 7 — BöjspänningarCh. 7 — Bending stresses — M_max = 5.10 kNm blir indata till σ = M·y/I för dimensionering av profilens tvärsnitt. · Kap. 8 — Balkböjning — superpositionCh. 8 — Beam deflection — superposition — V_I(x) = −5x + 7.143 integreras två gånger för att finna w(x) i ch 8 (deflection).

6.8 grund

En balk är fast inspänd vid A och belastas av q = 10 kN/m och ett punktmoment M_0 = 15 kNm (medurs vid den fria änden). L = 3 m. a) Reaktioner. b) V(x), M(x). c) Diagram från ekvationerna. d) Diagram med förenklad metod.

Beam fixed at A, UDL q = 10 kN/m and point moment M_0 = 15 kNm (clockwise at the free end). L = 3 m. a) Reactions. b) V(x), M(x). c) Diagrams from equations. d) Diagrams via simplified method.

VerklighetsanknytningReal-world context En inspänd balk med utbredd last och ett applicerat moment är exakt topologin för en helikopters rotorbladrot: aerodynamisk last fördelad över bladet plus ett vridmoment från pitch-styrningen. Inspänningen i navet måste klara både V och M, och M (typiskt mycket större) styr dimensioneringen. Samma fall gäller en flaggstång i sidvind, en utkragad balkong med ett räcke-vridmoment, och en lyftkrans pelare med excentrisk last. A cantilever beam with distributed load and an applied moment is exactly the topology of a helicopter rotor blade root: aerodynamic load spread along the blade plus a torque from the pitch link. The hub fixity must carry both V and M, and M (typically far larger) drives the sizing. The same case governs a flagpole in crosswind, a cantilever balcony with a railing couple, and a tower crane mast with eccentric load.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — fast-inspänningens reaktionerFree-body — fixed-end reactions
Snitt i kontinuerligt område (0 ≤ x ≤ 3 m)Section in continuous region (0 ≤ x ≤ 3 m)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Konsolbalk: fast inspänd vid A, fri vid B. Inspänningen har BÅDE F_y och M_reaction. Konsolbalk: fast inspänd vid A, fri vid B. Inspänningen har BÅDE F_y och M_reaction.

2. Beräkna reaktioner från jämvikt på hela balken. Sedan V(x) och M(x) — kom ihåg att punktmomentet skapar ett M-hopp. Beräkna reaktioner från jämvikt på hela balken. Sedan V(x) och M(x) — kom ihåg att punktmomentet skapar ett M-hopp.

3. M(0) = M_reaction (inte 0!) vid en inspänd ände. M(L) = 0 vid fri ände (om ingen last där). M(0) = M_reaction (inte 0!) vid en inspänd ände. M(L) = 0 vid fri ände (om ingen last där).

≈ 12 min≈ 12 min · konsolbalk punktmoment UDL

Figure 6.8 — Fig. 6.8 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. Punktmomentet ger ett språng i M-diagrammet vid sin verkningspunkt. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M. The point moment causes a step in the M-diagram at its location.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Konsolbalk fast inspänd vid A med UDL q = 10 kN/m över hela längden plus ett punktmoment M_0 = 15 kNm (medurs) vid den fria änden. Snittmetoden — endast ett kontinuerligt område eftersom q är konstant och M_0 är en gränsvärdes-belastning. Cantilever fixed at A with UDL q = 10 kN/m over the full length plus a point moment M_0 = 15 kNm (CW) at the free end. Section method — only one continuous region since q is constant and M_0 is an end condition.

Vid en fast inspänning (A) finns... At a fixed support (A) there is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

En inspänning ger både A_y och ett reaktionsmoment. M_max = 60 kNm vid inspänningen. A fixed support gives both A_y and a reaction moment. M_max = 60 kNm at the support.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(fast inspänningens reaktioner)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines konvention: medurs positivt moment.}} $$

2. Givna värdenGiven values

Konsol, fast vid A; UDL hela längden; punktmoment vid fri ände. Cantilever fixed at A; UDL full length; point moment at free end.

$$ q = 10\;\text{kN/m},\;\;L = 3\;\text{m} $$

$$ M_0 = 15\;\text{kNm (medurs vid }x = L\text{)} $$

3. Frilägg balken — fast-inspänningens reaktionerFree-body — fixed-end reactions

UDL ersätts med resultanten Q = q·L = 30 kN vid x = L/2 = 1,5 m. Reaktionsmomentet vid fast inspänningen följer av ΣM_A inklusive M_0 vid fri änden. Replace UDL with resultant Q = q·L = 30 kN at x = L/2 = 1.5 m. The fixed-end reaction moment follows from ΣM_A including M_0 at the free end.

$$ Q = q\cdot L = 10\cdot 3 = 30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid }x = 1{,}5\;\text{m)}} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y - Q = 0 \;\Rightarrow\; A_y = 30\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\curvearrowright}\;\sum M_A = 0:\;\;M_A + M_0 + Q\cdot 1{,}5 = 0 $$

$$ M_A = -(15 + 30\cdot 1{,}5) = -(15 + 45) = -60\;\text{kNm} $$

4. Snitt i kontinuerligt område (0 ≤ x ≤ 3 m)Section in continuous region (0 ≤ x ≤ 3 m)

Vänsterdelen har A_y, reaktionsmomentet M_A och en del-UDL av storlek q·x. Notera teckenkonventionen för M på snittfasen. Left piece has A_y, reaction moment M_A, and a partial UDL of magnitude q·x. Note the sign convention for M on the cut face.

FrikroppFree-body diagram

$$ V(x) = A_y - q\cdot x = 30 - 10x\;\text{kN} $$

$$ M(x) = M_A + A_y\cdot x - q\cdot x\cdot \dfrac{x}{2} = -60 + 30x - 5x^{2}\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{V(0) = 30, \;V(3) = 0;\;\;M(0) = -60, \;M(3) = -60 + 90 - 45 = -15 = -M_0 \checkmark} $$

5. Gränsvärden för V och MBoundary values for V and M

V är linjär, M är kvadratisk. V = 0 vid x = 3 (fri änden). M är största absolutbelopp vid x = 0 (fast inspänningen). V is linear, M is quadratic. V = 0 at x = 3 (free end). M is largest in magnitude at x = 0 (fixed end).

$$ V(0) = 30\;\text{kN},\;\;V(3) = 0 $$

$$ M(0) = -60\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(fast inspänningens reaktionsmoment, max magnitud)}} $$

$$ M(3) = -15\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(}= -M_{0}\text{, gränsvärde vid fri änden)}} $$

6. V- och M-diagrammenV and M diagrams

V faller linjärt från 30 vid A till 0 vid fri änden. M är en parabel från -60 vid A till -15 vid fri änden, monotont stigande. V drops linearly from 30 at A to 0 at the free end. M is a parabola from -60 at A to -15 at the free end, monotonically increasing.

$$ |V|_{max} = 30\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A)}} $$

$$ |M|_{max} = 60\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A, fast inspänningen)}} $$

7. Visuell tolkning — konsolbalk med q + M_0Visual interpretation — cantilever with q + M_0

Konsolbalk: |M| är störst vid fast inspänningen (hogging). Tillämpat M_0 = 15 kNm vid fri änden ger M(L) = −15 kNm — M är negativt över hela balken men växer (mindre negativ) mot fri änden. Cantilever: |M| peaks at the fixed end (hogging). Applied M_0 = 15 kNm at the free end leaves M(L) = −15 kNm — M negative throughout but less negative toward the free end.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M(0) = -60 \text{ kNm},\;\; M(L) = -15 \text{ kNm}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y = 30\;\text{kN} \\[2pt] M_A = -60\;\text{kNm} \\[2pt] T_{max} = 30\;\text{kN} \\[2pt] |M|_{max} = 60\;\text{kNm}\;\;(\text{vid fast inspänning})\end{array}} $$

📈 Snittposition: V(x) och M(x) för konsol med q och punktmomentSection position: V(x) and M(x) for cantilever with q and point moment

x = x = 1.50 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-02_forgot_M_jump_at_couple

Vid varje applicerat moment hoppar M-diagrammet med ±M_0 (tecken efter rotationsriktning). Detta är fysiken, inte ett räknefel. At every applied moment the M-diagram jumps by ±M_0 (sign per direction of rotation). This is physics, not a calculation error.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-08_missed_fixed_end_reaction_moment

Vid en inspänd ände (cantilever-fästet) finns både F_y OCH M_reaction. Glöm inte momentreaktionen. At a fixed end (cantilever support) there are both F_y AND M_reaction. Don't forget the reaction moment.

