HemHome

MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Chapter 9: SpänningskoncentrationerStress concentrations · Week 9 · 7 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚 Roliga fakta om inre krafter och moment Fun facts about internal forces and moments 3 stycken · klicka för att läsa
▶
🔬
1913 CambridgeCambridge
Inglis och ellipshålet Inglis and the elliptical hole
Charles Inglis publicerade 1913 den första exakta lösningen för spänningskoncentrationen runt ett ellipshål: K_t = 1 + 2·(a/b). När b→0 (skarp spricka) blir K_t… Charles Inglis published the first exact solution for the stress concentration around an elliptical hole in 1913: K_t = 1 + 2·(a/b). As b→0 (sharp crack), K_t→∞…
Läs mer →Read more →
✈️
1954 MedelhavetMediterranean Sea
De Havilland Comet — fyrkantiga fönster De Havilland Comet — square windows
Tre Comet-jetplan kraschade 1953-54 efter att utmattning fortplantat från hörnen på fyrkantiga fönster. K_t ≈ 7 i hörnet. Sedan dess har alla flygplansfönster r… Three Comet jetliners crashed in 1953-54 after fatigue propagated from the corners of their square windows. K_t ≈ 7 at the corner. Since then all aircraft windo…
Läs mer →Read more →
🔩
2007 Volvo Cars OlofströmVolvo Cars Olofström
Designhävstången — radien som sparade material The design lever — the radius that saved material
I plåt­presstillverkning för bilkarosser balanserar designern hela tiden K_t mot tillverkningskostnad. Större övergångsradie sänker K_t (mindre material behövs)… In sheet-stamp manufacturing for car bodies, designers constantly balance K_t against tooling cost. Larger transition radii lower K_t (less material needed) but…
Läs mer →Read more →
·

9.1 grund

En kraft F = 200 kN belastar plattstången med kälradien, r. Bestäm maxspänningen som uppstår.

A force F = 200 kN loads a plate-bar with a fillet radius r. Determine the maximum stress that arises.

VerklighetsanknytningReal-world context Varje maskinaxel som bär ett kullager har en skuldra med rundkål. Konstruktören väljer radien som balans mellan utrymmes­behov, spänningskoncentration och tillverkningskostnad. En radie på 0,5 mm ger ofta K_t > 2,5; 5 mm sänker till ~1,4. God maskinkonstruktion räknar alltid med generösa rundkåler — den billigaste hållfasthets­förstärkningen som finns. 💡 **Se även problem 4.1** — punktskjuvning vs spänningskoncentrationer vid hål. 💡 **See also problem 4.1** — punching shear vs stress concentrations at holes.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: maxspänningen som uppstår.You're asked to determine: the maximum stress that arises.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Identifiera tabellIdentifiera tabell
  5. Beräkna σ_nom i smala sektionenBeräkna σ_nom i smala sektionen
  6. Beräkna geometriska kvoter för KB-tabellBeräkna geometriska kvoter för KB-tabell
  7. Slå upp k_t på KB s.36Slå upp k_t på KB s.36
  8. Tillämpa multiplikationenTillämpa multiplikationen
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Stegen: (1) räkna ut σ_nom i nettosektionen, (2) B/b och r/b ratios, (3) slå upp K_t från KB s.36, (4) σ_max = K_t · σ_nom. Stegen: (1) räkna ut σ_nom i nettosektionen, (2) B/b och r/b ratios, (3) slå upp K_t från KB s.36, (4) σ_max = K_t · σ_nom.
2. σ_nom = F/(b·t) = 200·10³/(125·28) ≈ 57 MPa. B/b = 150/125 = 1,2. r/b = 12/125 = 0,096. KB s.36 → K_t ≈ 1,82. σ_nom = F/(b·t) = 200·10³/(125·28) ≈ 57 MPa. B/b = 150/125 = 1,2. r/b = 12/125 = 0,096. KB s.36 → K_t ≈ 1,82.
3. σ_max = 1,82 · 57 ≈ 104 MPa. Insikt: om r ökar från 12 till 25 mm, K_t sjunker till ~1,5 → σ_max bara 86 MPa. σ_max = 1,82 · 57 ≈ 104 MPa. Insikt: om r ökar från 12 till 25 mm, K_t sjunker till ~1,5 → σ_max bara 86 MPa.
≈ 8 min≈ 8 min · plattstång kälradie k_t-lookup anchor-problem
Figure 9.1
Fig. 9.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

σ_max = 1,82 · 57 ≈ 104 MPa. Insikt: om r ökar från 12 till 25 mm, K_t sjunker till ~1,5 → σ_max bara 86 MPa.
1. Identifiera tabellIdentifiera tabell

KB s.36 'plattstång med förändring av bredd och rundkål' (drag/tryck). Stegad plattstång under drag. Identifiera tabell: KB s.36, 'plattstång med förändring av bredd och rundkål' (drag/tryck). Lastfallet är dragning, geometrin är en stegad plattstång med rundkålsövergång.

Maxspänningen vid kälradien är... The maximum stress at the fillet is...
50%
σ_max = K_t·σ_nom = 1,82·57,1 = 104 MPa. σ_nom räknas på NETTOarean vid kälen. σ_max = K_t·σ_nom = 1.82·57.1 = 104 MPa. σ_nom uses the NET area at the fillet.
Stegad plattstång (B=150 → b=125 mm) med kälradie r=12 mm. Axial dragning F=200 kN ger σ_max vid rundkålen. RÖDA cirklar runt kälen = heatmap för spänningskoncentration. Nedan: K_t-uppslag på KB s.36 (B/b=1,2; r/b≈0,096).Free-body diagram
$$ \sigma _{max} = k_t \cdot \sigma _{nom} $$
2. Beräkna σ_nom i smala sektionenBeräkna σ_nom i smala sektionen

