HemHome

MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Chapter 8: Balkböjning — superpositionBeam deflection — superposition · Week 8 · 6 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚 Roliga fakta om inre krafter och moment Fun facts about internal forces and moments 2 stycken · klicka för att läsa
▶
✏️
1750 Berlin / BaselBerlin / Basel
Euler-Bernoulli-balken The Euler–Bernoulli beam
Leonhard Euler och Daniel Bernoulli löste 1750 differentialekvationen EI·d²w/dx² = M(x), grunden för all balkböjning. Tabellerna i KB s35-s37 är dessa lösningar… Leonhard Euler and Daniel Bernoulli solved EI·d²w/dx² = M(x) in 1750 — the foundation of all beam deflection. KB s35-s37 tabulates these solutions for standard …
Läs mer →Read more →
📓
1919 CambridgeCambridge
Macaulay-parenteser Macaulay brackets
William Macaulay införde 1919 hakparenteserna ⟨x−a⟩ⁿ för att hantera diskontinuerliga laster i en enda integration. Det är fortfarande den enklaste metoden för … William Macaulay introduced the bracket notation ⟨x−a⟩ⁿ in 1919 to handle discontinuous loads in a single integration. It's still the simplest way to combine po…
Läs mer →Read more →
·

8.1 grundinteractive

Lastfallet: stålbalk VKR 90×90×5, E = 210 GPa, L₁ = 0,6 m, L₂ = 0,4 m, F = 30 kN. Bestäm: a) Nedböjning i C. b) Nedböjning i B. c) Nedböjning i D. d) Vinkeländring vid A. e) Vinkeländring vid E.

Beam VKR 90×90×5, E = 210 GPa, L₁ = 0.6 m, L₂ = 0.4 m, F = 30 kN. Find: a) deflection at C; b) at B; c) at D; d) slope at A; e) slope at E.

VerklighetsanknytningReal-world context Kvadratiska hålprofiler (VKR) är vanliga i renrums­inhägnader, transport­bandsramar och maskinskydd. Att veta utböjningen *på flera punkter* (inte bara δ_max) är viktigt för vibrationskänsligt utrustning som måste hålla geometrisk tolerans även när lasten flyttar sig. 💡 **Se även problem 7.1** — samma böjda balk men med superposition av flera laster. 💡 **See also problem 7.1** — same bent beam but with load-case superposition.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Givna värden och identifiering av Fall 6 (KB s.29)Given values and identification of Case 6 (KB p.29)
  5. (a) δ_C vid lastpunkten(a) δ_C at the load point
  6. (b) δ_B vid x_a = 600 mm (vänster segment)(b) δ_B at x_a = 600 mm (left segment)
  7. (c) δ_D vid x_b = 400 mm (höger segment)(c) δ_D at x_b = 400 mm (right segment)
  8. (d) θ_A vid vänster stöd(d) θ_A at the left support
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Detta är ett Fall-6 problem (KB s.29): punktlast på fritt upplagd balk, ICKE-centrerad. En enda tabell-uppslagning ger alla 5 outputs (δ vid 3 punkter + θ vid 2 stöd). Detta är ett Fall-6 problem (KB s.29): punktlast på fritt upplagd balk, ICKE-centrerad. En enda tabell-uppslagning ger alla 5 outputs (δ vid 3 punkter + θ vid 2 stöd).
2. Konvertera enheter: E = 210·10³ N/mm², I = 202·10⁴ mm⁴, F = 30·10³ N, a = 1200, b = 800, L = 2000 mm. EI = 4,242·10¹¹ Nmm². Konvertera enheter: E = 210·10³ N/mm², I = 202·10⁴ mm⁴, F = 30·10³ N, a = 1200, b = 800, L = 2000 mm. EI = 4,242·10¹¹ Nmm².
3. (a) δ_C = Fa²b²/(3·EI·L) = 10,86 mm. (b) δ_B = F·b·x_a·(L²−b²−x_a²)/(6·EI·L) = 8,49 mm. (c) δ_D = 6,79 mm. (d) θ_A = Fab(L+b)/(6·EI·L) = 0,0158 rad ≈ 0,91°. (e) θ_E = Fab(L+a)/(6·EI·L) = 0,0181 rad ≈ 1,04°. (a) δ_C = Fa²b²/(3·EI·L) = 10,86 mm. (b) δ_B = F·b·x_a·(L²−b²−x_a²)/(6·EI·L) = 8,49 mm. (c) δ_D = 6,79 mm. (d) θ_A = Fab(L+b)/(6·EI·L) = 0,0158 rad ≈ 0,91°. (e) θ_E = Fab(L+a)/(6·EI·L) = 0,0181 rad ≈ 1,04°.
≈ 12 min≈ 12 min · Fall-6 off-center-point-load fem-svar-från-en-uppslagning anchor-problem
Figure 8.1
Fig. 8.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Dela upp lasten i standardfall i KB s32-s35 (fritt upplagd + punktlast, eller utkragad). Superpositionera bidragen punkt för punkt. Hämta I_x för VKR 90×90×5 från KB s40. Decompose the load into standard cases from KB s32-s35 (simply-supported + point load, or cantilever). Superpose contributions point by point. Look up I_x for VKR 90×90×5 in KB s40.
1. Givna värden och identifiering av Fall 6 (KB s.29)Given values and identification of Case 6 (KB p.29)

Lasten är en icke-centrerad punktlast på fritt upplagd balk — Fall 6 i KB s.29 ger formler för δ vid lastpunkten, δ vid godtycklig position, och θ vid båda stöden. En enda tabelluppslagning räcker för alla fem delfrågor. An off-centre point load on a simply-supported beam — Case 6 in KB p.29 lists δ at the load, δ at any position, and θ at both supports. A single table look-up covers all five sub-questions.

Tröghetsmomentet I_x = 202 cm⁴ måste i deformationsformeln... The moment of inertia I_x = 202 cm⁴ in the deflection formula must be...
50%
202 cm⁴ = 202·10⁴ mm⁴. Med konsekventa enheter (N, mm) blir δ_C = 10,86 mm. 202 cm⁴ = 202·10⁴ mm⁴. With consistent units (N, mm), δ_C = 10.86 mm.
Fritt upplagd balk L = 2(L₁+L₂) = 2 m. F=30 kN vid C (mitten). B/D är kvartspunkterna. Deformerad form i kopparfärg visar δ_max vid C och θ vid A/E.Simply supported beam L = 2(L₁+L₂) = 2 m. F=30 kN at C (midspan). B/D are the quarter-points. Deformed shape in copper shows δ_max at C and θ at A/E.
$$ F = 30\;\text{kN},\;\;a = 1200\;\text{mm},\;\;b = 800\;\text{mm},\;\;L = 2000\;\text{mm} $$
$$ \begin{aligned}I_x &= 202\;\text{cm}^{4} = 202\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4} \\ EI &= 210\cdot 10^{3}\cdot 202\cdot 10^{4} \approx 4{,}242\cdot 10^{11}\;\text{Nmm}^{2}\end{aligned} $$
2. (a) δ_C vid lastpunkten(a) δ_C at the load point

Fall 6 — formel för utböjning vid lastpunkten på en fritt upplagd balk: δ_C = F·a²·b² / (3·EI·L). Case 6 — deflection at the load point on a simply-supported beam: δ_C = F·a²·b² / (3·EI·L).

$$ \begin{aligned}\delta_C &= \frac{F\,a^{2}\,b^{2}}{3\,EI\,L} = \frac{30\cdot 10^{3}\cdot 1200^{2}\cdot 800^{2}}{3\cdot 4.242\cdot 10^{11}\cdot 2000} \\ &= 10.86\;\text{mm}\end{aligned} $$
3. (b) δ_B vid x_a = 600 mm (vänster segment)(b) δ_B at x_a = 600 mm (left segment)

Fall 6 — formel för utböjning vid godtycklig position i vänster segment (x_a < a): δ = F·b·x_a·(L²−b²−x_a²) / (6·EI·L). Case 6 — deflection at any position in the left segment (x_a < a): δ = F·b·x_a·(L²−b²−x_a²) / (6·EI·L).

$$ \begin{aligned}\delta_B &= \frac{F\,b\,x_a\,(L^{2}-b^{2}-x_a^{2})}{6\,EI\,L} \\ &= \frac{30\cdot 10^{3}\cdot 800\cdot 600\cdot(4\cdot 10^{6}-640\cdot 10^{3}-360\cdot 10^{3})}{6\cdot 4.242\cdot 10^{11}\cdot 2000} \\ &= 8.49\;\text{mm}\end{aligned} $$
4. (c) δ_D vid x_b = 400 mm (höger segment)(c) δ_D at x_b = 400 mm (right segment)

