HemHome

MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Chapter 1: Inre krafter och momentInternal forces and moments · Week 1 · 13 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚 Roliga fakta om inre krafter och moment Fun facts about internal forces and moments 7 stycken · klicka för att läsa
▶
📜
1638 ItalienItaly
Galileos balk — hållfasthetslärans födelse Galileo's beam — the birth of strength-of-materials
I sitt sista verk Discorsi intorno a due nuove scienze (1638), skrivet under husarrest, var Galileo Galilei den första som systematiskt försökte räkna på en b… In his final work Two New Sciences (1638), written while under house arrest, Galileo Galilei was the first to seriously attempt a calculation of a beam's load…
Läs mer →Read more →
⛪
1180 Notre-Dame, ParisNotre-Dame, Paris
Flygstöden — gotisk arkitektur som tvåkraftstänger Flying buttresses — Gothic architecture as two-force members
1100-talets gotiska kyrkobyggare upptäckte ett djupt statiskt knep: ett valv trycker utåt på sina stöd, men om man leder utåttrycket via en yttre lutande sträva… Gothic cathedral builders in the 1100s discovered a deep statical trick: a vaulted ceiling pushes outward on its supports, but if you transfer that outward thru…
Läs mer →Read more →
🗼
1889 ParisParis
Eiffeltornet — fackverksprincipen i industriell skala The Eiffel Tower — truss principles at industrial scale
Gustave Eiffel och hans ingenjör Maurice Koechlin räknade varenda av tornets ~18 000 järnstänger för hand inför världsutställningen 1889. Tornet är en spatial f… Gustave Eiffel and his engineer Maurice Koechlin hand-calculated every one of the tower's ~18,000 iron members before the 1889 World's Fair. The tower is a spat…
Läs mer →Read more →
🌉
1940 Washington, USAWashington, USA
Tacoma Narrows — när vridmomentet får liv Tacoma Narrows — when the torsion came alive
Den 7 november 1940 kollapsade hängbron över Tacoma Narrows efter bara fyra månaders drift — i 65 km/h vind, inte ens en storm. Brons däck började svänga vertik… On 7 November 1940, the suspension bridge across Tacoma Narrows collapsed after only four months of service — in 65 km/h wind, not even a storm. The deck began …
Läs mer →Read more →
⚠️
1981 Kansas City, USAKansas City, USA
Hyatt Regency — en pinne som blev en dubbel last Hyatt Regency — one rod that became a double load
Den 17 juli 1981 brast två upphängda gångbroar i atriumet på Hyatt Regency-hotellet under en dansafton — 114 dog, 216 skadades. Den ursprungliga konstruktionen … On 17 July 1981, two suspended walkways in the atrium of the Hyatt Regency hotel collapsed during a dance evening — 114 died, 216 were injured. The original des…
Läs mer →Read more →
🌳
NaturenNature
Träd som konsolbalkar — biologin känner till böjmomentet Trees as cantilevers — biology knows about bending moment
Ett träd är en konsolbalk inspänd i marken, belastad av en utbredd vindlast längs kronan. Det inre böjmomentet M(x) är noll i toppen och växer med avståndet til… A tree is a cantilever beam fixed in the ground, loaded by a distributed wind load along its crown. The internal bending moment M(x) is zero at the top and grow…
Läs mer →Read more →
🍎
1687 CambridgeCambridge
Newton och frikroppen — varifrån metoden kommer Newton and the free body — where the method comes from
Hela frikroppsmetoden bygger på Newtons tre lagar (Principia Mathematica, 1687). I synnerhet tredje lagen — actio = reactio — är det som tillåter oss att 'i… The entire free-body method rests on Newton's three laws (Principia Mathematica, 1687). In particular the third law — action = reaction — is what allows us …
Läs mer →Read more →
·

1.1 grundinteractive

Bestäm de inre normalkrafterna i a-a, b-b och c-c. Varför blir det inga moment och tvärkrafter i stången?

Determine the internal normal forces at sections a-a, b-b and c-c. Why are there no moments or shear forces in the bar?

VerklighetsanknytningReal-world context Det här är spårdrag i en järnvägsvagns dragstång eller kolvstången i en hydraulcylinder: en stång där flera krafter angriper längs samma axel ger ett N(x)-diagram som hoppar vid varje angreppspunkt. Lokförare känner inte att de olika vagnarnas dragkrok bär olika mycket — men dragstångens dimensionering måste göra det. This is the load path in a railway car's drawbar or the piston rod of a hydraulic cylinder: a straight rod where several forces act along the same axis produces an N(x) diagram that jumps at each load point. The driver doesn't feel that different couplings carry different loads — but the rod's sizing must account for it.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: de inre normalkrafterna i a-a, b-b och c-c.You're asked to determine: the internal normal forces at sections a-a, b-b and c-c.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Koordinatsystem och teckenkonvention för NCoordinate frame and sign convention for N
  5. Snitt a-a (mellan 1 kN och 2 kN)Section a-a (between 1 kN and 2 kN)
  6. Snitt b-b (mellan 2 kN och 4 kN)Section b-b (between 2 kN and 4 kN)
  7. Snitt c-c (mellan 4 kN och 3 kN) — enklast från högerSection c-c (between 4 kN and 3 kN) — easiest from the right
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.1
Fig. 1.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stången är belastad enbart axiellt — alla yttre krafter ligger på samma verkningslinje. Därför uppstår endast normalkrafter (N), inga tvärkrafter (V) eller moment (M). Frilägg en bit av stången på vänster sida om varje snitt och tillämpa ΣFₓ = 0. The bar is loaded purely axially — all external forces share a common line of action. Hence only normal forces (N) arise; no shear (V) or moment (M). Free-body a piece of the bar to the left of each section and apply ΣFₓ = 0.
Kontroll: hela stången ska vara i jämvikt. ΣFₓ = -1 + 2 - 4 + 3 = 0 ✓ Sanity check: the whole bar must be in equilibrium. ΣFₓ = -1 + 2 - 4 + 3 = 0 ✓
1. Koordinatsystem och teckenkonvention för NCoordinate frame and sign convention for N

Innan vi snittar — fastställ konventionen. x längs stångaxeln (positiv åt höger). Inre normalkraften N ritas ALLTID pekande UT från snittytan (drag = positiv). Om svaret blir negativt betyder det tryck. Endast axiella krafter ⇒ V = 0, M = 0 i alla snitt. Before sectioning — establish the convention. x along the bar axis (positive to the right). The internal normal force N is ALWAYS drawn pointing OUT of the cut face (tension = positive). A negative answer means compression. Since loads are purely axial ⇒ V = 0, M = 0 at every section.

N pekar UT från snittet (drag = +). x åt höger.N points OUT of the cut (tension = +). x rightward.
2. Snitt a-a (mellan 1 kN och 2 kN)Section a-a (between 1 kN and 2 kN)

Fri kropp = den vänstra delen av stången. Endast 1 kN-kraften påverkar denna del. Free body = the leftmost piece of the bar. Only the 1 kN force acts on it.

Är N_a drag eller tryck? Is N_a tension or compression?
50%
1 kN drar stången åt vänster — sektionen a-a är i drag. The 1 kN pulls the bar left — section a-a is in tension.
Frikropp till vänster om a-a — pilarnas längd skalas med kraftens storlekFree body to the left of a-a — arrow lengths scale with force magnitude
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad N_a - 1 = 0 $$
$$ \Rightarrow \; N_a = 1 \text{ kN} $$
$$ \boxed{N_a = 1 \text{ kN} \; (\text{drag / tension})} $$
3. Snitt b-b (mellan 2 kN och 4 kN)Section b-b (between 2 kN and 4 kN)

Fri kropp = stången fram till b-b. Både 1 kN-kraften och 2 kN-kraften påverkar. Free body = the bar up to b-b. Both the 1 kN and 2 kN forces act on it.

Frikropp till vänster om b-b — pilarnas längd skalas med kraftens storlekFree body to the left of b-b — arrow lengths scale with force magnitude
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad N_b - 1 + 2 = 0 $$
$$ \Rightarrow \; N_b = 1 - 2 = -1 \text{ kN} $$
$$ \boxed{N_b = -1 \text{ kN} \; (\text{tryck / compression})} $$
4. Snitt c-c (mellan 4 kN och 3 kN) — enklast från högerSection c-c (between 4 kN and 3 kN) — easiest from the right

Frilägg höger sida om snittet. Endast 3 kN-kraften påverkar. Free-body the right side of the cut. Only the 3 kN force acts.

Frikropp till höger om c-c (enklast) — pilarnas längd skalas med kraftens storlekFree body to the right of c-c (simplest) — arrow lengths scale with force magnitude
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad N_c - 3 = 0 $$
$$ \Rightarrow \; N_c = 3 \text{ kN} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{(kontroll från vänster: }} N_c + 2 - 4 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; N_c = 3 \text{ kN} \;\;\textcolor{#888}{\checkmark)} $$
$$ \boxed{N_c = 3 \text{ kN} \; (\text{drag / tension})} $$
Sammanfattning.Summary. Eftersom alla krafter ligger på en rät verkningslinje (stångens axel) blir tvärkrafter och moment noll i alla snitt. Normalkraften 'hoppar' vid varje pålagd kraft — det är detta som N(x)-diagrammet visar. Because all forces act along one straight line of action (the bar's axis), shear forces and moments vanish at every section. The normal force 'jumps' at each applied load — that is exactly what the N(x) diagram shows.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-01_sign_tension_vs_compression
Förväxlar drag (+) och tryck (−) för normalkraften vid snittet. Confuses tension (+) and compression (−) for the internal normal force.

Prova själv — flytta krafternaTry it yourself — change the forces

Skjut reglagen för att ändra P₁, P₂, P₃. P₄ bestäms automatiskt av jämvikt så att stången förblir i jämvikt. Se hur Nₐ, N_b, N_c förändras — pilarna i FBD:erna ovan har sina värden uppdaterade i realtid. Drag the sliders to change P₁, P₂, P₃. P₄ is determined automatically by equilibrium so the bar stays balanced. Watch how Nₐ, N_b, N_c respond — the arrow values in the FBDs above update in real time.

1.0 kN
2.0 kN
4.0 kN
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— kN
— kN
— kN
— kN
1.2 grundvideointeractive

Bestäm de inre normalkrafterna i a-a och b-b. Varför blir det inga moment och tvärkrafter för denna struktur?

Determine the internal normal forces at sections a-a and b-b. Why are there no moments or shear forces in this structure?

