MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Rektangulärt tvärsnitt 50 × 70 mm böjs av M = 4,2 kNm. Frågan: max böjspänning i två fall — (a) böjning kring x-axeln, (b) böjning kring y-axeln. För en rektangel är böjmotståndet W = b·h²/6 där h är höjden i böjningens riktning. Rectangular section 50 × 70 mm bent by M = 4.2 kNm. Find max bending stress in two cases — (a) bending about the x-axis, (b) bending about the y-axis. For a rectangle the section modulus is W = b·h²/6 where h is the dimension along the bending direction.

Avläst från figuren. Read from the figure.

Vid böjning kring x-axeln verkar momentet så att den GIVNA HÖJDEN 70 mm är dimensionerande. W_x använder h² = 70². For bending about the x-axis the GIVEN HEIGHT 70 mm controls. W_x uses h² = 70².

Vid böjning kring y-axeln är det BREDDEN 50 mm som är dimensionerande. Mindre dimension ⇒ mindre W ⇒ HÖGRE spänning för samma M. For bending about the y-axis the WIDTH 50 mm is the controlling dimension. Smaller dimension ⇒ smaller W ⇒ HIGHER stress for the same M.

Vänster: rektangulärt tvärsnitt 50 × 70 mm med två böjaxlar (röd × = x-axel, blå × = y-axel). Den krökta pilen visar momentets rotationsriktning. Höger: linjär σ(y)-fördelning genom NA. Övre fibern: tryck (−σ_max); undre fibern: drag (+σ_max). Antagande: M böjer balken sjunkande (+M), så undre kanten dras isär. Detta gäller alla problem i kapitel 7 — det är konsekvensen av Euler-Bernoulli-antagandet om plana snitt. Left: rectangular 50 × 70 mm cross-section with two bending axes (red × = x-axis, blue × = y-axis). The curved arrow shows the moment direction. Right: linear σ(y) through the NA. Top fibre: compression (−σ_max); bottom fibre: tension (+σ_max). Assumed sagging moment (+M) ⇒ bottom is stretched. This pattern applies to every chapter-7 problem — consequence of Euler-Bernoulli plane-sections.

Båda fallens maxspänningar. Maximum stress for each case.

En IPE-balk ska dimensioneras mot ett givet böjmoment. Använd σ_till = R_eL / n för materialet och välj sedan en profil med W ≥ M / σ_till från KB-tabellen. An IPE beam is to be sized against a given bending moment. Use σ_till = R_eL / n and pick a profile with W ≥ M/σ_till from the KB table.

Material S275JR, säkerhetsfaktor n = 1,5. Material S275JR, safety factor n = 1.5.

Reducera sträckgränsen med säkerhetsfaktorn för att få den tillåtna konstruktions-spänningen. Reduce the yield by the safety factor to get the allowable design stress.

Använd böjningens grundekvation σ = M/W. Sätt σ = σ_till och lös för det minsta tillåtna W. Use σ = M/W with σ = σ_till and solve for the smallest allowable W.

Slå upp i KB-tabellen och välj den minsta IPE där W_x ≥ W_min. IPE 140 har W_x = 109 cm³, vilket är första standardprofil som klarar kravet. Look up in KB table; pick smallest IPE with W_x ≥ W_min. IPE 140 has W_x = 109 cm³, the first standard size that meets the requirement.

Vid y-bockning är W_y mycket mindre än W_x för samma IPE — därför krävs en betydligt större profil. IPE 330 är den första standard-IPE där W_y ≥ W_min. For bending about y, W_y is much smaller than W_x for the same IPE — so a significantly larger profile is needed. IPE 330 is the first standard with W_y ≥ W_min.

Vänster: IPE-silhuett — den höga, smala formen ger STORT W_x (för böjning kring x) och litet W_y (för böjning kring y). Det är därför IPE 140 räcker för M_x men M_y kräver IPE 330. Höger: när profilen dimensioneras precis till sin gräns är σ_max ≈ σ_till = 183 MPa i topp- och bottenflänsen. Left: IPE silhouette — tall narrow shape gives LARGE W_x (bending about x) and small W_y (bending about y). That's why IPE 140 suffices for M_x but M_y needs IPE 330. Right: at the design limit σ_max ≈ σ_till = 183 MPa in the top and bottom flanges.

Två olika profilval beroende på böjningsplan. Two different profile choices depending on bending plane.

Fritt upplagd balk med punktlast. Hitta först stöd-reaktionerna via momentbalans, sedan M_max (vid lasten för osymmetriskt placerade punktlaster), och till sist max böjspänning σ_max = M_max/W_x. Simply supported beam with a point load. Find the support reactions via moment balance, then M_max (at the load for off-centre point loads), and finally max bending stress σ_max = M_max/W_x.

Avläsning från figur. Read from the figure.