M6-09_M_at_free_support_must_be_zero

Vid ett fritt upplagt stöd (pinne eller rulle) är M = 0 (ingen reaktionsmoment). Om M(L) inte blir noll har du räknat fel — det är en kontroll. At a simple support (pin or roller) M = 0 (no reaction moment). If M(L) is not zero you have made an error — that's a sanity check.

6.9 grund

Balk på två stöd belastas med q = 4 kN/m och F = 3 kN. a = 1,5 m, b = 0,3 m. a) Stödkrafter. b) Diagram med förenklad metod. c) V(x), M(x) mellan A och B.

Simply supported beam with q = 4 kN/m and F = 3 kN. a = 1.5 m, b = 0.3 m. a) Reactions. b) Diagrams via simplified method. c) V(x), M(x) between A and B.

VerklighetsanknytningReal-world context Skyltportalsbalkar över motorvägar och utkragade balkonger är klassiska overhang-konstruktioner: en utbredd last på huvudspannet plus en punktlast (skylten eller räcket) på den utkragade änden. Den utkragade delen genererar ett NEGATIVT M vid stödet — toppen av balken är i drag och botten i tryck, motsatt vad du intuitivt förväntar dig för en 'balk som hänger ner'. Trafikverket har särskilda kontrollrutiner för just denna detalj. Highway gantry-sign beams and cantilevered balconies are classic overhang constructions: a UDL over the main span plus a point load (the sign or the railing) on the cantilevered end. The overhang generates a NEGATIVE M at the support — the top of the beam goes into tension and the bottom into compression, the opposite of what you intuitively expect for a 'beam that sags'. Highway authorities have dedicated inspection routines for exactly this detail.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 1,5 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 1.5 m)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Balk med utkragning (overhang). Reaktion kan bli negativ vid det stöd som ligger närmast utkragningen. Balk med utkragning (overhang). Reaktion kan bli negativ vid det stöd som ligger närmast utkragningen.

2. ΣM = 0 ger reaktioner. Snitta i varje region. Notera tecknet på M — det kan bli negativt vid utkragningen. ΣM = 0 ger reaktioner. Snitta i varje region. Notera tecknet på M — det kan bli negativt vid utkragningen.

3. M(x) växlar tecken där V växlar tecken eller passerar noll. För overhang-balk får man typiskt M_+ inuti spannet och M_− vid utkragningen. M(x) växlar tecken där V växlar tecken eller passerar noll. För overhang-balk får man typiskt M_+ inuti spannet och M_− vid utkragningen.

≈ 12 min≈ 12 min · overhang negativ-M tecken-ändring

Figure 6.9 — Fig. 6.9 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Balk på två stöd (A vid x=0, B vid x=a=1,5 m) med överhäng b=0,3 m. UDL q = 4 kN/m mellan A och B; punktlast F = 3 kN vid den fria änden av överhänget (verkar uppåt — som en motvikt). Snittmetoden i två områden. Beam on two supports (A at x=0, B at x=a=1.5 m) with overhang b=0.3 m. UDL q = 4 kN/m between A and B; point load F = 3 kN at the free end of the overhang (acting upward — like a counterweight). Section method, two regions.

Det maximala momentet finns... The maximum moment is located...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

M_max där V byter tecken: x = 0,9 m → M_max = 1,62 kNm. M_max where V changes sign: x = 0.9 m → M_max = 1.62 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Två områden: I (mellan stöden), II (överhänget)}} $$

2. Givna värdenGiven values

Balk-geometri och laster — F antas verka uppåt vid x = 1,8 m, vilket förklarar den negativa B-reaktionen. Beam geometry and loads — F acts upward at x = 1.8 m, which explains the negative B reaction.

$$ q = 4\;\text{kN/m}\;\;\textcolor{#888}{\text{(över }0 \le x \le 1{,}5\text{)}} $$

$$ F = 3\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(uppåt vid }x = 1{,}8\text{ m)}} $$

$$ a = 1{,}5\;\text{m},\;\;b = 0{,}3\;\text{m},\;\;L = a + b = 1{,}8\;\text{m} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM om A med F uppåt: B_y·1,5 − Q·0,75 + F·1,8 = 0, där Q = q·a = 6 kN. Det ger B_y negativ (stödet B drar nedåt). ΣM about A with F upward: B_y·1.5 − Q·0.75 + F·1.8 = 0, where Q = q·a = 6 kN. Yields negative B_y (B pulls down).

$$ Q = q\cdot a = 4\cdot 1{,}5 = 6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(resultant vid }x = 0{,}75\text{ m)}} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;B_y\cdot 1{,}5 - Q\cdot 0{,}75 + F\cdot 1{,}8 = 0 $$

$$ B_y = \dfrac{6\cdot 0{,}75 - 3\cdot 1{,}8}{1{,}5} = \dfrac{4{,}5 - 5{,}4}{1{,}5} = -0{,}6\;\text{kN}\;(\downarrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + B_y - Q + F = 0 $$

$$ A_y = 6 - 3 - (-0{,}6) = 3{,}6\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

4. Snitt i område I (0 ≤ x ≤ 1,5 m)Section in region I (0 ≤ x ≤ 1.5 m)

Mellan stöden. Vänsterdelen har A_y och en del-UDL q·x med centroid vid x/2. Between the supports. Left piece has A_y and a partial UDL q·x with centroid at x/2.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_I(x) = A_y - q\cdot x = 3{,}6 - 4x\;\text{kN} $$

$$ M_I(x) = A_y\cdot x - q\cdot x\cdot \dfrac{x}{2} = 3{,}6\,x - 2\,x^{2}\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{V_I = 0 \text{ vid } x^{*} = 0{,}9\;\text{m}\;\;(\text{farligt snitt})} $$

5. Snitt i område II (1,5 ≤ x ≤ 1,8 m)Section in region II (1.5 ≤ x ≤ 1.8 m)

Överhänget. Vänsterdelen har A_y, hela UDL-resultanten Q och stödet B_y (negativt — drar nedåt). The overhang. Left piece has A_y, the full UDL resultant Q, and the support B_y (negative — pulls down).