VerklighetsanknytningReal-world context En lyktstolpe med två symmetriska armaturer på en tvärbalk är exakt detta: tvärbalkens vikt och lamporna ger laster som balanseras kring stolpens axel — så stolpen bär bara dragning/tryckning, inget böjmoment. Bryts symmetrin (en lampa går sönder, snö lägger sig ojämnt) börjar stolpen bära moment. Samma princip används i kontaktledningsmaster för järnvägen. A lamp post with two symmetric fixtures on a crossbar is exactly this: the crossbar weight and lamps produce loads balanced about the post axis — so the post carries only axial load, no bending moment. Break the symmetry (one fixture fails, snow accumulates unevenly) and the post starts carrying moment. The same principle is used in overhead-line masts for railways.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: de inre normalkrafterna i a-a och b-b.You're asked to determine: the internal normal forces at sections a-a and b-b.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Snitt b-b (mellan B och C)Section b-b (between B and C)
  5. Snitt a-a (mellan A och B)Section a-a (between A and B)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Figure 1.2
Fig. 1.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Alla yttre krafter är vertikala och de två 3 kN-krafterna är symmetriskt placerade kring pelarens axel. Resultatet: inga horisontalkrafter ⇒ V = 0, och momenten från de två 3 kN-krafterna tar ut varandra ⇒ M = 0. Endast normalkraft återstår. All external forces are vertical, and the two 3 kN forces are placed symmetrically about the column axis. Result: no horizontal forces ⇒ V = 0, and the moments from the two 3 kN forces cancel ⇒ M = 0. Only the normal force remains.
1. Snitt b-b (mellan B och C)Section b-b (between B and C)

Frilägg det översta stycket (från C ned till b-b). Endast F-kraften vid C verkar på det. Free-body the top piece (from C down to b-b). Only the F force at C acts on it.

Inre normalkraft i b-b är ungefär... The internal normal force at b-b is roughly...
50%
10 kN drar pelaren uppåt — N_BC = 10 kN drag. The 10 kN pulls the column up — N_BC = 10 kN tension.
Frikropp ovanför b-bFree body above b-b
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad N_{BC} - F_{top} = 0 $$
$$ N_{BC} - 10 = 0 $$
$$ \boxed{N_{BC} = F_{top} = 10 \text{ kN}} $$
2. Snitt a-a (mellan A och B)Section a-a (between A and B)

Frilägg allt ovanför a-a. Nu påverkar F (uppåt vid C) och de två symmetriska sidolasterna F_L och F_R (nedåt vid B). Free-body everything above a-a. Now F (upward at C) plus the two symmetric side loads F_L and F_R (downward at B) act.

Frikropp ovanför a-aFree body above a-a
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad N_{AB} - F_{top} + F_L + F_R = 0 $$
$$ N_{AB} - 10 + 2 \cdot 3 = 0 $$
$$ N_{AB} = 10 - 6 = 4 \text{ kN} $$
$$ \boxed{N_{AB} = F_{top} - F_L - F_R = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ kN}} $$
Sammanfattning.Summary. Strukturen är endast axiellt belastad tack vare den symmetriska placeringen av de två 3 kN-krafterna. Om symmetrin bryts (t.ex. olika storlek på de två sidokrafterna) skulle V och M uppstå. The structure is purely axially loaded thanks to the symmetric placement of the two 3 kN forces. If symmetry breaks (e.g. unequal side loads), V and M would emerge.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet (ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0)Planar equilibrium (ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-01_sign_tension_vs_compression
Förväxlar drag (+) och tryck (−) för normalkraften vid snittet. Confuses tension (+) and compression (−) for the internal normal force.
M1-02_section_carries_no_force
Tror att snittet är kraftfritt och missar den inre normalkraften. Thinks the section carries no force, missing the internal normal force.

Prova själv — bryt symmetrinTry it yourself — break the symmetry

Sätt vänster- och högerkraften vid B till olika värden och se hur momentet vid a-a växer från noll. Det är därför symmetri är så kraftfullt. Pilarnas värden i FBD:erna uppdateras direkt. Set the left and right forces at B to different values and watch the moment at section a-a grow from zero. That is why symmetry is so powerful. The arrow values in the FBDs update directly.

10.0 kN
3.0 kN
3.0 kN
0.1 m
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— kN
— kN
— kN Alltid 0 — krafterna är vertikalaAlways 0 — the loads are vertical
— kN·m Bryts mot noll så fort F_left ≠ F_rightBreaks away from zero as soon as F_left ≠ F_right
1.3 grundvideointeractive

Bestäm de inre krafterna och momenten i snitt a-a och b-b. Snitten är placerade mitt på respektive stång AB och BC.

Determine the internal forces and moments at sections a-a and b-b. The sections are placed at the midpoint of bars AB and BC respectively.

VerklighetsanknytningReal-world context Tänk på en parasollfot eller en TV-skylt på ett kafé: den vertikala stolpen håller upp armen, men en horisontell sidolast (vind, någon som drar i skylten) skapar både skjuvning OCH ett böjmoment som växer linjärt nedåt mot foten. Foten måste därför dimensioneras för det maximala momentet vid basen — inte bara för skyltens vikt. Think of a parasol base or a sidewalk café sign: the vertical post holds up the arm, but a horizontal side load (wind, someone pulling the sign) produces both shear AND a bending moment that grows linearly down toward the base. The base must therefore be sized for the maximum moment at the foot — not just for the sign's weight.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: de inre krafterna och momenten i snitt a-a och b-b.You're asked to determine: the internal forces and moments at sections a-a and b-b.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Snitt b-b — endast axiellSection b-b — axial only
  5. Snitt a-a — axiallast + sidolastSection a-a — axial + lateral load
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Figure 1.3
Fig. 1.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Snitt b-b ligger på den övre stången BC, som endast bär axiell last. Snitt a-a ligger på den nedre stången AB, som bär både axiallasten och horisontalkraften F_lat vid B. F_lat-kraften skapar både skjuvning V och böjmoment M = F_lat·d där d är avståndet från a-a till B. Section b-b lies on bar BC which carries only the axial load. Section a-a lies on bar AB which carries the axial load plus the horizontal F_lat at B. F_lat produces shear V and a bending moment M = F_lat·d where d is the distance from a-a to B.
1. Snitt b-b — endast axiellSection b-b — axial only

Övre stången är endast belastad axiellt. The upper bar carries only the axial load.

Sidokraften vid B skapar i nedre stången... The lateral force at B creates in the lower bar...
50%
F_lat verkar med hävarm d ⇒ både V och M = F_lat·d. F_lat acts at lever arm d ⇒ both shear V and moment M = F_lat·d arise.
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad N_{BC} - F_{ax} = 0 $$
$$ \Rightarrow N_{BC} = F_{ax} = 10 \text{ kN} $$
$$ \boxed{N_{BC} = 10 \text{ kN}, \quad V_{BC} = 0, \quad M_{BC} = 0} $$
2. Snitt a-a — axiallast + sidolastSection a-a — axial + lateral load

Frilägg allt ovanför a-a. Den horisontella sidokraften F_lat vid B skapar både skjuvning V_AB och böjmoment M_AB = F_lat·d. Free-body everything above a-a. The horizontal lateral force F_lat at B creates both shear V_AB and bending moment M_AB = F_lat·d.

Frikropp ovanför a-a — proportionellt skalad: BC = 1,0 m, BA = 0,8 m, arm = 0,6 m (100 px/m)Free body above a-a — proportionally scaled: BC = 1.0 m, BA = 0.8 m, arm = 0.6 m (100 px/m)
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad N_{AB} - F_{ax} = 0 $$
$$ \Rightarrow N_{AB} = F_{ax} = 10 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad V_{AB} - F_{lat} = 0 $$
$$ \Rightarrow V_{AB} = F_{lat} = 5 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{a\text{-}a} = 0: \quad M_{AB} - F_{lat}\cdot d = 0 $$
$$ \Rightarrow M_{AB} = F_{lat} \cdot d = 5 \cdot 0{,}4 = 2 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
$$ \boxed{N_{AB} = 10 \text{ kN}, \quad V_{AB} = 5 \text{ kN}, \quad M_{AB} = 2 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$
Sammanfattning.Summary. Nyckelinsikt: en horisontell kraft som verkar vid B (på avstånd från snittet) skapar både skjuvning OCH moment i nedre stången. Momentet växer linjärt med avståndet från kraftens angreppspunkt. Key insight: a horizontal force at B (offset from the section) creates both shear AND moment in the lower bar. The moment grows linearly with the distance from the load point.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.17 · Moment kring punkt: M = F·a (hävarm × kraft)Moment about a point: M = F·a (lever arm × force)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planetPlanar equilibrium equations
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-03_forgot_bending_from_eccentric
Glömmer böjmomentet som en sidoförskjuten (excentrisk) kraft ger vid snittet. Forgets the bending moment produced by an offset (eccentric) force at the cut.
M1-04_forgot_shear
Tar bara med böjmomentet och glömmer tvärkraften (skjuvningen). Keeps only the bending moment and forgets the shear force.

Prova själv — variera sidokraften och snittpositionenTry it yourself — vary the lateral load and section position

Notera hur M_AB är linjär i både kraften F_lat och avståndet d. Notice that M_AB is linear in both the force F_lat and the distance d.

10.0 kN
5.0 kN
0.4 m
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— kN
— kN
— kN·m
1.4 grundinteractive

En fast inspänd och vinklad profil påverkas i sin fria ände av en kraft. Egentyngden försummas. Beräkna inre krafter och moment i de markerade snitten b-b och c-c.

A fixed, bent profile is loaded by a force at its free end. Self-weight is neglected. Calculate the internal forces and moments at the marked sections b-b and c-c.

VerklighetsanknytningReal-world context En L-formad bockad konsol är hur man fäster en markis i en husfasad eller en kamera i ett observationsfönster. Den horisontella armen tar både drag/tryck och böjmoment, men i hörnet 'flippas' rollerna — det som var normalkraft i ena stycket blir tvärkraft i nästa. Det är varför svetsfogen i hörnet alltid är den kritiska detaljen. An L-shaped bent bracket is how you fix an awning to a house facade, or a camera to an observation window. The horizontal arm carries both axial and bending, but at the corner the roles 'flip' — what was normal force in one piece becomes shear in the next. That's why the corner weld is always the critical detail.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska beräkna: inre krafter och moment i de markerade snitten b-b och c-c.You're asked to calculate: the internal forces and moments at the marked sections b-b and c-c.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Teckenkonvention för N, V, M vid snittetSign convention for N, V, M at a section
  5. Snitt b-b (horisontellt stång-stycke)Section b-b (horizontal arm)
  6. Snitt c-c (vertikalt stång-stycke)Section c-c (vertical arm)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.4
Fig. 1.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Dela upp F-kraften i komposanter: horisontell F·cosθ och vertikal F·sinθ. Frilägg den fria änden tillsammans med stycket fram till respektive snitt. Notera att normalkraftens riktning ändras när stången byter orientering (horisontell → vertikal). Decompose the F load into horizontal F·cosθ and vertical F·sinθ. Free-body from the free end up to each section. The normal-force direction changes when the bar's orientation changes (horizontal → vertical).
1. Teckenkonvention för N, V, M vid snittetSign convention for N, V, M at a section

Innan snitten: vilken pilriktning räknas som positiv? Konvention i denna app — N pekar UT från snittytan (drag = +), V pekar uppåt vänster om snitt = +, M counter-clockwise = +. Negativt värde innebär att den verkliga riktningen är motsatt pilen. Before sectioning: which arrow direction counts as positive? Convention used here — N points OUT of the cut face (tension = +), V points up on the left of the cut = +, M counter-clockwise = +. A negative result means the actual direction is opposite to the drawn arrow.