Nominell spänning i smala sektionen (b = 125 mm är nettobredden). Beräkna σ_nom i smala sektionen (b = 125 mm är nettobredden)

$$ \sigma _{nom} = F/(b\cdot t) = 200\cdot 10^{3}/(125 \cdot 28) \approx 57{,}14\;\text{MPa} $$
3. Beräkna geometriska kvoter för KB-tabellBeräkna geometriska kvoter för KB-tabell

Geometriska kvoter för KB-tabellen. Beräkna geometriska kvoter för KB-tabell

$$ B/b = 150/125 = 1{,}20,\quad r/b = 12/125 \approx 0{,}096 $$
4. Slå upp k_t på KB s.36Slå upp k_t på KB s.36

Slå upp k_t längs kurvan B/b = 1{,}2 vid r/b = 0{,}096. Slå upp k_t på KB s.36. Följ kurvan B/b = 1.2 till r/b = 0.096

$$ k_t \approx 1{,}82 \textcolor{#888}{\text{ (KB s.36, B/b = 1{,}2, r/b = 0{,}096)}} $$
5. Tillämpa multiplikationenTillämpa multiplikationen

Tillämpa multiplikationen σ_max = k_t·σ_nom. Tillämpa multiplikationen

$$ \sigma _{max} = k_t \cdot \sigma _{nom} = 1{,}82 \cdot 57{,}14 \approx 104\;\text{MPa} $$
6. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: σ_max [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\sigma_{max} = 104\;\text{MPa}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_forgot_kt
Du rapporterar σ_nom istället för σ_max. K_t MULTIPLICERAR σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t kan vara 1,5-3 i typiska problem. You're reporting σ_nom instead of σ_max. K_t MULTIPLIES σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t can be 1.5–3 in typical problems.
M9-02_used_brutto_area
σ_nom ska beräknas i den NETTOSEKTION som K_t-tabellen definierar — den smala (reducerade) sektionen, INTE den breda. σ_nom must be computed at the NET SECTION as defined by the K_t table — the narrow (reduced) section, NOT the wide one.
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
Se även:See also: Kap. 3 — Termiska lasterCh. 3 — Thermal loads — σ_nom = F/A är samma som Ch3:s grundformel — men beräknas i NETTOSEKTIONEN här. · Uppg. 9.3 — En solid axel belastas av ett vridmoment, Mv = 280 Nm. Med h…Prob. 9.3 — A solid shaft is loaded by a torque M_v = 280 Nm. By what pe… — Samma rundkåls­geometri men 9.3 frågar 'hur mycket sänks σ om r ökar?'
9.2 grund

Bestäm den max tillåtna kraften, Ftill, om tillåten spänning är 160 MPa.

Determine the maximum allowable force F_allow if the allowable stress is 160 MPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Två-mode-design är vardag i mekanisk konstruktion. En komponent kan ha flera spänningskoncentrationer (hål, övergångar, urtag) — alla måste verifieras separat och den värsta dimensionerar. 💡 **Se även problem 7.7** — spänningskoncentration vid hål förstärker böjspänningen. 💡 **See also problem 7.7** — stress concentration at a hole amplifies bending stress.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: den max tillåtna kraften, Ftill, om tillåten spänning är 160 MPa.You're asked to determine: the maximum allowable force F_allow if the allowable stress is 160 MPa.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Identifiera två koncentrationer i serie längs stångenIdentifiera två koncentrationer i serie längs stången
  5. Fall 1 — HåletFall 1 — Hålet
  6. Σ_nom vid hålet beräknas i nettotvärsnittetΣ_nom vid hålet beräknas i nettotvärsnittet
  7. Sätt σ_max = σ_til och lös för FSätt σ_max = σ_til och lös för F
  8. Fall 2 — RundkålenFall 2 — Rundkålen
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Två möjliga failure modes: vid hålet (med dess K_t från KB) och vid kälradien (med dess K_t). Räkna F_till för båda; den lägre styr. Två möjliga failure modes: vid hålet (med dess K_t från KB) och vid kälradien (med dess K_t). Räkna F_till för båda; den lägre styr.
2. Vid hålet: σ_nom = F/((b−d)·t); σ_max = K_t,hål · σ_nom ≤ σ_till. Vid kälradien: liknande med dess K_t. Vid hålet: σ_nom = F/((b−d)·t); σ_max = K_t,hål · σ_nom ≤ σ_till. Vid kälradien: liknande med dess K_t.
3. F_till = σ_till·(b−d)·t / K_t,hål för hålet; analog för kälradien. F_till = min av båda. F_till = σ_till·(b−d)·t / K_t,hål för hålet; analog för kälradien. F_till = min av båda.
≈ 12 min≈ 12 min · multi-mode hål+kälradie anchor-problem
Figure 9.2
Fig. 9.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

F_till = σ_till·(b−d)·t / K_t,hål för hålet; analog för kälradien. F_till = min av båda.
1. Identifiera två koncentrationer i serie längs stångenIdentifiera två koncentrationer i serie längs stången

Två koncentrationer i serie längs stången: hål i bred del, rundkålsövergång till smal del. Båda måste kontrolleras separat. Identifiera två koncentrationer i serie längs stången: hål i bred del, rundkåls­övergång till smal del. Båda måste kontrolleras separat.