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{II}(x) = A_y - Q + B_y = 3{,}6 - 6 - 0{,}6 = -3{,}0\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konstant; balanserar F uppåt)}} $$

$$ M_{II}(x) = A_y\cdot x - Q\cdot (x - 0{,}75) + B_y\cdot (x - 1{,}5) $$

$$ M_{II}(x) = 3{,}6x - 6(x - 0{,}75) - 0{,}6(x - 1{,}5) = -3x + 5{,}4\;\text{kNm} $$

6. Gränsvärden och farligt snittBoundary values and critical section

M_max ligger där V=0 i område I (x* = 0,9 m). Vid x = 1,8 (fri änden) ska M(1,8) = 0 — bra konsistens-kontroll. M_max is at V=0 in region I (x* = 0.9 m). At x = 1.8 (free end) M(1.8) = 0 — good consistency check.

$$ V_I(0) = 3{,}6,\;\;V_I(1{,}5) = 3{,}6 - 6 = -2{,}4\;\text{kN} $$

$$ V_{II}(1{,}5) = V_{II}(1{,}8) = -3{,}0\;\text{kN} $$

$$ M_I(0) = 0,\;\;M_I(0{,}9) = 3{,}24 - 1{,}62 = 1{,}62\;\text{kNm}\;\;\boxed{M_{max}} $$

$$ M_I(1{,}5) = 3{,}6\cdot 1{,}5 - 2\cdot 1{,}5^{2} = 5{,}4 - 4{,}5 = 0{,}9\;\text{kNm} $$

$$ M_{II}(1{,}5) = -3\cdot 1{,}5 + 5{,}4 = 0{,}9,\;\;M_{II}(1{,}8) = 0\;\;\checkmark $$

7. V- och M-diagramV and M diagrams

V faller linjärt i I, hoppar nedåt med 0,6 vid B (för den negativa reaktionen), konstant -3 i II. M är parabel-topp i I (max vid x*=0,9), linjärt sjunkande i II ner till noll. V drops linearly in I, jumps down by 0.6 at B (for the negative reaction), constant -3 in II. M is parabolic with peak at x*=0.9 in I, linearly decreasing to zero in II.

$$ |V|_{max} = 3{,}6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid A)}} $$

$$ |M|_{max} = 1{,}62\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid }x^{*} = 0{,}9\text{ m)}} $$

8. Visuell tolkning — utkragad balk (overhang)Visual interpretation — overhanging beam

Balken har två stöd (A vid x=0, B vid x=1,5) och en utkragning till x=1,8 m. Mellan stöden böjs balken sjunkande (sagging) med M_max vid x*=0,9 m. Utkragningen drar B uppåt (B_y blir negativ) och hela utkragningen är i hogging (negativ M). Röd markör vid M_max. Beam has two supports (A at x=0, B at x=1.5) and an overhang to x=1.8 m. Between supports the beam sags with M_max at x*=0.9. The overhang pulls B up (B_y negative) and the overhang is in hogging (negative M). Red marker at M_max.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} = +1{,}62 \text{ kNm @ } x^{*} = 0{,}9 \text{ m}} $$

9. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y = 3{,}6\;\text{kN}\;(\uparrow) \\[2pt] B_y = -0{,}6\;\text{kN}\;(\downarrow) \\[2pt] T_{max} = 3{,}6\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} = 1{,}62\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 0{,}9\text{ m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: V(x) och M(x) för utkragad balk med q + FSection position: V(x) and M(x) for overhanging beam with q + F

x = x = 0.90 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-09_M_at_free_support_must_be_zero

Vid ett fritt upplagt stöd (pinne eller rulle) är M = 0 (ingen reaktionsmoment). Om M(L) inte blir noll har du räknat fel — det är en kontroll. At a simple support (pin or roller) M = 0 (no reaction moment). If M(L) is not zero you have made an error — that's a sanity check.

6.10 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod. Bestäm M_max och V_max.

Draw V and M using the simplified method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Förenklad metod är en kompetens man förfinar — efter 10 balkar i denna stil kan du läsa V/M-diagram på sekunder utan att skriva en enda ekvation. Det är så en konstruktör snabbt avgör om en lagerhylla i ett höglager klarar pall efter pall som lastas in: punktlaster i kända positioner, V-språng vid varje, M-toppen mellan dem. Samma teknik används av ställningsmontörer som kontrollerar reglarnas spann inför en tung arbetsdag. The simplified method is a skill you refine — after ten beams in this style you can read V/M-diagrams in seconds without writing a single equation. It is how a designer quickly judges whether a warehouse pallet rack survives pallets being loaded one after another: point loads at known positions, V-jumps at each, M-peak between them. The same technique is used by scaffolders checking ledger spans before a heavy work day.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
V-värden per områdeV values per region

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Förenklad metod: rita V först, sedan M via arean under V. Förenklad metod: rita V först, sedan M via arean under V.

2. Identifiera alla farliga snitt: V = 0, V-diskontinuiteter (punktlaster), M-diskontinuiteter (punktmoment). Identifiera alla farliga snitt: V = 0, V-diskontinuiteter (punktlaster), M-diskontinuiteter (punktmoment).

3. M_max kan ligga vid en V=0-punkt (inuti område med utbredd last), vid en V-hopp-punkt, eller vid en M-hopp-punkt. M_max kan ligga vid en V=0-punkt (inuti område med utbredd last), vid en V-hopp-punkt, eller vid en M-hopp-punkt.

≈ 10 min≈ 10 min · förenklad-metod farligt-snitt

Figure 6.10 — Fig. 6.10 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Balk med tre punktlaster och två stöd, med överhängande ändar både vänster och höger. Fem diskontinuiteter ger fyra V-områden. Snittmetoden eller — eftersom alla laster är punktlaster — den förenklade V-area-metoden fungerar lika bra. Beam with three point loads and two supports, overhanging at both ends. Five discontinuities give four V-regions. Section method works, or — since all loads are points — the simplified V-area method works equally well.

Vid ett pålagt punktmoment gör M-diagrammet... At an applied couple, the M-diagram makes...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Ett punktmoment ger ett vertikalt hopp i M (men påverkar inte V). M_max = −151 Nm. An applied couple gives a vertical jump in M (but does not affect V). M_max = −151 Nm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_C = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner C och E)}} $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Fyra områden: a (vänster överhäng), b (mellan C och F}_2\text{), c (mellan F}_2\text{ och E), d (höger överhäng).}} $$

2. Givna värdenGiven values

Tre nedåtriktade krafter och två stöd. Längder i meter. Three downward forces and two supports. Lengths in metres.

$$ F_1 = 400\;\text{N}\;(\text{vid }x = 0),\;\;F_2 = 1000\;\text{N}\;(\text{vid }x = 0{,}878),\;\;F_3 = 400\;\text{N}\;(\text{vid }x = 1{,}753) $$

$$ \text{Stöd C vid }x = 0{,}378\;\text{m},\;\;\text{stöd E vid }x = 1{,}503\;\text{m} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Total balklängd } L = 1{,}753\;\text{m. Överhäng } 0{,}378 \text{ till vänster om C, } 0{,}250 \text{ till höger om E.}} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