ΣM om A: B_y·L − F·L_1 = 0 ⇒ B_y = F·L_1/L. ΣF_y: A_y = F − B_y. ΣM about A: B_y·L − F·L_1 = 0 ⇒ B_y = F·L_1/L. ΣF_y: A_y = F − B_y.

För en punktlast på en fritt upplagd balk ligger M_max precis under lasten. M = A_y·x för x < L_1. For a single point load on a simply supported beam, M_max sits right under the load. M = A_y·x for x < L_1.

Sätt in i σ = M/W. Substitute into σ = M/W.

IPE 100 har h = 100 mm, NA i mitten (symmetrisk profil). σ är linjär från −42,6 MPa i toppflänsen (tryck, vid +M sjunkande) till +42,6 MPa i bottenflänsen (drag). Stora delen av materialet ligger nära NA (livet) där σ är litet — det är därför IPE-profilen är effektiv. IPE 100 has h = 100 mm, NA at mid-height (symmetric). σ varies linearly from −42.6 MPa in the top flange (compression, for sagging +M) to +42.6 MPa in the bottom flange (tension). Most material sits near the NA (the web) where σ is small — that's why IPE is efficient.

Boxat värden nedan. Boxed values below.

Balken är en kombination — bestäm M_max från V/M-diagrammet, och välj sedan IPE för stående (b) och liggande (c) profilorientering. σ_till = 120 MPa gäller för båda. Beam is a combination — find M_max from the V/M diagram, then select an IPE for standing (b) and lying (c) orientations. σ_till = 120 MPa applies to both.

Punktlast 25 kN; geometri som figur. Point load 25 kN; geometry per figure.

Snittmoment vid punktlasten ger maxmoment för en enkel utkragning. M_max = F·a. Section moment at the load gives the maximum for a simple cantilever-like geometry. M_max = F·a.

Lös W_min ur σ = M/W. Solve W_min from σ = M/W.

Vid stående I bidrar profilens höjd kring x. Välj minsta IPE där W_x ≥ 312,5 cm³. IPE 240 har W_x = 354 cm³ — första som klarar. For standing I the height drives W_x. Pick smallest IPE with W_x ≥ 312.5 cm³. IPE 240 has W_x = 354 cm³ — the first that meets the bound.

När profilen ligger på sida används W_y i stället. IPE har mycket lägre W_y än W_x, så en avsevärt större profil krävs. IPE 550 har W_y = 349 cm³. When the profile lies on its side W_y is the relevant modulus. IPE has much smaller W_y than W_x, so a significantly larger profile is needed. IPE 550 has W_y = 349 cm³.

Vänster: STÅENDE IPE — höjden ger stor W_x (mycket material långt från NA). IPE 240 räcker. Höger: LIGGANDE IPE — bara flänsens bredd ger W_y, mycket mindre. IPE 550 (liten bredd-till-höjd-ratio är dålig i liggande). Detta är den dyraste designfel-möjligheten i Ch7. Left: UPRIGHT IPE — height gives large W_x (much material far from NA). IPE 240 suffices. Right: ON ITS SIDE — only the flange width contributes to W_y, much smaller. IPE 550 required. The most expensive design mistake possible in chapter 7.

Profilvalen beror starkt på orientering. Profile choice depends strongly on orientation.

Konsolbalk med fördelad last + punktlast. Säkerhetsfaktor mot sträckning är n_y = R_eL / σ_max där σ_max kommer från det största böjmomentet (vid inspänningen). Cantilever beam with UDL + point load. Yield safety factor is n_y = R_eL / σ_max where σ_max comes from the largest bending moment (at the fixed end).

VKR-profil, material S355JR. VKR profile, material S355JR.

För en konsolbalk är M störst vid inspänningen och summan av bidragen från jämnt fördelad last och punktlasten längst ut. q·L²/2 är UDL-bidraget, F·L är punktlastens moment-arm. For a cantilever, M is maximum at the fixed end and the sum of contributions from UDL and the point load at the free end. q·L²/2 is the UDL moment, F·L is the point-load moment-arm.

Sätt in i σ = M/W. Substitute into σ = M/W.

n_y = R_eL / σ_max anger marginalen mot flytning. n_y = R_eL / σ_max is the margin against yielding.

VKR 100×50×5 hålprofil stående på högkant: höjd h = 100 mm, bredd 50 mm, godstjocklek 5 mm. Material vid hörnen ligger längst från NA — det är där σ_max uppträder. Linjär σ(y)-fördelning ± 70,6 MPa. VKR 100×50×5 hollow section upright on edge: h = 100 mm, w = 50 mm, t = 5 mm. Material at the corners sits furthest from NA — σ_max occurs there. Linear σ(y) ± 70.6 MPa.

Säkerhetsfaktor klart över 1 — konstruktionen är säker. Safety factor well above 1 — design is safe.

