MT1565 · Chapter 5 · Torsion of circular shafts

5.1 grund

Bestäm max vridmoment, M_v, som får belasta en solid axel med d = 35 mm. Materialets sträckgräns är R_eL = 230 MPa och säkerhetsfaktor n = 3 mot bestående deformationer.

Find the maximum torque M_v on a solid shaft d = 35 mm. Material yield R_eL = 230 MPa, safety factor n = 3.

VerklighetsanknytningReal-world context Vriddimensionering av drivaxlar i pumpar och blandare — alltid en säkerhetsfaktor mellan 2 och 4 mot bestående deformationer. 💡 **Se även problem 6.1** — samma stång under vridning vs böjning. 💡 **See also problem 6.1** — same shaft under torsion vs bending.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max vridmoment, M_v, som får belasta en solid axel med d = 35 mm.You're asked to find: the maximum torque M_v on a solid shaft d = 35 mm.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Steg 1 — Tillåten skjuvspänningStep 1 — Allowable shear stress
Steg 2 — Vridmotstånd W_vStep 2 — Torsional section modulus W_v
Steg 3 — Maximalt vridmomentStep 3 — Maximum torque

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Använd τ = M_v/W_v. Vad är W_v för en solid axel? (KB s.26) Använd τ = M_v/W_v. Vad är W_v för en solid axel? (KB s.26)

2. τ_till = R_eL/(√3·n) (von Mises) eller direkt om kurslit anger τ_till. M_v,max = τ_till · π·d³/16. τ_till = R_eL/(√3·n) (von Mises) eller direkt om kurslit anger τ_till. M_v,max = τ_till · π·d³/16.

3. n = 3, R_eL = 230, τ_till = 230/(√3·3) ≈ 44,3 MPa. d = 35 mm. M_max ≈ 44,3 · π·35³/16 ≈ 373 Nm. n = 3, R_eL = 230, τ_till = 230/(√3·3) ≈ 44,3 MPa. d = 35 mm. M_max ≈ 44,3 · π·35³/16 ≈ 373 Nm.

≈ 5 min≈ 5 min · dimensionering säkerhetsfaktor von-Mises

Figure 5.1 — Fig. 5.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

τ_till = R_eL/(√3·n) (von Mises) eller direkt enligt kurslitteratur. M_v,max = τ_till · I_p / (d/2) med I_p = π·d⁴/32. τ_allow = R_eL/(√3·n) (von Mises) or per the course definition. M_v,max = τ_allow · I_p / (d/2) with I_p = π·d⁴/32.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vridmotståndet för en SOLID axel beräknas som... The section modulus in torsion for a SOLID shaft is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Solid axel: W_v = π·d³/16 = 8418 mm³, och M_v = τ_till·W_v = 387 Nm. Böjmotståndet (π·d³/32) gäller böjning, inte vridning. Solid shaft: W_v = π·d³/16 = 8418 mm³, and M_v = τ_till·W_v = 387 Nm. The bending modulus (π·d³/32) is for bending, not torsion.

Solid axel d = 35 mm. R_eL = 230 MPa, n = 3 mot bestående deformationerFree-body diagram

$$ \tau_{till} = \dfrac{R_{eL}}{\sqrt{3}\,n} $$

$$ M_{v,max} = \tau_{till}\,\dfrac{\pi d^3}{16} $$

2. Givna värdenGiven values

Solid axel, materialets sträckgräns och säkerhetsfaktorn. Solid shaft, the material's yield strength, and the safety factor.

$$ d = 35\;\text{mm},\;R_{eL} = 230\;\text{MPa},\;n = 3 $$

3. Steg 1 — Tillåten skjuvspänningStep 1 — Allowable shear stress

Tumregeln τ_sl ≈ R_eL/√3 (von Mises) ger 0,6·R_eL; säkerhetsfaktorn n minskar tillåtet värde med 1/n. The von-Mises rule τ_y ≈ R_eL/√3 gives 0.6·R_eL; the safety factor n reduces the allowed value by 1/n.

$$ \tau_{till} = \dfrac{0{,}6\,R_{eL}}{n} = \dfrac{0{,}6\cdot 230}{3} \approx 46\;\text{MPa} $$

4. Steg 2 — Vridmotstånd W_vStep 2 — Torsional section modulus W_v

Solid cirkulär tvärsnitt. Solid circular section.

$$ W_v = \dfrac{\pi\,d^{3}}{16} = \dfrac{\pi\cdot 35^{3}}{16} \approx 8418\;\text{mm}^{3} $$

5. Steg 3 — Maximalt vridmomentStep 3 — Maximum torque

M_v,max = τ_till · W_v. M_v,max = τ_till · W_v.

$$ M_v = \tau_{till}\,W_v = 46\cdot 8418 \approx 387\,250\;\text{Nmm} \approx 387\;\text{Nm} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: M_v [Nm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: M_v [Nm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{M_{v} = 387\;\text{Nm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M01_diameter_vs_radius

I formeln τ = T·r/J är r RADIEN, inte diametern. Skillnaden är en faktor 2 — kontrollera dubbelt. In the formula τ = T·r/J, r is the RADIUS, not the diameter. The difference is a factor of 2 — double-check.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

wrong_tau_till_formula

Säkerheten n appliceras på sträckgränsen, inte på spänningen. τ_till = τ_sträckgräns/n och τ_sträckgräns ≈ R_eL/√3 enligt von Mises. The safety factor n is applied to the yield stress, not to the stress itself. τ_allow = τ_yield/n and τ_yield ≈ R_eL/√3 according to von Mises.