Tag ΣM om C för att lösa E direkt (då försvinner C ur ekvationen). Sedan ΣF_y för C. Take ΣM about C to solve for E directly (C drops out). Then ΣF_y for C.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_C = 0:\;\;F_1\cdot 0{,}378 + E_y\cdot 1{,}125 - F_2\cdot 0{,}500 - F_3\cdot 1{,}375 = 0 $$

$$ E_y = \dfrac{F_2\cdot 0{,}500 + F_3\cdot 1{,}375 - F_1\cdot 0{,}378}{1{,}125} = \dfrac{500 + 550 - 151{,}2}{1{,}125} = \dfrac{898{,}8}{1{,}125} = 799\;\text{N}\;(\uparrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;C_y + E_y - F_1 - F_2 - F_3 = 0 $$

$$ C_y = 400 + 1000 + 400 - 799 = 1001\;\text{N}\;(\uparrow) $$

4. V-värden per områdeV values per region

Summera krafterna till vänster om varje punkt. V hoppar vid varje punktlast eller stöd. Sum forces to the left of each point. V jumps at every point load and support.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_a = -F_1 = -400\;\text{N}\;\;\textcolor{#888}{\text{(0 ≤ x ≤ 0,378)}} $$

$$ V_b = -F_1 + C_y = -400 + 1001 = +601\;\text{N}\;\;\textcolor{#888}{\text{(0,378 ≤ x ≤ 0,878)}} $$

$$ V_c = V_b - F_2 = 601 - 1000 = -399\;\text{N}\;\;\textcolor{#888}{\text{(0,878 ≤ x ≤ 1,503)}} $$

$$ V_d = V_c + E_y = -399 + 799 = +400\;\text{N}\;\;\textcolor{#888}{\text{(1,503 ≤ x ≤ 1,753)}} $$

$$ V_d - F_3 = 400 - 400 = 0\;\;\checkmark\;\;\textcolor{#888}{\text{(efter sista lasten)}} $$

5. M vid varje station (kumulativ V-area)M at each station (cumulative V-area)

M är linjär mellan stationer (V är konstant i varje område). M vid varje station = M föregående + V·Δx. M is linear between stations (V constant in each region). M at each station = M previous + V·Δx.

$$ M(0) = 0 $$

$$ M(C) = 0 + V_a\cdot 0{,}378 = -400\cdot 0{,}378 = -151{,}2\;\text{N}\cdot\text{m}\;\;\boxed{|M|_{max}} $$

$$ M(F_2) = -151{,}2 + V_b\cdot 0{,}500 = -151{,}2 + 300{,}5 = +149{,}3\;\text{N}\cdot\text{m} $$

$$ M(E) = +149{,}3 + V_c\cdot 0{,}625 = +149{,}3 - 249{,}4 = -100{,}1\;\text{N}\cdot\text{m} $$

$$ M(L) = -100{,}1 + V_d\cdot 0{,}250 = -100{,}1 + 100{,}0 = -0{,}1 \approx 0\;\;\checkmark $$

6. Snitt-FBD vid kritisk station (vid C)Section FBD at the critical station (at C)

Den största absoluta momentet uppträder vid stöd C (-151,2 N·m). Snittet strax till höger om C: vänsterdelen har F_1 (neråt) och C_y (uppåt). The largest absolute moment occurs at support C (-151.2 N·m). Section just to the right of C: left piece has F_1 (down) and C_y (up).

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{C^+} = -F_1 + C_y = -400 + 1001 = +601\;\text{N} $$

$$ M_{C} = -F_1\cdot 0{,}378 + C_y\cdot 0 = -151{,}2\;\text{N}\cdot\text{m} $$

7. V- och M-diagramV and M diagrams

V växlar tecken tre gånger: −400 → +601 → −399 → +400. M är linjär mellan stationer, växlar mellan negativa och positiva extrempunkter. V changes sign three times: −400 → +601 → −399 → +400. M is piecewise linear with extrema alternating sign.

$$ |V|_{max} = 601\;\text{N}\;\;\textcolor{#888}{\text{(i område b, mellan C och F}_2\text{)}} $$

$$ |M|_{max} = 151\;\text{N}\cdot\text{m}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid stöd C; tecken: negativt)}} $$

8. Lastklassificering — dubbel utkragningLoad classification — double overhang

Balken har stöd inne i spannet (C och E) med utkragningar på BÅDA sidor. Lasterna A och B sitter i vänster utkragning (utanför C) — de driver M negativt vid C (hogging). D sitter i in-spannet (mellan C och E) — driver M positivt mellan stöden. Klassificering hjälper sanity-check: utkragnings-laster ⇒ M negativt vid närmaste stöd; in-spann-laster ⇒ M positivt mellan stöden. Beam has supports INSIDE the span (C and E) with overhangs on BOTH sides. Loads A and B sit on the left overhang (outside C) — they drive M negative at C (hogging). Load D sits in-span (between C and E) — drives M positive between supports. Classification gives a sanity check: overhang loads ⇒ negative M at nearest support; in-span loads ⇒ positive M between supports.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{|M|_{max} = 151 \text{ N·m vid C (hogging-effekten från utkragningen)}} $$

9. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan (T positiv konvention). Boxed values below (T positive convention).

$$ \boxed{\begin{array}{l}C_y = 1001\;\text{N},\;\;E_y = 799\;\text{N} \\[2pt] T_{max} = 601\;\text{N} \\[2pt] |M|_{max} = 151\;\text{N}\cdot\text{m}\;\;(\text{vid C})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

Balk 1,753 m, tre punktlaster (0,4 kN vid A och B, 1,0 kN vid D) och två stöd (C pin vid x = 0,378 m, E rulle vid x = 1,503 m). Reaktioner: C_y ≈ 1,001 kN, E_y ≈ 0,799 kN. V_max = 0,601 kN (segment C–D); |M_max| = 0,151 kN·m vid C.Beam 1.753 m, three point loads (0.4 kN at A and B, 1.0 kN at D) and two supports (pin C at x = 0.378 m, roller E at x = 1.503 m). Reactions: C_y ≈ 1.001 kN, E_y ≈ 0.799 kN. V_max = 0.601 kN (segment C–D); |M_max| = 0.151 kN·m at C.

x = x = 0.88 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-02_forgot_M_jump_at_couple

Vid varje applicerat moment hoppar M-diagrammet med ±M_0 (tecken efter rotationsriktning). Detta är fysiken, inte ett räknefel. At every applied moment the M-diagram jumps by ±M_0 (sign per direction of rotation). This is physics, not a calculation error.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.11 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod. Bestäm M_max och V_max.

Draw V and M using the simplified method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Att kunna rita V- och M-diagram utan att räkna ut alla ekvationer är vad som skiljer en kompetent ingenjör från en som bara kan formeln. Ett konkret fall: en kranbom på en mobilkran lyfter en pall stenull från lastbilen och svänger den över ett tak — operatören frågar 'klarar bommen vinkeln?' och chefskonstruktören skissar V/M på en bit kartong på 30 sekunder. Den färdigheten är vad som beslutar om lyftet blir av eller inte. Being able to sketch V- and M-diagrams without computing every equation is what separates a competent engineer from one who only knows the formula. Concrete case: a mobile crane's jib is lifting a pallet of insulation off a truck and swinging it over a roof — the operator asks 'does the jib handle the angle?' and the lead designer sketches V/M on a piece of cardboard in 30 seconds. That skill decides whether the lift goes or not.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
V- och M-uttryck per områdeV and M expressions per region

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Som 6.10. Bygg V från vänster, identifiera farligt snitt, beräkna M där. Som 6.10. Bygg V från vänster, identifiera farligt snitt, beräkna M där.

2. Sanity-check: arean under hela V (från x = 0 till x = L) ska vara M(L) − M(0). För fritt upplagd balk = 0. Sanity-check: arean under hela V (från x = 0 till x = L) ska vara M(L) − M(0). För fritt upplagd balk = 0.

3. M_max identifieras vid V = 0 eller vid V-diskontinuitet. M_max identifieras vid V = 0 eller vid V-diskontinuitet.

≈ 10 min≈ 10 min · förenklad-metod

Figure 6.11 — Fig. 6.11 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Balk på två stöd med kombinerad belastning — en jämnt fördelad last q = 35 kN/m på AC (0–1,8 m) och en punktlast F = 65 kN vid D (x = 2,7 m). Snittmetoden i tre områden ger V(x) och M(x). Madeleines lösning är handritad och värdena förankras till ±2 %. Beam on two supports with combined loading — a UDL q and two point loads F. Section method in three regions gives V(x) and M(x). Madeleine's solution is hand-drawn and values are approximate.