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Profilen är en rektangel med två extruderade kanaler. Tröghetsmomentet om x-axeln räknas via I_x = I_rektangel − 2·I_kanal (kanal-bidragen subtraheras eftersom de inte finns i den fysiska profilen). Tvärsnittet är inte symmetriskt i höjd, så neutralaxeln (NA) ligger NÄRMARE den fiber som har mer material — detta betyder y_A ≠ y_B. The profile is a rectangle with two extruded channels. The second moment about the x-axis is I_x = I_rect − 2·I_channel (channel contributions subtracted, they aren't in the physical section). The cross-section is not symmetric in height, so the neutral axis (NA) sits CLOSER to the fibre with more material — hence y_A ≠ y_B.

Tvärsnittet är 120×60 mm rektangel med två Ø36 mm extruderade kanaler centrerade på neutralaxeln (x-axeln). Alla delgeometrier delar samma neutralaxel ⇒ inget Steiner-bidrag krävs (a = 0). I_x = I_rektangel − 2·I_cirkel. Section is a 120×60 mm rectangle with two Ø36 mm extruded channels centred on the neutral axis (x-axis). All parts share the same neutral axis ⇒ no Steiner contribution (a = 0). I_x = I_rect − 2·I_circle.

Punkt A = tvärsnittets nedre vänstra hörn (ytterfiber, e = y_A = 30 mm under NA ⇒ dragsida). Punkt B = övre punkten på vänstra hålets periferi (e = 18 mm = hålets radie över NA ⇒ trycksida). Sätt in i σ = M·y/I_x. Positiv σ ⇒ drag, negativ ⇒ tryck. Point A = the bottom-left corner of the section (outer fibre, e = y_A = 30 mm below the NA ⇒ tension side). Point B = the top point of the left hole's circumference (e = 18 mm = hole radius above the NA ⇒ compression side). Substitute into σ = M·y/I_x. Positive σ ⇒ tension, negative ⇒ compression.

Aluminiumprofil 120 × 60 mm (höjd 60) med två Ø36-kanaler centrerade på NA. NA i mitthöjd (symmetrisk). A = nedre vänstra hörnet (y = −30, dragsida), B = toppen av vänstra hålets periferi (y = +18 över NA, trycksidan). Spänningen i en punkt är PROPORTIONELL mot y — det är varför B (närmare NA) har mindre |σ|. Aluminium profile 120 × 60 mm (height 60) with two Ø36 channels centred on the NA. NA at mid-height (symmetric). A = bottom-left corner (y = −30, tension side), B = top of the left hole's circumference (y = +18 above the NA, compression side). Stress at a point is PROPORTIONAL to y — that's why B (closer to NA) has smaller |σ|.

Uppgiften frågar efter: σ_A [MPa], σ_B [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: σ_A [MPa], σ_B [MPa]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Tvärsnittet är 30 × 40 mm med ett genomgående hål Ø14 mm. Två böjfall jämförs. Cross-section is 30 × 40 mm with a through hole Ø14 mm. Two bending cases are compared.

Vid x-böjning är höjden 40 mm dimensionerande. Hålet ligger på neutralaxeln (NL) ⇒ A·a²-bidraget = 0 (Steiner sparas). For x-bending the 40 mm height controls. The hole sits on the neutral axis (NA) ⇒ Steiner contribution A·a² = 0.

Vid y-böjning är bredden 30 mm dimensionerande och hålet ligger nu OFFSET från NL (a ≠ 0). Då måste Steiners sats läggas på hålets I-bidrag: I_y = I_solid − (I_hål + A_hål·a²). For y-bending the 30 mm width controls and the hole is now OFFSET from the NA (a ≠ 0). Steiner's theorem must be added to the hole's I-contribution: I_y = I_solid − (I_hole + A_hole·a²).

Hålet ökar spänningen jämfört med solid axel. När hålet ligger på NL (x-böjning) försvinner bara en liten del av I → liten ökning. När hålet ligger nära ytterkanten (y-böjning) försvinner mer I + Steiner-bidrag → stor ökning. The hole increases stress vs a solid beam. With the hole on the NA (x-bending) only a small I-share is lost → small increase. With the hole near the outer fibre (y-bending) more I + Steiner contribution is lost → large increase.

Hål bidrar med I_hål + A_hål · a² där a är avståndet från hålets centrum till axeln. Vänster: x-böjning — hålet ligger PÅ x-axeln (a = 0), så endast egen-I subtraheras ⇒ liten effekt. Höger: y-böjning — hålet är förskjutet i x-led (a > 0), så A·a² är stor och I_y minskar dramatiskt ⇒ stor spänningsökning. A hole removes I_hole + A_hole · a² where a is the hole-centre-to-axis distance. Left: x-bending — hole lies ON the x-axis (a = 0), only its self-I subtracts ⇒ small effect. Right: y-bending — hole offset in x (a > 0), so A·a² is large and I_y drops dramatically ⇒ large stress increase.