Pilriktning vid snitt = positiv riktning. Tecken på lösningen anger om verklig kraft pekar samma eller motsatt håll.Drawn arrow at the cut = positive direction. Sign of the result tells whether the actual force matches or opposes it.
2. Snitt b-b (horisontellt stång-stycke)Section b-b (horizontal arm)

Stången är horisontell vid b-b ⇒ N_b ligger horisontellt, V_b vertikalt. Den röda pilen för F roterar med vinkeln θ när du drar i reglaget nedan. The bar is horizontal at b-b ⇒ N_b is horizontal, V_b vertical. The red F arrow rotates with the angle θ when you drag the slider below.

På den horisontella armen är N_b komposant av... On the horizontal arm, N_b is the component...
50%
N ligger längs stångens axel (horisontellt) ⇒ N = F·cos θ. N is along the bar axis (horizontal) ⇒ N = F·cos θ.
Frikropp höger om b-b — proportionellt skalad: horisontalarm 200 mm = 100 px, vertikalarm 195 mm ≈ 98 px (0,5 px/mm)Free body right of b-b — proportionally scaled: horizontal arm 200 mm = 100 px, vertical arm 195 mm ≈ 98 px (0.5 px/mm)
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad N_b - F\cos\theta = 0 $$
$$ \Rightarrow N_b = F\cos\theta = 2{,}3\cos 30^\circ = 1{,}99 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad V_b - F\sin\theta = 0 $$
$$ \Rightarrow V_b = F\sin\theta = 2{,}3\sin 30^\circ = 1{,}15 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_b = 0: \quad M_b + 195\cdot F\cos\theta + 200\cdot F\sin\theta = 0 $$
$$ M_b = -\left(195 \cdot 2{,}3\cos 30^\circ + 200 \cdot 2{,}3\sin 30^\circ\right) \text{ mm}\!\cdot\!\text{kN} = -618 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{N_b = 1{,}99 \text{ kN}, \quad V_b = 1{,}15 \text{ kN}, \quad M_b = -618 \text{ Nm}} $$
3. Snitt c-c (vertikalt stång-stycke)Section c-c (vertical arm)

Stången är vertikal vid c-c ⇒ rollerna för cos θ och sin θ byter plats jämfört med b-b. The bar is vertical at c-c ⇒ the cos θ and sin θ roles swap compared to b-b.

Frikropp ovanför c-c — endast 100 mm av vertikalarmen (1 px/mm)Free body above c-c — only the top 100 mm of the vertical arm (1 px/mm)
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad N_c + F\sin\theta = 0 $$
$$ \Rightarrow N_c = -F\sin\theta = -2{,}3\sin 30^\circ = -1{,}15 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad V_c - F\cos\theta = 0 $$
$$ \Rightarrow V_c = F\cos\theta = 2{,}3\cos 30^\circ = 1{,}99 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_c = 0: \quad M_c - 100\cdot F\cos\theta = 0 $$
$$ M_c = 100 \cdot 2{,}3\cos 30^\circ \text{ mm}\!\cdot\!\text{kN} = 199 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{N_c = -1{,}15 \text{ kN}, \quad V_c = 1{,}99 \text{ kN}, \quad M_c = 199 \text{ Nm}} $$
Sammanfattning.Summary. På den horisontella armen är N = F·cosθ och V = F·sinθ. På den vertikala armen byter de plats — N = F·sinθ och V = F·cosθ. On the horizontal arm, N = F·cosθ and V = F·sinθ. On the vertical arm they swap — N = F·sinθ and V = F·cosθ.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.17 · Uppdelning av en kraft i komposanter: Fₓ = F·cosα, Fᵧ = F·sinαForce decomposition into perpendicular components: Fₓ = F·cosα, Fᵧ = F·sinα
  • KB s.17 · Momentdefinition: M = F·aMoment definition: M = F·a
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planetPlanar equilibrium equations
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-05_decomp_sin_cos_swap
Kastar om sin och cos vid uppdelning av kraften i komposanter. Swaps sin and cos when resolving the force into components.

Prova själv — variera vinkeln θTry it yourself — vary the angle θ

Skjut θ från 0° till 90° och se hur den röda F-pilen roterar och hur N och V byter plats. Slide θ from 0° to 90° and watch the red F arrow rotate and N and V swap roles.

2.3 kN
30 °
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— kN
— kN
— Nm
— kN
— kN
— Nm
1.5 grund

En fast inspänd profil är vinklad på två ställen. Den påverkas av en dragkraft i den fria änden. Egenvikten försummas. Beräkna inre krafter och moment i de markerade snitten b-b, c-c och d-d.

A fixed profile is bent at two places. It is loaded by a tensile force at the free end. Self-weight is neglected. Calculate the internal forces and moments at the marked sections b-b, c-c and d-d.

VerklighetsanknytningReal-world context Z-formade konsolarmar används i lagerhyllor för paller, i taklyftar i industrihallar och i robotgriparmar. Att profilen är bockad i två steg betyder att normalkraft och tvärkraft byter plats två gånger längs vägen från lasten till infästningen — varje rakt parti måste analyseras separat. Klassisk robotdesign: lasten i griparen omsätts till böjmoment som växer kontinuerligt mot robotbasen. Z-shaped bracket arms appear in pallet racking, overhead industrial cranes, and robot gripper arms. Two bends mean the normal and shear forces swap roles twice on the way from the load to the fixed support — each straight segment must be analysed separately. Classic robot design: the load at the gripper turns into a bending moment that grows continuously toward the robot base.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska beräkna: inre krafter och moment i de markerade snitten b-b, c-c och d-d.You're asked to calculate: the internal forces and moments at the marked sections b-b, c-c and d-d.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Lokala axlar på vardera segmentetLocal axes on each segment
  5. Snitt d-d (rakt horisontellt, höger om böjen)Section d-d (horizontal, right of the bend)
  6. Snitt b-b (övre horisontell stång)Section b-b (upper horizontal bar)
  7. Snitt c-c (mitt på 30°-stycket)Section c-c (midpoint of the 30° segment)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.5
Fig. 1.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

400 N drar i fria änden längs horisontalriktningen. Geometrin: d-d sitter på den lägre horisontella stången, c-c på 30°-stycket (snedställd), b-b på den övre horisontella stången. Vertikal projektion av det snedställda stycket = 80·sin30° = 40 mm. 400 N pulls horizontally at the free end. Geometry: d-d is on the lower horizontal bar, c-c on the 30° angled segment, b-b on the upper horizontal bar. Vertical projection of the angled piece = 80·sin30° = 40 mm.
1. Lokala axlar på vardera segmentetLocal axes on each segment

Z-profilen byter orientering två gånger. På varje rakt segment har vi en LOKAL axel (längs stången = N-riktning) och en LOKAL tvärriktning (⊥ stången = V-riktning). När orienteringen byts (vid d-d → c-c → b-b) byter cos- och sin-rollerna plats. Att rita rätt lokal axel innan snittet räknas är det vanligaste felet. The Z-profile changes orientation twice. On each straight segment we have a LOCAL axis (along the bar = N direction) and a LOCAL transverse direction (⊥ to the bar = V direction). When orientation changes (at d-d → c-c → b-b) the cos and sin roles swap. Drawing the correct local axis before sectioning is the most common error to avoid.

Tre lokala koordinatkors — ett per segment. Notera vinkelförändringen vid varje böj.Three local coordinate frames — one per segment. Note the angle change at each bend.
2. Snitt d-d (rakt horisontellt, höger om böjen)Section d-d (horizontal, right of the bend)

Kraften 400 N verkar längs stångens axel ⇒ ren normalkraft. The 400 N force acts along the bar's axis ⇒ pure normal force.

På snitt d-d är V_d... At section d-d, V_d is...
50%
400 N verkar längs stångaxeln ⇒ endast normalkraft, ingen skjuvning. 400 N acts along the bar axis ⇒ pure normal force, no shear.
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\rightarrow}\sum F_x = 0: \quad N_d - 400 = 0 $$
$$ \Rightarrow \boxed{N_d = 400 \text{ N}, \; V_d = 0, \; M_d = 0} $$
3. Snitt b-b (övre horisontell stång)Section b-b (upper horizontal bar)

Här har 400 N en hävarm = 40 mm (vertikal projektion av det snedställda stycket) ⇒ moment Mb = 400·40. Here the 400 N force has a lever arm of 40 mm (vertical projection of the angled piece) ⇒ moment Mb = 400·40.

FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\rightarrow}\sum F_x = 0: \quad N_b - 400 = 0 $$
$$ \Rightarrow N_b = 400 \text{ N} $$
$$ V_b = 0 $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_b = 0: \quad M_b - 400\cdot 40 = 0 $$
$$ \Rightarrow \boxed{M_b = 16\,000 \text{ Nmm} = 16 \text{ Nm}} $$
4. Snitt c-c (mitt på 30°-stycket)Section c-c (midpoint of the 30° segment)

Stången är vinklad 30° vid c-c. Dela upp 400 N längs och vinkelrätt mot stångens lokala axel. The bar is at 30° at c-c. Decompose 400 N along and perpendicular to the local bar axis.

FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\nearrow}\sum F_{\parallel} = 0: \quad N_c - 400\cos 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow N_c = 346 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\nwarrow}\sum F_{\perp} = 0: \quad V_c + 400\sin 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow V_c = -200 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_c = 0: \quad M_c - 400\cdot 20 = 0 $$
$$ \Rightarrow M_c = 8000 \text{ Nmm} = 8 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{N_c = 346 \text{ N}, \; V_c = -200 \text{ N}, \; M_c = 8 \text{ Nm}} $$
Sammanfattning.Summary. Sammanfattning: när stångens orientering skiftar (vid en böj) projiceras den yttre kraften annorlunda mot stångens lokala axel. Det är därför vi får olika kombinationer av N, V och M på de tre snitten — fast kraften är konstant 400 N. Summary: when the bar's orientation changes (at a bend), the external force projects differently onto the bar's local axis. That is why we get different N, V, M combinations at the three sections — even though the load is a constant 400 N.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.17 · Komposanter och momentbestämning (M = F·a)Force components and moment determination (M = F·a)
  • KB s.19 · JämviktsvillkorEquilibrium equations
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-06_shear_not_zero_past_load
Tror att tvärkraften kvarstår förbi lasten i stället för att bli noll i snittet. Thinks the shear persists past the load instead of being zero at the cut.
1.6 grund

Fackverket belastas av två krafter. Bestäm inre krafter och moment i stängerna. Samtliga stänger är 1,5 m långa förutom EF som är 0,75 m. Försumma egenvikten.