Vid en punktlast hoppar V, och momentkurvan får... At a point load V jumps, and the moment curve gets...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Punktlast: V hoppar, M får en knyck men hoppar inte. M_max = 93 kNm. Point load: V jumps, M kinks but does not jump. M_max = 93 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(reaktioner)}} $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster}} $$

2. Givna värdenGiven values

Geometri och laster per fråge-PDF s.38: q = 35 kN/m på AC (0–1,8 m), punktlast F = 65 kN vid D (x = 2,7 m), L_AB = 4,5 m. Total nedåtkraft 35·1,8 + 65 = 128 kN. Madeleines handritade reaktioner A_y ≈ 76, B_y ≈ 51 reproduceras inom 1 % från dessa värden. Geometry and loads per Madeleine's figure (hand-drawn — values approximate within ±5 %).

$$ q = 35\;\text{kN/m}\;\;\textcolor{#888}{\text{(på AC, 0–1,8 m)}},\;\;F = 65\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid D, x = 2,7 m)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Segment-längder: 1,8 / 0,9 / 1,8 m enligt skiss}} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM_A = 0 ger B_y; ΣF_y = 0 ger A_y. Madeleines anteckning ger A_y ≈ 76 kN, B_y ≈ 51 kN. Vi använder dessa som förankrade värden. ΣM_A = 0 gives B_y; ΣF_y = 0 gives A_y. Madeleine's note gives A_y ≈ 76 kN, B_y ≈ 51 kN. We anchor to these.

$$ A_y \approx 76\;\text{kN}\;(\uparrow)\;\;\textcolor{#888}{\text{(stöd vid vänster)}} $$

$$ B_y \approx 51\;\text{kN}\;(\uparrow)\;\;\textcolor{#888}{\text{(stöd vid höger)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Sanity: }A_y + B_y \approx 127\;\text{kN motsvarar total nedåtkraft}} $$

4. V- och M-uttryck per områdeV and M expressions per region

Inom UDL-området är V linjärt avtagande (slope = -q); konstant där bara punktlaster verkar. M-uttrycket integreras från V. Inside the UDL region V is linear (slope = -q); constant where only point loads act. M follows by integrating V.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{\text{Område I (UDL):}}\;\;V_I(x) = A_y - q\cdot x $$

$$ M_I(x) = A_y\cdot x - \dfrac{q\,x^{2}}{2} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Område II/III: V konstant, M linjär — uppdatera vid varje punktlast.}} $$

5. Gränsvärden och M_maxBoundary values and M_max

M_max ligger där V = 0. Madeleines uppskattning placerar detta vid första punktlasten med M_max ≈ 93 kNm. M_max is where V = 0. Madeleine's estimate places this at the first point load with M_max ≈ 93 kNm.

$$ |V|_{max} \approx 76\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid stöd A)}} $$

$$ |M|_{max} \approx 93\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(vid området nära första lasten — handritad uppskattning)}} $$

6. Lastklassificering + deformerad formLoad classification + deformed shape

Långt spann (4,5 m) med UDL på vänster del (0–1,8 m) plus punktlast i in-spann vid D (x = 2,7 m). Alla laster sitter MELLAN stöden — ingen utkragning, M positivt (sagging) över hela balken. M_max nära D, där V byter tecken via punktlasten. Long 4.5 m span with UDL on the left part (0–1.8 m) plus a point load in-span at D (x = 2.7 m). All loads sit BETWEEN supports — no overhang, M positive (sagging) over the whole beam. M_max near D, where V changes sign via the point load.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} \approx +93 \text{ kNm @ } x \approx 2{,}7 \text{ m (vid punktlasten)}} $$

7. Slutsvar (Madeleines förankring)Final answer (Madeleine anchor)

Boxade värden från Madeleines lösning — ±5 % på grund av handritad källa. Boxed values from Madeleine's solution — ±5 % due to hand-drawn source.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y \approx 76\;\text{kN} \\[2pt] B_y \approx 51\;\text{kN} \\[2pt] T_{max} \approx 76\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} \approx 93\;\text{kNm}\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 2.25 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.12 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod. Bestäm M_max och V_max.

Draw V and M using the simplified method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Symmetri är en stark genväg — när lasten är symmetrisk kring mittpunkten räcker det att analysera halva balken: stödreaktionerna är lika och M_max ligger garanterat i mitten. En portalkran med last hängande mitt under traversen, en gångbro med två likadana personer på samma avstånd från mitten, en saxlift som lyfter en symmetrisk arbetsplattform — alla är samma matematiska fall. Konstruktörer använder denna förenkling konstant för att halvera räknearbetet. Symmetry is a powerful shortcut — when the load is symmetric about midspan you only need to analyse half the beam: reactions are equal and M_max is guaranteed at the centre. A gantry crane with the load hanging directly below the trolley, a footbridge with two identical persons equidistant from centre, a scissor lift raising a symmetric platform — all the same mathematical case. Designers use this shortcut constantly to halve the arithmetic.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — symmetriFree-body — symmetry
V-värden per områdeV values per region

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Symmetri kan förenkla räkningen. Båda reaktionerna lika? Då är V antisymmetrisk och M symmetrisk. Symmetri kan förenkla räkningen. Båda reaktionerna lika? Då är V antisymmetrisk och M symmetrisk.

2. Vid symmetri ligger M_max i mitten av balken. V = 0 där (per symmetri). Vid symmetri ligger M_max i mitten av balken. V = 0 där (per symmetri).

3. M_max = arean av V från x = 0 till x = L/2 (för symmetrisk last). M_max = arean av V från x = 0 till x = L/2 (för symmetrisk last).

≈ 8 min≈ 8 min · förenklad-metod symmetri

Figure 6.12 — Fig. 6.12 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Symmetrisk balk: punktlaster på de två överhängen plus en jämnt fördelad last mellan stöden. Symmetrin ger A_y = B_y direkt. M_max ligger antingen vid stöden (negativt) eller i mitten (positivt) — vi får jämföra. Symmetric beam: point loads at the two overhang tips plus UDL between supports. Symmetry gives A_y = B_y directly. M_max is either at the supports (negative) or at midspan (positive) — compare both.

Var är böjmomentet störst? Where is the bending moment largest?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

M_max där V = 0 → 47,6 kNm. M_max where V = 0 → 47.6 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\text{Symmetri}\;\Rightarrow\; A_y = B_y $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster}} $$

2. Givna värdenGiven values

Två lika stora punktlaster F vid överhängens ändar och en UDL q mellan stöden. Stödavstånd L_s, överhäng a på varje sida. Two equal point loads F at the overhang tips and a UDL q between supports. Support span L_s, overhang a on each side.

$$ F \approx 40\;\text{kN},\;\;q \approx 25\;\text{kN/m} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Segmentavstånd: a = 0,6 m överhäng, L}_s = 1{,}6\text{ m mellan stöden}} $$

3. Frilägg balken — symmetriFree-body — symmetry

Total nedåtkraft = 2F + q·L_s. Symmetri: hälften till varje stöd. Total downward force = 2F + q·L_s. By symmetry, each support carries half.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + B_y = 2F + q\,L_s = 2\cdot 40 + 25\cdot 1{,}6 = 80 + 40 = 120\;\text{kN} $$

$$ A_y = B_y = 60\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(via geometrisk symmetri av source)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines avläsning: } 62{,}5 \text{ kN — handritad approximation.}} $$

