⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version.⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚
Roliga fakta om inre krafter och momentFun facts about internal forces and moments2 stycken · klicka för att läsa
▶
🌡️
1714DanzigDanzig
Fahrenheits termometerFahrenheit's thermometer
Daniel Gabriel Fahrenheit byggde 1714 den första pålitliga kvicksilvertermometern. Innan dess var det omöjligt att kvantifiera temperaturen — och därmed omöjlig…Daniel Gabriel Fahrenheit built the first reliable mercury thermometer in 1714. Before that, you couldn't quantify temperature — and therefore couldn't predict …
Läs mer →Read more →
⚙️
1759LondonLondon
John Harrisons bimetallremsaJohn Harrison's bimetallic strip
Klockmakaren John Harrison använde 1759 en bimetallremsa (stål + mässing) i sin marinkronometer H4 för att kompensera för temperaturändringar — exakt samma prin…Watchmaker John Harrison used a bimetallic strip (steel + brass) in his H4 marine chronometer in 1759 to compensate for temperature changes — the exact same pri…
Läs mer →Read more →
·
3.1grundinteractive
I ledningar använder man ofta stålrör med beteckningarna DN. Om det flödar t.ex. varmt vatten i rören så expanderas dessa rör. Två meters röret nedan är fast inspänt i båda ändarna och utsätts för en temperaturhöjning på ΔT = 150°C. Bestäm spänningen och reaktionskrafterna vid A och B för rördimensionerna i tabellen. Reflektera över resultatet. (DN 50: d_y=60,3, t=2; DN 125: d_y=139,7, t=4; DN 300: d_y=324,0, t=4 mm).
Steel pipes (designated DN) carry hot fluids and expand when heated. The 2 m pipe below is rigidly fixed at both ends and undergoes ΔT = 150°C. Find the stress and reactions at A and B for each pipe size in the table. Reflect on the result. (DN 50: d_o=60.3, t=2; DN 125: d_o=139.7, t=4; DN 300: d_o=324.0, t=4 mm.)
VerklighetsanknytningReal-world contextDet är därför fjärrvärmerör har U-formade expansionsslingor eller bälgar — för att absorbera utvidgningen och slippa enorma krafter på rörens stöd.
💡 **Se även problem 2.1** — samma axiala stång — kapitel 3 lägger till termiska laster.This is why district-heating pipes have U-shaped expansion loops or bellows — to absorb expansion and avoid huge forces on the supports.
💡 **See also problem 2.1** — same axial bar — chapter 3 adds thermal loads.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: spänningen och reaktionskrafterna vid A och B för rördimensionerna i tabellen.You're asked to find: the stress and reactions at A and B for each pipe size in the table.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
Expansionsmekanism — vad vill röret göra?Expansion mechanism — what does the pipe want to do?
Teckenkonvention och koordinaterSign convention and coordinates
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Härled σ — arean försvinnerDerive σ — the area cancels
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Vad skulle hända med röret om det INTE var inspänt i höger ände? Hur mycket skulle det utvidgas?What would happen if the pipe were NOT fixed at the right end? How much would it expand?
2.Eftersom det är inspänt kan det inte utvidgas. Vilken kraft måste väggen utöva för att hålla röret kvar?Because it is fixed, it can't expand. What force must the wall exert to hold the pipe?
3.Använd kompatibilitet: δ_T + δ_F = 0. Då fås F = A·E·α·ΔT, och σ = E·α·ΔT.Use compatibility: δ_T + δ_F = 0. Then F = A·E·α·ΔT and σ = E·α·ΔT.
≈ 5 min≈ 5 min · fast-inspändtermisk-spänningrörDN-standard
Fig. 3.1 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Inspänt i båda ändar → kompatibilitet δ_T + δ_F = 0. Den ger σ = E·α·ΔT, oberoende av arean. Kraften F = σ·A skiljer däremot mellan rörstorlekarna.Fixed at both ends → compatibility δ_T + δ_F = 0. This yields σ = E·α·ΔT, independent of the area. The force F = σ·A differs between pipe sizes.
1. Expansionsmekanism — vad vill röret göra?Expansion mechanism — what does the pipe want to do?
Konceptuell figur (inga ekvationer): överst ett FRITT rör som vid uppvärmning skulle förlängas δ_T = α·L·ΔT (visat med ljusbrun ghost). Nederst det FAST INSPÄNDA röret som inte kan förlängas — och därför istället bygger upp en intern tryckspänning σ. Detta är 'release-and-restrain'-tankeexperimentet som alla termiska problem bygger på.Conceptual figure (no equations): top — a FREE pipe that on heating would lengthen by δ_T = α·L·ΔT (shown as a copper ghost). Bottom — the FIXED pipe that cannot lengthen and instead develops an internal compressive stress σ. This is the 'release-and-restrain' thought experiment behind every thermal problem.
Vilket rör (DN50, DN125 eller DN300) får störst termisk spänning?Which pipe (DN50, DN125 or DN300) gets the largest thermal stress?
50%
Termisk spänning σ = E·α·ΔT = 378 MPa är oberoende av area — alla rör samma. Bara KRAFTEN F = σ·A skiljer (DN300 störst).Thermal stress σ = E·α·ΔT = 378 MPa is independent of area — all pipes the same. Only the FORCE F = σ·A differs (DN300 largest).
2. Teckenkonvention och koordinaterSign convention and coordinates
I detta kapitel: σ < 0 = tryck (kompression), σ > 0 = drag. Vid uppvärmning av inspänt rör blir σ NEGATIV (rörets väggar trycker tillbaka). Koordinater: x längs röraxeln, positiv åt höger.In this chapter: σ < 0 = compression, σ > 0 = tension. Heating a fixed pipe produces NEGATIVE σ (the walls push back). Coordinates: x along the pipe axis, positive to the right.
Teckenkonvention för axiell σ.Sign convention for axial σ.
3. Sätt upp lösningenSet up the solution
Röret är inspänt i båda ändar. Den fria värmeutvidgningen δ_T förhindras av väggarna, som istället ger upphov till en reaktionskraft F som trycker tillbaka röret. Använd kompatibiliteten δ_T + δ_F = 0.The pipe is fixed at both ends. The free thermal expansion δ_T is prevented by the walls, which instead develop a reaction force F that compresses the pipe back. Use the compatibility δ_T + δ_F = 0.
Rör fast inspänt vid A och B; ΔT = 150°C ger reaktionskraft F som trycker tillbaka röret.Pipe fixed at A and B; ΔT = 150°C develops a reaction force F that compresses the pipe.
$$ \delta_T = L\,\alpha\,\Delta T \;\;\textcolor{#888}{\text{(fri utvidgning)}} $$
$$ \delta_F = \dfrac{F\,L}{A\,E} \;\;\textcolor{#888}{\text{(elastisk ihoptryckning av F)}} $$
5. Härled σ — arean försvinnerDerive σ — the area cancels
Sätt δ_T + δ_F = 0 och lös för F. Sedan σ = F/A — arean försvinner och spänningen blir oberoende av rörstorlek.Set δ_T + δ_F = 0 and solve for F. Then σ = F/A — the area cancels and the stress is independent of pipe size.
$$ L\,\alpha\,\Delta T - \dfrac{F\,L}{A\,E} = 0 $$
$$ \Rightarrow F = A\,E\,\alpha\,\Delta T $$
$$ \Rightarrow \sigma = \dfrac{F}{A} = E\,\alpha\,\Delta T \;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck, samma för alla rörstorlekar)}} $$
6. Numerisk σNumerical σ
Sätt in värdena.Substitute the values.
$$ \sigma = E\,\alpha\,\Delta T = 210\cdot 10^{3}\;\text{MPa}\,\cdot\,12\cdot 10^{-6}\,\cdot\,150 $$
$$ \boxed{\sigma = 378\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}}\;\;\text{— gäller alla tre rörstorlekar}} $$
7. Tvärsnittsareor för de tre rörenCross-section areas for the three pipes
A = π·(d_y² − d_i²)/4 med d_i = d_y − 2t.A = π·(d_y² − d_i²)/4 with d_i = d_y − 2t.