Med både ett hål OCH en kälövergång bestäms F_till av... With both a hole AND a fillet, F_allow is set by...
50%
Kontrollera båda koncentrationerna var för sig; den svagaste styr. Här styr hålet: F_till = 31,1 kN < 36,6 kN. Check each concentration separately; the weakest governs. Here the hole governs: F_allow = 31.1 kN < 36.6 kN.
Plattstång med BÅDE hål (d=22) och kälradie (r=10). Två failure-modes: vid hålet (K_t,hål) och vid kälradien (K_t,kälr). Lös F_till för båda; den lägre styr.Flat bar with BOTH a hole (d=22) and a fillet (r=10). Two failure modes: at the hole and at the fillet. Solve F_allow for each; the lower governs.
$$ F_{till} = \min(F_{hole},\ F_{fillet}) $$
2. Fall 1 — HåletFall 1 — Hålet

Fall 1 — Hålet. KB s.36 'plattstång med hål': slå upp k_t från kvoten d/B. Fall 1 — Hålet. KB s.36 'plattstång med hål': beräkna d/B-kvoten, slå upp k_t

$$ d/B = 22/80 = 0{,}275 \;\to\; k_t = 2{,}4 $$
3. Σ_nom vid hålet beräknas i nettotvärsnittetΣ_nom vid hålet beräknas i nettotvärsnittet

σ_nom vid hålet utvärderas i nettotvärsnittet (bredd minus hål). σ_nom vid hålet beräknas i nettotvärsnittet (bredd minus hål)

$$ \sigma _{nom,hole} = F/((B-d)\cdot t) = F/((80-22)\cdot 8) = F/464 $$
4. Sätt σ_max = σ_til och lös för FSätt σ_max = σ_til och lös för F

Sätt σ_max = σ_til och lös för F. Sätt σ_max = σ_til och lös för F

$$ \sigma _{til} = k_t \cdot \sigma _{nom} \;\to\; F_{hole} = \sigma _{til}\cdot (B-d)\cdot t/k_t = 160\cdot 464/2{,}4 \approx 31\,088\;\text{N} $$
5. Fall 2 — RundkålenFall 2 — Rundkålen

Fall 2 — Rundkålen. KB s.36 'plattstång med ändring av bredd och rundkål': slå upp k_t från rätt kurva via B/b och r/b. Fall 2 — Rundkålen. KB s.36 'plattstång m. ändring av bredd och rundkål': beräkna B/b och r/b, slå upp k_t från rätt kurva

$$ B/b = 80/50 = 1{,}6,\quad r/b = 10/50 = 0{,}20,\quad k_t \approx 1{,}75 $$
6. Σ_nom vid rundkålen beräknas i smala tvärsnittet (b =…Σ_nom vid rundkålen beräknas i smala tvärsnittet (b =…

σ_nom vid rundkålen utvärderas i det smala tvärsnittet (b = 50, eftersom rundkålen ligger där det är smalt). σ_nom vid rundkålen beräknas i smala tvärsnittet (b = 50, eftersom rundkålen ligger där det är smalt)

$$ \sigma _{nom,fillet} = F/(b\cdot t) = F/(50\cdot 8) = F/400 $$
7. Lös för FLös för F

Lös för F. Lös för F

$$ F_{fillet} = \sigma _{til}\cdot b\cdot t/k_t = 160\cdot 400/1{,}75 \approx 36\,571\;\text{N} $$
8. Jämför båda kandidater och välj den lägsta — det är…Jämför båda kandidater och välj den lägsta — det är…

Jämför båda kandidater och välj den lägsta — det är dimensionerande modden. Jämför båda kandidater och välj den lägsta — det är dimensionerande modden

$$ F_{till} = \min(31{,}088,\ 36{,}571) = 31{,}088\;\text{N} \approx 31\;\text{kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(hålet binder)}} $$
9. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: F_till [N]. Values are boxed below.

$$ \boxed{F_{till} = 31\,088\;\text{N}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_forgot_kt
Du rapporterar σ_nom istället för σ_max. K_t MULTIPLICERAR σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t kan vara 1,5-3 i typiska problem. You're reporting σ_nom instead of σ_max. K_t MULTIPLIES σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t can be 1.5–3 in typical problems.
M9-02_used_brutto_area
σ_nom ska beräknas i den NETTOSEKTION som K_t-tabellen definierar — den smala (reducerade) sektionen, INTE den breda. σ_nom must be computed at the NET SECTION as defined by the K_t table — the narrow (reduced) section, NOT the wide one.
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
9.3 grund

En solid axel belastas av ett vridmoment, Mv = 280 Nm. Med hur många procent minskar spänningarna om övergången har en radie på 5 mm jämfört med en mindre radie på 0,8 mm?

A solid shaft is loaded by a torque M_v = 280 Nm. By what percentage does the stress decrease if the transition has a radius of 5 mm compared to a smaller radius of 0.8 mm?

VerklighetsanknytningReal-world context Drivaxlar i industriella reduktion­växlar — där flera diametrar möts vid axiella lagerlägen — designs alltid med största möjliga övergångsradie tillåten. 'Radius design lever' är den kraftfullaste designjusteringen. Drive shafts in industrial reduction gearboxes — where several diameters meet at axial bearing seats — are always designed with the largest fillet radius permitted by the geometry. The 'radius design lever' is the most powerful design adjustment available.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Notera att M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom…Notera att M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom…
  5. Beräkna geometriska kvoterBeräkna geometriska kvoter
  6. Slå upp k_t från KB s.37 'rundstång mSlå upp k_t från KB s.37 'rundstång m
  7. Beräkna procentuell minskningBeräkna procentuell minskning
  8. InsiktInsikt
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Vridning + kälradie: τ_nom = T/(π·d_nett³/16). Slå upp K_t från KB:s vridningsdiagram för stegade axlar. Vridning + kälradie: τ_nom = T/(π·d_nett³/16). Slå upp K_t från KB:s vridningsdiagram för stegade axlar.
2. För r = 5: r/d = 5/d ger lägre K_t. För r = 0,8: r/d = 0,8/d ger mycket högre K_t. Räkna τ_max för båda. För r = 5: r/d = 5/d ger lägre K_t. För r = 0,8: r/d = 0,8/d ger mycket högre K_t. Räkna τ_max för båda.
3. Minskning i % = 1 − (K_t(r=5)/K_t(r=0,8)) · 100%. Typiskt 30-40% minskning för denna geometri. Minskning i % = 1 − (K_t(r=5)/K_t(r=0,8)) · 100%. Typiskt 30-40% minskning för denna geometri.
≈ 10 min≈ 10 min · vridning kälradie design-lever anchor-problem
Figure 9.3
Fig. 9.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Minskning i % = 1 − (K_t(r=5)/K_t(r=0,8)) · 100%. Typiskt 30-40% minskning för denna geometri.
1. Notera att M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom…Notera att M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom…

M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom = 16·M_v/(π·d³) är därför också samma. Den procentuella minskningen beror enbart på k_t-kvoten. Notera att M_v och d är samma för båda fallen — τ_nom = 16·M_v/(π·d³) är därför också samma. Den procentuella minskningen beror enbart på k_t-kvoten.