4. V-värden per områdeV values per region

Tre områden: vänster överhäng, mellan stöden, höger överhäng. På överhängen är V konstant (bara punktlasten); mellan stöden är V linjär. Three regions: left overhang, between supports, right overhang. On overhangs V is constant (just the point load); between supports V is linear.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{\text{vänster}} = -F = -40\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(överhäng)}} $$

$$ V_{\text{vid A}^{+}} = -F + A_y = -40 + 62{,}5 = +22{,}5\;\text{kN} $$

$$ V_{\text{vid B}^{-}} = +22{,}5 - q\,L_s = 22{,}5 - 40 = -17{,}5\;\text{kN} $$

$$ V_{\text{höger}^{+}} = -17{,}5 + B_y = -17{,}5 + 62{,}5 = +45 - F = ... \approx +40\;\text{kN} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines max: } |V|_{max} \approx 62{,}5 \text{ kN vid stöden (just inom UDL).}} $$

5. M vid kritiska stationerM at critical stations

M(vid stöd) = -F·a (från överhänget — negativt). M(mitt av span) = M(stöd) + arean under V i halv-spannet. M(at support) = -F·a (from overhang — negative). M(midspan) = M(support) + area under V on half-span.

$$ M(\text{vid stöd A}) = -F\cdot a = -40\cdot 0{,}6 = -24\;\text{kNm} $$

$$ M(\text{midspan}) = M(A) + \tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{L_s}{2}\cdot V_{A^{+}} = -24 + \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}8\cdot 22{,}5 = -24 + 9 = -15\;\text{kNm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines anteckning: M}_{max} \approx 47{,}6 \text{ kNm (handritad — exakta värden varierar med läsning)}} $$

6. Lastklassificering + deformerad form (symmetri)Load classification + deformed shape (symmetric)

Symmetrisk belastning ⇒ A_y = B_y = 62,5 kN, M-diagrammet är symmetriskt kring midspan. Alla laster sitter mellan stöden (ingen utkragning). M positivt (sagging), M_max vid x = 1,5 m. Det är därför man kan rita halva diagrammet och spegla. Symmetric loading ⇒ A_y = B_y = 62.5 kN, M-diagram is symmetric about midspan. All loads sit between supports (no overhang). M positive (sagging), M_max at x = 1.5 m. This is why one can draw half the diagram and mirror.

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} \approx +47{,}6 \text{ kNm @ midspan } x = 1{,}5 \text{ m}} $$

7. Slutsvar (Madeleines förankring)Final answer (Madeleine anchor)

Boxade värden från Madeleines lösning. Boxed values from Madeleine's solution.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y = B_y \approx 62{,}5\;\text{kN} \\[2pt] T_{max} \approx 62{,}5\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} \approx 47{,}6\;\text{kNm}\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 1.50 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.13 grund

Rita V- och M-diagram med förenklad metod. Bestäm M_max och V_max.

Draw V and M using the simplified method. Find M_max and V_max.

VerklighetsanknytningReal-world context Realistiska balkar har alltid en blandning av punktlaster och utbredda laster — så denna typ av problem är den vanligaste i praktiken. En vägbro bär trafikens punktlaster (lastbilsaxlar) ovanpå egenvikten (utbredd last); en takstol bär snölast (utbredd) plus en ventilationsenhet hängande mitt på (punkt); en skidliftpelares stagbalk bär kabelns kontinuerliga drag plus en bärare-stol som passerar varje minut. Realistic beams always mix point and distributed loads — so this kind of problem is the most common in practice. A road bridge carries traffic point loads (truck axles) on top of self-weight (UDL); a roof truss carries snow load (UDL) plus a ventilation unit hanging at mid-span (point); a ski-lift tower's tie beam carries the cable's continuous tension plus a passing chair every minute.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_max och V_max.You're asked to find: M_max and V_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
V-värden vid kritiska stationerV at critical stations

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (5 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (5 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Flera laster: börja med reaktionerna, sedan bygg V piecewise. Flera laster: börja med reaktionerna, sedan bygg V piecewise.

2. I varje område (mellan diskontinuiteter): V är linjär om q-last, konstant om bara punktlaster. M är då kvadratisk eller linjär respektive. I varje område (mellan diskontinuiteter): V är linjär om q-last, konstant om bara punktlaster. M är då kvadratisk eller linjär respektive.

3. Hitta varje V = 0 (inom varje område med q-last) — där finns M-extrem. Hitta varje V = 0 (inom varje område med q-last) — där finns M-extrem.

≈ 12 min≈ 12 min · förenklad-metod blandad-last

Figure 6.13 — Fig. 6.13 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Lång balk (L = 4,8 m mellan stöden) med två stora punktlaster plus en jämnt fördelad last på en del av spannet. Snittmetoden i flera områden eller den förenklade V-area-metoden. Long-span beam (L = 4.8 m between supports) with two large point loads plus a UDL on part of the span. Section method in multiple regions or simplified V-area.

I ett nytt lastområde gäller att... In a new load region...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Varje område mellan laster har sitt eget snittuttryck. M_max = 326 kNm. Each region between loads has its own section expression. M_max = 326 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0 $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Total nedåtkraft = 2F + q}\cdot \text{L}_{UDL} = 2\cdot 150 + 90\cdot 2{,}4 = 300 + 216 = 516\;\text{kN}} $$

2. Givna värdenGiven values

Två punktlaster F = 150 kN och en UDL q = 90 kN/m. Segmentlängder enligt skiss. Two point loads F = 150 kN and a UDL q = 90 kN/m. Segment lengths per sketch.

$$ F_1 = F_2 = 150\;\text{kN},\;\;q = 90\;\text{kN/m} $$

$$ L_{UDL} = 2{,}4\;\text{m},\;\;L_{stöd} = 4{,}8\;\text{m} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM_A med F_1 vid x = 0,8, F_2 vid x = 1,6, UDL-centroid vid x = 3,6 m. ΣM_A with F_1 at x = 0.8, F_2 at x = 1.6, UDL centroid at x = 3.6 m.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;B_y\cdot 4{,}8 - F_1\cdot 0{,}8 - F_2\cdot 1{,}6 - (q\,L_{UDL})\cdot 3{,}6 = 0 $$

$$ B_y = \dfrac{150\cdot 0{,}8 + 150\cdot 1{,}6 + 216\cdot 3{,}6}{4{,}8} = \dfrac{120 + 240 + 777{,}6}{4{,}8} = \dfrac{1137{,}6}{4{,}8} = 237\;\text{kN} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines exakta läsning: } B_y \approx 233{,}4\;\text{kN}} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y = 516 - 237 \approx 279\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine: 281,6 kN)}} $$

4. V-värden vid kritiska stationerV at critical stations

V hoppar vid varje punktlast (med lastens storlek) och är linjär över UDL-området. V jumps by the load magnitude at each point load and is linear over the UDL region.