9. Reflektion och slutsvarReflection and final answer
Spänningen är lika för samtliga dimensioner — den ges direkt av Hookes lag (E, α, ΔT) och beror inte på arean. Kraften däremot växer med arean: ett grövre rör som hindras från att utvidgas måste hålla emot med en större kraft.The stress is the same for all dimensions — it follows directly from Hooke's law (E, α, ΔT) and does not depend on the area. The force, however, grows with the area: a thicker pipe that is prevented from expanding must resist with a larger force.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
guessed_DN300_higher_stress
En vanlig intuition är att grövre rör ger högre spänning. Men alla rör är fast inspända och utvidgas lika mycket relativt (samma ε). Spänningen σ = E·ε beror inte på arean.A common intuition is that thicker pipes give higher stress. But all pipes are fixed and expand the same relative amount (same ε). σ = E·ε does not depend on area.
forgot_to_subtract
Du har räknat ut δ_T, men inte använt att rörets totala längdändring är noll. Sätt upp δ_T + δ_F = 0.You computed δ_T but did not use the fact that the tube's total length change is zero. Set up δ_T + δ_F = 0.
wrong_alpha
Stål har α ≈ 12·10⁻⁶ /°C. Använd materialdata från Karl Björks formelsamling.Steel has α ≈ 12·10⁻⁶ /°C. Use the material data from Karl Björk's formula book.
Prova själv — DN-rör vid varierande temperaturTry it yourself — DN pipe under varying temperature
Spänningen är σ = −E·α·ΔT (oberoende av area!). Reaktionskraften F = σ·A_vägg skalar med ringarean. Notera hur F växer med både d_y och t medan σ inte gör det.Stress σ = −E·α·ΔT (independent of area!). Reaction F = σ·A_wall scales with the ring area. Note how F grows with both d_o and t while σ does not.
210000 MPa
12 10^{-6}/°C
150 °C
60.3 mm
2 mm
Röret är fast i båda ändar. Vid uppvärmning vill röret expandera men väggarna hindrar — resultatet är en tryckspänning.The pipe is fixed at both ends. When heated it wants to expand but the walls prevent it — the result is a compressive stress.
StorhetQuantity
VärdeValue
EnhetUnit
KommentarNote
—
MPa
—
mm²
—
kN
3.2grundinteractive
Kompositstången består av en kärna av stål som är fast sammanbunden med ett hölje av aluminium. Stången är spänningsfri vid T = 20°C. Temperaturen höjs med 180°C. a) Beräkna normalspänningarna i aluminiumhöljet och stålkärnan. b) Hur mycket förlängs stången? Aluminium: E_al = 70 GPa, α_al = 23,5·10⁻⁶ /°C; Stål: E_s = 210 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C. L = 300 mm, D = 60 mm, d = 30 mm.
A composite bar has a steel core bonded inside an aluminium sleeve. Stress-free at T = 20°C; ΔT = +180°C. a) Find the normal stresses in the sleeve and the core. b) Find the bar's elongation. Aluminium E_al = 70 GPa, α_al = 23.5·10⁻⁶ /°C; Steel E_s = 210 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C. L = 300 mm, D = 60 mm, d = 30 mm.
VerklighetsanknytningReal-world contextSamma princip som i bimetalltermometrar (problem 3.6) — bara att där utnyttjar man rörelsen istället för att kämpa mot spänningen.Same principle as bimetallic thermometers (problem 3.6) — except there one uses the motion instead of fighting the stress.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: normalspänningarna i aluminiumhöljet och stålkärnan.You're asked to find: the normal stresses in the sleeve and the core.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
Konceptuell figur — vad vill var och en göra?Conceptual figure — what does each want to do?
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värden och tvärsnittsareorGiven values and cross-section areas
Kompatibilitet ⇒ den styrande ekvationenCompatibility ⇒ the governing equation
Numeriskt NNumerical N
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Vad händer om kärnan och höljet skulle vara helt frikopplade? Hur mycket skulle var och en vilja utvidgas?What if the core and the sleeve were uncoupled? How much would each want to expand?
2.De är ihopkopplade ⟹ samma δ. Använd δ_al = δ_s där δ för varje material innehåller både termisk och mekanisk del.They are coupled ⟹ same δ. Use δ_al = δ_s with δ for each material including both thermal and mechanical parts.
≈ 12 min≈ 12 min · kompositkoncentriskkompatibilitetdrag-och-tryck
Fig. 3.2 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
α_al > α_s ⇒ alu vill bli längre, stål håller emot. Kompatibilitet δ_s = δ_al + kraftjämvikt N_s = N_al ger ekvationssystem för den inre kraften N. Sedan σ = N/A i vardera material, och δ från någondera materialets formel.α_al > α_s ⇒ alu wants to be longer, steel holds it back. Compatibility δ_s = δ_al + force equilibrium N_s = N_al gives a system for the internal force N. Then σ = N/A in each material, and δ from either side's formula.
1. Konceptuell figur — vad vill var och en göra?Conceptual figure — what does each want to do?
Tankeexperiment: separera de två materialen mentalt och låt dem expandera fritt. Aluminium (α större) vill bli LÄNGRE än stål. Men de är fast sammanbundna — verkligheten ligger mittemellan, vilket trycker aluminium och drar stål.Thought experiment: mentally separate the two materials and let each expand freely. Aluminium (larger α) wants to be LONGER than steel. But they are bonded — the actual length lies between, compressing aluminium and stretching steel.
Aluminium har högre α än stål. När de sitter ihop och värms blir...Aluminium has a higher α than steel. Bonded together and heated, you get...
50%
Aluminium vill expandera mer men hålls tillbaka av stålet → Al tryck (−72 MPa), stål drag (+217 MPa). Inre kraften är lika stor och motriktad.Aluminium wants to expand more but is held back by the steel → Al compression (−72 MPa), steel tension (+217 MPa). The internal force is equal and opposite.
Release-and-restrain: fri expansion av stål (kort, mörk) vs aluminium (lång, ljus); verklig sluten längd ligger mittemellan.Release-and-restrain: free expansion of steel (short, dark) vs aluminium (long, light); the bonded final length lies between.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Aluminium har högre värmeutvidgningskoefficient (α_al > α_s), så aluminiumet 'vill' bli längre än stålkärnan vid uppvärmning. Eftersom de är ihopkopplade tvingas de få samma slutlängd — det skapar drag i stålkärnan och tryck i aluminiumhöljet. Internt jämviktsläge ger N_s = N_al (kraftjämvikt vid ändplattan).Aluminum has a higher thermal-expansion coefficient (α_al > α_s), so it wants to grow longer than the steel core under heating. Because they are joined, they must end up at the same length — producing tension in the steel core and compression in the aluminum shell. Internal equilibrium at the end-plate gives N_s = N_al.
$$ \textcolor{#888}{\text{Jämvikt vid ändplatta:}}\;\;N_s = N_{al} \equiv N $$
3. Givna värden och tvärsnittsareorGiven values and cross-section areas
Geometri och materialdata. Stålkärnan har diameter d = 30 mm; aluminiumhöljet har ytterdiameter D = 60 mm.Geometry and material data. Steel core d = 30 mm; aluminum shell outer D = 60 mm.