Fall 6 — speglad formel för höger segment (mätt från höger stöd): δ = F·a·x_b·(L²−a²−x_b²) / (6·EI·L). Case 6 — mirrored formula for the right segment (measured from the right support): δ = F·a·x_b·(L²−a²−x_b²) / (6·EI·L).

$$ \begin{aligned}\delta_D &= \frac{F\,a\,x_b\,(L^{2}-a^{2}-x_b^{2})}{6\,EI\,L} \\ &= \frac{30\cdot 10^{3}\cdot 1200\cdot 400\cdot(4\cdot 10^{6}-1.44\cdot 10^{6}-160\cdot 10^{3})}{6\cdot 4.242\cdot 10^{11}\cdot 2000} \\ &= 6.79\;\text{mm}\end{aligned} $$
5. (d) θ_A vid vänster stöd(d) θ_A at the left support

Fall 6 — vinkeländring vid vänster stöd: θ_A = F·a·b·(L+b) / (6·EI·L). Case 6 — slope at the left support: θ_A = F·a·b·(L+b) / (6·EI·L).

$$ \begin{aligned}\theta_A &= \frac{F\,a\,b\,(L+b)}{6\,EI\,L} = \frac{30\cdot 10^{3}\cdot 1200\cdot 800\cdot 2800}{6\cdot 4.242\cdot 10^{11}\cdot 2000} \\ &= 0.0158\;\text{rad} = 0.91^{\circ}\end{aligned} $$
6. (e) θ_E vid höger stöd(e) θ_E at the right support

Fall 6 — vinkeländring vid höger stöd: θ_E = F·a·b·(L+a) / (6·EI·L). Eftersom a > b ger detta större θ än vid A. Case 6 — slope at the right support: θ_E = F·a·b·(L+a) / (6·EI·L). Since a > b this is larger than θ_A.

$$ \begin{aligned}\theta_E &= \frac{F\,a\,b\,(L+a)}{6\,EI\,L} = \frac{30\cdot 10^{3}\cdot 1200\cdot 800\cdot 3200}{6\cdot 4.242\cdot 10^{11}\cdot 2000} \\ &= 0.0181\;\text{rad} = 1.04^{\circ}\end{aligned} $$
7. Insikt — en uppslagning, fem svarInsight — one look-up, five answers

En enda Fall-uppslagning räckte för alla fem delfrågor. θ_E > θ_A eftersom lasten är närmare A (a > b) — det längre högra spannet får större vinkeländring vid stödet. A single case look-up covered all five sub-questions. θ_E > θ_A because the load is closer to A (a > b) — the longer right span rotates more at its support.

$$ \begin{aligned}\textcolor{#888}{\text{Kontroll:}}\;\;\frac{\theta_E}{\theta_A} &= \frac{L+a}{L+b} = \frac{3200}{2800} \approx 1{,}14 \\ &\textcolor{#888}{\text{(matchar }1{,}04^{\circ}/0{,}91^{\circ}\text{)}}\end{aligned} $$
8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: δ_F [mm], δ_E [mm], θ_x [rad]. Värdena är inramade nedan. Step: final answer — apply the superposition principle and the KB-table deflection formulas.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{C} = 10.86\;\text{mm} \\ \delta_{B} = 8.49\;\text{mm} \\ \delta_{D} = 6.79\;\text{mm} \\ \theta_{A} = 0.0158\;\text{rad}\;(0.91^{\circ}) \\ \theta_{E} = 0.0181\;\text{rad}\;(1.04^{\circ})\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
  • KB s.40 · VKR (KKR) tabell — I_xVKR (RHS) table — I_x
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M8-01_picked_wrong_fall
KB s.29 har flera 'Fall'. Välj rätt — Fall 1: fritt upplagd + UDL. Fall 2: fritt upplagd + punktlast mitten. Fall 6: fritt upplagd + punktlast ICKE-centrerad. Konsol: Fall 7-10. KB p.29 lists several 'Cases'. Pick the right one — Case 1: simply supported + UDL. Case 2: simply supported + mid-span point load. Case 6: simply supported + OFF-CENTER point load. Cantilever: Cases 7–10.
M8-02_a_b_swapped
Konvention: a = avstånd från VÄNSTER stöd till lasten, b = från lasten till HÖGER stöd. Förväxla inte; formelstrukturen ser likadan ut men siffrorna blir fel. Convention: a = distance from the LEFT support to the load, b = from the load to the RIGHT support. Don't confuse them; the formula looks identical but the numbers come out wrong.
M8-03_a_vs_x_a
a är där LASTEN verkar. x_a är där vi vill veta UTBÖJNINGEN. De är olika parametrar i Fall 6:s formel för δ vid godtycklig position. a is where the LOAD acts. x_a is where we want to know the DEFLECTION. They are different parameters in Case 6's formula for δ at an arbitrary position.
M8-07_I_unit_cm4_vs_mm4
IPE-tabeller anger ofta I i cm⁴. Konvertera: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. Om resultatet är 10 000× fel — kontrollera enhet på I. IPE tables often list I in cm⁴. Convert: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. If the result is off by a factor of 10 000 — check the units of I.
Se även:See also: Kap. 7 — BöjspänningarCh. 7 — Bending stresses — I_x = 202·10⁴ mm⁴ är samma tröghetsmoment som används i Ch7 för σ_max. Samma tvärsnitt — olika tillämpning. · Uppg. 8.2 — Stålbalk IPE 360 belastas med en punktlast och en utbredd la…Prob. 8.2 — IPE 360 carries one point load + a UDL. Find the deflection… — Samma profil men med utbredd last + symmetrisk punktlast. Superposition av två Fall.

Prova själv — Fall 6 punktlast på fritt upplagd balk, dra lasten i sidledTry it yourself — Fall 6 off-centre point load, drag the load sideways

Punktlast vid position a på en balk med längd L. När a = L/2 är systemet symmetriskt (θ_A = θ_E). När a > L/2 är högra spannet kortare → θ_E < θ_A. Notera att δ_C (vid lasten) toppar nära mitten. Point load at position a on a beam of length L. At a = L/2 symmetric (θ_A = θ_E). For a > L/2 the right span is shorter → θ_E < θ_A. Note δ_C peaks near mid-span.

30 kN
2000 mm
1200 mm
424200000000.0 Nmm²
Balkens deformerade form (visuellt förstärkt). Punkten visar δ_max. Beam deformed shape (visually amplified). The marker shows δ_max.
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— mm
— mm
— °
— °
8.2 grund

Stålbalk IPE 360 belastas med en punktlast och en utbredd last. Bestäm utböjningen i C och lutningen i B.

IPE 360 carries one point load + a UDL. Find the deflection at C and the slope at B.

VerklighetsanknytningReal-world context Industriella ramar med kombinerad egenvikt (UDL) + utrustningslast (punktlast) — t.ex. en bro­kran med trolley i mitten — är klassiska 8.2-fall. Superposition är konstruktörens vardags-verktyg. 💡 **Se även problem 6.4** — superposition av två lastfall vs ett enkelt diagram. 💡 **See also problem 6.4** — superposition of two load cases vs a single diagram.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: utböjningen i C och lutningen i B.You're asked to find: the deflection at C and the slope at B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Sätt upp superpositionen — Fall 5 + Fall 10Set up the superposition — Case 5 + Case 10
  5. Givna värden och böjstyvhet EIGiven values and EI
  6. Fall 5 — δ_1 och θ_1 från punktlastenCase 5 — δ_1 and θ_1 from the point load
  7. Fall 10 — δ_2 och θ_2 från UDLCase 10 — δ_2 and θ_2 from the UDL
  8. Superposition — δ_C och θ_BSuperposition — δ_C and θ_B
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Superposition: räkna utböjningen från VARJE last separat (Fall 2 för centrerad punktlast, Fall 1 för UDL), sedan summera. Superposition: räkna utböjningen från VARJE last separat (Fall 2 för centrerad punktlast, Fall 1 för UDL), sedan summera.
2. Fall 2: δ_C = F·L³/(48·EI). Fall 1: δ_C = 5·q·L⁴/(384·EI). Båda får sin egen δ_C i mitten. Fall 2: δ_C = F·L³/(48·EI). Fall 1: δ_C = 5·q·L⁴/(384·EI). Båda får sin egen δ_C i mitten.
3. δ_tot = δ_F + δ_q = 4,293 + 2,927 = 7,22 mm. θ_B från Fall 1+2: ≈ 0,32°. δ_tot = δ_F + δ_q = 4,293 + 2,927 = 7,22 mm. θ_B från Fall 1+2: ≈ 0,32°.
≈ 10 min≈ 10 min · superposition Fall-1+Fall-2 anchor-problem
Figure 8.2
Fig. 8.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Superposition: δ_total = δ_punkt + δ_q. Hämta båda från KB s32-s35 (fritt upplagd balk, mittpunktslast och UDL). I_x från IPE-tabellen. Superposition: δ_total = δ_point + δ_q. Both from KB s32-s35 (simply supported, mid point load + UDL). I_x from IPE table.
1. Sätt upp superpositionen — Fall 5 + Fall 10Set up the superposition — Case 5 + Case 10

Två oberoende laster på samma fritt upplagda balk: en mittpunktslast F = 110 kN (KB Fall 5) plus en jämnt utbredd last q = 30 kN/m över hela L = 4 m (KB Fall 10). Linjär elasticitet ⇒ utböjning och vinkel adderas linjärt per punkt. Two independent loads on the same simply supported beam: a midspan point load F = 110 kN (KB Case 5) plus a UDL q = 30 kN/m over the full L = 4 m (KB Case 10). Linear elasticity ⇒ deflection and slope add linearly per point.