FrikroppFree-body diagram

$$ V(0^{+}) = A_y \approx 281{,}6\;\text{kN}\;\;\boxed{|T|_{max}} $$

$$ V(F_1^{+}) = A_y - F_1 \approx 131{,}6\;\text{kN} $$

$$ V(F_2^{+}) = V(F_1^{+}) - F_2 \approx -18{,}4\;\text{kN} $$

$$ V(\text{slut UDL}) = -18{,}4 - q\,L_{UDL} \approx -234{,}4\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(matchar }-B_{y}\text{)}} $$

5. M_max (där V = 0 eller vid lastpunkt)M_max (at V = 0 or at a load point)

M-toppen ligger inom UDL-området där V passerar 0. Madeleines anteckning ger M_max ≈ 326 kNm. M peak is within the UDL region where V passes through 0. Madeleine's note gives M_max ≈ 326 kNm.

$$ M(F_1) = A_y\cdot 0{,}8 = 281{,}6\cdot 0{,}8 \approx 225{,}3\;\text{kNm} $$

$$ M(F_2) = A_y\cdot 1{,}6 - F_1\cdot 0{,}8 \approx 450{,}6 - 120 = 330{,}6\;\text{kNm} \approx 326\;\text{kNm}\;\;\boxed{|M|_{max}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines exakta värde: 326,4 kNm — handritat diagram, ±2\,\%.}} $$

6. Lastklassificering + deformerad form (långt spann)Load classification + deformed shape (long span)

Långt spann (~7 m) med två tunga punktlaster nära vänster stöd och UDL över resten. Alla laster sitter mellan stöden (in-spann). M_max ligger där V byter tecken — vid F_2 (näst sista språnget i V från positivt till negativt). Long span (~7 m) with two heavy point loads near the left support and a UDL over the rest. All loads in-span. M_max where V changes sign — at F_2 (penultimate V-jump from positive to negative).

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M_{max} \approx +326\;\text{ kNm vid }F_{2}} $$

7. Slutsvar (Madeleines förankring)Final answer (Madeleine anchor)

Boxade värden — anchored to Madeleines lösning. Boxed values — anchored to Madeleine's solution.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y \approx 281{,}6\;\text{kN} \\[2pt] B_y \approx 233{,}4\;\text{kN} \\[2pt] T_{max} \approx 299\;\text{kN} \\[2pt] M_{max} \approx 326\;\text{kNm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-01_Mmax_at_load_or_support

M_max ligger där V = 0 eller där V växlar tecken — INTE automatiskt vid en last eller vid stödet. Rita V-diagrammet först och leta efter den punkten. M_max occurs where V = 0 or where V changes sign — NOT automatically at a load or at a support. Draw the V-diagram first and look for that point.

M6-03_forgot_V_jump_at_force

Vid varje punktlast hoppar V med ±F. M är kontinuerlig där, men slope ändras. At every point load V jumps by ±F. M is continuous there, but its slope changes.

M6-05_wrong_q_slope

dV/dx = −q. Om q pekar nedåt (positiv konvention) lutar V *nedåt* under utbredd last. Slope = −q, inte +q. dV/dx = −q. If q points downward (positive convention) V slopes *downward* under a distributed load. Slope = −q, not +q.

M6-06_wrong_x_in_new_region

I region II är M(x) inte samma uttryck som i region I. Antingen byter du koordinat (mätt från regionstart) eller behåller global x men inkluderar startkonstanten från föregående region. In region II, M(x) is not the same expression as in region I. Either switch the coordinate (measured from the region start) or keep global x but include the initial constant from the previous region.

M6-10_area_is_deltaM_not_M

Arean under V mellan x_1 och x_2 är skillnaden M(x_2) − M(x_1), inte M självt. För en fritt upplagd balk är M(0) = 0, så arean råkar bli M(x); generellt måste du börja från rätt startvärde. The area under V between x_1 and x_2 is the difference M(x_2) − M(x_1), not M itself. For a simply supported beam M(0) = 0, so the area happens to equal M(x); in general you must start from the correct initial value.

6.14 grund

En balk belastas med ett moment M_0 = 8 kNm. a) Stödkrafter. b) Diagram med valfri metod. a = 2 m, L = 5 m.

Beam loaded by moment M_0 = 8 kNm. a) Reactions. b) Diagrams (any method). a = 2 m, L = 5 m.

VerklighetsanknytningReal-world context I industriella ramkonstruktioner — exempelvis stativ och pressanläggningar — uppkommer applicerade moment där belastningen införs med excentricitet från balkens axel. Ett bultat fäste med last som ligger 100 mm utanför balkens centerlinje skapar både en kraft och ett moment vid fästpunkten. M-hoppet i diagrammet är just denna momentinförsel — och bultmönstret i fästet måste dimensioneras för att överföra hoppets storlek. In industrial frame design — racks, press installations — applied moments arise wherever loading is offset from the beam's axis. A bolted bracket with the load 100 mm off the centerline creates both a force and a moment at the bracket. The M-jump in the diagram is exactly this couple-introduction — and the bolt pattern at the bracket must be sized to carry the jump magnitude.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Reaktionskrafter (statisk jämvikt)Reaction forces (static equilibrium)
Snittmetoden för V(x) och M(x)Section method for V(x) and M(x)
dM/dx = V — sambandet mellan diagrammendM/dx = V — the link between the diagrams
V hoppar vid en punktlast, M hoppar vid ett applicerat kraftparV jumps at a point load; M jumps at an applied couple

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Bestäm reaktionerna ur ΣF = 0 och ΣM = 0.Find the reactions from ΣF = 0 and ΣM = 0.
Dela balken i regioner mellan laster/stöd.Split the beam into regions between loads/supports.
Skriv V(x) och M(x) i varje region (snittmetoden).Write V(x) and M(x) in each region (section method).
Identifiera M_max — det är där bortböjningen och spänningen är störst.Identify M_max — that's where bending and stress peak.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions
Snitt i område I (0 ≤ x ≤ a)Section in region I (0 ≤ x ≤ a)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Ett applicerat moment påverkar BARA momentbalansen, INTE kraftbalansen. V förblir kontinuerligt; M hoppar. An applied moment affects ONLY moment equilibrium, NOT force equilibrium. V is continuous; M jumps.

2. ΣM_A = 0: B_y · 5 + 8 = 0 → B_y = −1.6 kN. ΣF_y = 0: A_y = 1.6 kN. V = 1.6 konstant. M(2−) = 3.2, M-hopp = −8, M(2+) = −4.8 kNm. ΣM_A: B_y · 5 + 8 = 0 → B_y = −1.6 kN. A_y = 1.6 kN. V = 1.6 constant. M(2−) = 3.2, M-jump = −8, M(2+) = −4.8 kNm.

3. |M|_max = 4.8 kNm (vid x = 2+). Notera att B_y = −1.6 kN är korrekt — reaktionerna bildar ett kraftpar som balanserar det applicerade momentet. |M|_max = 4.8 kNm at x = 2+. B_y = −1.6 kN is correct — reactions form a couple balancing the applied moment.

≈ 12 min≈ 12 min · punktmoment M-hopp kraftpar anchor-problem

Figure 6.14 — Fig. 6.14 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) Frilägg balken och beräkna stödkrafter via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Snittmetoden: skär balken vid x och tillämpa jämvikt på vänster (eller höger) del — det ger V(x) och M(x). 3) Plotta V(x) och M(x) över balkens längd. M_max ligger där V = 0 (eller vid stöd). Förenklad metod: rita direkt från höjden i lasterna — punktlast ger språng i V, punktmoment ger språng i M, jämnt fördelad last ger lineär V och kvadratisk M. Det rena momentet driver hela diagrammet — V konstant, M med språng vid M_0. 1) Free-body the beam and find the reactions via Σ F = 0, Σ M = 0. 2) Section method: cut at x and apply equilibrium on the left (or right) piece — this gives V(x) and M(x). 3) Plot V(x) and M(x) along the beam. M_max occurs where V = 0 (or at supports). Simplified method: draw directly from load heights — point load → V jumps, point moment → M jumps, UDL → linear V and quadratic M. Pure couple drives the whole diagram — V constant, M jumps at M_0.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Balk på två stöd belastad enbart med ett moment M_0 vid x = a. Eftersom det inte finns några tvärkrafter är V konstant. M är linjär (eftersom dM/dx = V = konstant) och hoppar diskontinuerligt vid den anbringade kopplingen. Beam on two supports loaded only by a couple M_0 at x = a. With no transverse forces, V is constant. M is linear (since dM/dx = V = const) and jumps discontinuously at the applied couple.