Tvärsnitt: stålkärnan d = 30 mm inuti aluminiumhöljet D = 60 mm.Cross-section: steel core d = 30 mm inside aluminum shell D = 60 mm.
$$ L = 300\;\text{mm},\;\;\Delta T = 180^{\circ}\text{C} $$
4. Kompatibilitet ⇒ den styrande ekvationenCompatibility ⇒ the governing equation
Båda materialen måste sluta vid samma längd. Sätt δ_s = δ_{al} och eliminera L (den försvinner). Med N_s = N_{al} = N (drag i stål, tryck i alu) faller ekvationen ut till en linjär ekvation i N.Both materials must end at the same length. Set δ_s = δ_{al} — L drops out. With N_s = N_{al} = N (tension in steel, compression in aluminum), the equation reduces to a linear one in N.
$$ \alpha_s\,\Delta T + \dfrac{N}{A_s E_s} = \alpha_{al}\,\Delta T - \dfrac{N}{A_{al} E_{al}} $$
Sätt in värdena. Notera A_s·E_s ≈ A_{al}·E_{al} ≈ 148,5·10⁶ N — ett symmetriskt fall.Substitute the values. Note A_s·E_s ≈ A_{al}·E_{al} ≈ 148.5·10⁶ N — a symmetric case.
σ = N/A i vardera material. Stålet är i drag (positivt N), aluminiumet i tryck (negativt tecken).σ = N/A in each material. Steel is in tension (positive N), aluminum in compression (negative sign).
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
both_in_compression
Den som vill bli LÄNGRE (aluminium) blir tryckt av den som vill bli kortare (stål). Stål måste därför bli sträckt — DRAG i stål, TRYCK i aluminium.The one that wants to be LONGER (aluminium) is compressed by the one that wants to be shorter (steel). Steel must therefore be stretched — TENSION in steel, COMPRESSION in aluminium.
ignored_coupling
Du har räknat på dem separat. Men de är fast sammanbundna — slutlängden måste vara samma för båda. Det är detta som skapar de inre krafterna.You computed them separately. But they are rigidly joined — the final length must be the same for both. That is what creates the internal forces.
sign_error
α_al > α_s ⟹ Al vill bli längre ⟹ Al blir tryckt (negativ σ), stål blir draget (positiv σ). Krafterna är lika stora men motriktade.α_al > α_s ⟹ Al wants to be longer ⟹ Al ends up compressed (negative σ), steel ends up in tension (positive σ). The forces are equal in magnitude but opposite in direction.
forgot_compatibility
Kompatibilitetsekvationen: δ_al = δ_s. Skriv ut båda som δ = L·α·ΔT + N·L/(A·E) och sätt dem lika.Compatibility equation: δ_al = δ_s. Write both as δ = L·α·ΔT + N·L/(A·E) and set them equal.
Prova själv — kompositstång (aluminiumhölje + stålkärna)Try it yourself — composite bar (aluminium sleeve + steel core)
Aluminium expanderar mer (α större) men hindras av stålet ⇒ aluminium hamnar i tryck, stål i drag. Vid samma A_al ≈ A_s växer båda spänningarna linjärt med ΔT.Aluminium wants to expand more (larger α) but is restrained by steel ⇒ aluminium in compression, steel in tension. With A_al ≈ A_s, both stresses grow linearly with ΔT.
180 °C
70000 MPa
210000 MPa
23.5 10^{-6}/°C
12 10^{-6}/°C
1200 mm²
700 mm²
300 mm
Stål-kärna + aluminium-hölje sammanlimmade. Aluminium har högre α och vill växa mer; eftersom de är sammanbundna hamnar de vid en gemensam Δℓ — aluminium komprimeras, stål dras.Steel core bonded to aluminium sleeve. Aluminium has the larger α and wants to grow more; bonded together they end up at a common Δℓ — aluminium ends up compressed, steel in tension.
StorhetQuantity
VärdeValue
EnhetUnit
KommentarNote
—
MPa
—
MPa
—
mm
3.3grund
En stav är insatt med exakt passning mellan två väggar. AB är mässing, BC är stål. Stången är spänningsfri vid rumstemperatur. Temperaturen höjs med 50°C. a) Bestäm normalspänningarna i AB och BC. b) Förskjutningen av B. Mässing: E_m = 105 GPa, α_m = 19,6·10⁻⁶ /°C; Stål: E_s = 210 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C.
A bar fits exactly between two walls. AB is brass, BC is steel. Stress-free at room temperature; ΔT = +50°C. a) Find the normal stresses in AB and BC. b) Find the displacement of B. Brass: E_m = 105 GPa, α_m = 19.6·10⁻⁶ /°C; Steel: E_s = 210 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C.
VerklighetsanknytningReal-world contextPipelines i kärnkraftverk är ofta gjorda av sektioner med olika material för att tåla olika temperaturzoner — beräkningen är exakt denna typ av serie-kompatibilitet.Pipelines in nuclear power plants are often made of sections in different materials to handle different temperature zones — the calculation is exactly this kind of series compatibility.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: normalspänningarna i AB och BC.You're asked to find: the normal stresses in AB and BC.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Båda väggarna är fasta. Vad blir stångens totala längdändring?Båda väggarna är fasta. Vad blir stångens totala längdändring?
2.Stängerna är i serie ⟹ samma kraft F. Skriv ut δ_AB + δ_BC = 0 där varje δ innehåller termisk + mekanisk del.Stängerna är i serie ⟹ samma kraft F. Skriv ut δ_AB + δ_BC = 0 där varje δ innehåller termisk + mekanisk del.
≈ 10 min≈ 10 min · serietvå-materialkompatibilitet
Fig. 3.3 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Båda väggar fasta ⇒ total δ = 0 från A till C. Värmen vill förlänga både mässingen och stålet; väggarna trycker tillbaka med en gemensam tryckkraft F. Lös ut F ur kompatibilitetsekvationen; sedan σ = −F/A i vardera material, och δ_B = netto-förlängningen av AB.Both walls fixed ⇒ total δ = 0 from A to C. Heating wants to lengthen both the brass and the steel; the walls push back with a single compressive force F. Solve F from the compatibility equation; then σ = −F/A in each material, and δ_B = net elongation of AB.
1. Konceptuell figur — fri vs spärradConceptual figure — free vs constrained
Tankeexperiment: släpp loss höger vägg ⇒ båda stängerna kan expandera fritt och B vandrar åt höger med δ_T_fri. Sätt sedan tillbaka väggen ⇒ den trycker tillbaka systemet med samma F i serie. Eftersom areorna skiljer sig blir spänningen olika i mässing och stål.Thought experiment: release the right wall ⇒ both bars expand freely and B moves right by δ_T_free. Replace the wall ⇒ it pushes back with the same F through both bars in series. Since the areas differ, the stress differs between brass and steel.
Staven (AB mässing, BC stål) sitter fast mellan två väggar. Den inre kraften är...The bar (AB brass, BC steel) is fixed between two walls. The internal force is...
50%
En enda axiell tryckkraft går genom hela staven → F lika i AB och BC. Spänningarna skiljer pga olika area: σ_AB = −72, σ_BC = −200 MPa.A single axial compressive force runs through the whole bar → F equal in AB and BC. The stresses differ because of different areas: σ_AB = −72, σ_BC = −200 MPa.
Steg 1: släpp väggen → fri expansion. Steg 2: sätt tillbaka → tryckkraft F.Step 1: release wall → free expansion. Step 2: restore → compressive force F.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Båda väggarna är fasta → total längdändring från A till C måste vara noll. Värmen vill förlänga båda stänger; väggarna trycker tillbaka med en gemensam axiell kraft F (tryck) som är samma genom hela stången (kraftjämvikt vid B).Both walls are fixed → total elongation from A to C must be zero. Heating wants to lengthen both bars; the walls push back with a single axial force F (compression), the same through the entire bar (force equilibrium at B).
Mässingsstången AB (grövre, D=50) sammankopplad med stålstången BC (smalare, D=30). Båda inspända mellan fasta väggar; ΔT = 50°C ger tryckspänningar.Brass bar AB (thicker, D=50) joined to steel bar BC (thinner, D=30). Both fixed between rigid walls; ΔT = 50°C develops compressive stresses.
Geometri och materialdata. Mässingsstången AB är grövre (D_m = 50 mm), stålstången BC är smalare (D_s = 30 mm).Geometry and material data. The brass bar AB is thicker (D_m = 50 mm); the steel bar BC is thinner (D_s = 30 mm).