Uppgiften frågar efter: I_x [mm⁴], I_y [mm⁴]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: I_x [mm⁴], I_y [mm⁴]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Bestäm I_x för det sammansatta tvärsnittet via subtraktion av rektangulära delar, identifiera y_max, och lös M = σ_till·I/y_max för max tillåtet böjmoment. Find I_x for the composite section by rectangle subtraction, identify y_max, and solve M = σ_till·I/y_max for the max allowable bending moment.

Material-gräns och geometri. Material limit and geometry.

Dela tvärsnittet i tre rektangulära delytor: vänster ben (20×100), höger ben (20×100) och central web (20×40). Alla tre delytor har sin egen tyngdpunkt PÅ neutralaxeln (mitthöjd) ⇒ d_i = 0 ⇒ ingen Steiner-term. Summera de centroidala bidragen. Split the section into three rectangular sub-areas: left leg (20×100), right leg (20×100) and the central web (20×40). All three have their own centroid ON the neutral axis (mid-height) ⇒ d_i = 0 ⇒ no Steiner term. Sum the centroidal contributions.

Tvärsnittet är symmetriskt — neutralaxeln ligger i mitt-höjd. y_max är avståndet till ytterfibern: 50 mm (halv-höjd) i denna konfiguration. Madeleine använder y_max = 100 mm vilket motsvarar full höjd (mätt från underkant); resultat skiljer beroende på konvention. Section is symmetric — NA at mid-height. y_max is the distance to the extreme fibre: 50 mm (half-height) in this configuration. Madeleine uses y_max = 100 mm corresponding to full height (measured from bottom edge); the result differs by a factor of 2 depending on convention.

Lös M ur σ = M·y/I = σ_till och välj y_max. Solve M from σ = M·y/I = σ_till and pick y_max.

H-profil 100×100 med två urtag (20×40) i midjan på vardera sidan. Symmetri ⇒ NA i mitthöjd. Vid dimensioneringsgränsen är σ vid ytterfibern = σ_till = 120 MPa. Materialet vid de tjocka flänsarna (topp/botten) bär momentet effektivt; urtagen tar bort material som ändå inte bidrog mycket (mitt-höjd nära NA). H-profile 100×100 with two cutouts (20×40) at mid-height on each side. Symmetric ⇒ NA at mid-height. At the design limit, σ at the outer fibre = σ_allow = 120 MPa. Material in the thick top/bottom flanges carries the moment efficiently; cutouts remove material that contributed little anyway (mid-height near NA).

Boxat värde nedan. Boxed value below.

Dela det sammansatta tvärsnittet i tre rektanglar: I = toppflänge 200×90, II = liv 70×250, III = bottenfot 300×30. Anteckna area A_n och tyngdpunktshöjd y_n från undersidan. Decompose the composite section into three rectangles: I = top flange 200×90, II = web 70×250, III = bottom foot 300×30. Note the area A_n and centroid height y_n from the bottom edge.

Den sammansatta tyngdpunkten är areaviktat medelvärde av deltyngdpunkterna. Räknat från undersidan. The composite centroid is the area-weighted mean of the sub-centroids, measured from the bottom.

Avstånd från varje dels egna tyngdpunkt till den sammansatta neutralaxeln. Distance from each part's own centroid to the composite neutral axis.

I₀ är dellens egen tröghet kring sin egen tyngdpunkt; A·a² är Steiner-transferen till neutralaxeln. I₀ is the part's own moment about its own centroid; A·a² is the Steiner transfer to the neutral axis.

Summera I₀ + A·a² för alla tre delarna. Sum I₀ + A·a² across the three parts.

Totalhöjd 370 mm = 30 + 250 + 90. e⁺ = h − y_tp (ovansidan, drag); e⁻ = y_tp (undersidan, tryck). Total height 370 mm = 30 + 250 + 90. e⁺ = h − y_tp (top, tension); e⁻ = y_tp (bottom, compression).

σ = M·y/I för båda ytterfibrerna. Asymmetri ⇒ |σ⁺| ≠ |σ⁻|. σ = M·y/I at both extreme fibres. Asymmetry ⇒ |σ⁺| ≠ |σ⁻|.

Asymmetrisk T-sektion ⇒ NA ligger NÄRMARE den fiber som har MEST material (övre flänsen + livet). e⁺ < e⁻ (övre 174,5 mm; undre 195,5 mm). Linjär σ(y) genom NA — men ytter-värdena är OLIKA: drag på övre fiber, tryck (större magnitud) på undre fiber. Det är karaktäristiskt för T-sektioner och kräver separat kontroll av σ_drag och σ_tryck. Asymmetric T-section ⇒ NA sits CLOSER to the fibre with MORE material (top flange + web). e⁺ < e⁻ (top 174.5 mm; bottom 195.5 mm). Linear σ(y) through NA — but the outer values are DIFFERENT: tension on top fibre, compression (larger magnitude) on bottom fibre. Characteristic of T-sections, requires separate σ_t / σ_c check.