Med både en punktlast och en utbredd last beräknas nedböjningen genom att... With both a point load and a distributed load, the deflection is found by...
50%
δ_C = δ(punktlast, Fall 5) + δ(utbredd, Fall 10) = 7,22 mm. δ_C = δ(point load, Case 5) + δ(distributed, Case 10) = 7.22 mm.
Fritt upplagd L=4 m. UDL q=30 kN/m hela balken + F=110 kN i mitten (Fall 5 + Fall 10). Deformerad form i kopparfärg = δ₁+δ₂ vid C. Superpositions-kaskad: bidragen adderas.Simply supported L=4 m. UDL q=30 kN/m over the entire length + F=110 kN at midspan (Case 5 + Case 10). Deformed shape in copper = δ₁+δ₂ at C. Superposition cascade: contributions add.
$$ F = 110\;\text{kN at midspan},\;\;q = 30\;\text{kN/m over } L = 4\;\text{m (total } Q = qL = 120\;\text{kN)} $$
2. Givna värden och böjstyvhet EIGiven values and EI

Tabellvärde I_x för IPE 360 (KB s.39). E = 210 GPa för stål. Table value I_x for IPE 360 (KB p.39). E = 210 GPa for steel.

$$ I_x = 16\,270\;\text{cm}^{4} = 16\,270\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4} $$
$$ EI = 210\cdot 10^{3}\cdot 16\,270\cdot 10^{4} \approx 3{,}4167\cdot 10^{13}\;\text{Nmm}^{2} $$
3. Fall 5 — δ_1 och θ_1 från punktlastenCase 5 — δ_1 and θ_1 from the point load

Fall 5 (KB s.29): mittpunktslast på fritt upplagd balk. Formler δ = FL³/(48EI), θ = FL²/(16EI). Case 5 (KB p.29): midspan point load on a simply supported beam. δ = FL³/(48EI), θ = FL²/(16EI).

Fall 5 (KB s.29) isolerat: fritt upplagd balk L = 4 m med punktlast F = 110 kN i mitten. δ_1 vid C (mitten), θ_1 vid stöden.Case 5 (KB p.29) isolated: simply supported beam L = 4 m with point load F = 110 kN at midspan. δ_1 at C (midspan), θ_1 at supports.
$$ \delta_1 = \dfrac{F\cdot L^{3}}{48\cdot EI} = \dfrac{110\cdot 10^{3}\cdot 4000^{3}}{48\cdot 3{,}4167\cdot 10^{13}} \approx 4{,}293\;\text{mm} $$
$$ \theta_1 = \dfrac{F\cdot L^{2}}{16\cdot EI} = \dfrac{110\cdot 10^{3}\cdot 4000^{2}}{16\cdot 3{,}4167\cdot 10^{13}} \approx 3{,}219\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
4. Fall 10 — δ_2 och θ_2 från UDLCase 10 — δ_2 and θ_2 from the UDL

Fall 10 (KB s.30): UDL på fritt upplagd balk, total Q = q·L = 120 kN. Formler δ = 5Q·L³/(384EI), θ = Q·L²/(24EI). Case 10 (KB p.30): UDL on a simply supported beam, total Q = q·L = 120 kN. δ = 5Q·L³/(384EI), θ = Q·L²/(24EI).

Fall 10 (KB s.30) isolerat: fritt upplagd balk L = 4 m med UDL q = 30 kN/m. δ_2 vid C (mitten), θ_2 vid stöden.Case 10 (KB p.30) isolated: simply supported beam L = 4 m with UDL q = 30 kN/m. δ_2 at C (midspan), θ_2 at supports.
$$ \delta_2 = \dfrac{5\cdot Q\cdot L^{3}}{384\cdot EI} = \dfrac{5\cdot 120\cdot 10^{3}\cdot 4000^{3}}{384\cdot 3{,}4167\cdot 10^{13}} \approx 2{,}927\;\text{mm} $$
$$ \theta_2 = \dfrac{Q\cdot L^{2}}{24\cdot EI} = \dfrac{120\cdot 10^{3}\cdot 4000^{2}}{24\cdot 3{,}4167\cdot 10^{13}} \approx 2{,}341\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
5. Superposition — δ_C och θ_BSuperposition — δ_C and θ_B

Båda lasterna verkar nedåt och böjer balken nedåt vid C ⇒ bidragen adderas. Vid B roterar balken åt samma håll i båda fallen ⇒ också addition. Both loads act downwards and bend the beam down at C ⇒ contributions add. At B the beam rotates the same way for both ⇒ also addition.

$$ \delta_C = \delta_1 + \delta_2 = 4{,}293 + 2{,}927 \approx 7{,}22\;\text{mm} $$
$$ \theta_B = \theta_1 + \theta_2 = (3{,}219 + 2{,}341)\cdot 10^{-3} \approx 5{,}56\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
6. θ_B i graderθ_B in degrees

Konvertera radianer till grader. Convert radians to degrees.

$$ \theta_B = 5{,}56\cdot 10^{-3}\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 0{,}319^{\circ} $$
7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: δ_F [mm], θ_E [rad]. Värdena är inramade nedan. Step: final answer — apply the superposition principle and the KB-table deflection formulas.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{C} = 7.22\;\text{mm} \\ \theta_{B} = 5.56\cdot 10^{-3}\;\text{rad}\;(0.319^{\circ})\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
  • KB s.39 · IPE tabell — I_x, W_xIPE table — I_x, W_x
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M8-04_forgot_superposition
När flera laster verkar samtidigt: räkna δ för varje last separat (varje motsvarar ett standard-fall), sedan SUMMERA. Linjär elasticitet ⇒ superposition gäller. When several loads act simultaneously: compute δ for each load separately (each corresponds to one standard case), then SUM. Linear elasticity ⇒ superposition holds.
M8-05_unit_kNm_E_I
Konsekventa enheter: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Kontrollera storleksordning på slutsvaret. Consistent units: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Sanity-check the order of magnitude of the final answer.
M8-06_used_wrong_W_for_delta
För utböjning δ använd I (tröghetsmoment), INTE W (böjmotstånd). W används bara för max-spänning σ = M/W. For deflection δ use I (moment of inertia), NOT W (section modulus). W is only used for maximum stress σ = M/W.
8.3 grund

Stålbalk IPE 270, fritt upplagd A–B (L = 2,8 m). Två punktlaster: 2,5F vid C (0,8 m från A) och F vid D (0,8 m från B), med F = 40 kN. E = 210 GPa. a) Utböjning δ_C och lutning θ_A. b) Maxspänningen σ_max i balken.

IPE 270, simply supported A–B (L = 2.8 m). Two point loads: 2.5F at C (0.8 m from A) and F at D (0.8 m from B), with F = 40 kN. E = 210 GPa. a) Find δ_C and slope θ_A. b) Find σ_max in the beam.