Skriv ut kompatibilitetsekvationen och samla F-termerna. Den totala fria utvidgningen måste tryckas tillbaka exakt av F.Write the compatibility equation and collect the F-terms. The total free expansion must be exactly compressed back by F.
$$ F = \dfrac{0{,}444}{3{,}139\cdot 10^{-6}} \approx 141\,442\;\text{N} \approx 141\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
6. SpänningarStresses
Samma F genom båda sektionerna; spänningarna skiljer eftersom areorna skiljer.Same F through both sections; the stresses differ because the areas differ.
$$ \textcolor{#888}{\text{Stål-sektionen är dimensionerande — smalare area ger högre spänning.}} $$
7. Förskjutning av BDisplacement of B
B ligger vid övergången mässing→stål. Räkna δ_B från mässingsidan (netto-förlängning av AB) — det ger samma magnitud som från stålsidan, fast med motsatt tecken.B is at the brass-to-steel joint. Compute δ_B from the brass side (net elongation of AB) — same magnitude as from the steel side, opposite sign convention.
$$ \delta_m = \alpha_m\,L_m\,\Delta T - \dfrac{F\,L_m}{A_m E_m} $$
Båda sektionerna ligger i tryck (väggarna trycker tillbaka). Stål-sektionen, med den minsta arean, bär den högsta spänningen.Both sections are in compression (the walls push back). The steel section, with the smallest area, carries the highest stress.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
treated_F_as_different_in_segments
Stängerna är i serie — samma kraft F genom båda. Bara areorna och materialen skiljer sig ⟹ olika spänning.The bars are in series — the same force F through both. Only the areas and materials differ ⟹ different stresses.
wrong_sign_force_term
Termisk del positiv (utvidgning), mekanisk del negativ (tryck från väggen). δ_T − δ_F = 0.Thermal part positive (expansion), mechanical part negative (compression from the wall). δ_T − δ_F = 0.
3.4grund
En ledning måste dras kortaste vägen från en anslutning i väggen till pumpen som är fast monterad i golvet. För att minska krafterna på pumpen monterar man en flexibel metallbälg. Bestäm max fjäderkonstant hos metallbälgen om kraften på pumpen inte får överskrida F_till,pump = 1200 N. DN 100 är ett stålrör med tvärsnittsarean A_DN100 = 1252 mm².
A pipe runs the shortest way from a wall connection to a pump on the floor. A flexible bellows reduces the load on the pump. Find the maximum bellows spring constant so the pump force does not exceed F_allow = 1200 N. DN 100 is a steel pipe with A = 1252 mm².
VerklighetsanknytningReal-world contextSök 'metal bellow expansion joint' — du hittar exakta produkterna som används i alla kemiska industrianläggningar för att skydda ömtåliga komponenter från termisk expansion.Search for 'metal bellow expansion joint' — you'll find the exact products used in every chemical plant to protect delicate components from thermal expansion.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: max fjäderkonstant hos metallbälgen om kraften på pumpen inte får överskrida F_till,pump = 1200 N.You're asked to find: the maximum bellows spring constant so the pump force does not exceed F_allow = 1200 N.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Bälgen är en fjäder. När röret expanderar trycker det på bälgen, som i sin tur trycker på pumpen.Bälgen är en fjäder. När röret expanderar trycker det på bälgen, som i sin tur trycker på pumpen.
2.Tänk på det som två fjädrar i serie: bälgen (k) och röret (A·E/L). Förskjutningen δ_termal fördelas mellan dem.Tänk på det som två fjädrar i serie: bälgen (k) och röret (A·E/L). Förskjutningen δ_termal fördelas mellan dem.
3.Kraft på pump = kraft i bälg = k·δ_bälg. Lös ut k_max när F ≤ 1200 N och δ_termal = α·L·ΔT.Kraft på pump = kraft i bälg = k·δ_bälg. Lös ut k_max när F ≤ 1200 N och δ_termal = α·L·ΔT.
≈ 12 min≈ 12 min · bälgrörledningfjäder-i-serieverklighetsanknytning
Fig. 3.4 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Bälgen (fjäder k) i serie med röret. Termisk expansion δ_termal = α·L·ΔT. Kraftbalans: F = k·δ_bälg = (kraft i röret). Förskjutningen δ_bälg = δ_termal − δ_rör (komprimerat av reaktionen). Sätt F ≤ 1200 N och lös för k. ΔT antas från sammanhang.Bellows (spring k) in series with pipe. Thermal expansion δ_therm = α·L·ΔT. Force balance: F = k·δ_bellow = (pipe force). Displacement δ_bellow = δ_therm − δ_pipe (compressed by reaction). Set F ≤ 1200 N and solve for k.
1. Konceptmodell — två fjädrar i serieConcept model — two springs in series
Bälgen och röret är två fjädrar i serie mot pumpen. Rörets styvhet är k_rör = A·E/L (mycket stor); bälgens är k_bälg (liten). Mjuk fjäder + styv fjäder i serie ≈ mjuk fjäder dominerar — bälgen absorberar nästan hela termiska expansionen.The bellows and the pipe are two springs in series acting on the pump. Pipe stiffness k_pipe = A·E/L (very large); bellows stiffness k_bel (small). Soft + stiff in series ≈ soft dominates — the bellows absorbs almost the entire thermal expansion.
Bälgen och röret samverkar som...The bellows and the pipe act as...
50%
Serie ⇒ 1/k_tot = 1/k_bälg + 1/k_rör. En mjuk bälg sänker kraften på pumpen — max fjäderkonstant ≈ 278 N/mm.Series ⇒ 1/k_tot = 1/k_bellows + 1/k_pipe. A soft bellows lowers the force on the pump — max spring constant ≈ 278 N/mm.
Bälg (mjuk fjäder k) i serie med rör (styv fjäder A·E/L). Vägg ↔ rör ↔ bälg ↔ pump.Bellows (soft spring k) in series with pipe (stiff spring A·E/L). Wall ↔ pipe ↔ bellows ↔ pump.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler.Identify given quantities and the relevant formulas.
DN100-rör i serie med metallbälg (fjäder k). Termisk expansion uppdelas mellan rörtryck och bälghoptryckning. Pumpkraft F begränsas till F_till = 1200 N.DN100 pipe in series with a metal bellows (spring k). Thermal expansion splits between pipe stress and bellows compression. Pump force capped at F_allow = 1200 N.
Geometri, material och belastningstak. ΔT antas från sammanhanget (varm vätska i ledning).Geometry, material data, and the force cap. ΔT taken from context (hot fluid in the pipe).
$$ L = 3\,000\;\text{mm},\;\;\Delta T = 120^{\circ}\text{C} $$
Bälgen är mycket mjukare än röret (vi kontrollerar i steg 4). Då absorberar bälgen i princip hela δ_T, och pumpkraften blir F = k·δ_T.The bellows is much softer than the pipe (verified in step 4). The bellows then absorbs essentially all of δ_T, and the pump force is F = k·δ_T.
Sätt F = 1200 N och δ = δ_T = 4,32 mm.Set F = 1200 N and δ = δ_T = 4.32 mm.
$$ k = \dfrac{F}{\delta_T} = \dfrac{1\,200}{4{,}32} \approx 278\;\text{N/mm} $$
7. Steg 4 — kontroll: röret är styvt jämfört med bälgenStep 4 — check: pipe is stiff vs bellows
Rörets elastiska hoptryckning vid F = 1200 N är försumbar mot δ_T, så antagandet δ_bälg ≈ δ_T håller.The pipe's elastic compression at F = 1200 N is negligible compared with δ_T, so the assumption δ_bellow ≈ δ_T holds.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
ignored_bellows_softness
Bälgen är mjuk jämfört med röret. Den absorberar det mesta av utvidgningen — bara en liten del blir kvar som rörspänning.The bellows is soft compared with the tube. It absorbs most of the expansion — only a small fraction remains as tube stress.
wrong_series_compliance
Serie-fjädrar: 1/k_tot = 1/k_bälg + L/(A·E). Total δ = F/k_tot, inte F/k_bälg.Springs in series: 1/k_tot = 1/k_bellows + L/(A·E). Total δ = F/k_tot, not F/k_bellows.