En större övergångsradie ger... A larger transition radius gives...
50%
Större r → lägre K_t (2,2 → 1,38) → ca 37 % lägre spänning. Radien är konstruktörens verktyg. Larger r → lower K_t (2.2 → 1.38) → about 37 % lower stress. The radius is the designer's lever.
Solid axel under vridmoment M_v = 280 Nm med kälradie. Stegad: D = 60 → d = 40 mm. Jämför två fall: r = 0,8 mm (hög K_t ≈ 2,2) vs r = 5 mm (låg K_t ≈ 1,38). RÖD koncentrations­zon vid kälradien.Solid shaft under torque M_v = 280 Nm with a fillet. Stepped: D = 60 → d = 40 mm. Compare two cases: r = 0.8 mm (high K_t ≈ 2.2) vs r = 5 mm (low K_t ≈ 1.38). RED concentration zone at the fillet.
$$ \tau_{\max,\text{ny}} / \tau_{\max,\text{gammal}} = k_{t,\text{ny}} / k_{t,\text{gammal}} $$
2. Beräkna geometriska kvoterBeräkna geometriska kvoter

Geometriska kvoter (KB s.37). Beräkna geometriska kvoter (KB s.37 ratios)

$$ D/d = 60/40 = 1{,}50 \textcolor{#888}{\text{ (samma för båda)}},\quad r/d\;\textcolor{#888}{\text{(gammal)}} = 0{,}8/40 = 0{,}020,\quad r/d\;\textcolor{#888}{\text{(ny)}} = 5/40 = 0{,}125 $$
3. Slå upp k_t från KB s.37 'rundstång mSlå upp k_t från KB s.37 'rundstång m

Slå upp k_t från KB s.37 'rundstång m. ansats och rundkål' för båda radierna längs kurvan D/d = 1{,}5. Slå upp k_t från KB s.37 'rundstång m. ansats och rundkål' för båda radierna, längs kurvan D/d = 1.5

$$ k_t\,\textcolor{#888}{\text{(r/d = 0{,}02)}} \approx 2{,}20,\quad k_t\,\textcolor{#888}{\text{(r/d = 0{,}125)}} \approx 1{,}38 $$
4. Beräkna procentuell minskningBeräkna procentuell minskning

Procentuell minskning. Beräkna procentuell minskning

$$ \textcolor{#888}{\text{procentuell minskning}} = (1 - k_{t,\text{ny}}/k_{t,\text{gammal}})\cdot 100 = (1 - 1{,}38/2{,}20)\cdot 100 \approx 37\,\% $$
5. InsiktInsikt

Insikt: en relativt liten geometriändring (0{,}8 → 5 mm rundkål) ger en spänningsreduktion på 37 % — utan att ändra last, material eller huvuddimension. Detta är 'fillet design lever': den billigaste hållfasthetsförstärkningen som finns. Insikt: en relativt liten geometri­ändring (0.8 → 5 mm rundkål) ger en dramatisk spänningsreduktion på 37% — utan att ändra last, material eller huvuddimension. Detta är 'fillet design lever': den billigaste hållfasthetsförstärkningen som finns.

6. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: reduction [%]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\text{reduction} = 37\,\%} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
M9-04_radius_design_lever
Större övergångsradie r minskar K_t dramatiskt — det är den BILLIGASTE designhävstången för att sänka spänningskoncentrationen utan att öka material. A larger fillet radius r reduces K_t dramatically — it is the CHEAPEST design lever for lowering the stress concentration without adding material.
9.4 grund

Axeln ska överföra 125 kW vid 450 rpm. Maximalt tillåten spänning i axeln är τtill = 50 MPa. Bestäm den minsta radie som övergången mellan axeldiametrarna får ha.

The shaft must transmit 125 kW at 450 rpm. The maximum allowable stress in the shaft is τ_allow = 50 MPa. Determine the minimum radius the transition between the diameters must have. (Per figure: D = 85 mm, d = 70 mm.)

VerklighetsanknytningReal-world context Pump- och fläktstationer dimensionerar drivaxlar för specifik effekt + varvtal. r_min är det praktiska designfönstret — kan inte göras mindre utan att överskrida τ_till. 💡 **Se även problem 5.5** — spänningskoncentration i steg-axel under vridning. 💡 **See also problem 5.5** — stress concentration in a stepped shaft under torsion.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: den minsta radie som övergången mellan axeldiametrarna får ha.You're asked to determine: the minimum radius the transition between the diameters must have.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givet — effekt, varvtal och tillåten skjuvspänningGiven — power, rpm, and allowable shear stress
  6. Belastning och givna värdenLoads and given values
  7. Vridmoment ur effekt och varvtalTorque from power and rpm
  8. Spänningar — sätt upp τ_max = τ_till och lös K_tStresses — set τ_max = τ_till and solve for K_t
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Effektöverföring: T = P/(2π·n). Sedan τ_max = K_t·τ_nom där τ_nom = 16·T/(π·d_nett³). Effektöverföring: T = P/(2π·n). Sedan τ_max = K_t·τ_nom där τ_nom = 16·T/(π·d_nett³).
2. Sätt τ_max = τ_till. Lös för K_t,max = τ_till·π·d³/(16·T). Med K_t,max, slå upp KB-diagrammet baklänges för r/d → r_min. Sätt τ_max = τ_till. Lös för K_t,max = τ_till·π·d³/(16·T). Med K_t,max, slå upp KB-diagrammet baklänges för r/d → r_min.
3. P = 125 kW, n = 450 rpm = 7,5 varv/s. T = P/(2π·n) ≈ 2,65 kNm. Sedan iterera mot KB-diagrammet. P = 125 kW, n = 450 rpm = 7,5 varv/s. T = P/(2π·n) ≈ 2,65 kNm. Sedan iterera mot KB-diagrammet.
≈ 12 min≈ 12 min · effekt-vridning design-radie
Figure 9.4
Fig. 9.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

P = 125 kW, n = 450 rpm = 7,5 varv/s. T = P/(2π·n) ≈ 2,65 kNm. Sedan iterera mot KB-diagrammet.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in. Identify given quantities and the relevant formulas. Symbolic expressions for cross-section properties and stress are shown below; the next step substitutes numerical values.