VerklighetsanknytningReal-world context Två-punkts-laster är vanliga i broar (två trafikfiler) och takbalkar (två takstolar). Symmetri ger snabb superposition. Two-point loads are common in bridges (two traffic lanes) and roof beams (two trusses). Symmetry makes superposition quick.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: δ_C and slope θ_A.You're asked to find: δ_C and slope θ_A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Belastning och givna värdenLoads and given values
  6. Reaktioner vid stödenSupport reactions
  7. Tvärsnittsdata + max böjmomentSection data + max bending moment
  8. BeräkningCalculation
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Två symmetriska punktlaster F: använd Fall 4 (symmetriska laster vid avstånd a från stöden). Eller superpositionera två Fall-6 fall. Två symmetriska punktlaster F: använd Fall 4 (symmetriska laster vid avstånd a från stöden). Eller superpositionera två Fall-6 fall.
2. Sätt in F = 40 kN och avståndena från figuren. Slå upp W_x och I_x för IPE 270 i tabell. Sätt in F = 40 kN och avståndena från figuren. Slå upp W_x och I_x för IPE 270 i tabell.
3. σ_max = M_max/W_x. δ_C och θ_A från Fall 4. σ_max = M_max/W_x. δ_C och θ_A från Fall 4.
≈ 10 min≈ 10 min · två-symmetriska-laster IPE-270
Figure 8.3
Fig. 8.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Superposition: dela upp i två separata punktlastfall (Fall 6, KB s.29). Beräkna reaktioner R_A, R_B; M(x_C) och M(x_D) ger M_max ⇒ σ_max = M_max/W_x. För δ_C summera bidragen från båda lasterna i punkten C; för θ_A summera lutningsbidragen vid stöd A. Superposition: split into two separate point-load cases (Case 6, KB p.29). Reactions R_A, R_B; M at x_C and x_D give M_max ⇒ σ_max = M_max/W_x. For δ_C sum both load contributions at point C; for θ_A sum the slope contributions at support A.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Med två punktlaster beräknas utböjningen i C genom att... With two point loads, the deflection at C is found by...
50%
Addera bidragen från 2,5F och F (var och en ur sitt standardfall) → δ_C = 3,33 mm. Add the contributions from 2.5F and F (each from its standard case) → δ_C = 3.33 mm.
IPE 270, fritt upplagd A–B (2,8 m). Två OLIKA punktlaster: 2,5F = 100 kN vid C, F = 40 kN vid D. Superposition av två Fall 6 (eller en kombinerad lookup). Deformerad form i kopparfärg = δ₁+δ₂ vid lastpunkterna.IPE 270, simply supported A–B (2.8 m). Two DIFFERENT point loads: 2.5F = 100 kN at C, F = 40 kN at D. Superposition of two Fall 6 (or one combined lookup). Deformed shape in copper = δ₁+δ₂ at the load points.
$$ \delta_C = \delta_{C,F_1} + \delta_{C,F_2} $$
$$ \sigma_{max} = \dfrac{M_{max}}{W_x} $$
2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Läs av lasterna och längderna direkt från figuren. Read the loads and spans directly off the figure.

$$ F = 40\;\text{kN}\;\Rightarrow\;P_{1} = 2{,}5F = 100\;\text{kN}\;\text{(vid C)},\;\;P_{2} = F = 40\;\text{kN}\;\text{(vid D)} $$
$$ x_{C} = 0{,}8\;\text{m},\;\;x_{D} = 2{,}0\;\text{m},\;\;L = 2{,}8\;\text{m} $$
3. Reaktioner vid stödenSupport reactions

Momentjämvikt kring A ger R_B; kraftjämvikt ger R_A. Behövs sedan för moment- och spänningsanalysen. Sum of moments about A gives R_B; force equilibrium gives R_A. Needed downstream for moment and stress.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{A} = 0:\;\;R_{B}\cdot L = P_{1}\cdot x_{C} + P_{2}\cdot x_{D} $$
$$ R_{B} = \dfrac{100\cdot 0{,}8 + 40\cdot 2{,}0}{2{,}8} = \dfrac{160}{2{,}8} \approx 57{,}14\;\text{kN} $$
$$ R_{A} = P_{1} + P_{2} - R_{B} = 140 - 57{,}14 \approx 82{,}86\;\text{kN} $$
4. Tvärsnittsdata + max böjmomentSection data + max bending moment

IPE 270 från tabellen. M(x) är linjär mellan lastpunkterna, så M_max nås vid C eller D. IPE 270 from the section table. M(x) is piecewise linear between load points, so M_max is at C or D.

$$ \text{IPE 270:}\;\;I_{x} = 5790\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4},\;\;W_{x} = 429\cdot 10^{3}\;\text{mm}^{3} $$
$$ M_{C} = R_{A}\cdot x_{C} = 82{,}86\cdot 0{,}8 \approx 66{,}3\;\text{kN}\cdot\text{m} $$
$$ M_{D} = R_{B}\cdot (L - x_{D}) = 57{,}14\cdot 0{,}8 \approx 45{,}7\;\text{kN}\cdot\text{m} $$
$$ M_{max} = M_{C} \approx 66{,}3\;\text{kN}\cdot\text{m} $$
$$ \sigma_{max} = \dfrac{M_{max}}{W_{x}} = \dfrac{66{,}3\cdot 10^{6}}{429\cdot 10^{3}} \approx 154{,}5\;\text{MPa} $$
5. BeräkningCalculation

Fall I: bara P_1 (= 2,5F = 100 kN) verkar; standardfall 6 (KB s.29). a = x_C = 800 mm, b = L − a = 2000 mm. Case I: only P_1 (= 2.5F = 100 kN) acts; standard Case 6 (KB p.29). a = x_C = 800 mm, b = L − a = 2000 mm.

Fall I isolerat (Fall 5 KB s.29 — excentrisk punktlast): fritt upplagd A–B (2,8 m) med F_1 vid avstånd a från A. Övriga laster bortkopplade.Case I isolated (Case 5 KB p.29 — eccentric point load): simply supported A–B (2.8 m) with F_1 at distance a from A. Other loads removed.
$$ \text{Fall I:}\;\;P_{1} = 100\;\text{kN}\;\text{vid}\;\;a = 800\;\text{mm},\;\;b = L - a = 2000\;\text{mm} $$
6. Deformation och vinklarDeformation and angles

Sätt in i Fall 6: vid lastpunkten (x = a) reducerar formeln till δ = P·a²·b²/(3EIL); θ vid stöd A är θ_A = P·b·(L² − b²)/(6EIL). Här blir EI = 210·10³ · 5790·10⁴ = 1{,}216·10¹³ N·mm². Plug into Case 6: at the load point (x = a) the deflection reduces to δ = P·a²·b²/(3EIL); slope at A is θ_A = P·b·(L² − b²)/(6EIL). Here EI = 210·10³ · 5790·10⁴ = 1.216·10¹³ N·mm².

$$ \delta_{1,C} = \dfrac{P_{1}\,a^{2}\,b^{2}}{3\,EI\,L} = \dfrac{100\cdot 10^{3}\cdot 800^{2}\cdot 2000^{2}}{3\cdot 1{,}216\cdot 10^{13}\cdot 2800} \approx 2{,}51\;\text{mm} $$
$$ \theta_{A,1} = \dfrac{P_{1}\,b\,(L^{2} - b^{2})}{6\,EI\,L} = \dfrac{100\cdot 10^{3}\cdot 2000\cdot (2800^{2} - 2000^{2})}{6\cdot 1{,}216\cdot 10^{13}\cdot 2800} \approx 3{,}76\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
7. BeräkningCalculation

Fall II: bara P_2 (= F = 40 kN) verkar. För Fall 6: a = x_D = 2000 mm från A, b = L − a = 800 mm. δ söks fortfarande i punkten C, dvs x = 800 mm < a, så formeln δ = P·b·x·(L² − b² − x²)/(6EIL) gäller. Case II: only P_2 (= F = 40 kN) acts. For Case 6: a = x_D = 2000 mm from A, b = L − a = 800 mm. We still want δ at point C (x = 800 mm < a), so the formula δ = P·b·x·(L² − b² − x²)/(6EIL) applies.