Uppgiften frågar efter: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Tvärsnittet är asymmetriskt och hänger ihop med två orienteringar (a) och (b). För varje orientering används rätt I (I_x eller I_y) och y mäts från neutralaxeln (NL = tyngdpunkten). Section is asymmetric and depicted in two orientations (a) and (b). For each orientation pick the right I (I_x or I_y) and measure y from the neutral axis (NA = centroid).

Tvärsnittet är en rektangel 120×140 mm MINUS en triangulär urtagning (bredd 120 mm, djup 90 mm) som tas bort uppifrån, med spetsen nedåt i punkt A. Behandla triangeln som NEGATIV area. Mät alla tyngdpunktslägen från botten. Rektangelns tp ligger på halva höjden; triangelns tp ligger 1/3·90 = 30 mm under överkanten, dvs vid y = 140 − 30 = 110 mm. The section is a 120×140 mm rectangle MINUS a triangular cut-out (120 mm wide, 90 mm deep) removed from the top with its apex pointing down to A. Treat the triangle as NEGATIVE area. Measure all centroids from the bottom. The rectangle centroid sits at mid-height; the triangle centroid is 1/3·90 = 30 mm below the top, i.e. y = 140 − 30 = 110 mm.

Areaviktat medelvärde med triangeln som negativ area ger tyngdpunktens läge ȳ mätt från botten. Detta är neutralaxelns läge för orientering a). Area-weighted mean with the triangle as negative area gives the centroid ȳ measured from the bottom. This is the neutral-axis location for orientation a).

I_x kring den horisontella neutralaxeln genom tyngdpunkten. Steiners sats för varje del: I = I_c + A·a². Rektangelns egentröghetsmoment är b·h³/12; triangelns är b·h³/36 (KB s.27). Avstånden från delarnas tp till komposit-NL: a_1 = 70 − 51,05 = 18,95 mm, a_2 = 110 − 51,05 = 58,95 mm. Triangeln subtraheras. I_x about the horizontal neutral axis through the centroid. Steiner per part: I = I_c + A·a². The rectangle's own inertia is b·h³/12; the triangle's is b·h³/36 (KB p.27). Distances from each part centroid to the composite NA: a_1 = 70 − 51.05 = 18.95 mm, a_2 = 110 − 51.05 = 58.95 mm. The triangle is subtracted.

Med ȳ = 51,05 mm: punkt A (spetsen) ligger vid y = 50 mm, dvs 51,05 − 50 = 1,05 mm UNDER neutralaxeln → tryck. Punkt B ligger i överkanten y = 140 mm, dvs 140 − 51,05 = 88,95 mm ÖVER neutralaxeln → drag. σ = M·y/I_x. With ȳ = 51.05 mm: point A (the apex) is at y = 50 mm, i.e. 51.05 − 50 = 1.05 mm BELOW the neutral axis → compression. Point B is at the top y = 140 mm, i.e. 140 − 51.05 = 88.95 mm ABOVE the neutral axis → tension. σ = M·y/I_x.

Tvärsnittet vrids 90°. Böjning sker nu kring den vertikala centroidaxeln. Tvärsnittet är symmetriskt kring den axeln, så NL går genom mitten (x = 60 mm). I_y = rektangel − triangel kring denna axel: rektangel b·h³/12, triangel b·h³/48 (urtagningen sträcker sig längs hela bredden 120 mm med basen mot axeln). Spetsen A ligger PÅ axeln ⇒ σ_A ≈ 0; max ligger i hörnet vid x = 60 mm. Rotate the section 90°. Bending is now about the vertical centroidal axis. The section is symmetric about that axis, so the NA passes through the middle (x = 60 mm). I_y = rectangle − triangle about this axis: rectangle b·h³/12, triangle b·h³/48 (the cut spans the full 120 mm with its base on the axis). The apex A lies ON the axis ⇒ σ_A ≈ 0; the peak is at the corner x = 60 mm.

Orientering (a): böjning kring den horisontella NL vid ȳ = 51,05 mm. I_x = 12,28·10⁶ mm⁴, men B ligger 88,95 mm från NL ⇒ σ_B ≈ 253 MPa (drag), medan A bara ligger 1,05 mm under NL ⇒ σ_A ≈ −2,9 MPa (tryck, nästan noll). Orientering (b): böjning kring den vertikala symmetriaxeln (x = 60 mm). I_y = 16,92·10⁶ mm⁴; spetsen A ligger PÅ axeln ⇒ σ_A ≈ 0, och σ_B ≈ 124 MPa i hörnet. Lärdom: avståndet y till NL avgör — inte storleken på I ensamt. Orientation (a): bending about the horizontal NA at ȳ = 51.05 mm. I_x = 12.28·10⁶ mm⁴, but B is 88.95 mm from the NA ⇒ σ_B ≈ 253 MPa (tension), while A is only 1.05 mm below the NA ⇒ σ_A ≈ −2.9 MPa (compression, nearly zero). Orientation (b): bending about the vertical symmetry axis (x = 60 mm). I_y = 16.92·10⁶ mm⁴; the apex A lies ON the axis ⇒ σ_A ≈ 0, and σ_B ≈ 124 MPa at the corner. Lesson: the distance y to the NA governs — not the size of I alone.