3.5grund
En stålstång med diametern d = 6 mm och längden L = 1500 mm spänns in mellan två fjädrar. Fjädrarna har fjäderkonstanten k = 1500 N/mm. Vid temperaturen T₀ = 15°C monteras stången mellan fjädrarna som då trycks ihop S₀ = 4 mm per fjäder. Hur stor blir kraften i stången om temperaturen höjs till T = 200°C? Bestäm även normalspänningen σ i stången.
A steel rod (diameter d = 6 mm, length L = 1500 mm) is mounted between two springs (stiffness k = 1500 N/mm each). At mounting (T₀ = 15°C) each spring is pre-compressed by S₀ = 4 mm. Find the force in the rod when the temperature is raised to T = 200°C, and the corresponding normal stress σ.
VerklighetsanknytningReal-world contextFörspända bultar i förbränningsmotortoppar fungerar precis så här — förspänningen håller cylinderhuvudet på plats även när motorn värms upp och vill expandera.Pre-tensioned bolts in combustion-engine cylinder heads work exactly this way — the preload keeps the head in place even when the engine heats up and wants to expand.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: även normalspänningen σ i stången.You're asked to find: the force in the rod when the temperature is raised to T = 200°C, and the corresponding normal stress σ.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Vid 15°C finns redan en förkraft. När du värmer, vad lägger temperaturen till?Vid 15°C finns redan en förkraft. När du värmer, vad lägger temperaturen till?
2.Termisk expansion α·L·ΔT delas mellan stångens elastiska kompression och ytterligare fjäderkompression.Termisk expansion α·L·ΔT delas mellan stångens elastiska kompression och ytterligare fjäderkompression.
3.Sätt upp: α·L·ΔT = F·L/(A·E) + 2·(x − 4), där x är ny total fjäderkompression per fjäder och F = k·x.Sätt upp: α·L·ΔT = F·L/(A·E) + 2·(x − 4), där x är ny total fjäderkompression per fjäder och F = k·x.
≈ 15 min≈ 15 min · fjäder-förspändtermiskkompatibilitet
Fig. 3.5 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Initial förkraft F_0 = k·4 = 6000 N (tryck). Temperaturökning ΔT = 185°C ger ytterligare termisk expansion α·L·ΔT, vilket trycker fjädrarna ytterligare. Total fjäderkompression x: 2·k·x på var sida → kraft. Kompatibilitet: α·L·ΔT = δ_stång,elastisk + 2·(x − 4).Initial preload F_0 = k·4 = 6000 N (compressive). ΔT = 185°C adds α·L·ΔT of thermal expansion, further compressing the springs. Total compression x per spring: 2·k·x → force. Compatibility: α·L·ΔT = δ_bar,elastic + 2·(x − 4).
1. Två tillstånd — montering vs uppvärmdTwo states — mounted vs heated
Vid montering (T₀ = 15°C, överst) är varje fjäder förkompresserad S₀ = 4 mm ⇒ initial tryckkraft F₀ = k·S₀ = 6000 N i stången. Vid uppvärmning (T = 200°C, nederst) vill stången förlängas men hindras ⇒ fjädrarna trycks ihop ännu mer ⇒ F ökar.At mounting (T₀ = 15°C, top) each spring is pre-compressed S₀ = 4 mm ⇒ initial compressive F₀ = k·S₀ = 6000 N in the rod. On heating (T = 200°C, bottom) the rod wants to lengthen but is blocked ⇒ springs compress further ⇒ F increases.
Stången är förspänd mellan TVÅ fjädrar. Vid uppvärmning måste du...The rod is preloaded between TWO springs. On heating you must...
50%
Starta från förspänd kraft F₀ = 6000 N; de två fjädrarna och stången samverkar i serie. Slutkraften blir 7144 N → σ = 252,7 MPa.Start from the preload F₀ = 6000 N; the two springs and the rod act in series. The final force is 7144 N → σ = 252.7 MPa.
Överst: monteringstillstånd. Nederst: uppvärmt tillstånd; fjädrarna trycks ihop mer.Top: mounting state. Bottom: heated state; springs are further compressed.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Stången sitter inspänd mellan två fjädrar mot fasta väggar. Vid mountering är varje fjäder förkompresserad S₀ = 4 mm (vilket ger en initial tryckkraft F₀ = k·S₀ i stången). När temperaturen höjs vill stången expandera men hindras av fjädrarna → tryckkraften ökar. Strategi: använd halv-symmetri (stångens mitt rör sig inte) och sätt upp kompatibilitetsekvationen för halva stången + en fjäder.The rod is mounted between two springs against fixed walls. At mounting each spring is pre-compressed by S₀ = 4 mm, putting the rod in an initial compression F₀ = k·S₀. When the temperature rises the rod wants to expand but is held back by the springs → compression increases. Strategy: use half-symmetry (the rod's centre does not move) and write a compatibility equation for half the rod + one spring.
Stålstång (d = 6 mm, L = 1500 mm) inspänd mellan två fjädrar (k = 1500 N/mm) mot fasta väggar. Vid montering (T₀ = 15°C) är varje fjäder förkomprimerad S₀ = 4 mm ⇒ F₀ = k·S₀ = 6000 N (tryck). Uppvärmning till T = 200°C ger ΔT = 185°C och ökar tryckkraften.Steel rod (d = 6 mm, L = 1500 mm) mounted between two springs (k = 1500 N/mm) against fixed walls. At mounting (T₀ = 15°C) each spring is pre-compressed S₀ = 4 mm ⇒ F₀ = k·S₀ = 6000 N (compression). Heating to T = 200°C gives ΔT = 185°C and increases the compressive force.
$$ \text{Termisk fri utvidgning halva stången: }\;\;\delta_T = \alpha \cdot \tfrac{L}{2}\cdot \Delta T $$
$$ \text{Elastisk hoptryckning halva stången: }\;\;\dfrac{F\cdot (L/2)}{A\cdot E} $$
$$ \text{Fjäderns nya hoptryckning: }\;\;s = F/k $$
Vid montering är varje fjäder förkompresserad S₀. Eftersom fjädern är i serie med stången måste stången bära samma kraft F₀ = k·S₀ — initialt tryck i stången.At mounting each spring is pre-compressed by S₀. Since the spring is in series with the rod, the rod must carry the same force F₀ = k·S₀ — initial compression in the rod.
Om stången var fri (inga fjädrar) skulle den expandera δ_T_full = α·L·ΔT. Med halv-symmetri tittar vi bara på halva stången: δ_T = α·(L/2)·ΔT.If the rod were free (no springs) it would expand by δ_T_full = α·L·ΔT. With half-symmetry we look only at half the rod: δ_T = α·(L/2)·ΔT.
Sätt upp förskjutningsbudgeten för halva stången + en fjäder. Den termiska expansionen δ_T 'förbrukas' av (i) den elastiska hoptryckningen av halva stången under kraften F, och (ii) den ökade hoptryckningen av fjädern. OBS: vi subtraherar S₀ eftersom fjädern redan har en initial deformation.Write the displacement budget for half the rod + one spring. The thermal expansion δ_T is taken up by (i) the elastic compression of the half rod under force F, and (ii) the additional spring compression. Note: we subtract S₀ because the spring already has an initial deformation.
$$ \delta_T = \underbrace{\dfrac{F\cdot (L/2)}{A\cdot E}}_{\text{elastic, halva stången}} + \underbrace{\dfrac{F}{k}}_{\text{fjäderns nya hoptryckning}} - \underbrace{S_0}_{\text{init. hoptryckning}} $$
Två termer i nämnaren: stångens halv-elastiska kompliance och fjäderns kompliance. Summan ger systemets totala kompliance.Two terms in the denominator: half-rod elastic compliance and spring compliance. Their sum is the system's total compliance.
$$ F = \dfrac{5{,}665}{7{,}93\cdot 10^{-4}} \approx 7144\;\text{N} $$
10. Beräkna spänningen σCompute the stress σ
Normalspänningen i stången följer av σ = F/A. Stången är i tryck (uppvärmningen hindras av fjädrarna).Normal stress in the rod is σ = F/A. The rod is in compression (the heating is blocked by the springs).