För att klara τ_till måste övergångsradien vara... To stay within τ_till the transition radius must be...
50%
Kravet K_t ≤ 1,27 ger r_min = 8,5 mm. För liten radie höjer spänningen över det tillåtna. The requirement K_t ≤ 1.27 gives r_min = 8.5 mm. Too small a radius raises the stress above the allowable.
Power-axel: P=125 kW @ n=450 rpm ⟹ M = P·9550/n ≈ 2653 Nm. Stegad axel D=85 → d=70 mm (per figur). Sätt τ_max = K_t·16M/(πd³) ≤ 50 MPa, lös r_min. RÖD koncentrations­zon vid kälradien.Power shaft: P=125 kW @ n=450 rpm ⟹ M ≈ 2653 Nm. Stepped shaft D=85 → d=70 mm (per figure). Set τ_max = K_t·16M/(πd³) ≤ 50 MPa, solve r_min. RED concentration zone at the fillet.
2. Givet — effekt, varvtal och tillåten skjuvspänningGiven — power, rpm, and allowable shear stress

Givet: axeln överför P = 125 kW vid n = 450 rpm. Tillåten skjuvspänning τ_till = 50 MPa. Given: the shaft transmits P = 125 kW at n = 450 rpm. Allowable shear stress τ_allow = 50 MPa.

$$ P = 125\;\text{kW},\quad n = 450\;\text{rpm},\quad \tau _{till} = 50\;\text{MPa} $$
3. Belastning och givna värdenLoads and given values

Sökt: minsta tillåtna radie för övergången, baserat på K_t. Från figuren: D = 85 mm, d = 70 mm. Sought: minimum fillet radius for the transition, governed by K_t. From the figure: D = 85 mm, d = 70 mm.

$$ \textcolor{#888}{\text{Axeldiametrar}}\;D = 85\;\text{mm},\quad d = 70\;\text{mm} $$
4. Vridmoment ur effekt och varvtalTorque from power and rpm

Vridmoment ur effekt och varvtal med M = P·9550/n (KB s.27, effektöverföring). Compute the torque from power and rpm via M = P·9550/n (KB p.27, power transmission).

$$ M = P\cdot 9550/n = 125\cdot 9550/450 \approx 2653\;\text{Nm} $$
5. Spänningar — sätt upp τ_max = τ_till och lös K_tStresses — set τ_max = τ_till and solve for K_t

Sätt τ_max = τ_till och uttryck nominell skjuvspänning i smala sektionen (d = 70 mm). Lös för det K_t-värde som är högst tillåtet. Set τ_max = τ_till and write τ_nom in the narrow section (d = 70 mm). Solve for the largest K_t that the design can tolerate.

$$ \tau _{max} = K_t\cdot \tau _{nom},\quad \tau _{nom} = 16\,M/(\pi \,d^{3}) $$
$$ \tau _{nom} = 16\cdot 2653\cdot 10^{3}/(\pi \cdot 70^{3}) \approx 39{,}4\;\text{MPa} $$
$$ K_t \le \tau _{till}/\tau _{nom} = 50/39{,}4 \approx 1{,}27 $$
6. Slå upp r/d ur KB-diagrammetRead r/d from the KB chart

Slå upp r/d som motsvarar K_t = 1,27 längs kurvan D/d = 85/70 ≈ 1,2 i KB s.36 'rundstång med ansats och rundkål' (vridning). Read off r/d for K_t = 1.27 along the D/d = 85/70 ≈ 1.2 curve in KB p.36 'round bar with shoulder and fillet' (torsion).

$$ D/d = 85/70 \approx 1{,}2 $$
$$ K_t = 1{,}27 \;\Rightarrow\; r/d \approx 0{,}12 $$
$$ r_{min} = 0{,}12\cdot 70 \approx 8{,}4\;\text{mm} \approx 8{,}5\;\text{mm} $$
7. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: r_min [mm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{r_{min} = 8.5\;\text{mm}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
M9-04_radius_design_lever
Större övergångsradie r minskar K_t dramatiskt — det är den BILLIGASTE designhävstången för att sänka spänningskoncentrationen utan att öka material. A larger fillet radius r reduces K_t dramatically — it is the CHEAPEST design lever for lowering the stress concentration without adding material.
M9-05_tau_b_from_R_m
För skjuvning: τ_b ≈ 0,6·R_m för konstruktionsstål. R_m gäller dragbrott, inte direkt skjuvning. For shear: τ_u ≈ 0.6·R_m for structural steel. R_m refers to tensile failure, not directly to shear.
9.5 grund

Plattjärnet med kälradie belastas med momentet M = 1,2 kNm. Bestäm maxspänningen.

The plate iron with a fillet radius is loaded by the moment M = 1.2 kNm. Determine the maximum stress.