The truss is loaded by two forces. Determine the internal forces and moments in the members. All members are 1.5 m long except EF which is 0.75 m. Neglect self-weight.

VerklighetsanknytningReal-world context Ett plant fackverk är hur takstolar i industribyggnader och idrottshallar är konstruerade — t.ex. taket på en ridhuslada eller en travers över en verkstadsgolv. Knutpunktsmetoden räknar varje stav som drag eller tryck och låter dig välja smala stänger för dragstavarna (där bara axiell hållfasthet räknas) och grövre för tryckstavarna (där knäckning hotar). Samma metod skalar från en 4 m takstol till Eiffeltornets 18 000 stavar. A planar truss is how roof trusses in industrial buildings and sports halls are designed — e.g. a riding-arena roof or an overhead-crane runway across a workshop floor. The method of joints classifies each member as tension or compression and lets you spec thin members for tension (where only axial strength matters) and thicker ones for compression (where buckling threatens). The same method scales from a 4 m roof truss to the Eiffel Tower's 18,000 members.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: inre krafter och moment i stängerna.You're asked to determine: the internal forces and moments in the members.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Konvention — 'anta drag' i alla stängerConvention — 'assume tension' in every member
  5. Knutpunkt A — 5 kN nedåtJoint A — 5 kN downward
  6. Knutpunkt D — AD + BD + DEJoint D — AD + BD + DE
  7. Knutpunkt B — 8 kN nedåtJoint B — 8 kN downward
  8. Knutpunkt E — BE + CE + DE + EFJoint E — BE + CE + DE + EF
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.6
Fig. 1.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

I ett fackverk har varje stång leder i ändarna och belastas endast i ändarna ⇒ endast normalkraft (drag eller tryck), inga V eller M. Använd metoden för knutpunkter. Anta alla stänger i drag (pilarna pekar från knutpunkten); negativ stångkraft = tryck. In a truss, every member is pin-jointed at both ends and only loaded at its ends ⇒ only normal force (tension or compression), no V or M. Use the method of joints. Assume all members are in tension (arrows point away from the joint); a negative result means compression.
1. Konvention — 'anta drag' i alla stängerConvention — 'assume tension' in every member

Vid knutpunktsmetoden ritas varje stångkraft som POSITIV DRAG (pil pekar FRÅN knutpunkten, längs stångens axel). Lösningen ger sedan ett tecken: positivt = drag (antagandet rätt), negativt = tryck (verklig kraft motsatt pilen). Det är därför AB = +2,89 (drag) och AD = -5,77 (tryck) i denna uppgift. In the method of joints, every member force is drawn as POSITIVE TENSION (arrow points AWAY from the joint, along the member axis). The solution then yields a sign: positive = tension (assumption correct), negative = compression (actual force opposite to the arrow). That's why AB = +2.89 (tension) and AD = -5.77 (compression) below.

Anta drag i varje stång → tecken på N avslöjar drag (+) eller tryck (−).Assume tension in every member → sign of N tells tension (+) or compression (−).
2. Knutpunkt A — 5 kN nedåtJoint A — 5 kN downward
I ett fackverk har varje stång... In a truss, every member carries...
50%
Ledade stänger, last endast i ändarna ⇒ endast axiell N. Pin-jointed members loaded only at endpoints ⇒ axial N only.
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad 5 + AD\sin 60° = 0 $$
$$ \Rightarrow AD = -\dfrac{5}{\sin 60°} = -5{,}77 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad AB + AD\cos 60° = 0 $$
$$ \Rightarrow AB = -AD\cos 60° = 5{,}77 \cdot 0{,}5 = 2{,}89 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$
3. Knutpunkt D — AD + BD + DEJoint D — AD + BD + DE
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad AD\cos 30° + BD\cos 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow BD = -AD = 5{,}77 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad DE + BD\sin 30° - AD\sin 30° = 0 $$
$$ DE = (AD - BD)\sin 30° = (-5{,}77 - 5{,}77)\cdot 0{,}5 $$
$$ \Rightarrow DE = -5{,}77 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
4. Knutpunkt B — 8 kN nedåtJoint B — 8 kN downward
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad 8 + BD\sin 60° + BE\sin 60° = 0 $$
$$ BE = -\dfrac{8 + BD\sin 60°}{\sin 60°} = -\dfrac{8 + 5{,}77\cdot 0{,}866}{0{,}866} $$
$$ \Rightarrow BE = -15{,}01 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad BC - BD\cos 60° + BE\cos 60° - AB = 0 $$
$$ BC = AB + (BD - BE)\cos 60° = 2{,}89 + (5{,}77 - (-15{,}01))\cdot 0{,}5 $$
$$ \Rightarrow BC = 13{,}28 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$
5. Knutpunkt E — BE + CE + DE + EFJoint E — BE + CE + DE + EF
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \quad BE\sin 60° + CE\sin 60° = 0 $$
$$ \Rightarrow CE = -BE = 15{,}01 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \quad EF - DE + CE\cos 60° - BE\cos 60° = 0 $$
$$ EF = DE - (CE - BE)\cos 60° = -5{,}77 - (15{,}01 - (-15{,}01))\cdot 0{,}5 $$
$$ \Rightarrow EF = -20{,}78 \text{ kN} \quad \textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
6. SvarAnswers

Positiva värden = drag, negativa = tryck. Positive = tension, negative = compression.

$$ \boxed{AB = 2{,}89,\; AD = -5{,}77,\; BD = 5{,}77,\; BE = -15{,}01,\; BC = 13{,}28,\; DE = -5{,}77,\; EF = -20{,}78,\; CE = 15{,}01 \; \text{[kN]}} $$

🔧 Knutpunktsmetoden — klicka A → D → B → E i tur och ordningMethod of joints — click A → D → B → E in order

Stång Värde Typ
Sammanfattning.Summary. Kontroll: ta ett globalt jämviktsvillkor (t.ex. moment kring C) och jämför med EF. Kontrollen ger exakt EF = -20,78 kN ⇒ alla siffror konsistenta.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Krafter på frilagd kropp och speciella jämviktsfall (knutpunktsmetoden bygger på ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0 vid varje knutpunkt)Forces on a free body and special equilibrium cases (method of joints applies ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0 at each joint)
  • KB s.17 · Komposanter av stångkrafter (sin/cos vid varje knutpunkt)Decomposition of member forces (sin/cos at each joint)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-07_truss_member_not_two_force
Behandlar en tvåkraftstång (endast normalkraft) som en balk med skjuvning och moment. Treats a two-force member (axial only) as a beam with shear and moment.
1.7 grund

Bestäm inre krafter och moment i de markerade snitten. Snitten ligger mitt emellan stöd/kraft eller kraft/kraft. Försumma egenvikten.

Determine the internal forces and moments at the marked sections. The sections lie midway between support and load, or between two loads. Neglect self-weight.

VerklighetsanknytningReal-world context Detta är klassiken: en fritt upplagd balk med flera punktlaster — exakt situationen för en truckgaffel under last, en lastbilsaxel mellan hjul och chassi, eller en gångbro mellan två fundament. N(x)-, V(x)- och M(x)-diagrammen visar var man får högst böjspänning — och därmed var balkens tvärsnitt måste vara grövst. Sedan 1900-talet är dessa diagram standardutdata från varje balkberäkningsprogram. This is the classic case: a simply-supported beam with several point loads — exactly the situation for a forklift fork under load, a truck axle between the wheel and chassis, or a footbridge between two abutments. The N(x), V(x) and M(x) diagrams reveal where bending stress peaks — and therefore where the beam cross-section must be deepest. Since the 20th century these diagrams have been the standard output of every beam calculation program.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: inre krafter och moment i de markerade snitten.You're asked to determine: the internal forces and moments at the marked sections.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Teckenkonvention för balkens N, V, MSign convention for the beam's N, V, M
  5. Globalt FBD — bestäm stödkrafterGlobal FBD — find support reactions
  6. Snitt C (0,5 m från A)Section C (0.5 m from A)
  7. Snitt D (2 m från A — mellan 1,8 kN och 1,6 kN)Section D (2 m from A — between 1.8 kN and 1.6 kN)
  8. Snitt E (3,75 m från A — mellan 1,6 kN och B)Section E (3.75 m from A — between 1.6 kN and B)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.7
Fig. 1.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Steg 1: bestäm stödkrafterna globalt med ΣM_A, ΣF_x, ΣF_y. Steg 2: frilägg fram till respektive snitt (C, D, E, F) och tillämpa jämvikt. Step 1: find the support reactions globally with ΣM_A, ΣF_x, ΣF_y. Step 2: free-body up to each section (C, D, E, F) and apply equilibrium.
1. Teckenkonvention för balkens N, V, MSign convention for the beam's N, V, M

På varje snittat element: N pekar UT från snittytan (drag = +). V pekar UPPÅT på den vänstra delens högerflagg (= +) — så att V > 0 betyder att höger del trycker upp på vänster del. M counter-clockwise på höger sida av snittet = +. Detta är konventionen för alla snitt C, D, E och F-snittet nedan. On every cut element: N points OUT of the cut face (tension = +). V points UP on the left part's right face (= +) — so V > 0 means the right side pushes up on the left side. M counter-clockwise on the right side of the cut = +. This convention applies to every section C, D, E and F-cut below.

Teckenkonvention för balksnitt.Sign convention for beam sections.
2. Globalt FBD — bestäm stödkrafterGlobal FBD — find support reactions

Pinnstöd vid A (Ax, Ay), rullager vid B (By). 2,6 kN vid F lutar 25° från horisontalen. Pin support at A (Ax, Ay), roller at B (By). The 2.6 kN at F is tilted 25° from horizontal.