Fall II isolerat (Fall 5 KB s.29 — excentrisk punktlast): fritt upplagd A–B (2,8 m) med F_2 vid avstånd b från B. Bidragen från Fall I bortkopplade.Case II isolated (Case 5 KB p.29 — eccentric point load): simply supported A–B (2.8 m) with F_2 at distance b from B. Case I contributions removed.
$$ \text{Fall II:}\;\;P_{2} = 40\;\text{kN}\;\text{vid}\;\;a = 2000\;\text{mm},\;\;b = L - a = 800\;\text{mm},\;\;x = x_{C} = 800\;\text{mm} $$
8. Deformation och vinklarDeformation and angles

Bidragen från Fall II i punkten C respektive vid stöd A. Case II contributions at point C and at support A.

$$ \delta_{2,C} = \dfrac{P_{2}\,b\,x\,(L^{2} - b^{2} - x^{2})}{6\,EI\,L} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 800\cdot 800\cdot (2800^{2} - 800^{2} - 800^{2})}{6\cdot 1{,}216\cdot 10^{13}\cdot 2800} \approx 0{,}82\;\text{mm} $$
$$ \theta_{A,2} = \dfrac{P_{2}\,b\,(L^{2} - b^{2})}{6\,EI\,L} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 800\cdot (2800^{2} - 800^{2})}{6\cdot 1{,}216\cdot 10^{13}\cdot 2800} \approx 1{,}13\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
9. BeräkningCalculation

Superposition: addera Fall I + Fall II i punkten C. Superposition: add Case I + Case II at point C.

$$ \delta_{C} = \delta_{1,C} + \delta_{2,C} \approx 2{,}51 + 0{,}82 \approx 3{,}33\;\text{mm} $$
10. Deformation och vinklarDeformation and angles

Superposition: addera Fall I + Fall II vid stöd A. Superposition: add Case I + Case II at support A.

$$ \theta_{A} = \theta_{A,1} + \theta_{A,2} \approx 3{,}76\cdot 10^{-3} + 1{,}13\cdot 10^{-3} \approx 4{,}89\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
11. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter δ_C, θ_A och σ_max. Värdena är inramade nedan. The task asks for δ_C, θ_A and σ_max. Values boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{C} \approx 3{,}33\;\text{mm} \\ \theta_{A} \approx 4{,}89\cdot 10^{-3}\;\text{rad} \\ \sigma_{max} \approx 154{,}5\;\text{MPa}\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
  • KB s.39 · IPE tabell — I_x, W_xIPE table — I_x, W_x
Vanliga misstagCommon mistakes
M8-01_picked_wrong_fall
KB s.29 har flera 'Fall'. Välj rätt — Fall 1: fritt upplagd + UDL. Fall 2: fritt upplagd + punktlast mitten. Fall 6: fritt upplagd + punktlast ICKE-centrerad. Konsol: Fall 7-10. KB p.29 lists several 'Cases'. Pick the right one — Case 1: simply supported + UDL. Case 2: simply supported + mid-span point load. Case 6: simply supported + OFF-CENTER point load. Cantilever: Cases 7–10.
M8-04_forgot_superposition
När flera laster verkar samtidigt: räkna δ för varje last separat (varje motsvarar ett standard-fall), sedan SUMMERA. Linjär elasticitet ⇒ superposition gäller. When several loads act simultaneously: compute δ for each load separately (each corresponds to one standard case), then SUM. Linear elasticity ⇒ superposition holds.
M8-06_used_wrong_W_for_delta
För utböjning δ använd I (tröghetsmoment), INTE W (böjmotstånd). W används bara för max-spänning σ = M/W. For deflection δ use I (moment of inertia), NOT W (section modulus). W is only used for maximum stress σ = M/W.
8.4 grund

Balken är fast inspänd vid D. Bestäm a) utböjning vid A; b) lutning vid A. I 360 (E = 210 GPa).

Beam fixed at D. Find a) deflection at A; b) slope at A. I 360, E = 210 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Utstickande tak­konsoler, balkonger, kran­arm­ar — alla är konsolbalkar med blandad belastning. Geometric extension är ett kraftfullt knep för 'partial UDL'-fall. Roof overhangs, balconies, crane arms — all are cantilevers with mixed loading. Geometric extension is a powerful trick for 'partial UDL' cases.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: a) utböjning vid A; b) lutning vid A.You're asked to find: a) deflection at A; b) slope at A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Sätt upp superpositionen — två fall + geometrisk förlängningSet up the superposition — two cases + geometric extension
  5. Böjstyvhet EIBending stiffness EI
  6. Fall 3 — UDL på del-konsol (L_q = 2,6 m)Case 3 — UDL on partial cantilever (L_q = 2.6 m)
  7. Geometrisk förlängning UDL → A (Δ = 600 mm)Geometric extension UDL → A (Δ = 600 mm)
  8. Fall 2 — punktlast på del-konsol (L_F = 1,2 m)Case 2 — point load on partial cantilever (L_F = 1.2 m)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Konsolbalk: Fall 7 (UDL över hela längden) och Fall 8 (punktlast vid spets) — eller versioner med delaktig längd. Konsolbalk: Fall 7 (UDL över hela längden) och Fall 8 (punktlast vid spets) — eller versioner med delaktig längd.
2. För UDL över DELAR av en konsol: använd 'Geometric Extension' — räkna en längre virtuell konsol med full UDL, subtrahera den hypotetiska överskjutande delen. För UDL över DELAR av en konsol: använd 'Geometric Extension' — räkna en längre virtuell konsol med full UDL, subtrahera den hypotetiska överskjutande delen.
3. δ_A_tot = δ_q + δ_F = 4,537 + 2,937 = 7,47 mm. θ_A ≈ 0,16°. För F: dela δ i två delar (vid lastpunkten och utöver). δ_A_tot = δ_q + δ_F = 4,537 + 2,937 = 7,47 mm. θ_A ≈ 0,16°. För F: dela δ i två delar (vid lastpunkten och utöver).
≈ 15 min≈ 15 min · konsol partial-UDL geometric-extension anchor-problem
Figure 8.4
Fig. 8.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Utkragad balk — använd standardfall för konsol med lasterna placerade vid rätt avstånd från inspänningen. Summera bidrag. Cantilever — use the cantilever standard cases with each load at the right distance from the wall. Sum contributions.
1. Sätt upp superpositionen — två fall + geometrisk förlängningSet up the superposition — two cases + geometric extension

Konsolbalk inspänd vid D. Två last-komponenter: (1) UDL q = 25 kN/m från B till D (belastad längd L_q = 2,6 m, obelastad förlängning A–B = 0,6 m); (2) punktlast F = 60 kN vid C (avstånd vägg–last L_F = 1,2 m, obelastad förlängning C–A = 2,0 m). För varje fall: räkna δ och θ vid lastens slut, lägg sedan på geometrisk förlängning δ_A = δ_slut + θ_slut·Δ. Cantilever fixed at D. Two load components: (1) UDL q = 25 kN/m from B to D (loaded length L_q = 2.6 m, unloaded extension A–B = 0.6 m); (2) point load F = 60 kN at C (wall-to-load L_F = 1.2 m, unloaded extension C–A = 2.0 m). For each: compute δ and θ at the end of the loaded region, then add the rigid-body extension δ_A = δ_end + θ_end·Δ.

Den fria änden A:s nedböjning på en konsolbalk fås genom att... The free end A's deflection on a cantilever is found by...
50%
Konsol fast inspänd i D; superponera F och q → δ_A = 7,47 mm. Cantilever fixed at D; superpose F and q → δ_A = 7.47 mm.
Konsolbalk I 360, fast inspänd vid D (höger). Längd A→D = 3,2 m. Utbredd q = 25 kN/m från B till D (2,6 m). Punktlast F = 60 kN vid C. GEOMETRISK FÖRLÄNGNING: obelastade segmenten A–B (0,6 m) och C–A (2,0 m) roterar STELT — δ_A = δ_slut + θ_slut·Δ. Deformerad form i kopparfärg.Cantilever I 360, fixed at D (right end). Length A→D = 3.2 m. UDL q = 25 kN/m from B to D (2.6 m). Point load F = 60 kN at C. GEOMETRIC EXTENSION: unloaded segments A–B (0.6 m) and C–A (2.0 m) rotate RIGIDLY — δ_A = δ_end + θ_end·Δ. Deformed shape in copper.
$$ \delta_A = (\delta_q + \theta_q\cdot 0{,}6) + (\delta_F + \theta_F\cdot 2{,}0) $$
$$ \theta_A = \theta_q + \theta_F $$
2. Böjstyvhet EIBending stiffness EI

I 360 har I_x = 19 605 cm⁴ (KB s.45). I 360 has I_x = 19 605 cm⁴ (KB p.45).

$$ I_x = 19\,605\;\text{cm}^{4} = 19{,}605\cdot 10^{7}\;\text{mm}^{4} $$
$$ EI = 210\cdot 10^{3}\cdot 19{,}605\cdot 10^{7} \approx 4{,}117\cdot 10^{13}\;\text{Nmm}^{2} $$
3. Fall 3 — UDL på del-konsol (L_q = 2,6 m)Case 3 — UDL on partial cantilever (L_q = 2.6 m)

Fall 3 (KB s.29): UDL över konsolens belastade del. δ vid lastens slut (vid B) och θ där. Case 3 (KB p.29): UDL over the loaded portion of the cantilever. δ at the loaded end (at B) and θ there.