VerklighetsanknytningReal-world context Böjda profiler med kälradie — t.ex. utstickande tappar på maskinhuvar — bär böjmoment som ger spänningskoncentrationer vid radien. Standard design­procedur är samma som 9.1 men för böjning istället för axial. Stepped profiles with fillets — e.g. protruding pins on machine housings — carry bending moments that produce stress concentrations at the fillet. The standard design procedure is the same as 9.1, but for bending instead of axial loading.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: maxspänningen.You're asked to determine: the maximum stress.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Inre krafter och momentInternal forces and moments
  6. SpänningarStresses
  7. Slå upp K_t på KB s.36Read K_t from KB p.36
  8. SpänningarStresses
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Böjning + kälradie: σ_nom = M/W i nettosektionen. K_t från KB s.36 (böjningsdiagram för stegad plattstång). Böjning + kälradie: σ_nom = M/W i nettosektionen. K_t från KB s.36 (böjningsdiagram för stegad plattstång).
2. σ_max = K_t · σ_nom = K_t · M·6/(b·h²) för rektangulär nettoprofil. σ_max = K_t · σ_nom = K_t · M·6/(b·h²) för rektangulär nettoprofil.
3. M = 1,2 kNm. Sätt in geometri i σ_nom, slå upp K_t från B/b och r/b, multiplicera. M = 1,2 kNm. Sätt in geometri i σ_nom, slå upp K_t från B/b och r/b, multiplicera.
≈ 10 min≈ 10 min · böjning kälradie
Figure 9.5
Fig. 9.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

M = 1,2 kNm. Sätt in geometri i σ_nom, slå upp K_t från B/b och r/b, multiplicera.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in. Identify given quantities and the relevant formulas. Symbolic expressions for cross-section properties and stress are shown below; the next step substitutes numerical values.

Vid böjning ger kälen en maxspänning som är... In bending the fillet gives a maximum stress that is...
50%
σ_max = K_t·σ_nom = 1,92·75 = 144 MPa. σ_max = K_t·σ_nom = 1.92·75 = 144 MPa.
Plattjärn fastinspänd i vägg, med U-format urtag/kälradie under böjmoment M = 1,2 kNm. Bredd 130 → 80 mm vid urtaget, r=6. σ_max = K_t · σ_nom där σ_nom = 6M/(h·t²). K_t ≈ 1,92 från KB s.36. RÖD koncentrations­zon vid urtagets botten.Cantilevered flat bar with U-notch / fillet under bending M = 1.2 kNm. Width 130 → 80 mm at notch, r=6. σ_max = K_t · σ_nom where σ_nom = 6M/(h·t²). K_t ≈ 1.92 from KB p.36. RED concentration zone at the notch root.
2. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Givet: plattjärn med kälradie under böjning. Plåttjocklek t = 15 mm; minsta bredd b = 80 mm. Given: stepped flat bar with fillet under bending. Plate thickness t = 15 mm; narrow width b = 80 mm.

$$ \textcolor{#888}{\text{Böjmoment}}\;M = 1{,}2\;\text{kNm} $$
3. SpänningarStresses

Nominell böjspänning utan koncentration. Compute σ_nom. Step 2: Geometriska kvoter.

$$ \sigma _{nom} = \dfrac{6M}{t\cdot b^{2}} = \dfrac{6\cdot 1200\cdot 10^{3}}{15\cdot 80^{2}} = \dfrac{7{,}2\cdot 10^{6}}{96\,000} = 75\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(t = 15 mm plåt­tjocklek, b = 80 mm minsta bredd)}} $$
4. Slå upp K_t på KB s.36Read K_t from KB p.36

Geometriska kvoter och K_t-uppslag på KB s.36 (böjning av plattstång med kälradie). Geometric ratios and K_t lookup from KB p.36 (bending of stepped flat bar with fillet).

$$ B/b = 130/80 \approx 1{,}625 $$
$$ r/b = 6/80 = 0{,}075 $$
$$ K_t \approx 1{,}92 $$
5. SpänningarStresses

Tillämpa K_t på nominell spänning. Step 4.

$$ \sigma _{max} = K_t \cdot \sigma _{nom} = 1{,}92 \cdot 75 \approx 144\;\text{MPa} $$
6. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: σ_max [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\sigma_{max} = 144\;\text{MPa}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_forgot_kt
Du rapporterar σ_nom istället för σ_max. K_t MULTIPLICERAR σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t kan vara 1,5-3 i typiska problem. You're reporting σ_nom instead of σ_max. K_t MULTIPLIES σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t can be 1.5–3 in typical problems.
M9-02_used_brutto_area
σ_nom ska beräknas i den NETTOSEKTION som K_t-tabellen definierar — den smala (reducerade) sektionen, INTE den breda. σ_nom must be computed at the NET SECTION as defined by the K_t table — the narrow (reduced) section, NOT the wide one.
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
9.6 grund

Tillåten spänningen i plåten är σtill = 90 MPa. Bestäm det maximalt tillåtna momentet M.

The allowable stress in the plate is σ_allow = 90 MPa. Determine the maximum allowable moment M.

VerklighetsanknytningReal-world context Bultade förband i takstommar har plåtar med hål under kombinerade laster — denna typ av check är obligatorisk i stål­byggnadsnormer. Bolted connections in roof trusses have plates with holes under combined loading — this type of check is mandatory in steel construction codes.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: det maximalt tillåtna momentet M.You're asked to determine: the maximum allowable moment M.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givet — tillåten böjspänningGiven — allowable bending stress
  6. Slå upp K_t på KB s.36Read K_t from KB p.36
  7. Sätt σ_max = σ_tillSet σ_max = σ_allow
  8. Lös för M_tillSolve for M_allow
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Plåt med hål under böjning. σ_max = K_t · σ_nom där σ_nom = M·6/((b−d)·t²) för nettosektionen vid hålet. Plåt med hål under böjning. σ_max = K_t · σ_nom där σ_nom = M·6/((b−d)·t²) för nettosektionen vid hålet.
2. Sätt σ_max = σ_till = 90 MPa. Lös för M: M_max = σ_till · (b−d)·t² / (6·K_t). Sätt σ_max = σ_till = 90 MPa. Lös för M: M_max = σ_till · (b−d)·t² / (6·K_t).
3. K_t från KB-diagram för plate-with-hole-in-bending. Typiska värden 1,5-3 beroende på d/b-ratio. K_t från KB-diagram för plate-with-hole-in-bending. Typiska värden 1,5-3 beroende på d/b-ratio.
≈ 10 min≈ 10 min · hål-i-plåt böjning M_max
Figure 9.6
Fig. 9.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

K_t från KB-diagram för plate-with-hole-in-bending. Typiska värden 1,5-3 beroende på d/b-ratio.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in. Identify given quantities and the relevant formulas. Symbolic expressions for cross-section properties and stress are shown below; the next step substitutes numerical values.