Hur många stödreaktioner har balken? How many support reactions does the beam have?
50%
Pin A: A_x och A_y (2 stycken). Rullager B: B_y (1 stycken). Totalt 3. Pin A: A_x and A_y (2). Roller B: B_y (1). Total = 3.
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0: \; 1{,}8\cdot 1 - 1{,}6\cdot 3 + B_y\cdot 4{,}5 - 6\cdot 2{,}6\sin 25° = 0 $$
$$ B_y = \dfrac{-1{,}8 + 4{,}8 + 6\cdot 2{,}6\sin 25°}{4{,}5} = \dfrac{-1{,}8 + 4{,}8 + 6{,}59}{4{,}5} $$
$$ \Rightarrow B_y = 2{,}13 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; A_y + B_y + 1{,}8 - 1{,}6 - 2{,}6\sin 25° = 0 $$
$$ A_y = -B_y - 1{,}8 + 1{,}6 + 2{,}6\sin 25° = -2{,}13 - 0{,}2 + 1{,}10 $$
$$ \Rightarrow A_y = -1{,}23 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; 2{,}6\cos 25° - A_x = 0 $$
$$ \Rightarrow A_x = 2{,}6\cos 25° = 2{,}36 \text{ kN} $$
3. Snitt C (0,5 m från A)Section C (0.5 m from A)
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Frilägg vänster om snitt C (0,5 m från A) — bara stödkrafterna verkar.}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; N_C = A_x = 2{,}36 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; V_C = A_y = -1{,}23 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_C = 0 \;\Rightarrow\; M_C = A_y \cdot 0{,}5 = -1{,}23\cdot 0{,}5 = -0{,}615 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
$$ \boxed{N_C = 2{,}36 \text{ kN}, \quad V_C = -1{,}23 \text{ kN}, \quad M_C = -0{,}615 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$
4. Snitt D (2 m från A — mellan 1,8 kN och 1,6 kN)Section D (2 m from A — between 1.8 kN and 1.6 kN)

Frilägg från A till D. Stödkraft A_x, A_y samt 1,8 kN-lasten vid 1 m verkar. Free-body from A to D. Support reactions A_x, A_y and the 1.8 kN load at 1 m act on the piece.

FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; N_D = A_x = 2{,}36 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; V_D = A_y + 1{,}8 = -1{,}23 + 1{,}8 = 0{,}57 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_D = 0 \;\Rightarrow\; M_D = A_y\cdot 2 + 1{,}8\cdot 1 = -2{,}46 + 1{,}8 = -0{,}66 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
$$ \boxed{N_D = 2{,}36 \text{ kN}, \quad V_D = 0{,}57 \text{ kN}, \quad M_D = -0{,}66 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$
5. Snitt E (3,75 m från A — mellan 1,6 kN och B)Section E (3.75 m from A — between 1.6 kN and B)

Frilägg från A till E. A_x, A_y, lasten 1,8 kN vid 1 m och lasten 1,6 kN (uppåt) vid 3 m verkar. Free-body from A to E. A_x, A_y, the 1.8 kN at 1 m and the 1.6 kN (upward) at 3 m act on the piece.

FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; N_E = A_x = 2{,}36 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; V_E = A_y + 1{,}8 - 1{,}6 = -1{,}23 + 0{,}2 = -1{,}03 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_E = 0 \;\Rightarrow\; M_E = A_y\cdot 3{,}75 + 1{,}8\cdot 2{,}75 - 1{,}6\cdot 0{,}75 = -0{,}86 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
$$ \boxed{N_E = 2{,}36 \text{ kN}, \quad V_E = -1{,}03 \text{ kN}, \quad M_E = -0{,}86 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$
6. Snitt F — enklare från högerSection F — easier from the right

Vid F-snittet, titta åt höger om snittet — då slipper du ta hänsyn till alla stödkrafter på vänster sida. At section F, look right of the cut — that way you avoid all the loads/reactions on the left.

FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Frilägg höger om F-snittet (0,75 m till änden) — bara 2,6 kN @ 25° verkar.}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; N_F = 2{,}6\cos 25° = 2{,}36 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; V_F = 2{,}6\sin 25° = 1{,}10 \text{ kN} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_F = 0 \;\Rightarrow\; M_F = -2{,}6\sin 25°\cdot 0{,}75 = -1{,}10\cdot 0{,}75 = -0{,}82 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
$$ \boxed{N_F = 2{,}36 \text{ kN}, \quad V_F = 1{,}1 \text{ kN}, \quad M_F = -0{,}82 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$

📈 Snittposition x — dra reglaget och se N(x), V(x), M(x) längs balkenSection position x — drag the slider to see N(x), V(x), M(x) along the beam

Pinnstöd A vid x = 0, rullager B vid x = 4,5 m. Lasten 2,6 kN @ 25° verkar vid x = 6 m.Pin support A at x = 0, roller B at x = 4.5 m. The 2.6 kN @ 25° load acts at x = 6 m.

x = 3.00 m
N(x) [kN]
V(x) [kN]
M(x) [kN·m]
Sammanfattning.Summary. N-värdet är konstant 2,36 kN längs hela balken (eftersom enda horisontalkraft är vid F). Tvärkraften V hoppar vid varje punktlasts angreppspunkt. Momentet är kontinuerligt men har olika derivata på vardera sidan om en punktlast. N is constant 2.36 kN along the whole beam (the only horizontal load is at F). Shear V jumps at every point-load location. The moment is continuous but its slope changes at each point load.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet — för stödkrafter och snittstorheterPlanar equilibrium — both for support reactions and internal section forces
  • KB s.17 · Komposanter av 2,6 kN @ 25° och momentdefinitionDecomposition of the 2.6 kN @ 25° force and moment definition
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-08_miscount_support_reactions
Räknar fel antal stödreaktioner (t.ex. fast inspänning vs led/rulle). Miscounts the support reactions (e.g. fixed vs pin/roller).
1.8 grund

En balk belastas av en linjärt utbredd last där q = 3 kN/m samt en punktlast F = 1,2 kN. Försumma balkens massa och en liten ursäkt för alla mått … slarvfelsrisk 😊

A beam is loaded by a linearly distributed load q = 3 kN/m and a point load F = 1.2 kN. Neglect the beam's mass — and apologies for the dimensions, watch out for typos 😊

  1. a) Frilägg balken och bestäm stödkrafterna i A och B.
  2. b) Bestäm inre krafter och moment i snitt a-a och b-b.
  1. a) Free-body the beam and determine the support reactions at A and B.
  2. b) Determine the internal forces and moments at sections a-a and b-b.
VerklighetsanknytningReal-world context Triangulära utbredda laster är inte påhitt: snödrev mot en lutande takbalk, vattentryck mot en kajvägg och spannmål i en silofot ger alla linjärt växande lasten q(x). Tricket är att ersätta trekantsformen med en resultant i tyngdpunkten — samma matematik som dimensionerar dammvallar och fundament i havsvindkraftverk. Triangular distributed loads are not contrived: snow drift against a sloped roof beam, water pressure on a quay wall, and grain piled in a silo base all create a linearly varying q(x). The trick is to replace the triangle with a resultant at its centroid — the same maths that sizes earth dams and offshore wind-turbine foundations.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Problemet har 2 deluppgifter — läs igenom alla innan du börjar räkna.This problem has 2 sub-tasks — read every one before you start calculating.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Tyngdpunkt för triangulär last — referensregelCentroid of triangular load — reference rule
  5. Triangellasten → ekvivalenta resultanterTriangular load → equivalent resultants
  6. Stödkrafter (a)Support reactions (a)
  7. Snitt a-a (mitt på vänster halv-triangel)Section a-a (mid of left half-triangle)
  8. Snitt b-b (mellan punktlasten och stödet B) — från högerSection b-b (between point load and support B) — from the right
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.8
Fig. 1.8 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Den triangulära lasten delas upp i två 'halv-trianglar' Q1 (vänster om toppen) och Q2 (höger om toppen). Varje delareas tyngdpunkt placeras 1/3 från basen. Sedan: ΣM_A, ΣF_y, ΣF_x ger stödkrafterna; därefter snitten. Split the triangular load into two 'half-triangles' Q1 (left of peak) and Q2 (right of peak). Each sub-area's centroid sits 1/3 from its base. Then ΣM_A, ΣF_y, ΣF_x give the reactions; section equations follow.
1. Tyngdpunkt för triangulär last — referensregelCentroid of triangular load — reference rule

Geometrisk reduktion: en triangulär last med spets på ena sidan och bas b, höjd q_max, ersätts av en punktlast Q = ½·q_max·b vid triangelns tyngdpunkt — 1/3 från den höga sidan (basen), 2/3 från spetsen. Båda halv-trianglarna i denna uppgift följer regeln. Geometric reduction: a triangular load with apex on one side, base b, height q_max, becomes a point load Q = ½·q_max·b at the triangle's centroid — 1/3 from the tall side (base), 2/3 from the apex. Both half-triangles in this problem follow this rule.

Standard-reduktion av triangelyta till resultant vid 1/3 från basen.Standard reduction of a triangular load to a resultant at 1/3 from the base.
2. Triangellasten → ekvivalenta resultanterTriangular load → equivalent resultants
Triangulär last q = 3 kN/m över 0,6 m: resultant? Triangular load q = 3 kN/m over 0.6 m: resultant?
50%
Q = q·b/2 = 3000·0,6/2 = 900 N (triangelns area). Q = q·b/2 = 3000·0.6/2 = 900 N (area of the triangle).
FrikroppFree-body diagram
$$ Q_1 = \frac{3\cdot 0{,}6}{2} = 900 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(placeras }\tfrac{600}{3} = 200\text{ mm från basen)}} $$
$$ Q_2 = \frac{3\cdot 0{,}3}{2} = 450 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(placeras }\tfrac{300}{3} = 100\text{ mm från basen)}} $$
3. Stödkrafter (a)Support reactions (a)
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0: \; B_y\cdot(100+300+450+300) - (100+900+450)\cdot 1200\sin 20° - 450\cdot 200 + 900\cdot 100 = 0 $$
$$ \Rightarrow B_y = 303 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; A_y + B_y - 900 - 450 - 1200\sin 20° = 0 $$
$$ \Rightarrow A_y = 1457 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; A_x - 1200\cos 20° = 0 $$
$$ \Rightarrow A_x = 1128 \text{ N} $$
4. Snitt a-a (mitt på vänster halv-triangel)Section a-a (mid of left half-triangle)
FrikroppFree-body diagram
$$ N_a = 0 $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\sum F_y = 0: \quad V_a + Q = 0 $$
$$ \Rightarrow V_a = -187{,}5 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_a = 0: \quad M_a + Q\cdot\tfrac{250}{3} = 0 $$
$$ \Rightarrow M_a = -15{,}6 \text{ Nm} $$
5. Snitt b-b (mellan punktlasten och stödet B) — från högerSection b-b (between point load and support B) — from the right
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\nearrow}\sum F_{\parallel} = 0: \quad N_b + 1200\cos 20° = 0 $$
$$ \Rightarrow N_b = -1128 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\nwarrow}\sum F_{\perp} = 0: \quad V_b - 1200\sin 20° + 303 = 0 $$
$$ \Rightarrow V_b = 825 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_b = 0: \quad M_b + 0{,}225\cdot 1200\sin 20° - 303\cdot 0{,}525 = 0 $$
$$ \Rightarrow M_b = 66{,}7 \text{ Nm} $$
Sammanfattning.Summary. Nyckelteknik: triangulära laster ersätts med en punktkraft (areaintegralen) placerad vid tyngdpunkten — 1/3 från höjdkanten, 2/3 från spetsen.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.17 · Resultanten till parallella krafter: R = ΣF, r = ΣF·x / RResultant of parallel forces: R = ΣF, r = ΣF·x / R
  • KB s.18 · Tyngdpunktsläge för triangelyta (x₀ = bas/3 från basen, i medianernas skärningspunkt)Centroid of a triangular area (x₀ = base/3 from the base, at the intersection of the medians)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor i planetPlanar equilibrium equations
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-09_triangular_load_forgot_half
Glömmer faktorn ½ för resultanten av en triangulär utbredd last. Forgets the ½ factor for the resultant of a triangular distributed load.
1.9 grund star★ hardervideo

En lyftanordning används för att vinscha upp hinkar med betong. Infästningen A, B, C, D och E är ledade. C-D är en vajer. Försumma egenvikten.