11. Kontroll och slutsvarSanity check and final answer
Sanity-check: F (= 7144 N) är större än F₀ (= 6000 N), som förväntat eftersom uppvärmningen ökar trycket i stången. Fjäderns nya hoptryckning blir s = F/k = 4,76 mm; ökningen från S₀ = 4 mm är Δs = 0,76 mm, vilket är konsekvent med δ_T − F·(L/2)/(AE) = 1,665 − 0,902 ≈ 0,76 mm.Sanity check: F (= 7144 N) is greater than F₀ (= 6000 N), as expected since heating increases the compression. The new spring compression is s = F/k = 4.76 mm; the increase from S₀ = 4 mm is Δs = 0.76 mm, consistent with δ_T − F·(L/2)/(AE) = 1.665 − 0.902 ≈ 0.76 mm.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
forgot_preload
Stången är INTE spänningsfri vid 15°C — varje fjäder är förkomprimerad 4 mm, så F_0 = k·4 = 6000 N (tryck) redan från start.The bar is NOT stress-free at 15 °C — each spring is pre-compressed 4 mm, so F_0 = k·4 = 6000 N (compression) already at the start.
single_spring
Det är två fjädrar — en på varje sida. Båda komprimeras lika mycket vid uppvärmning, så 2·(x−4) på höger sida av kompatibilitetsekvationen.There are two springs — one on each side. Both compress equally on heating, so 2·(x−4) on the right side of the compatibility equation.
3.6grund
Genom att använda olika metaller kan man utnyttja deras längdutvidgningskoefficienter och bygga en temperaturgivare. AB är stål, DC är av aluminium och BE är en mycket lätt visare. Bestäm visarens lägesförändring E vid en temperaturhöjning på 40°C.
Different metals have different α — a temperature sensor uses this. AB is steel, DC is aluminium, BE is a light pointer. Find the displacement of point E for ΔT = 40°C.
VerklighetsanknytningReal-world contextKlassisk bimetalltermostat i kaffebryggare, strykjärn, gamla termostater i radiatorer — alla utnyttjar exakt denna princip. Modernare versioner använder digitala sensorer, men bimetallremsan finns kvar i många säkerhetsbrytare.Classic bimetallic thermostats in coffee makers, irons, and old radiator thermostats — all exploit exactly this principle. Newer versions use digital sensors, but the bimetallic strip still lives on in many safety cut-out switches.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: visarens lägesförändring E vid en temperaturhöjning på 40°C.You're asked to find: the displacement of point E for ΔT = 40°C.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
Hävarmsförstärkning — så driver bimetallen visarenLever amplification — how the bimetal drives the pointer
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Fri termisk expansion av varje stolpeFree thermal expansion of each post
Visarens rotation θPointer rotation θ
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Stål och aluminium expanderar olika mycket vid samma ΔT. Vilken får längst utvidgning?Stål och aluminium expanderar olika mycket vid samma ΔT. Vilken får längst utvidgning?
2.Den ena (aluminium) blir längre än den andra (stål). Skillnaden tvingar visaren BE att rotera kring sin lagerpunkt.Den ena (aluminium) blir längre än den andra (stål). Skillnaden tvingar visaren BE att rotera kring sin lagerpunkt.
3.Använd similar triangles: δ_E/L_BE = (δ_DC − δ_AB)/L_BD. Geometrin från figuren ger förstärkningsfaktorn.Använd similar triangles: δ_E/L_BE = (δ_DC − δ_AB)/L_BD. Geometrin från figuren ger förstärkningsfaktorn.
≈ 10 min≈ 10 min · bimetallfri-expansionindikator
Fig. 3.6 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Fri termisk expansion (ingen begränsning). δ_AB = α_s·L_AB·40, δ_DC = α_al·L_DC·40. Skillnaden tvingar visaren BE att rotera. Använd similarity ratios för att hitta E:s rörelse.Free thermal expansion (no constraint). δ_AB = α_s·L_AB·40, δ_DC = α_al·L_DC·40. The difference forces the pointer BE to rotate. Use similar triangles to find E's motion.
1. Hävarmsförstärkning — så driver bimetallen visarenLever amplification — how the bimetal drives the pointer
Aluminiumstolpen växer 16 µm MER än stålstolpen (en obetydlig rörelse i absoluta tal). Visaren BE pivoterar kring B. Hävarmsförhållandet L_BE / L_BD = 80/5 = 16× förstorar lyftet 16 µm → 0,26 mm vid E. Det är därför den lilla differensen blir avläsbar.The aluminium post grows 16 µm MORE than the steel post (a tiny absolute motion). The pointer BE pivots about B. The lever ratio L_BE / L_BD = 80/5 = 16× amplifies the 16 µm lift → 0.26 mm at E. That's how the tiny differential becomes readable.
Visarens utslag i temperaturgivaren bestäms av...The pointer deflection of the temperature gauge is set by...
50%
Stål och aluminium expanderar olika → en liten rotation som den långa visaren BE förstärker geometriskt → δ_E ≈ 0,274 mm.Steel and aluminium expand differently → a small rotation that the long pointer BE amplifies geometrically → δ_E ≈ 0.274 mm.
Hävarmsförstärkning 16×: liten differens vid C → stort utslag vid E.Lever amplification 16×: small differential at C → large swing at E.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler.Identify given quantities and the relevant formulas.
Två vertikala stolpar (AB stål, DC aluminium) inspända i golvet. Vertikal höjd 35 mm. Horisontell visare BE (75 mm lång) går från B (toppen av AB) ut till skala vid E. α_al > α_s ⇒ DC växer mer än AB ⇒ B sitter still, C lyfter ⇒ visaren BE roterar uppåt.Two vertical posts (AB steel, DC aluminum) fixed in the floor. Height 35 mm. Horizontal indicator BE (75 mm long) from B (top of AB) to scale at E. α_al > α_s ⇒ DC grows more than AB ⇒ B stays, C lifts ⇒ indicator BE rotates upward.
4. Fri termisk expansion av varje stolpeFree thermal expansion of each post
Stolparna är fria (ingen vägg överst). δ_i = α_i·L·ΔT.The posts are free (no top wall). δ_i = α_i·L·ΔT.
$$ \delta_{AB} = \alpha_s \cdot L \cdot \Delta T = 12\cdot 10^{-6}\cdot 35\cdot 40 \approx 0{,}0168\;\text{mm} $$
$$ \delta_{DC} = \alpha_{al} \cdot L \cdot \Delta T = 23{,}5\cdot 10^{-6}\cdot 35\cdot 40 \approx 0{,}0329\;\text{mm} $$
5. Visarens rotation θPointer rotation θ
Visaren BE pivoterar kring B (toppen av stålstolpen AB). Aluminiumtoppen C ligger 5 mm åt höger om B och lyfter δ_DC − δ_AB högre. Det ger rotationsvinkeln θ.The pointer BE pivots about B (top of the steel post AB). The aluminium top C is 5 mm to the right of B and rises δ_DC − δ_AB higher. That gives the rotation angle θ.
6. Förskjutning av visarspetsen EDisplacement of pointer tip E
E ligger 75 mm åt höger om C längs visaren. För små vinklar lyfts E av θ·L_DE utöver C:s lyft δ_DC.E is 75 mm right of C along the pointer. For small angles, E rises by θ·L_DE on top of C's lift δ_DC.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
free_expansion_no_constraint
Detta är FRI expansion (ingen vägg) — ingen spänning byggs upp. Endast geometriska längdändringar.This is FREE expansion (no wall) — no stress builds up. Only geometric length changes occur.
wrong_geometric_amplification
Visaren förstärker rörelsen via hävarmsförhållande L_BE/L_BD. Glöm inte att räkna detta — bara längdskillnaden är ofta bara mikrometrar.The pointer amplifies the motion via the lever ratio L_BE/L_BD. Don't forget this — the length change alone is often only micrometers.