Det tillåtna momentet fås genom att... The allowable moment is found by...
50%
σ_till = K_t·σ_nom ⇒ M_till = 228 Nm. Att hoppa över K_t överskattar bärförmågan. σ_till = K_t·σ_nom ⇒ M_allow = 228 Nm. Skipping K_t overestimates the capacity.
Plåt med symmetriska U-urtag (100 → 50 mm vid urtaget, r=6) under böjmoment M från toppen, fixerad i botten. Sätt σ_max = K_t · 6·M/(b·h²) = σ_till = 90 MPa och lös M_max. K_t ≈ 1,97.Plate with symmetric U-notches (100 → 50 mm at notch, r=6) under bending M at top, fixed at bottom. Set σ_max = K_t · 6·M/(b·h²) = σ_allow = 90 MPa, solve M_max. K_t ≈ 1.97.
2. Givet — tillåten böjspänningGiven — allowable bending stress

Givet: plattstång med dubbla urtag under böjning. Tillåten böjspänning σ_till = 90 MPa. Sökt: största tillåtna M. Given: flat bar with symmetric notches under bending. Allowable bending stress σ_allow = 90 MPa. Find the largest allowable moment M.

$$ \textcolor{#888}{\text{Tillåten böjspänning}}\;\sigma _{till} = 90\;\text{MPa} $$
3. Slå upp K_t på KB s.36Read K_t from KB p.36

Geometriska kvoter och K_t-uppslag på KB s.36 (böjning av plattstång med urtag). Geometric ratios and K_t lookup on KB p.36 (bending of a flat bar with notches).

$$ B/b = 100/50 = 2 $$
$$ r/b = 6/50 = 0{,}12 $$
$$ K_t \approx 1{,}97 $$
4. Sätt σ_max = σ_tillSet σ_max = σ_allow

Tillåten konstruktion: maximala böjspänningen får högst nå σ_till. σ_nom beräknas i smala sektionen. Design condition: the peak bending stress is limited to σ_allow. σ_nom is evaluated in the narrow section.

$$ \sigma _{max} = K_t \cdot \dfrac{6M}{t\cdot b^{2}} = \sigma _{till}\;\;\textcolor{#888}{\text{(t = 12 mm plåttjocklek, b = 50 mm minsta bredd)}} $$
5. Lös för M_tillSolve for M_allow

Lös för det maximala tillåtna momentet. Solve for the maximum allowable moment.

$$ M_{till} = \dfrac{\sigma _{till}\cdot t\cdot b^{2}}{6\,K_t} = \dfrac{90\cdot 12\cdot 50^{2}}{6\cdot 1{,}97} = \dfrac{2{,}7\cdot 10^{6}}{11{,}82} \approx 228\,426\;\text{Nmm} \approx 228\;\text{Nm} $$
6. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: M_till [Nm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{M_{till} = 228\;\text{Nm}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_forgot_kt
Du rapporterar σ_nom istället för σ_max. K_t MULTIPLICERAR σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t kan vara 1,5-3 i typiska problem. You're reporting σ_nom instead of σ_max. K_t MULTIPLIES σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t can be 1.5–3 in typical problems.
M9-02_used_brutto_area
σ_nom ska beräknas i den NETTOSEKTION som K_t-tabellen definierar — den smala (reducerade) sektionen, INTE den breda. σ_nom must be computed at the NET SECTION as defined by the K_t table — the narrow (reduced) section, NOT the wide one.
9.7 grund star★ harder

En IPE-balk belastas av momentet, M = 12kNm. För att montera något i balken borras ett litet hål i flänsen med diametern, d = 8 mm. Om man endast ser till hålet kommer detta ge spänningskoncentrationer även om inget monteras i hålet och belastat balken ytterligare. Bestäm maxspänningen vid hålet då detta endast belastas av momentet, M. Detta är en uppgift som bygger på antaganden och resonemang.

Level: ★★. An IPE beam is loaded by the moment M = 12 kNm. To mount something on the beam, a small hole is drilled in the flange with diameter d = 8 mm. Determine the maximum stress.

VerklighetsanknytningReal-world context Standardpraxis: borrning av bulthål i stålbalkar minskar effektiv area + skapar lokal spänningskoncentration K_t ≈ 3. Konstruktör måste verifiera σ_max·n ≤ σ_y. Detta är skälet till att hål placeras nära neutralaxeln när möjligt (där σ är liten). Standard practice: drilling bolt holes in steel beams reduces the effective area and creates a local stress concentration K_t ≈ 3. The designer must verify σ_max·n ≤ σ_y. This is the reason holes are placed near the neutral axis whenever possible (where σ is small).
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: maxspänningen vid hålet då detta endast belastas av momentet, M.You're asked to determine: the maximum stress.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Spänningskoncentrationsfaktor K_t från KB-diagramStress-concentration factor K_t from KB charts
  • σ_nom på den REDUCERADE (nettoarea-) sektionenσ_nom on the REDUCED (net-area) section
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Hitta nominell spänning σ_nom på den smala (netto) sektionen.Compute σ_nom on the narrow (net) section.
  2. Avläs K_t från rätt diagram (rätt geometriförhållande).Look up K_t from the correct chart (right geometry ratio).
  3. σ_max = K_t · σ_nom; jämför med σ_till.σ_max = K_t · σ_nom; compare against σ_allow.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givet — IPE-balk under böjmomentGiven — IPE beam under bending moment
  6. Slå upp W_x för IPE 180Look up W_x for IPE 180
  7. Nominell böjspänningNominal bending stress
  8. Slå upp K_tLook up K_t
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Litet hål i flänsen → lokal spänningskoncentration vid hålkanten. K_t ≈ 3 för litet cirkulärt hål i obegränsad platta. Litet hål i flänsen → lokal spänningskoncentration vid hålkanten. K_t ≈ 3 för litet cirkulärt hål i obegränsad platta.
2. σ_nom från balkens vanliga böjning vid flänsens position. σ_max = K_t · σ_nom vid hålkanten. σ_nom från balkens vanliga böjning vid flänsens position. σ_max = K_t · σ_nom vid hålkanten.
3. M = 12 kNm. σ_nom från IPE-tabellen + y_flänskant. K_t · σ_nom = lokal max-spänning. Kontrollera mot σ_y. M = 12 kNm. σ_nom från IPE-tabellen + y_flänskant. K_t · σ_nom = lokal max-spänning. Kontrollera mot σ_y.
≈ 15 min≈ 15 min · IPE litet-hål Kt-≈-3
Figure 9.7
Fig. 9.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