A lifting device is used to winch up buckets of concrete. The connections A, B, C, D and E are pin-jointed. C–D is a cable (wire). Neglect self-weight.

  1. a) Bestäm stödkrafterna i A och C.
  2. b) Bestäm inre krafter och moment för snitt I och II (mitt på 800 resp 1500 mm).
  3. c) ★ Bestäm inre krafter och moment för snitt III (mitt på 600 mm).
  1. a) Determine the support reactions at A and C.
  2. b) Determine the internal forces and moments at sections I and II (mid of 800 and 1500 mm).
  3. c) ★ Determine the internal forces and moments at section III (mid of 600 mm).
VerklighetsanknytningReal-world context En byggkran med vajerstag på en byggarbetsplats är exakt detta system: en utskjutande arm hålls upp av en vajer i en geometriskt smart vinkel. Vajerns dragkraft kan vara många gånger större än betongkruckans vikt — det är varför kranvajrar dimensioneras med stor marginal. Samma princip används i seglarmaster, lyftbockar och davitar på fartyg. A jib crane with a cable stay on a construction site is exactly this system: a projecting arm held up by a cable at a geometrically clever angle. The cable tension can be many times larger than the concrete bucket's weight — which is why crane cables are sized with a generous safety margin. The same principle appears in sailboat masts, shop hoists, and ship davits.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Problemet har 3 deluppgifter — läs igenom alla innan du börjar räkna.This problem has 3 sub-tasks — read every one before you start calculating.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Identifiera tvåkraftselementet (vajern CD)Identify the two-force member (cable CD)
  5. (a) Stödkrafter och vajerns dragkraft(a) Support reactions and cable tension
  6. (b) Snitt I (400 mm från F, horisontalarmen)(b) Section I (400 mm from F, horizontal arm)
  7. (b) Snitt II (750 mm från B, vertikalt)(b) Section II (750 mm from B, vertical column)
  8. (c) Snitt III ★ — kräver kraften S i strävan(c) Section III ★ — needs the strut force S
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.9
Fig. 1.9 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Vajern CD ger en dragkraft längs CD-linjen. Hämta först stödkrafterna globalt vid A och CD-kraften. Snitten I och II är direkta; snitt III kräver att man först bestämmer kraften S i strävan via en separat fri kropp. Cable CD gives a tensile force along the CD direction. First find the support reactions at A and the cable force globally. Sections I and II are direct; section III requires first solving for the cable tension S via a separate free body.
1. Identifiera tvåkraftselementet (vajern CD)Identify the two-force member (cable CD)

Innan något räknas: leta efter element som är (i) ledade i båda ändar och (ii) endast belastade där. Vajern CD uppfyller båda — alltså är CD-kraften garanterat längs CD-linjen. Det reducerar antalet obekanta vid C från två (Cx, Cy) till en (storleken av CD-kraften). Samma trick gäller strävan i 1.10 och 1.12, och är varför detta system är lösbart med 3 jämviktsekvationer. Before any calculation: look for elements that are (i) pin-jointed at both ends and (ii) loaded only at those ends. Cable CD satisfies both — so the CD force is guaranteed to act along the CD line. That reduces the unknowns at C from two (Cx, Cy) to one (CD magnitude). Same trick applies to the strut in 1.10 and 1.12, and is why this system is solvable with 3 equilibrium equations.

Tvåkraftstång/vajer: kraften måste ligga längs elementets axel.Two-force member/cable: the force must lie along the element's axis.
2. (a) Stödkrafter och vajerns dragkraft(a) Support reactions and cable tension
Snitt III: 4 obekanta, 3 ekvationer — vad gör du? Section III: 4 unknowns, 3 equations — what do you do?
50%
Endast 3 jämviktsekvationer — isolera S med separat fri kropp först. Only 3 equilibrium equations — isolate S via a separate free body first.
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0: \; 80\cdot 9{,}81\cdot 1400 - 2100\cdot CD\sin 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow CD = 1046 \text{ N} $$
$$ A_y - 80\cdot 9{,}81 - CD\cos 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow A_y = 1691 \text{ N} $$
$$ A_x - CD\sin 30° = 0 $$
$$ \Rightarrow A_x = 523 \text{ N} $$
3. (b) Snitt I (400 mm från F, horisontalarmen)(b) Section I (400 mm from F, horizontal arm)
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Frilägg vänster om snitt I — endast lasten 80·9,81 N verkar (400 mm från snittet).}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; N_I = 0 $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; V_I + 80\cdot 9{,}81 = 0 \;\Rightarrow\; V_I = -785 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_I = 0 \;\Rightarrow\; M_I + 80\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}4 = 0 \;\Rightarrow\; M_I = -314 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{N_I = 0, \quad V_I = -785 \text{ N}, \quad M_I = -314 \text{ Nm}} $$
4. (b) Snitt II (750 mm från B, vertikalt)(b) Section II (750 mm from B, vertical column)
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Frilägg från A upp till snitt II (750 mm från A på vertikalpelaren).}} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0 \;\Rightarrow\; V_{II} - A_x = 0 \;\Rightarrow\; V_{II} = 523 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; N_{II} + A_y = 0 \;\Rightarrow\; N_{II} = -A_y = -1691 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{II} = 0 \;\Rightarrow\; M_{II} - A_x \cdot 0{,}75 = 0 \;\Rightarrow\; M_{II} = 523 \cdot 0{,}75 = 392 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{N_{II} = -1691 \text{ N}, \quad V_{II} = 523 \text{ N}, \quad M_{II} = 392 \text{ Nm}} $$
5. (c) Snitt III ★ — kräver kraften S i strävan(c) Section III ★ — needs the strut force S

Vid III har vi 4 obekanta (S, N_III, V_III, M_III) men bara 3 jämviktsekvationer. Bestäm först S via en separat fri kropp som inte inkluderar III. At III there are 4 unknowns (S, N_III, V_III, M_III) but only 3 equilibrium equations. First determine S via a separate free body that doesn't include III.

FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_C = 0: \; 80\cdot 9{,}81\cdot(800+600) - S\sin 45°\cdot 600 = 0 $$
$$ \Rightarrow S = 2590 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\sum F_x = 0: \quad N_{III} - 2590\cos 45° = 0 $$
$$ \Rightarrow N_{III} = 1831 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\sum F_y = 0: \quad V_{III} + 80\cdot 9{,}81 - 2590\sin 45° = 0 $$
$$ \Rightarrow V_{III} = 1047 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_{III} = 0: \quad M_{III} + 80\cdot 9{,}81\cdot(800+300) - 2590\sin 45°\cdot 300 = 0 $$
$$ \Rightarrow M_{III} = -132 \text{ Nm} $$
Sammanfattning.Summary. Lärdom: när antalet obekanta i ett snitt överstiger 3 (jämviktsekvationer), måste man först 'spränga' systemet på ett ställe där alla okända är åtkomliga. Här var snittet vid C den naturliga frigörningen.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor — krafter på frilagd kropp; när antal obekanta > 3 måste systemet 'sprängas' på ett tillgängligt ställeEquilibrium of a free body — when the number of unknowns > 3, the system must be 'cut' at an accessible location first
  • KB s.17 · Vajerns kraft verkar längs vajerlinjen; dela i komposanter (sin/cos)Cable force acts along the cable line; decompose into components (sin/cos)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-10_wrong_solve_order
Försöker lösa snittet direkt utan att först bestämma strävans kraft. Tries to solve the cut directly without first finding the strut force.
1.10 grund star★ hardervideo

Bestäm inre krafter och moment i ett snitt vid F. A, B, C, D och E är momentfria infästningar. Egenvikten kan försummas.

Determine the internal forces and moments at a section at F. Connections A, B, C, D and E are moment-free (pin) joints. Self-weight may be neglected.

VerklighetsanknytningReal-world context Triangelformiga utbredda laster på balkar med strävupphängning är typiska för snöbelastade takutskott (carportar, hållplatser) och för läktarkonstruktioner där åskådartätheten avtar mot kanten. Strävan (B–D) tar dragkraften och avlastar huvudbalken — utan strävan skulle balken behöva vara dubbelt så grov. Klassisk dimensionering vid hållplatstak och bussterminaler. Triangular distributed loads on strut-supported beams are typical for snow-loaded roof overhangs (carports, bus stops) and grandstand structures where spectator density tapers toward the edge. The strut (B–D) takes the tensile force and offloads the main beam — without it the beam would need to be twice as deep. Classic sizing case for bus-shelter roofs and station canopies.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: inre krafter och moment i ett snitt vid F.You're asked to determine: the internal forces and moments at a section at F.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Triangellast → resultant (geometrisk reduktion)Triangular load → resultant (geometric reduction)
  5. Globalt FBD — stödkrafterGlobal FBD — support reactions
  6. Knutpunkt B — stänger AB och BDJoint B — members AB and BD
  7. Snitt F — mellan A och B på övre balkenSection F — between A and B on the upper beam
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.10
Fig. 1.10 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Steg 1: bestäm stödkrafter globalt. Den linjärt avtagande lasten ersätts av en resultant 900 N vid tyngdpunkten (2/3 in från den höga sidan). Steg 2: stänger ABD bildar en strävkonstruktion — bestäm AB, BD via jämvikt vid knutpunkt B. Steg 3: snitta vid F. Step 1: global support reactions. The linearly decreasing load is replaced by a 900 N resultant at its centroid (2/3 in from the tall side). Step 2: members ABD form a brace — get AB, BD by joint equilibrium at B. Step 3: cut at F.
1. Triangellast → resultant (geometrisk reduktion)Triangular load → resultant (geometric reduction)

Triangellasten q(x) som avtar linjärt från 600 N/m vid B till 0 vid E ersätts med en ekvivalent punktlast Q = ½·600·3 = 900 N placerad vid triangelns tyngdpunkt — 2/3 ut från den höga sidan (B), vilket är 2 m från E. Detta är samma reduktion som används för snödrev, vattentryck och korntyngd i silotak. The triangular load q(x) decreasing linearly from 600 N/m at B to 0 at E is replaced by an equivalent point load Q = ½·600·3 = 900 N at the triangle's centroid — 2/3 along from the tall side (B), i.e. 2 m from E. Same reduction used for snow drift, water pressure, and grain weight in silo roofs.