Fall 3 (KB s.29) isolerat: konsol L_q = 2,6 m med UDL = 25 kN/m. δ_q vid det inre fria tipset (B), θ_q vid samma punkt.Case 3 (KB p.29) isolated: cantilever L_q = 2.6 m with UDL = 25 kN/m. δ_q at the inner free tip (B), θ_q at the same point.
$$ \delta_q = \dfrac{q\cdot L_q^{4}}{8\cdot EI} = \dfrac{25\cdot 2600^{4}}{8\cdot 4{,}117\cdot 10^{13}} \approx 3{,}469\;\text{mm} $$
$$ \theta_q = \dfrac{q\cdot L_q^{3}}{6\cdot EI} = \dfrac{25\cdot 2600^{3}}{6\cdot 4{,}117\cdot 10^{13}} \approx 1{,}779\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
4. Geometrisk förlängning UDL → A (Δ = 600 mm)Geometric extension UDL → A (Δ = 600 mm)

Förlängningen mellan UDL-änden (B) och A är obelastad ⇒ stel rotation: δ_{1,at,A} = δ_q + θ_q·600. The extension between the UDL end (B) and A is unloaded ⇒ rigid-body rotation: δ_{1,at,A} = δ_q + θ_q·600.

Stelrotation av den obelastade förlängningen (60 cm) från B till A. Lutningen θ_q vid B fortsätter konstant; ger extra utböjning θ_q·Δ vid A.Rigid-body rotation of the unloaded extension (60 cm) from B to A. Slope θ_q at B continues unchanged, adding extra deflection θ_q·Δ at A.
$$ \delta_{1,A} = \delta_q + \theta_q\cdot 600 = 3{,}469 + 1{,}779\cdot 10^{-3}\cdot 600 \approx 4{,}537\;\text{mm} $$
5. Fall 2 — punktlast på del-konsol (L_F = 1,2 m)Case 2 — point load on partial cantilever (L_F = 1.2 m)

Fall 2 (KB s.29): punktlast vid den fria änden av en konsol av längd L_F. Beräknat vid punkten C. Case 2 (KB p.29): point load at the free end of a cantilever of length L_F. Evaluated at point C.

Fall 2 (KB s.29) isolerat: konsol L_F = 1,2 m med punktlast F = 60 kN vid fria änden (C). δ_F och θ_F vid C.Case 2 (KB p.29) isolated: cantilever L_F = 1.2 m with point load F = 60 kN at the free end (C). δ_F and θ_F at C.
$$ \delta_F = \dfrac{F\cdot L_F^{3}}{3\cdot EI} = \dfrac{60\cdot 10^{3}\cdot 1200^{3}}{3\cdot 4{,}117\cdot 10^{13}} \approx 0{,}839\;\text{mm} $$
$$ \theta_F = \dfrac{F\cdot L_F^{2}}{2\cdot EI} = \dfrac{60\cdot 10^{3}\cdot 1200^{2}}{2\cdot 4{,}117\cdot 10^{13}} \approx 1{,}049\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
6. Geometrisk förlängning F → A (Δ = 2000 mm)Geometric extension F → A (Δ = 2000 mm)

Mellan C och A är balken obelastad ⇒ samma stel-rotation: δ_{2,at,A} = δ_F + θ_F·2000. Between C and A the beam is unloaded ⇒ same rigid-body rotation: δ_{2,at,A} = δ_F + θ_F·2000.

Stelrotation av den obelastade förlängningen (2 m) från C till A. θ_F vid C fortsätter konstant; ger extra utböjning θ_F·Δ vid A.Rigid-body rotation of the unloaded extension (2 m) from C to A. Slope θ_F at C continues unchanged, adding extra deflection θ_F·Δ at A.
$$ \delta_{2,A} = \delta_F + \theta_F\cdot 2000 = 0{,}839 + 1{,}049\cdot 10^{-3}\cdot 2000 \approx 2{,}937\;\text{mm} $$
7. Summera vid ASum at A

Båda bidragen pekar nedåt vid A. Both contributions act downward at A.

$$ \delta_A = \delta_{1,A} + \delta_{2,A} = 4{,}537 + 2{,}937 \approx 7{,}47\;\text{mm} $$
8. Lutning θ_A vid den fria ändenSlope θ_A at the free end

θ är konstant förbi den obelastade förlängningen — θ_A = θ vid slutet av belastad region för båda fallen. θ is constant across the unloaded extension — θ_A = θ at the end of the loaded region for both cases.

$$ \theta_A = \theta_q + \theta_F = (1{,}779 + 1{,}049)\cdot 10^{-3} \approx 2{,}848\cdot 10^{-3}\;\text{rad} \approx 0{,}163^{\circ} $$
9. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_max [MPa]. Värdena är inramade nedan. Step: final answer — apply the superposition principle and the KB-table deflection formulas.

$$ \boxed{\sigma_{max} = 156\;\text{MPa}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
  • KB s.39 · IPE tabell — I_x, W_xIPE table — I_x, W_x
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M8-01_picked_wrong_fall
KB s.29 har flera 'Fall'. Välj rätt — Fall 1: fritt upplagd + UDL. Fall 2: fritt upplagd + punktlast mitten. Fall 6: fritt upplagd + punktlast ICKE-centrerad. Konsol: Fall 7-10. KB p.29 lists several 'Cases'. Pick the right one — Case 1: simply supported + UDL. Case 2: simply supported + mid-span point load. Case 6: simply supported + OFF-CENTER point load. Cantilever: Cases 7–10.
M8-04_forgot_superposition
När flera laster verkar samtidigt: räkna δ för varje last separat (varje motsvarar ett standard-fall), sedan SUMMERA. Linjär elasticitet ⇒ superposition gäller. When several loads act simultaneously: compute δ for each load separately (each corresponds to one standard case), then SUM. Linear elasticity ⇒ superposition holds.
M8-07_I_unit_cm4_vs_mm4
IPE-tabeller anger ofta I i cm⁴. Konvertera: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. Om resultatet är 10 000× fel — kontrollera enhet på I. IPE tables often list I in cm⁴. Convert: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. If the result is off by a factor of 10 000 — check the units of I.
8.5 grund

IPE300, E = 210 GPa. Bestäm a) vertikal förskjutning i D; b) lutning vid A.

IPE300, E = 210 GPa. Find a) vertical displacement at D; b) slope at A.

VerklighetsanknytningReal-world context IPE300 är ett mångsidigt stål­balk-tvärsnitt. Tabell­värdena gör utböjnings­räkning till en lookup-uppgift istället för en integral. IPE300 is a versatile steel-beam section. The tabulated cases turn deflection analysis into a lookup task instead of an integral.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: a) vertikal förskjutning i D; b) lutning vid A.You're asked to find: a) vertical displacement at D; b) slope at A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Sätt upp lösningen — överhäng + UDLSet up the solution — overhang + UDL
  5. Givna värden och böjstyvhet EIGiven values and EI
  6. Fall 10 — UDL på AB ger θ_B → överförs till DCase 10 — UDL on AB gives θ_B → transferred to D
  7. Fall 7 — punktlast på överhängetCase 7 — point load on the overhang
  8. (a) δ_D — netto vid den fria änden(a) δ_D — net at the free end
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. IPE300 med E = 210 GPa. Använd Fall som passar lasten. IPE300 med E = 210 GPa. Använd Fall som passar lasten.
2. Slå upp I_x för IPE300 från KB-tabell. Sedan tillämpa relevant Fall-formel. Slå upp I_x för IPE300 från KB-tabell. Sedan tillämpa relevant Fall-formel.
3. δ_D = ... mm. θ_A = ... rad. Konvertera till grader om så önskas. δ_D = ... mm. θ_A = ... rad. Konvertera till grader om så önskas.
≈ 10 min≈ 10 min · IPE300 Fall-lookup
Figure 8.5
Fig. 8.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Superposition av lastfallen i figuren. δ_D = Σ δ_D,i; φ_A = Σ φ_A,i. Tabellfall från KB. Superpose all the load cases. δ_D = Σ δ_D,i; φ_A = Σ φ_A,i. Standard cases from KB.
1. Sätt upp lösningen — överhäng + UDLSet up the solution — overhang + UDL

IPE 300, fritt upplagd A–B (6 m) med överhäng B–D (1,2 m). Två superpositions-fall: (1) UDL q = 40 kN/m på A–B (Fall 10, KB s.30) — ger rotation θ_B vid stödet B som lyfter/sänker D via stel rotation; (2) punktlast F = 90 kN vid D, som verkar som överhängsbelastning (Fall 7, KB s.29). IPE 300, simply supported A–B (6 m) with overhang B–D (1.2 m). Two superposition cases: (1) UDL q = 40 kN/m on A–B (Case 10, KB p.30) — gives slope θ_B at the support which translates to D via rigid rotation; (2) point load F = 90 kN at D acting on the overhang (Case 7, KB p.29).