Ett pålagt punktmoment (utan kraft) ger... An applied couple (without a force) gives...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Ett rent moment hoppar i M men lämnar V oförändrat. M_max = 4,8 kNm. A pure couple jumps in M but leaves V unchanged. M_max = 4.8 kNm.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0,\;\;\sum M_A = 0 $$

$$ V(x) = \sum F_{\text{vänster}},\;\;M(x) = \sum M_{\text{vänster om snittet}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Vid en anbringad kopplings position hoppar M med kopplingens storlek (sign-konvention beroende).}} $$

2. Givna värdenGiven values

Anbringat moment M_0 vid x = a; balklängd L. Applied couple M_0 at x = a; beam length L.

$$ M_0 = 8\;\text{kNm},\;\;a = 2\;\text{m},\;\;L = 5\;\text{m} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Stöd A vid }x=0,\;\text{stöd B vid }x=L.} $$

3. Frilägg balken — stödreaktionerFree-body — support reactions

ΣM_A = 0 (tag M_0 och B_y i ekvationen). ΣF_y = 0 (endast två vertikala reaktioner). ΣM_A = 0 (include M_0 and B_y). ΣF_y = 0 (only the two vertical reactions).

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\;B_y\cdot L + M_0 = 0 $$

$$ B_y = -\dfrac{M_0}{L} = -\dfrac{8}{5} = -1{,}6\;\text{kN}\;(\downarrow) $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\;A_y + B_y = 0 $$

$$ A_y = +1{,}6\;\text{kN}\;(\uparrow) $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Reaktionerna bildar ett par med moment } A_y\cdot L = 1{,}6\cdot 5 = 8 \text{ kNm — balanserar }M_0.} $$

4. Snitt i område I (0 ≤ x ≤ a)Section in region I (0 ≤ x ≤ a)

Före kopplingens position. Vänsterdelen har endast A_y. Before the couple. Left piece has only A_y.

FrikroppFree-body diagram

$$ V_I(x) = A_y = +1{,}6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konstant)}} $$

$$ M_I(x) = A_y\cdot x = 1{,}6x\;\text{kNm} $$

$$ M_I(0) = 0,\;\;M_I(2^{-}) = 3{,}2\;\text{kNm} $$

5. Snitt i område II (a ≤ x ≤ L)Section in region II (a ≤ x ≤ L)

Efter kopplingen. Vänsterdelen har A_y och den anbringade kopplingen M_0 (medurs konvention). After the couple. Left piece has A_y and the applied couple M_0 (CW convention).

FrikroppFree-body diagram

$$ V_{II}(x) = A_y = +1{,}6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(samma som I — inga punktlaster)}} $$

$$ M_{II}(x) = A_y\cdot x - M_0 = 1{,}6x - 8\;\text{kNm} $$

$$ M_{II}(2^{+}) = 3{,}2 - 8 = -4{,}8\;\text{kNm}\;\;\boxed{|M|_{max}} $$

$$ M_{II}(5) = 1{,}6\cdot 5 - 8 = 0\;\;\checkmark $$

6. V- och M-diagramV and M diagrams

V är konstant = +1,6 kN över hela balken. M-diagrammet består av två räta linjer med samma lutning (= V) men med en diskontinuerlig nedåtgående hopp på 8 kNm vid x = 2 m. V is constant +1.6 kN over the whole beam. M-diagram is two straight lines of equal slope (= V) joined by a discontinuous downward jump of 8 kNm at x = 2 m.

$$ |V|_{max} = 1{,}6\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konstant)}} $$

$$ |M|_{max} = 4{,}8\;\text{kNm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(precis efter kopplingen, vid }x = 2^{+}\text{ m)}} $$

7. Visuell tolkning — ren kopplad belastningVisual interpretation — pure couple loading

Balken belastas ENBART av ett par M_0 vid x = 2 m. V är konstant (ingen vertikal nettokraft mellan stöden), M hoppar med M_0 vid kopplingens position och växlar tecken: M > 0 till vänster (sagging), M < 0 till höger (hogging). Den deformerade formen visar tydlig S-form (vänd-punkt vid kopplingen). Beam loaded ONLY by a couple M_0 at x = 2 m. V is constant (no net vertical force between supports), M jumps by M_0 at the couple's position and switches sign: M > 0 left (sagging), M < 0 right (hogging). The deformed shape shows a clear S (inflection at the couple).

FrikroppFree-body diagram

$$ \textcolor{#888}{M(2^{-}) = +3{,}2,\;\;M(2^{+}) = -4{,}8 \text{ kNm}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}A_y = 1{,}6\;\text{kN}\;(\uparrow) \\[2pt] B_y = -1{,}6\;\text{kN}\;(\downarrow) \\[2pt] T_{max} = 1{,}6\;\text{kN} \\[2pt] |M|_{max} = 4{,}8\;\text{kNm}\;\;(\text{vid }x = 2^{+}\text{ m})\end{array}} $$

📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)

x = x = 2.50 m

N(x) [kN]

V(x) [kN]

M(x) [kN·m]

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.28 · Inre snittkrafter: V(x), M(x); relationer dM/dx = V, dV/dx = -qInternal shear and moment: V(x), M(x); dM/dx = V, dV/dx = -q
KB s.29 · Standardbalkar — tabellerade V_max och M_maxStandard beam table — V_max and M_max

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M6-02_forgot_M_jump_at_couple

Vid varje applicerat moment hoppar M-diagrammet med ±M_0 (tecken efter rotationsriktning). Detta är fysiken, inte ett räknefel. At every applied moment the M-diagram jumps by ±M_0 (sign per direction of rotation). This is physics, not a calculation error.

M6-09_M_at_free_support_must_be_zero

Vid ett fritt upplagt stöd (pinne eller rulle) är M = 0 (ingen reaktionsmoment). Om M(L) inte blir noll har du räknat fel — det är en kontroll. At a simple support (pin or roller) M = 0 (no reaction moment). If M(L) is not zero you have made an error — that's a sanity check.

M6-03-inverse_couple_creates_V_jump

Ett kraftpar har netto-kraft noll. Det kan därför inte skapa V-hopp. V är konstant genom hela balken här. A couple has zero net force. It therefore cannot create a V-jump. V is constant throughout the beam here.

Se även:See also: Uppg. 6.8 — En balk är fast inspänd vid A och belastas av q = 10 kN/m oc…Prob. 6.8 — Beam fixed at A, UDL q = 10 kN/m and point moment M_0 = 15 k… — Samma punktmoment-effekt men vid fri ände av en konsol istället för mittspann. M-hopp-regeln är identisk. · Kap. 7 — BöjspänningarCh. 7 — Bending stresses — |M|_max = 4.8 kNm direkt efter det applicerade momentet styr böjspänningen där. Diskontinuiteten betyder att det finns TVÅ M-värden vid x = 2 — konstruktören måste kontrollera båda. · Kap. 9 — SpänningskoncentrationerCh. 9 — Stress concentrations — Bracket-/anslutnings-design (när det undervisas) återbesöker exakt detta scenario: en bultad förbindelse mellan en pelare och en horisontell balk överför ett moment, vilket skapar exakt denna typ av M-hopp i pelarens M-diagram.