Triangulär last → punktlast vid tyngdpunkten.Triangular load → point load at the centroid.
2. Globalt FBD — stödkrafterGlobal FBD — support reactions
Strävan BC anses som... The brace BC is treated as...
50%
BC ledad i båda ändar, last endast där ⇒ endast normalkraft. BC pin-jointed at both ends, loaded only there ⇒ axial force only.
FrikroppFree-body diagram
$$ Q = \tfrac{600\cdot 3}{2} = 900 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(placerad 2 m från E)}} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_E = 0: \; 1500\cdot 5 + 900\cdot 2 - C_x\cdot 1{,}5 = 0 $$
$$ C_x = \dfrac{1500\cdot 5 + 900\cdot 2}{1{,}5} = \dfrac{7500 + 1800}{1{,}5} = \dfrac{9300}{1{,}5} $$
$$ \Rightarrow C_x = 6200 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; E_x = C_x = 6200 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; E_y = 1500 + 900 = 2400 \text{ N} $$
3. Knutpunkt B — stänger AB och BDJoint B — members AB and BD
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Vinkel: }} \alpha = \arctan\!\left(\tfrac{4}{3}\right) = 53{,}13° $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; BC - AB\sin 53{,}13° = 0 $$
$$ \Rightarrow AB = \dfrac{BC}{\sin 53{,}13°} = \dfrac{6200}{0{,}8} = 7750 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; AB\cos 53{,}13° + BD = 0 $$
$$ \Rightarrow BD = -AB\cos 53{,}13° = -7750\cdot 0{,}6 = -4650 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
4. Snitt F — mellan A och B på övre balkenSection F — between A and B on the upper beam
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; N_F + 7750\cos 36{,}87° = 0 $$
$$ \Rightarrow N_F = -7750\cdot 0{,}8 = -6200 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; -V_F - 1500 + 7750\sin 36{,}87° = 0 $$
$$ V_F = 7750\sin 36{,}87° - 1500 = 4650 - 1500 $$
$$ \Rightarrow V_F = 3150 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_F = 0: \; M_F + 1500\cdot 1 - 7750\sin 36{,}87°\cdot 1 = 0 $$
$$ M_F = 7750\sin 36{,}87° - 1500 = 4650 - 1500 $$
$$ \Rightarrow M_F = 3150 \text{ Nm} $$
Sammanfattning.Summary. Notera: även om problemets geometri ser komplicerad ut reduceras analysen till tre steg — stödkrafter → strävans kraft → snittet vid F.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.17 · Resultanten till parallella krafter (triangulär last → 900 N resultant)Resultant of parallel forces (triangular load → 900 N resultant)
  • KB s.18 · Tyngdpunktsläge för triangelyta (1/3 från höga sidan, 2/3 från den korta)Centroid of a triangular area (1/3 from the tall side, 2/3 from the zero side)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor för stödkrafter och knutpunkt BEquilibrium for support reactions and joint B
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-07_truss_member_not_two_force
Behandlar en tvåkraftstång (endast normalkraft) som en balk med skjuvning och moment. Treats a two-force member (axial only) as a beam with shear and moment.
1.11 grundinteractive

Bestäm inre vridmoment i ett snitt vid A och B. Försumma egenvikt.

Determine the internal torsion moment at a section at A and at B. Neglect self-weight.

VerklighetsanknytningReal-world context Det inre vridmomentet T(x) är vad som överförs i bilens kardanaxel mellan motor och bakaxel, i en propelleraxel mellan reduktionsväxel och propeller på ett fartyg, eller i borrsträngen ner till en oljeborr. Vridmomentet 'hoppar' vid varje växel, koppling eller energiuttag — precis som N hoppade i 1.1, fast nu kring axelns axel. The internal torque T(x) is what's transmitted through a car's driveshaft between engine and rear axle, through a ship's propeller shaft between gearbox and propeller, or down an oil-rig drill string. The torque 'jumps' at every gearbox, clutch, or power take-off — just like N jumped in problem 1.1, but now about the shaft's axis.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: inre vridmoment i ett snitt vid A och B.You're asked to determine: the internal torsion moment at a section at A and at B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Teckenkonvention för vridmomentSign convention for torque
  5. Snitt vid A (mellan T₁ och T₂)Section at A (between T₁ and T₂)
  6. Snitt vid B (mellan T₂ och T₃)Section at B (between T₂ and T₃)
  7. Snitt vid B — kontroll från högerSection at B — check from the right
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.11
Fig. 1.11 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Endast vridande moment verkar på axeln ⇒ endast inre vridmoment T. Använd ΣT = 0 för varje delområde precis som ΣF = 0 för axiella stänger i 1.1. Only twisting moments act on the shaft ⇒ only internal torsion moment T. Use ΣT = 0 for each segment, exactly like ΣF = 0 for the axial bar in 1.1.
1. Teckenkonvention för vridmomentSign convention for torque

Höger-hand-regeln: peka tummen längs axelns x-riktning (positiv); de krökta fingrarna anger positiv rotationsriktning (counter-clockwise sett från +x-änden). T > 0 = vridning som överensstämmer med höger-hand-regeln. Right-hand rule: thumb along the shaft's +x direction; the curled fingers give positive rotation (counter-clockwise viewed from the +x end). T > 0 = twist that follows the right-hand rule.

Höger-hand-regeln för T på en axel.Right-hand rule for torque on a shaft.
2. Snitt vid A (mellan T₁ och T₂)Section at A (between T₁ and T₂)
Axel under rena vridmoment: V och M_böj? Shaft under pure torques: V and bending M?
50%
Rena vridmoment ⇒ endast inre T; V = M_böj = 0. Pure torques ⇒ only internal T; V = M_bend = 0.
FrikroppFree-body diagram
$$ \sum T = 0: \quad T_1 + T_A = 0 $$
$$ 13 + T_A = 0 $$
$$ \Rightarrow \boxed{T_A = -T_1 = -13 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} $$
3. Snitt vid B (mellan T₂ och T₃)Section at B (between T₂ and T₃)
FrikroppFree-body diagram
$$ \sum T = 0: \quad T_1 - T_2 + T_B = 0 $$
$$ 13 - 43 + T_B = 0 $$
$$ \Rightarrow T_B = T_2 - T_1 = 43 - 13 = 30 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m} $$
4. Snitt vid B — kontroll från högerSection at B — check from the right
FrikroppFree-body diagram
$$ \sum T = 0: \quad 30 - T_B = 0 $$
$$ \Rightarrow \boxed{T_B = T_3 = 30 \text{ kN}\!\cdot\!\text{m}} \;\checkmark $$
Sammanfattning.Summary. Vridmomentet 'hoppar' vid varje pålagt vridmoment — exakt samma princip som i 1.1 fast för torsion istället för normalkraft.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor — momentlag kring axel (ΣMₓ = 0 för vridning)Equilibrium — moment law about an axis (ΣMₓ = 0 for torsion)
  • KB s.25 · Vridning eller torsion — inre vridmoment Mᵥ (för efterföljande beräkning av spänningar; se kap. 5)Twisting / torsion — internal torque Mᵥ (used later for stress calculation; see ch. 5)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-11_torsion_implies_V_or_M
Tror att ett rent vridmoment även ger tvärkraft eller böjmoment. Thinks pure torsion also produces shear or bending.

Prova själv — tre pålagda vridmomentTry it yourself — three applied torques

Notera att jämvikt kräver T₁ + T₃ = T₂ (här 13 + 30 = 43). T₃ beräknas därför automatiskt. Note that equilibrium requires T₁ + T₃ = T₂ (here 13 + 30 = 43). So T₃ is computed automatically.

13.0 kN·m
43.0 kN·m
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— kN·m
— kN·m
— kN·m
1.12 grund star★ harder

Två profiler är ledat infästa i A, B och C. Profilerna belastas i punkten C med en punktlast. Egentyngden försummas. Bestäm krafter och moment i mittsnitten c-c och d-d.

Two profiles are pin-connected at A, B and C. The profiles are loaded at point C by a point load. Self-weight is neglected. Determine the forces and moments at the midsections c-c and d-d.

VerklighetsanknytningReal-world context Två ledade stänger som möts i en punkt och bär en last är A-ramen i en stege, ett tältstaglar eller flygstöden på en gotisk katedral som Notre-Dame. Varje stång är en tvåkraftstång — enbart drag eller tryck, inget moment. Det är därför man kan bygga lättviktsstrukturer som är extremt starka i sin egen riktning men dimensionerar dem till mer än sex gånger lasten i tryck (knäckningsrisk). Two pin-jointed bars meeting at a point and carrying a load is the A-frame of a ladder, a tent guyline, or the flying buttresses of a Gothic cathedral like Notre-Dame. Each bar is a two-force member — pure tension or compression, no moment. That's how you build extremely lightweight structures that are strong along their own axis, while sizing the compression bar with a factor of six over the load (buckling risk).
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: krafter och moment i mittsnitten c-c och d-d.You're asked to determine: the forces and moments at the midsections c-c and d-d.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Varför AC och BC är tvåkraftstängerWhy AC and BC are two-force members
  5. FBD — knutpunkt CFBD — joint C
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.12
Fig. 1.12 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Ledade stänger som endast är belastade i ändpunkterna bär enbart normalkrafter. Därför är M_c = M_d = 0 och V_c = V_d = 0. Använd jämvikt vid lastpunkten C. Pin-jointed bars loaded only at their endpoints carry only normal forces. Therefore M_c = M_d = 0 and V_c = V_d = 0. Use equilibrium at the load point C.
1. Varför AC och BC är tvåkraftstängerWhy AC and BC are two-force members

Stängerna AC och BC är (i) ledade i båda ändarna (A, C, B är pin-leder enligt uppgiften) och (ii) lasten i C verkar bara vid leden, inte längs stångens längd. Resultatet är att stångkraften MÅSTE ligga längs stångens axel — vinkelrätt komposant skulle ge moment om en led, vilket inte kan hållas eftersom leden inte tar moment. Därför är V_c = V_d = 0 och M_c = M_d = 0. Bars AC and BC are (i) pin-jointed at both ends (A, B, C are pin joints per the problem) and (ii) the load at C acts only at the pin, not along the bar length. The result: the bar force MUST lie along the bar axis — any perpendicular component would create a moment about a pin, which the pin can't resist. Hence V_c = V_d = 0 and M_c = M_d = 0.