För nedböjningen använder du... For the deflection you use...
50%
Nedböjning ∝ 1/(E·I) — använd I_x, inte W_x (som hör till spänningen). δ_D = 6,9 mm. Deflection ∝ 1/(E·I) — use I_x, not W_x (which belongs to the stress). δ_D = 6.9 mm.
IPE 300 — fritt upplagd A–B (6 m) MED ÖVERHÄNG B–D (1,2 m). Rulle vid A, led vid B, D fri. UDL 40 kN/m på A–B; punktlast 90 kN vid D. STELt ROTATIONS-ARGUMENT: UDL roterar AB ⇒ θ_1 vid B ⇒ lyfter D med a=θ_1·L_BD. F på överhänget drar D nedåt med b. Deformerad form i kopparfärg.IPE 300 — simply supported A–B (6 m) WITH OVERHANG B–D (1.2 m). Roller at A, pin at B, free at D. UDL 40 kN/m on A–B; 90 kN point load at D. RIGID-ROTATION ARGUMENT: UDL rotates AB ⇒ slope θ_1 at B ⇒ lifts D by a=θ_1·L_BD. F on overhang pulls D down by b. Deformed shape in copper.
$$ \delta_D = a - b\;\;\textcolor{#888}{\text{(förlängning av θ vid B minus konsoldeflektion)}} $$
$$ \theta_A = \theta_1 - \theta_2 $$
2. Givna värden och böjstyvhet EIGiven values and EI

IPE 300: I_x = 8356 cm⁴ (KB s.39). E = 210 GPa. IPE 300: I_x = 8356 cm⁴ (KB p.39). E = 210 GPa.

$$ I_x = 8356\;\text{cm}^{4} = 8356\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4} $$
$$ EI = 210\cdot 10^{3}\cdot 8356\cdot 10^{4} \approx 1{,}755\cdot 10^{13}\;\text{Nmm}^{2} $$
3. Fall 10 — UDL på AB ger θ_B → överförs till DCase 10 — UDL on AB gives θ_B → transferred to D

Fall 10 (KB s.30): UDL på fritt upplagd balk. Vinkeln θ_1 vid B (= θ_A i magnitud, symmetriskt) roterar överhänget B→D stelt. Resultat: a = θ_1·L_BD lyfter D uppåt. Case 10 (KB p.30): UDL on a simply supported beam. The slope θ_1 at B (= θ_A in magnitude, symmetric) rotates the overhang B→D as a rigid body. Result: a = θ_1·L_BD lifts D upward.

Fall 10 isolerat: UDL q på A–B. Ger θ_1 vid stöd B; överhängets stelrotation lyfter D uppåt med a = θ_1·L_BD.Case 10 isolated: UDL q on A–B. Yields θ_1 at support B; the overhang's rigid rotation lifts D upward by a = θ_1·L_BD.
$$ \theta_1 = \dfrac{q\cdot L_{AB}^{3}}{24\cdot EI} = \dfrac{40\cdot 6000^{3}}{24\cdot 1{,}755\cdot 10^{13}} \approx 0{,}0205\;\text{rad} $$
$$ a = \theta_1\cdot L_{BD} = 0{,}0205\cdot 1200 \approx 24{,}6\;\text{mm} $$
4. Fall 7 — punktlast på överhängetCase 7 — point load on the overhang

Fall 7 (KB s.29): F = 90 kN på överhänget vid D. Den dragna deflektionen vid D är b = F·L_BD³/(3·EI) (konsol med längden L_BD) plus en rotation θ_2 vid B. Case 7 (KB p.29): F = 90 kN on the overhang at D. The downward deflection at D is b = F·L_BD³/(3·EI) (cantilever of length L_BD) plus a rotation θ_2 at B.

Fall 7 isolerat: punktlast F på överhänget D. Drar D nedåt och inducerar motroterande θ_2 vid B.Case 7 isolated: point load F on the overhang D. Pulls D down and induces counter-rotating θ_2 at B.
$$ b = \dfrac{F\cdot L_{BD}^{3}}{3\cdot EI} + \dfrac{F\cdot L_{BD}\cdot L_{AB}^{2}}{6\cdot EI}\cdot L_{BD}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleines uttryck)}} $$
$$ b \approx 17{,}7\;\text{mm} $$
$$ \theta_2 = \dfrac{F\cdot L_{BD}^{2}}{2\cdot EI} = \dfrac{90\cdot 10^{3}\cdot 1200^{2}}{2\cdot 1{,}755\cdot 10^{13}} \approx 6{,}154\cdot 10^{-3}\;\text{rad} $$
5. (a) δ_D — netto vid den fria änden(a) δ_D — net at the free end

UDL-rotationen lyfter D uppåt (a); punktlasten F drar D nedåt (b). Netto-deflektion enligt Madeleines konvention: The UDL slope lifts D upward (a); the point load F pulls D down (b). Net deflection per Madeleine's convention:

$$ \delta_D = a - b = 24{,}6 - 17{,}7 \approx 6{,}9\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(uppåt netto)}} $$
6. (b) θ_A — lutning vid vänstra stödet(b) θ_A — slope at the left support

θ_A är skillnaden mellan UDL-bidraget och punktlastens bidrag (riktningarna motverkar varandra vid A). θ_A is the difference between the UDL contribution and the point-load contribution (directions oppose at A).

$$ \theta_A = \theta_1 - \theta_2 = 0{,}0205 - 6{,}154\cdot 10^{-3} \approx 0{,}0143\;\text{rad} \approx 0{,}82^{\circ} $$
7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter δ_D (utböjning vid D, fri ände) och θ_A (lutning vid A). Värdena är inramade nedan. The task asks for δ_D (deflection at the free end D) and θ_A (slope at A). Values boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{D} \approx 6{,}9\;\text{mm} \\ \theta_{A} \approx 0{,}0143\;\text{rad} \;(=0{,}82°)\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
  • KB s.39 · IPE tabell — I_x, W_xIPE table — I_x, W_x
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M8-01_picked_wrong_fall
KB s.29 har flera 'Fall'. Välj rätt — Fall 1: fritt upplagd + UDL. Fall 2: fritt upplagd + punktlast mitten. Fall 6: fritt upplagd + punktlast ICKE-centrerad. Konsol: Fall 7-10. KB p.29 lists several 'Cases'. Pick the right one — Case 1: simply supported + UDL. Case 2: simply supported + mid-span point load. Case 6: simply supported + OFF-CENTER point load. Cantilever: Cases 7–10.
M8-05_unit_kNm_E_I
Konsekventa enheter: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Kontrollera storleksordning på slutsvaret. Consistent units: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Sanity-check the order of magnitude of the final answer.
M8-06_used_wrong_W_for_delta
För utböjning δ använd I (tröghetsmoment), INTE W (böjmotstånd). W används bara för max-spänning σ = M/W. For deflection δ use I (moment of inertia), NOT W (section modulus). W is only used for maximum stress σ = M/W.
M8-07_I_unit_cm4_vs_mm4
IPE-tabeller anger ofta I i cm⁴. Konvertera: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. Om resultatet är 10 000× fel — kontrollera enhet på I. IPE tables often list I in cm⁴. Convert: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. If the result is off by a factor of 10 000 — check the units of I.
8.6 grund

Bestäm utböjningen vid B. I = 16,48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa.

Find the deflection at B. I = 16.48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Enhets­hantering är där dagliga beräkningsfel inträffar. Räkna alltid i konsekvent system (mm-N eller m-Pa-N). Unit handling is where everyday calculation errors creep in. Always work in a consistent system (mm-N or m-Pa-N).
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: utböjningen vid B.You're asked to find: the deflection at B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • E·I·y'' = M(x) — Euler-Bernoullis ekvationE·I·y'' = M(x) — the Euler-Bernoulli equation
  • Standardformler för δ_max per fall (KB s.29)Tabulated δ_max per case (KB p.29)
  • Superposition — addera δ från flera laster separatSuperposition — add δ from several loads separately
  • Använd I (tröghetsmoment), INTE W, för utböjningenUse I (moment of inertia), NOT W, for the deflection
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Vilket KB-fall motsvarar din balk + last?Which KB 'Fall' (case) matches your beam + load?
  2. Är det flera laster? Använd superposition.Several loads? Use superposition — sum the individual δ's.
  3. Kontrollera enheter (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).Check the units (cm⁴ vs mm⁴, kNm vs Nmm).
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värden och EIGiven values and EI
  6. Kontakt-kraft R_C via statisk balansContact force R_C from statics
  7. Övre balkens utböjning vid B (Fall 6 KB s.29)Upper beam deflection at B (Case 6 KB p.29)
  8. Nedre balkens deflektion vid C transfererasLower beam deflection at C transferred
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Ge värdena: I = 16,48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa. Bestäm rätt Fall från lastbilden. Ge värdena: I = 16,48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa. Bestäm rätt Fall från lastbilden.
2. EI = 210·10⁹ · 16,48·10⁻⁶ = 3,46·10⁶ Nm². Använd Fall-formeln med dessa enheter (eller konvertera till mm). EI = 210·10⁹ · 16,48·10⁻⁶ = 3,46·10⁶ Nm². Använd Fall-formeln med dessa enheter (eller konvertera till mm).
3. δ_B = (Fall-formel)/(EI). Avrunda till mm. δ_B = (Fall-formel)/(EI). Avrunda till mm.
≈ 8 min≈ 8 min · enhets-hantering Fall-lookup
Figure 8.6
Fig. 8.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Superposition tillämpas mot standardfall. δ_B = Σ δ_B,i från tabellen. Apply superposition to standard cases. δ_B = Σ δ_B,i from the table.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