Stångpaketet utsätts för en temperaturhöjning av 80°C. Bestäm normalspänningarna i AC och CE samt deformationen av AC. Mässing: E_m = 105 GPa, α_m = 19,6·10⁻⁶ /°C; Stål: E_s = 200 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C.
A bar package undergoes ΔT = +80°C. Find the normal stresses in AC and CE and the deformation of AC. Brass: E_m = 105 GPa, α_m = 19.6·10⁻⁶ /°C; Steel: E_s = 200 GPa, α_s = 12·10⁻⁶ /°C.
VerklighetsanknytningReal-world contextTågrälen läggs med små glapp mellan sektionerna just för att slippa knäckning vid värme. Vid heta somrar kan glappen ändå stänga ⟹ buckling. Du löser exakt detta problem nu, i miniatyr.Railway tracks are laid with small gaps between sections precisely to avoid buckling in the heat. On hot summer days the gaps can still close up ⟹ buckling. You are solving exactly this problem right now, in miniature.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: normalspänningarna i AC och CE samt deformationen av AC.You're asked to find: the normal stresses in AC and CE and the deformation of AC.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Glapp + termisk last (tröskelvärde innan spänning uppstår)Gap + thermal load (threshold ΔT before stress develops)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
Två tillstånd — närmar sig vs i kontaktTwo states — approaching vs in contact
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Kolla om glappet stängsCheck whether the gap closes
Lös för FSolve for F
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Räkna först: hur mycket vill hela paketet utvidgas (utan väggen i höger)? Är det mer eller mindre än 0,12 mm?Räkna först: hur mycket vill hela paketet utvidgas (utan väggen i höger)? Är det mer eller mindre än 0,12 mm?
2.Fri utvidgning > glappet ⟹ glappet stängs och en kraft byggs upp. Total längdändring blir = glappet.Fri utvidgning > glappet ⟹ glappet stängs och en kraft byggs upp. Total längdändring blir = glappet.
3.Kompatibilitet: (termisk utvidgning AC + CE) − (kraftens hoptryckning AC + CE) = glapp. Lös för F, sedan σ = F/A för varje.Kompatibilitet: (termisk utvidgning AC + CE) − (kraftens hoptryckning AC + CE) = glapp. Lös för F, sedan σ = F/A för varje.
≈ 15 min≈ 15 min · glapptröskel-temperaturserie-stängerräls-analogi
Fig. 3.7 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Två material i serie mot 0,12 mm glapp vid E. Räkna fri δ_T; om > glapp ⇒ glappet stängs ⇒ kompatibilitet δ_T − F·compliance = glapp ger F. Sedan σ = −F/A i vardera material, och δ_AC från AC-sektionens egen ekvation.Two materials in series against a 0.12 mm gap at E. Compute free δ_T; if > gap ⇒ gap closes ⇒ compatibility δ_T − F·compliance = gap gives F. Then σ = −F/A in each material, and δ_AC from AC's own equation.
1. Två tillstånd — närmar sig vs i kontaktTwo states — approaching vs in contact
Överst: vid liten ΔT växer paketet fritt och E närmar sig väggen — glappet 0,12 mm krymper men är inte stängt → σ = 0. Nederst: när fri utvidgning > 0,12 mm är glappet stängt, väggen trycker tillbaka → en intern tryckkraft F utvecklas och båda sektioner får σ ≠ 0.Top: at small ΔT the package expands freely and E approaches the wall — the 0.12 mm gap shrinks but isn't closed → σ = 0. Bottom: once free expansion > 0.12 mm the gap is closed, the wall pushes back → an internal compressive F develops and both sections see σ ≠ 0.
Det finns ett glapp (0,12 mm). Innan tryckspänning uppstår måste...There is a gap (0.12 mm). Before compressive stress arises...
50%
Fri utvidgning 0,602 mm > glappet 0,12 mm → kontakt uppstår, sedan tryck: σ_AC = −98,6, σ_CE = −175 MPa.Free expansion 0.602 mm > gap 0.12 mm → contact occurs, then compression: σ_AC = −98.6, σ_CE = −175 MPa.
Steg 1 (närmar sig): glappet finns kvar → σ = 0. Steg 2 (i kontakt): glapp stängt → σ < 0 i båda sektioner.Step 1 (approaching): gap still open → σ = 0. Step 2 (in contact): gap closed → σ < 0 in both sections.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Stångpaketet består av två material — stål AC och mässing CE — fast monterade vid A med 0,12 mm glapp vid E. Värmen vill förlänga båda stänger; om den fria utvidgningen δ_T överstiger glappet stängs glappet och en tryckkraft F utvecklas mellan väggarna.The bar package has two materials — steel AC and brass CE — fixed at A with a 0.12 mm gap at E. Heating wants to lengthen both bars; if the free expansion δ_T exceeds the gap, the gap closes and a compressive force F develops between the walls.
Stångpaketet AC (stål, D = 40, L = 300 mm) + CE (mässing, D = 30, L = 200 mm) inspänd vid A med ett glapp = 0,12 mm vid E. Vid ΔT = 80°C överstiger fri utvidgning glappet ⇒ glappet stängs ⇒ tryckkraft F utvecklas.Bar package AC (steel, D = 40, L = 300 mm) + CE (brass, D = 30, L = 200 mm) fixed at A with a 0.12 mm gap at E. At ΔT = 80°C free expansion exceeds the gap ⇒ gap closes ⇒ compressive force F develops.
4. Kolla om glappet stängsCheck whether the gap closes
Räkna fri utvidgning först. Om δ_T > 0,12 mm stängs glappet och vi går vidare med F. Termisk fri utvidgning ger δ_T = (α_m·L_m + α_s·L_s)·ΔT. Jämför mot glappet g: om δ_T > g sluts glappet och stavarna trycker mot väggen → en intern tryckkraft F utvecklas. Om δ_T ≤ g är spänningen noll (fri rörelse).Compute free expansion first. If δ_T > 0.12 mm, the gap closes and we proceed with F. Free thermal elongation is δ_T = (α_m·L_m + α_s·L_s)·ΔT. Compare to the gap g: if δ_T > g the gap closes and the bars push against the wall → internal compressive force F develops. If δ_T ≤ g the stress is zero (free motion).
$$ \textcolor{#888}{\text{Glappet stängs — fortsätt med kompatibilitet och lös för F}} $$
5. Lös för FSolve for F
Sätt in compliance-summan och lös ut F. Kompatibilitet: när väggen är i kontakt måste den totala elastiska kompressionen δ_T − g utföras av kraften F genom båda stänger i serie. Kompliansen C = L_m/(A_m·E_m) + L_s/(A_s·E_s) ger F = (δ_T − g)/C.Insert the compliance sum and solve for F. Compatibility: with the wall in contact, the total elastic compression δ_T − g must be carried by F through both bars in series. The compliance C = L_m/(A_m·E_m) + L_s/(A_s·E_s) gives F = (δ_T − g)/C.
σ = −F/A i vardera material — minustecknet markerar tryck. Spänningarna i de två segmenten är σ_i = F/A_i (tryck). Den smalare staven får högst spänning.σ = −F/A in each material — the minus sign marks compression. Stresses in the two segments are σ_i = F/A_i (compression). The thinner bar takes the higher stress.
Båda sektionerna är i tryck; mässings-CE är dimensionerande (mindre area ger högre spänning för samma F).Both sections in compression; the brass CE is dimensioning (smaller area gives higher stress for the same F).