Tvåkraftstång: kraften endast längs axeln; V och M = 0 i alla snitt.Two-force member: force along the axis only; V and M = 0 at every section.
2. FBD — knutpunkt CFBD — joint C
Ledade stänger AC, BC: vid c-c och d-d är V och M... Pin-jointed AC, BC: at c-c and d-d, V and M are...
50%
Tvåkraftstänger ⇒ endast N. V = M = 0. Two-force members ⇒ only N. V = M = 0.
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Ledade stänger ⇒ tvåkraftstänger ⇒ } V_c = V_d = 0, \; M_c = M_d = 0.} $$
$$ \alpha = \arctan\!\left(\tfrac{480}{840}\right) = 29{,}75°, \quad \beta = \arctan\!\left(\tfrac{480}{160}\right) = 71{,}57° $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_B = 0: \; N_c\sin 29{,}75°\cdot(840+160) - 480\cdot 500\cos 15° - 160\cdot 500\sin 15° = 0 $$
$$ N_c = \dfrac{480\cdot 500\cos 15° + 160\cdot 500\sin 15°}{1000\cdot \sin 29{,}75°} $$
$$ \Rightarrow N_c = 509 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; N_c\sin 29{,}75° + N_d\sin 71{,}57° - 500\sin 15° = 0 $$
$$ N_d = \dfrac{500\sin 15° - 509\sin 29{,}75°}{\sin 71{,}57°} $$
$$ \Rightarrow N_d = -130 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
$$ \boxed{N_c = 509 \text{ N}, \quad N_d = -130 \text{ N}, \quad V = M = 0 \;\textcolor{#888}{\text{i båda snitt}}} $$
Sammanfattning.Summary. Lärdom: identifiera tvåkraftstänger tidigt — det halverar arbetet eftersom V och M försvinner.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Speciella jämviktsfall: tre krafter på en kropp möts i en gemensam skärningspunkt (ledad stång ⇒ tvåkraftstång ⇒ endast normalkraft)Special equilibrium cases: three forces on a body meet at a common point (pin-jointed bar ⇒ two-force member ⇒ axial force only)
  • KB s.17 · Komposanter av stångkrafter mot horisontal/vertikalDecomposition of member forces into horizontal/vertical
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-07_truss_member_not_two_force
Behandlar en tvåkraftstång (endast normalkraft) som en balk med skjuvning och moment. Treats a two-force member (axial only) as a beam with shear and moment.
1.13 grund star★ harder

En vinklad profil, ACD, belastas i punkten C med en punktlast. Egentyngden försummas. Bestäm krafter och moment i mittsnitten c-c och d-d.

A bent profile, ACD, is loaded at point C by a point load. Self-weight is neglected. Determine the forces and moments at the midsections c-c and d-d.

VerklighetsanknytningReal-world context Skillnaden från 1.12 är att profilen nu är en sammanhängande bockad stång — som ett krockskydd på en gaffeltruck eller en räcke på en balkong. Eftersom hörnet vid C är stelt (svetsat, inte ledat) kan profilen bära både normalkraft, tvärkraft OCH moment överallt. Det är därför svetsade ramar håller mycket mer last än motsvarande ledat system — men kräver också att hörnet svetsas korrekt, annars är det där allting brister. The difference from 1.12 is that the profile is now one continuous bent bar — like the impact guard on a forklift or a balcony railing. Because the corner at C is rigid (welded, not pinned), the profile can carry normal, shear AND moment everywhere. That's why welded frames hold far more load than pin-jointed equivalents — but it also means the corner weld must be done right, or that's where everything fails.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: krafter och moment i mittsnitten c-c och d-d.You're asked to determine: the forces and moments at the midsections c-c and d-d.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Inre krafter N, V och moment M vid snittetInternal forces N, V and moment M at the cut
  • Snittmetoden: frilägg och tillämpa jämviktSection method: free-body the cut and apply equilibrium
  • Teckenkonvention för N, V, MSign convention for N, V, M
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Frilägg den ena sidan av snittet.Free-body one side of the cut.
  2. Bestäm N och V ur ΣF = 0.Determine N and V from ΣF = 0.
  3. Bestäm momentet M ur ΣM = 0 kring snittet.Determine the moment M from ΣM = 0 about the cut.
  4. Globalt FBD — stödkrafterGlobal FBD — support reactions
  5. Lokal teckenkonvention vid sneda snittLocal sign convention at oblique cuts
  6. Snitt c-c (mitt på AC, 484 mm från A längs stångaxeln)Section c-c (mid of AC, 484 mm from A along the bar axis)
  7. Snitt d-d (mitt på CD, 253 mm från D längs stångaxeln)Section d-d (mid of CD, 253 mm from D along the bar axis)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Figure 1.13
Fig. 1.13 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Snarlik 1.12 men nu är ACD en sammanhängande bockad profil ⇒ den bär även V och M. Steg 1: stödkrafter vid A (pinnstöd) och D (rullager). Steg 2: snitt c-c och d-d. Similar to 1.12 but now ACD is a single bent profile ⇒ it also carries V and M. Step 1: support reactions at A (pin) and D (roller). Step 2: cut sections c-c and d-d.
1. Globalt FBD — stödkrafterGlobal FBD — support reactions
Bockad profil ACD (inte ledad i C): vid c-c, d-d är M... Bent profile ACD (not pin-jointed at C): at c-c, d-d, M is...
50%
Sammanhängande profil ⇒ bär även böjmoment (skiljer från 1.12). A continuous profile carries bending moment too (unlike 1.12).
FrikroppFree-body diagram
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0: \; B_y(840+160) + 500\sin 15°\cdot 840 - 500\cos 15°\cdot 480 = 0 $$
$$ B_y = \dfrac{500\cos 15°\cdot 480 - 500\sin 15°\cdot 840}{1000} $$
$$ \Rightarrow B_y = 123 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \; A_x - 500\cos 15° = 0 $$
$$ \Rightarrow A_x = 500\cos 15° = 483 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0: \; A_y + B_y + 500\sin 15° = 0 $$
$$ A_y = -B_y - 500\sin 15° = -123 - 129 \;\textcolor{#888}{\text{(med Madeleines tecken)}} $$
$$ \Rightarrow A_y = -252 \text{ N} $$
2. Lokal teckenkonvention vid sneda snittLocal sign convention at oblique cuts

Eftersom stång AC lutar α = 29,75° och stång CD lutar β = 71,57° är snitten c-c och d-d sneda. Lokal teckenkonvention: N längs stångens lokala axel, V vinkelrätt mot den, M moturs. Projicera A_x och A_y (resp. B_y) på den lokala axeln innan jämvikt skrivs. Because bar AC tilts α = 29.75° and bar CD tilts β = 71.57°, sections c-c and d-d are oblique. Local sign convention: N along the bar's local axis, V perpendicular to it, M counter-clockwise. Project A_x and A_y (resp. B_y) onto the local axis before writing equilibrium.

Lokal axel på AC (vänster) och CD (höger). N parallellt, V vinkelrätt mot stångens lokala axel.Local axes on AC (left) and CD (right). N parallel, V perpendicular to each bar's local axis.
3. Snitt c-c (mitt på AC, 484 mm från A längs stångaxeln)Section c-c (mid of AC, 484 mm from A along the bar axis)
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Projektera A-reaktionerna på AC-axelns lokala riktning } (\alpha = 29{,}75°).} $$
$$ \overset{+}{\nearrow}\;\sum F_{\parallel} = 0: \; N_c - 483\cos\alpha - 252\sin\alpha = 0 $$
$$ N_c = 483\cos 29{,}75° + 252\sin 29{,}75° = 419 + 125 $$
$$ \Rightarrow N_c = 544 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\nwarrow}\;\sum F_{\perp} = 0: \; V_c + 252\cos\alpha - 483\sin\alpha = 0 $$
$$ V_c = 483\sin 29{,}75° - 252\cos 29{,}75° = 240 - 219 $$
$$ \Rightarrow V_c = 20{,}9 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_c = 0: \; M_c - V_c \cdot 484 = 0 $$
$$ M_c = 20{,}9\cdot 484 \text{ Nmm} = 10{,}1 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{M_c = 10{,}1 \text{ Nm}} $$
4. Snitt d-d (mitt på CD, 253 mm från D längs stångaxeln)Section d-d (mid of CD, 253 mm from D along the bar axis)
FrikroppFree-body diagram
$$ \textcolor{#888}{\text{Projektera }B_{y}\text{ på CD-axelns lokala riktning } (\beta = 71{,}57^{\circ}).} $$
$$ \overset{+}{\nearrow}\;\sum F_{\parallel} = 0: \; N_d + 123\sin 71{,}57° = 0 $$
$$ N_d = -123\sin 71{,}57° = -123\cdot 0{,}949 $$
$$ \Rightarrow N_d = -117 \text{ N} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
$$ \overset{+}{\nwarrow}\;\sum F_{\perp} = 0: \; V_d + 123\cos 71{,}57° = 0 $$
$$ V_d = -123\cos 71{,}57° = -123\cdot 0{,}316 $$
$$ \Rightarrow V_d = -38{,}9 \text{ N} $$
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_d = 0: \; M_d - 123\cos 71{,}57°\cdot 253 = 0 $$
$$ M_d = 38{,}9\cdot 253 \text{ Nmm} = 9{,}8 \text{ Nm} $$
$$ \boxed{M_d = 9{,}8 \text{ Nm}} $$
Sammanfattning.Summary. Jämför med 1.12: samma geometri, samma yttre kraft, men eftersom profilen nu är en kontinuerlig bockad stång (inte två ledade) tar den även upp V och M. Detta illustrerar tydligt skillnaden mellan en 'tvåkraftstång' och en allmän bockad balk. Compare with 1.12: same geometry, same load, but because the profile is now one continuous bent bar (not two pin-jointed members), it also carries V and M. This is the cleanest illustration of the difference between a two-force member and a general bent beam.
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.19 · Jämviktsvillkor för stödkrafter, sedan snittstorheterEquilibrium for support reactions, then internal section forces
  • KB s.17 · Komposanter mot stångens lokala axel (cos α, sin α)Projection onto the bar's local axis (cos α, sin α)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M1-12_overapply_two_force_to_rigid
Tillämpar tvåkrafts-/ledresonemang felaktigt på en styv bockad profil. Wrongly applies two-force / hinge reasoning to a rigid bent profile.
KällaSource: Madeleine Hermann, EduME — Education and Mechanical Engineering — https://edume.nu.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Formler från Karl Björks bok refereras som 'KB s17' där s17 betyder sida 17 i åttonde upplagan. Använder du en annan utgåva — kontrollera sidnumret mot din egen.Formulas from Karl Björk's handbook are referenced as 'KB s17' where s17 means page 17 in the 8th edition. If you use a different edition, verify the page numbers against your copy.
Originalfigurer © EduME. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1565-teamet vid BTH. Original figures © EduME. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1565 review only.