Böjspänningar i A och B för båda orienteringarna. Värdena är inramade nedan. Bending stresses at A and B for both orientations. Values are boxed below.

Tvärsnittet är två L20×20×3 monterade enligt figur (T-form). För varje L slå upp I_c, A och c (centroidavstånd) i KB-tabellen. Sätt sedan ihop med Steiners sats om respektive del ligger förskjuten från komposit-NL. The section is two L20×20×3 profiles per figure (T-form). For each L look up I_c, A and c (centroid distance) in the KB table. Then assemble with Steiner if the part is offset from the composite NA.

Tabellvärden per L-profil (KB s.42). Två profiler kombineras. Table values per L-profile (KB p.42). Two profiles combined.

Tvärsnittet är symmetriskt om y-axeln ⇒ tyngdpunkten (NL) ligger på y-axeln, och x-axeln läggs genom den gemensamma tyngdpunkten. De två L-profilernas egna tyngdpunkter ligger PÅ x-axeln ⇒ d_x = 0 i Steiner. Resultatet blir bara summan av I_c. Areor: A = b·t-baserad tabellarea = 1,12 cm² per L (KB s.42), A_tot = 2,24 cm². The section is symmetric about the y-axis ⇒ the centroid (NA) lies on the y-axis and the x-axis is placed through the shared centroid. Each L's own centroid lies ON the x-axis ⇒ d_x = 0 in Steiner. Result is just the sum of I_c. Areas: A = 1.12 cm² per L (KB p.42), A_tot = 2.24 cm².

Profilernas tyngdpunkter ligger på avstånd a = c = 0,60 cm från y-axeln. Lägg på Steiner-bidrag A·a² per del. The centroids sit at a = c = 0.60 cm from the y-axis. Add Steiner contribution A·a² per part.

Två L-profiler placerade enligt figur. För böjning kring x ligger båda L:s centroider på x-axeln ⇒ Steiner-bidraget A·d² = 0. För böjning kring y ligger båda förskjutna från y-axeln med a = c ⇒ Steiner adderar 2·A·a² ⇒ I_y >> I_x. Asymmetrin i I-värden förklarar varför profilval måste matcha böjningens plan. Two L-profiles arranged per figure. For x-bending both L-centroids lie on the x-axis ⇒ Steiner term A·d² = 0. For y-bending both are offset from the y-axis by a = c ⇒ Steiner adds 2·A·a² ⇒ I_y >> I_x. The I-asymmetry is why profile choice must match the bending plane.

Uppgiften frågar efter: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Tvärsnittet är sammansatt av TVÅ standardprofiler — en T 80×80 (stammen pekar uppåt) och en UPE 80 (upp-och-ned, benen pekar nedåt), se figur. För varje del slå upp A, c, I_x, I_y i KB-tabellen. Lokalisera komposit-tyngdpunkten ȳ och summera I via Steiners sats. Section is built from TWO standard profiles — a T 80×80 (stem pointing up) and a UPE 80 (upside down, legs pointing down), see figure. Look up A, c, I_x, I_y per part in the KB table. Locate the composite centroid ȳ and sum I via Steiner.

Tabellvärden per del: T 80×80 (KB s.65), UPE 80 (KB s.64). y_i mäts från ett gemensamt referensplan. Table values per part: T 80×80 (KB p.65), UPE 80 (KB p.64). y_i measured from a common reference plane.

ȳ areaviktat: ȳ = (A_T·y_T + A_U·y_U)/(A_T + A_U), där y_i är varje dels tyngdpunkt mätt från ett gemensamt referensplan. Madeleines uppställning ger ȳ ≈ 6,498 cm. ȳ area-weighted: ȳ = (A_T·y_T + A_U·y_U)/(A_T + A_U), with y_i the centroid of each part from a common reference. Madeleine's layout gives ȳ ≈ 6.498 cm.

Summera I_{c,i} + A_i·d_i² för båda axlarna. För I_y bidrar T:s I_y och UPE:ns I_x (UPE ligger horisontellt) ⇒ I_y = 37 + 107 = 144 cm⁴. Madeleines stora I_x kommer av Steiner-bidraget A_i·d_i² eftersom delarnas tyngdpunkter ligger långt från komposit-NL. Sum I_{c,i} + A_i·d_i² for both axes. For I_y the T's I_y and the UPE's I_x add (the UPE lies horizontally) ⇒ I_y = 37 + 107 = 144 cm⁴. Madeleine's large I_x comes from the Steiner term A_i·d_i² as the part centroids sit far from the composite NA.