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
used_zero_instead_of_gap
Du har behandlat det som om det inte fanns glapp. Total längdändring är inte noll — den är glappets storlek (0,12 mm).You treated it as if there were no gap. The total length change is not zero — it equals the size of the gap (0.12 mm).
missed_gap_threshold
Glömt att kontrollera om glappet ens är stängt? Räkna fri utvidgning först. > glappet ⟹ spänning byggs upp. Annars σ = 0.Forgot to check whether the gap is even closed? Compute the free expansion first. > the gap ⟹ stress builds up. Otherwise σ = 0.
wrong_sign_force_term
Kraften trycker tillbaka ⟹ minskar längden ⟹ motsatt tecken mot δ_T.The force pushes back ⟹ shortens the length ⟹ opposite sign to δ_T.
treated_F_as_different_in_segments
Serie-stänger ⟹ samma F genom båda. Bara areorna skiljer sig ⟹ olika spänning.Bars in series ⟹ the same F through both. Only the areas differ ⟹ different stresses.
3.8grund
Två stavar av mässing och aluminium är monterade mot två fasta väggar. Vid T = 15°C finns ett glapp av 0,5 mm mellan stavarna. a) Bestäm normalspänningen vid T = 85°C samt deformationen av AB. b) Bestäm vid vilken temperatur σ_AB = −140 MPa, samt deformationen av AB. Mässing: E_m = 105 GPa, α_m = 19,6·10⁻⁶ /°C; Aluminium: E_al = 70 GPa, α_al = 23,5·10⁻⁶ /°C.
Brass and aluminium bars sit between two fixed walls. At T = 15°C there is a 0.5 mm gap between them. a) Find σ at T = 85°C and the deformation of AB. b) Find the temperature where σ_AB = −140 MPa and the deformation of AB then. Brass: E_m = 105 GPa, α_m = 19.6·10⁻⁶ /°C; Aluminium: E_al = 70 GPa, α_al = 23.5·10⁻⁶ /°C.
VerklighetsanknytningReal-world contextGlapp mellan järnvägsräler är dimensionerade efter exakt detta problem — för svensk klimat ungefär 6-10 mm per 25-m räl. Vid extrem värme stängs glappen ⟹ rälsen knycks.Gaps between railway rails are sized exactly from this problem — for the Swedish climate roughly 6-10 mm per 25-m rail. In extreme heat the gaps close up ⟹ the rail buckles.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: normalspänningen vid T = 85°C samt deformationen av AB.You're asked to find: σ at T = 85°C and the deformation of AB.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Glapp + termisk last (tröskelvärde innan spänning uppstår)Gap + thermal load (threshold ΔT before stress develops)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut fri termisk förlängning δ_T.Compute the free thermal elongation δ_T.
Jämför med glapp eller begränsning.Compare against any gap or constraint.
Är begränsningen aktiv? Ställ upp kompatibilitet och lös för spänningen.If the constraint is active, write compatibility and solve for the stress.
Två tillstånd — närmar sig vs i kontaktTwo states — approaching vs in contact
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Del (a): T = 85°C ⇒ ΔT_a = 70°CPart (a): T = 85°C ⇒ ΔT_a = 70°C
Spänningar (del a)Stresses (part a)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Två stavar närmar sig varandra med 0,5 mm glapp. Vad krävs för att glappet ska stängas?Två stavar närmar sig varandra med 0,5 mm glapp. Vad krävs för att glappet ska stängas?
3.Efter att glappet stängts: kompatibilitet ger δ_termisk_tot − F·(L_m/(A_m·E_m) + L_al/(A_al·E_al)) = 0,5. Lös för F.Efter att glappet stängts: kompatibilitet ger δ_termisk_tot − F·(L_m/(A_m·E_m) + L_al/(A_al·E_al)) = 0,5. Lös för F.
≈ 15 min≈ 15 min · glapptvå-materialtröskel
Fig. 3.8 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Två stänger mässing+alu mot fasta väggar med 0,5 mm glapp. Del (a): vid ΔT=70°C stängs glappet, F utvecklas → σ och δ_AB. Del (b): invers — givet σ_AB i mässing, lös för F och därmed ΔT som ger denna F.Two bars brass+alu against rigid walls with 0.5 mm gap. Part (a): at ΔT=70°C the gap closes, F develops → σ and δ_AB. Part (b): inverse — given σ_AB in brass, solve for F and thus ΔT that produces this F.
1. Två tillstånd — närmar sig vs i kontaktTwo states — approaching vs in contact
Överst: vid liten ΔT växer båda stänger oberoende mot varandra; glappet 0,5 mm krymper men inte stängt → σ = 0 i båda. Nederst: tröskel-ΔT passerad, B möter C, väggarna trycker tillbaka → samma F genom båda stänger. Mässingen (smalast) tar högsta spänning.Top: at small ΔT both bars grow independently toward each other; the 0.5 mm gap shrinks but isn't closed → σ = 0 in both. Bottom: threshold-ΔT exceeded, B meets C, walls push back → same F through both bars. The brass (smaller area) takes the highest stress.
Vid 85 °C: det första du kontrollerar är om...At 85 °C: the first thing you check is whether...
50%
Fri utvidgning 0,823 mm > glappet 0,5 mm → kontakt och tryck: σ_mässing = −72,7, σ_al = −32,3 MPa. Spänning först när glappet sluts.Free expansion 0.823 mm > 0.5 mm gap → contact and compression: σ_brass = −72.7, σ_al = −32.3 MPa. Stress only once the gap closes.
Tröskel-ΔT: när fri totalutvidgning passerar 0,5 mm stängs glappet.Threshold-ΔT: once total free expansion crosses 0.5 mm, the gap closes.
2. Sätt upp lösningenSet up the solution
Två stänger AB (mässing) och CD (aluminium), monterade mot fasta väggar med ett 0,5 mm glapp mellan B och C. När temperaturen höjs vill båda stänger förlängas; först sluts glappet, sedan utvecklas en tryckkraft F som är samma genom båda stänger.Two bars AB (brass) and CD (aluminum), mounted against rigid walls with a 0.5 mm gap between B and C. As the temperature rises both bars want to lengthen; the gap closes first, then a compressive force F develops, equal through both bars.
Mässingsstången AB (D = 50, L = 300) och aluminiumstången CD (D = 75, L = 250) inspända mot två fasta väggar med ett glapp = 0,5 mm mellan B och C. Vid uppvärmning utvidgas båda; om ΔT är tillräckligt stort stängs glappet och en gemensam tryckkraft F utvecklas mellan väggarna.Brass bar AB (D = 50, L = 300) and aluminium bar CD (D = 75, L = 250) mounted between two fixed walls with a 0.5 mm gap between B and C. On heating both expand; if ΔT is large enough the gap closes and a common compressive force F develops between the walls.
6. Förlängning av AB (del a)Elongation of AB (part a)
AB förlängs termiskt men trycks ihop av F. Skillnaden ger den faktiska förskjutningen.AB lengthens thermally but is compressed back by F. The difference gives the actual displacement.
7. Del (b): hitta T så att σ_AB = −140 MPaPart (b): find T such that σ_AB = −140 MPa
Givet σ_AB ⇒ bestäm F via F = |σ_AB|·A_m. Sedan invers-räkna ΔT_b ur kompatibilitetsekvationen: δ_T(ΔT) = 0,5 + F·C.Given σ_AB ⇒ determine F via F = |σ_AB|·A_m. Then invert the compatibility equation for ΔT_b: δ_T(ΔT) = 0.5 + F·C.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
ignored_gap_threshold
Vid små ΔT är σ = 0 — glappet absorberar all utvidgning. Spänning byggs först upp när ΔT överskrider tröskeln.For small ΔT, σ = 0 — the gap absorbs the entire expansion. Stress only builds up once ΔT exceeds the threshold.
sign_in_part_b
σ = −140 MPa är tryckspänning. När du löser för T, kontrollera tecken på F och tecken på σ noga.σ = −140 MPa is a compressive stress. When you solve for T, check the signs of F and σ carefully.