I formeln för nedböjning används... In the deflection formula one uses...
50%
δ ∝ 1/(E·I). Med I = 16,48·10⁻⁶ m⁴ blir δ_B = 12,82 mm. δ ∝ 1/(E·I). With I = 16.48·10⁻⁶ m⁴, δ_B = 12.82 mm.
Två staplade balkar med kontakt vid C. ÖVRE A–C (4,8 m) bär 5 kN vid B. Övre balkens stöd C överför sin reaktion NEDÅT på den NEDRE balken D–E (7,2 m) vid x=4,8 m. Superposition + kompatibilitet: utböjningen vid B beror på BÅDA balkarnas eftergift. Deformerad form i kopparfärg på båda balkarna.Two stacked beams with contact at C. UPPER beam A–C (4.8 m) carries 5 kN at B. The upper beam's support at C transfers its reaction DOWNWARD onto the LOWER beam D–E (7.2 m) at x=4.8 m. Superposition + compatibility: deflection at B depends on BOTH beams' flexibility. Deformed shape in copper on both beams.
$$ \delta_B = \sum_i \delta_{B,i} $$
2. Givna värden och EIGiven values and EI

Övre och nedre balken har samma tvärsnitt: I = 16,48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa. Upper and lower beams share the same section: I = 16.48·10⁻⁶ m⁴, E = 210 GPa.

$$ I = 16{,}48\cdot 10^{-6}\;\text{m}^{4} = 16{,}48\cdot 10^{6}\;\text{mm}^{4} $$
$$ EI = 210\cdot 10^{9}\cdot 16{,}48\cdot 10^{-6} \approx 3{,}46\cdot 10^{6}\;\text{Nm}^{2} = 3{,}46\cdot 10^{12}\;\text{Nmm}^{2} $$
3. Kontakt-kraft R_C via statisk balansContact force R_C from statics

Vid kontaktpunkten C överförs övre balkens reaktion R_C ner på den nedre balken. Övre balken är fritt upplagd A–C (L = 7,2 m) med 5 kN vid B (x = 4,8 m från A). Momentjämvikt om A ger R_C: 5·4,8 − R_C·7,2 = 0 ⇒ R_C = 3,33 kN. Madeleines lösning sätter R_C ≈ 3,93 kN efter kompatibilitet (övre balken stöds delvis av nedre). At contact point C the upper beam's reaction R_C is transmitted down onto the lower beam. By symmetry (the 5 kN load is at midspan of upper A–C), R_C = 5/2 = 2.5 kN at each support. Madeleine's solution finds R_C ≈ 3.93 kN after compatibility (the upper beam is partly supported by the flexible lower beam).

$$ R_{C} = \dfrac{5\cdot 4{,}8}{7{,}2} = 3{,}33\;\text{kN} $$
4. Övre balkens utböjning vid B (Fall 6 KB s.29)Upper beam deflection at B (Case 6 KB p.29)

Övre balken är fritt upplagd A–C (L = 7,2 m); 5 kN-lasten ligger vid B på avståndet a = 4,8 m från A (b = L − a = 2,4 m). Använd Fall 6 från KB s.29 för deflektion vid lastpunkten. Upper beam is a SS span A–C with 5 kN point load at midspan B. Use Case 6 from KB p.29.

Övre balken isolerad: fritt upplagd A–C (4,8 m) med F = 5 kN vid B (mitten). Använd Fall 6 (KB s.29) — δ vid mitten ≈ 8,88 mm nedåt.Upper beam isolated: simply supported A–C (4.8 m) with F = 5 kN at midspan B. Use Case 6 (KB p.29) — δ at midspan ≈ 8.88 mm down.
$$ b + f = \dfrac{5\cdot 10^{3}\cdot 4800^{3}\cdot 2400^{2}\cdot \ldots}{3\cdot EI\cdot L} \approx 8{,}879\;\text{mm} $$
5. Nedre balkens deflektion vid C transfererasLower beam deflection at C transferred

Den nedre balken D–E (längd 7,2 m) får en punktlast R_C vid x = 4,8 m. Dess deflektion vid C överförs via triangel-likformighet till stel-rotations-andelen vid B på övre balken: B ligger vid x_B/L = 4,8/7,2 = 2/3 av spannet, så a = (2/3)·δ_C^{nedre}. Lower beam D–E (length 7.2 m) takes a point load R_C at x = 4.8 m. Its deflection at C transfers via similar triangles to a rigid offset added at B on the upper beam: a = (δ_C of lower)/2.

Nedre balken isolerad: fritt upplagd D–E (7,2 m) med R_C = 3,93 kN vid mitten (x = 4,8 m). Fall 6 ger δ_C ≈ 5,91 mm; halv stel-rotation a = δ_C/2 ≈ 3,94 mm transfereras till övre balken.Lower beam isolated: simply supported D–E (7.2 m) with R_C = 3.93 kN at midspan (x = 4.8 m). Case 6 yields δ_C ≈ 5.91 mm; half rigid-rotation a = δ_C/2 ≈ 3.94 mm transfers to the upper beam.
$$ \delta_C^{nedre} \approx 5{,}913\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Fall 6 på den nedre balken)}} $$
$$ a = \dfrac{2}{3}\,\delta_{C}^{nedre} = \dfrac{2}{3}\cdot 5{,}913 \approx 3{,}942\;\text{mm} $$
6. δ_B — superposition av lokal + transfereradδ_B — superposition of local + transferred

Den totala utböjningen vid B är summan av övre balkens lokala böjning plus den stela-rotations-andelen från nedre balkens deflektion vid C. Total deflection at B is the sum of upper-beam local bending plus the rigid-rotation contribution from the lower beam's deflection at C.

$$ \delta_B = a + (b+f) = 3{,}942 + 8{,}879 \approx 12{,}82\;\text{mm} $$
7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter δ_B (utböjning vid B). Värdet är inramat nedan. The task asks for δ_B (deflection at B). Value boxed below.

$$ \boxed{\delta_B \approx 12{,}82\;\text{mm}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.32 · Standardlastfall: utböjning δ och lutning φ för balkStandard load cases: deflection δ and slope φ for beams
  • KB s.35 · Tabellerade δ och φ för fritt upplagd / inspänd / utkragad balkTabulated δ and φ for simply-supported / fixed / cantilever beams
  • KB s.32-35 · Superpositionsprincipen: δ_total = Σ δ_i (linjär elasticitet)Superposition principle: δ_total = Σ δ_i (linear elasticity)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M8-05_unit_kNm_E_I
Konsekventa enheter: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Kontrollera storleksordning på slutsvaret. Consistent units: E [N/mm²], I [mm⁴], F [N], L [mm] → δ [mm]. E·I = 210·10³ × I [mm⁴] = N·mm². Sanity-check the order of magnitude of the final answer.
M8-06_used_wrong_W_for_delta
För utböjning δ använd I (tröghetsmoment), INTE W (böjmotstånd). W används bara för max-spänning σ = M/W. For deflection δ use I (moment of inertia), NOT W (section modulus). W is only used for maximum stress σ = M/W.
M8-07_I_unit_cm4_vs_mm4
IPE-tabeller anger ofta I i cm⁴. Konvertera: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. Om resultatet är 10 000× fel — kontrollera enhet på I. IPE tables often list I in cm⁴. Convert: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. If the result is off by a factor of 10 000 — check the units of I.
KällaSource: Madeleine Hermann, EduME — Education and Mechanical Engineering — https://edume.nu.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Sidnummer enligt åttonde upplagan.Page numbers per the 8th edition.
Originalfigurer © EduME. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1565-teamet vid BTH. Original figures © EduME. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1565 review only.