Två profiler (T 80×80 stam upp + UPE 80 upp-och-ned) ger ett asymmetriskt komposit-tvärsnitt i höjdled (men symmetriskt om y). Komposit-NL ligger mellan delarna, närmare den tunga delen. Det är avstånden d_i = |y_i − ȳ| som driver Steiner-bidraget A_i·d_i². För böjning kring x ligger båda delar förskjutna i höjd ⇒ Steiner-bidrag dominerar I_x. Two profiles (T 80×80 stem up + UPE 80 upside down) form a composite that is asymmetric in height but symmetric about y. The composite NA sits between the parts, closer to the heavier one. The offsets d_i = |y_i − ȳ| drive the Steiner term A_i·d_i². For x-bending both parts are offset in height ⇒ Steiner dominates I_x.

Uppgiften frågar efter: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴], y_NL [cm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴], y_NL [cm]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Tvärsnittet är en hopbyggd T: ett horisontellt plattjärn (flänsplåt) på toppen + två L90×90×9 vinkelprofiler (rygg mot rygg) + ett vertikalt 200×12 plattjärn som liv. Hitta först komposit-tyngdpunkten ȳ, sedan I_x via Steiners sats, slutligen σ_drag och σ_tryck. Cross-section is a built-up T: a horizontal flat-bar top flange + two L90×90×9 angles (back to back) + a vertical 200×12 flat-bar web. Find the composite centroid ȳ first, then I_x via Steiner, finally σ_tension and σ_compression.

M = 18 kNm. L90×90×9 tabellvärden (KB s.62): A = 15,5 cm² per vinkel, centroidavstånd c = 2,54 cm, I_c ≈ 116 cm⁴ per vinkel. Plattjärn/liv: 200×12 mm. M = 18 kNm. L90×90×9 table (KB p.62): A = 15.5 cm² per angle, centroid distance c = 2.54 cm, I_c ≈ 116 cm⁴ per angle. Flat bar / web: 200×12 mm.

Areaviktat medelvärde — komposit-NL ligger närmare den tyngre delen. Area-weighted mean — composite NA leans toward the heavier part.

Summera I_c för varje del plus Steiner-bidrag A·d² där d är avståndet från delens egen tyngdpunkt till komposit-NL. Sum I_c per part plus Steiner contributions A·d² where d is the offset from the part's own centroid to the composite NA.

e⁺ = ȳ = 142 mm (drag, nedre fiber); e⁻ = totalhöjd − ȳ (tryck, övre fiber). Eftersom ȳ ≠ h/2 ger asymmetrin |σ⁺| > |σ⁻|. e⁺ = ȳ = 142 mm (tension, lower fibre); e⁻ = h_total − ȳ (compression, upper fibre). Since ȳ ≠ h/2, asymmetry gives |σ⁺| > |σ⁻|.

Plattjärn (flänsplåt) på toppen + två L90×90×9 + ett 200×12-liv nedåt. Komposit-NL hamnar ȳ ≈ 142 mm från botten. Övre fibern (nära flänsen) ⇒ tryck (mindre |y|); undre fibern (livets nedre kant) ⇒ drag och har störst |y|. Resultat: σ_drag (143 MPa) ≫ |σ_tryck| (58,5 MPa) — drag är dimensionerande. Flat-bar top flange + two L90×90×9 angles + a 200×12 web hanging down. Composite NA at ȳ ≈ 142 mm from the bottom. Top fibre (near the flange) ⇒ compression (smaller |y|); bottom fibre (lower web edge) ⇒ tension with the largest |y|. Result: σ_t (143 MPa) ≫ |σ_c| (58.5 MPa) — tension governs.

Uppgiften frågar efter: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: I_x [cm⁴], I_y [cm⁴]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Bestäm M_max via symmetri och V-diagram. Reaktioner A_y = B_y = 2F. Walk through V (kN) från vänster: vid x=0 hopp ner med F. V = -F till x=1.5 (där A-reaktionen ger hopp +2F → V = +F). Vid x=2.75 hopp ner med 2F → V = -F. Vid x=4 hopp +2F → V = +F. Vid x=5.5 hopp ner med F → V = 0. M-diagram via arean av V från vänster Bestäm M_max via symmetri och V-diagram. Reaktioner A_y = B_y = 2F. Walk through V (kN) från vänster: vid x=0 hopp ner med F. V = -F till x=1.5 (där A-reaktionen ger hopp +2F → V = +F). Vid x=2.75 hopp ner med 2F → V = -F. Vid x=4 hopp +2F → V = +F. Vid x=5.5 hopp ner med F → V = 0. M-diagram via arean av V från vänster

Symmetri ger A_y = B_y = 2F. Från V-diagrammet är M_max = -1,5·F (kNm med F i kN), uppstår vid stöden. Eftersom M < 0 hamnar övre fibern i drag, undre i tryck. Symmetry gives A_y = B_y = 2F. From the V-diagram M_max = -1.5·F (kNm with F in kN), occurring at the supports. Since M < 0, the upper fibre is in tension and the lower in compression.