M = 12 kNm. σ_nom från IPE-tabellen + y_flänskant. K_t · σ_nom = lokal max-spänning. Kontrollera mot σ_y.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in. Identify given quantities and the relevant formulas. Symbolic expressions for cross-section properties and stress are shown below; the next step substitutes numerical values.

Ett litet hål i flänsen ger en spänningskoncentration som... A small hole in the flange gives a stress concentration that...
50%
σ_max = K_t·σ_nom = 2,9·82,2 = 238 MPa — långt över den nominella spänningen, även för ett litet hål. σ_max = K_t·σ_nom = 2.9·82.2 = 238 MPa — far above the nominal stress, even for a small hole.
IPE 180 under böjning M = 12 kNm. Litet bulthål d=8 i flänsen ⟹ K_t ≈ 2,9 lokal koncentration ⟹ σ_max ≈ 238 MPa vid hålkanten.IPE 180 under bending M = 12 kNm. Small bolt hole d=8 in the flange ⟹ K_t ≈ 2.9 local concentration ⟹ σ_max ≈ 238 MPa at hole edge.
2. Givet — IPE-balk under böjmomentGiven — IPE beam under bending moment

Givet: IPE 180 belastad med böjmoment M = 12 kNm. Litet hål d = 8 mm borrat i flänsen. Given: IPE 180 loaded by bending moment M = 12 kNm. A small hole d = 8 mm is drilled in the flange.

$$ \textcolor{#888}{\text{IPE-balk under}}\;M = 12\;\text{kNm},\quad d = 8\;\text{mm i flänsen} $$
3. Slå upp W_x för IPE 180Look up W_x for IPE 180

Profilen är IPE 180. Slå upp böjmotståndet W_x i KB-tabellen (s.39). The profile is IPE 180. Read W_x from the KB profile table (p.39).

$$ W_x = 146\;\text{cm}^{3} = 146\cdot 10^{3}\;\text{mm}^{3} $$
4. Nominell böjspänningNominal bending stress

Antar att spänningen är konstant över flänsen ⇒ σ_nom = M/W_x i flänskanten. Assume the stress is constant across the flange ⇒ σ_nom = M/W_x at the flange edge.

$$ \sigma _{nom} = M/W_x = 12\cdot 10^{6}/(146\cdot 10^{3}) \approx 82{,}2\;\text{MPa} $$
5. Slå upp K_tLook up K_t

Hålet i flänsen orsakar lokal spänningskoncentration. KB s.36 'plattstång med hål' under böjning — på säkra sidan väljs K_t ≈ 2,9. The hole in the flange causes a local stress concentration. KB p.36 'flat bar with hole' under bending — on the safe side, choose K_t ≈ 2.9.

$$ K_t \approx 2{,}9 \textcolor{#888}{\text{ (KB s.36, litet hål i platta under böjning; säkra sidan)}} $$
6. Maximal spänning vid håletMaximum stress at the hole

Tillämpa K_t. Notera: stor förstärkning från hålet — överväg större fläns eller annat hålläge. Apply K_t. Note: large amplification from the hole — consider a bigger flange or another hole location.

$$ \sigma _{max} = K_t \cdot \sigma _{nom} = 2{,}9 \cdot 82{,}2 \approx 238\;\text{MPa} $$
7. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: σ_max [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\sigma_{max} = 238\;\text{MPa}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.36 · Spänningskoncentrationer K_t-diagramStress-concentration K_t charts
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_forgot_kt
Du rapporterar σ_nom istället för σ_max. K_t MULTIPLICERAR σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t kan vara 1,5-3 i typiska problem. You're reporting σ_nom instead of σ_max. K_t MULTIPLIES σ_nom: σ_max = K_t · σ_nom. K_t can be 1.5–3 in typical problems.
M9-02_used_brutto_area
σ_nom ska beräknas i den NETTOSEKTION som K_t-tabellen definierar — den smala (reducerade) sektionen, INTE den breda. σ_nom must be computed at the NET SECTION as defined by the K_t table — the narrow (reduced) section, NOT the wide one.
M9-03_wrong_axis_ratio
På KB s.36-37 har du B/b på en axel och r/b på den andra. Det är LÄTT att förväxla dem. Verifiera vilken kurva (B/b) och rörelsen längs den (r/b). On KB p.36–37 you have B/b on one axis and r/b on the other. It is EASY to confuse them. Verify which curve (B/b) and the position along it (r/b).
KällaSource: Madeleine Hermann, EduME — Education and Mechanical Engineering — https://edume.nu.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Spänningskoncentrations­diagram på KB s.36-37.Stress-concentration charts on KB p.36-37.
Originalfigurer © EduME. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1565-teamet vid BTH. Original figures © EduME. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1565 review only.