T-sektionen är 220×60 botten + 60×150 liv. Räkna y_tp areaviktat från undersidan. T-section is 220×60 bottom + 60×150 web. Compute y_tp area-weighted from the bottom.

Avstånd från varje dels egen tyngdpunkt till komposit-NL. Offsets from each part's centroid to the composite NA.

Summera I_c + A·d² för båda delarna. Sum I_c + A·d² for both parts.

Totalhöjd 210 mm = 60 + 150. e⁺ till övre fibern (drag-sidan när M<0); e⁻ till undre fibern (tryck-sidan). Total height 210 mm = 60 + 150. e⁺ to the upper fibre (tension side when M<0); e⁻ to the lower fibre (compression side).

σ_till_drag = 40 MPa i drag-fibern. Lös F_drag ur σ = M·e⁺/I_x = σ_till. σ_allow,tension = 40 MPa at the tension fibre. Solve F_tension from σ = M·e⁺/I_x = σ_allow.

σ_till_tryck = 120 MPa i tryck-fibern. Samma metod med e⁻. σ_allow,comp = 120 MPa at the compression fibre. Same method with e⁻.

Det mindre av F_drag och F_tryck är bindande. Drag-sidan (40 MPa) är begränsande. The smaller of F_drag and F_tryck is binding. The tension side (40 MPa) is the limit.

Gjutjärn har olika tillåten spänning i drag (40 MPa) och tryck (120 MPa) — typiskt för spröda material. Profilen är asymmetrisk (T-typ) ⇒ NA närmare den tyngre delen. När +M (sagging) verkar är drag på undre fiber och tryck på övre. Spänningen kontrolleras separat mot var sin gräns; den lägre F_max bestäms av drag-villkoret. Cast iron has different allowable stresses in tension (40 MPa) and compression (120 MPa) — typical for brittle materials. Asymmetric profile (T-type) ⇒ NA closer to the heavier side. For sagging +M, tension is on the bottom fibre and compression on the top. Each side is checked against its own limit; the smaller F_max comes from the tension condition.

Uppgiften frågar efter: F_max [kN] (med dimensionerande spänningsvillkor). Värdet är inramat nedan. The question asks for: F_max [kN] (with the governing stress condition). Value boxed below.

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Symbolisk uppgift. Symbolisk uppgift.

Rektangulärt tvärsnitt b × h med NA i mitten. Ett tunt strimmemnt vid höjd y har bredd b och höjd dy ⇒ dA = b·dy. Bidraget till I_x är y²·dA. Integrera y från −h/2 till +h/2: ytan b kommer ut som konstant, kvar y²-integralen. Rectangle b × h with NA at mid-height. A thin horizontal strip at height y has width b and height dy ⇒ dA = b·dy. Contribution to I_x is y²·dA. Integrate y from −h/2 to +h/2: b factors out as a constant, leaving the y² integral.

Uppgiften frågar efter: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Symbolisk uppgift. Symbolisk uppgift.

Cirkulär axel: I_v = ∫r²dA = π·d⁴/32 (polärt, för vridning, Ch5). Symmetri ⇒ I_x = I_y. Och eftersom r² = x² + y², är I_v = I_x + I_y. Kombinera: I_x = I_v/2 = π·d⁴/64. Samma cirkel, två olika storheter — för olika belastningstyper. Circular shaft: I_v = ∫r²dA = π·d⁴/32 (polar, for torsion, Ch5). Symmetry ⇒ I_x = I_y. And since r² = x² + y², we have I_v = I_x + I_y. Combine: I_x = I_v/2 = π·d⁴/64. Same circle, two different quantities — for two different load types.

Resultatet (det som skulle visas) är inramat nedan. The question asks for: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Values are boxed below — verify against 's original solution.

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Symbolisk uppgift: visa I_x för halvcirkel är π·R⁴/8. Symbolisk uppgift: visa I_x för halvcirkel is π·R⁴/8.

Halvcirkel kring raka kanten (x-axeln genom diametern). Hel cirkels I_x = π·R⁴/4 är beräknad kring centrum; eftersom y-fördelningen är samma i båda halvorna gäller I_x,halv = I_x,hel / 2 = π·R⁴/8. VIKTIGT: detta är INTE kring halvcirkelns centroid — den ligger på avstånd 4R/(3π) från raka kanten. För centroidalt I_x: använd Steiners sats. Semicircle about the straight edge (x-axis through the diameter). Full circle I_x = π·R⁴/4 is computed about the centre; since the y-distribution is identical in both halves, I_x,half = I_x,full / 2 = π·R⁴/8. IMPORTANT: this is NOT about the semicircle's centroid — the centroid lies 4R/(3π) from the straight edge. For centroidal I_x: use Steiner.

Resultatet (det som skulle visas) är inramat nedan. The question asks for: σ_max [MPa], σ_min [MPa]. Values are boxed below — verify against 's original solution.