5.2 grundinteractive

Ett rör belastas av ett vridmoment T. Max tillåten spänning τ_till = 45 MPa. a) Bestäm max tillåtet T. b) Spänningen som T orsakar om det belastar en solid axel med samma tvärsnittsarea.

A tube carries torque T with τ_allow = 45 MPa. a) Find T_max. b) Compute the stress for the same T on a solid shaft of equal cross-section area.

VerklighetsanknytningReal-world context Exakt detta är varför nästan alla moderna drivaxlar är rör. För samma vikt bär röret nästan dubbla vridmomentet jämfört med en solid axel innan ytterfibern når yt-skjuvspänningens gräns. Volvo Cars använder hålborrade drivaxlar i hela XC-serien av exakt detta skäl — viktreduktion utan att tappa hållfasthet. 💡 **Se även problem 11.1** — vridning ger ren skjuvspänning som ses tydligast på Mohr's cirkel. This is precisely why most modern drive shafts are hollow tubes. For equal weight a tube carries nearly twice the torque a solid shaft can before its outer fibre yields. Volvo Cars uses bored-out drive shafts in the entire XC series for this reason — weight reduction without losing strength. 💡 **See also problem 11.1** — torsion produces pure shear that's clearest on Mohr's circle.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max tillåtet T.You're asked to find: T_max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Identifiera formelIdentifiera formel
Beräkna T_max för röretBeräkna T_max för röret
FörFör
Beräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_maxBeräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_max
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Använd τ = M_v/W_v och välj rätt formel för W_v (KB s.25-26). Use τ = M_v/W_v with the correct W_v for hollow / solid (KB p.25-26).

2. För (a): T_max = τ_till·W_v = τ_till·π(D⁴-d⁴)/(16·D). För (b): hitta d_solid med samma area, sedan τ = T_max/(π·d³/16). (a) T_max = τ_allow·π(D⁴-d⁴)/(16·D). (b) Find equal-area d_solid, then τ = T_max/(π·d³/16).

3. (a) W_v = π(90⁴-60⁴)/(16·90) ⇒ T_max ≈ 5,17 kNm. (b) πd²/4 = π(90²-60²)/4 ⇒ d_solid ≈ 67 mm ⇒ τ ≈ 87,5 MPa. (a) W_v = π(90⁴-60⁴)/(16·90) ⇒ T_max ≈ 5.17 kNm. (b) d_solid ≈ 67 mm ⇒ τ ≈ 87.5 MPa.

≈ 12 min≈ 12 min · rör-vs-solid Volvo-XC anchor-problem weight-saving

Figure 5.2 — Fig. 5.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) T_max = τ_till · I_p,rör / r_y med I_p = π(D⁴ − d⁴)/32. b) Lika area → d_solid = √(D² − d²). τ_solid = T·r/(π·d_solid⁴/32). Jämför: solid axel har högre spänning för samma vrid och samma area. a) T_max = τ_allow · I_p,tube / r_o with I_p = π(D⁴ − d⁴)/32. b) Equal area → d_solid = √(D² − d²). τ_solid = T·r/(π·d_solid⁴/32). Compare: solid shaft has higher stress for the same torque and same area.

1. Identifiera formelIdentifiera formel

Identifiera formel: τ = M_v / W_v (KB s.25), och W_v för rör = π(D⁴ - d⁴)/(16·D) (KB s.26). Identifiera formel: τ = M_v / W_v (KB s.25), och W_v för rör = π(D⁴ - d⁴)/(16·D) (KB s.26).

Vridmotståndet för ett RÖR beräknas... The torsion modulus for a TUBE is computed...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Röret: W_v = π(d_y⁴ − d_i⁴)/(16·d_y). En solid axel med SAMMA area får högre spänning (87,5 MPa). Tube: W_v = π(d_y⁴ − d_i⁴)/(16·d_y). A solid shaft with the SAME area gets a higher stress (87.5 MPa).

Vertikal vridning av rör (vänster) — jämförelse mot solid axel med samma tvärsnittsarea (höger). T vid övre änden. (Tvärsnittsritningarna är schematiska — inner-/ytter-diameter är inte i skala.)Vertical torsion of the tube (left) — compared to a solid shaft of the same cross-section area (right). T applied at the top. (Cross-sections are schematic — inner / outer diameter ratio is not to scale.)

$$ \tau = M_v / W_v $$

2. Beräkna T_max för röretBeräkna T_max för röret

Beräkna T_max för röret Beräkna T_max för röret

$$ T_{max} = \tau _{til} \cdot W_v = 45 \cdot \pi (90^{4} - 60^{4})/(16\cdot 90) = 5.169\cdot 10^{6} Nmm = 5.17\;\text{kNm} $$

3. FörFör

För (b): hitta d_solid som ger samma tvärsnittsarea som röret. För (b): hitta d_solid som ger samma tvärsnittsarea som röret.

$$ A_rör = A_{solid} \to \pi (90^{2} - 60^{2})/4 = \pi d^{2}/4 \to d \approx 67\;\text{mm} $$

4. Beräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_maxBeräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_max

Beräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_max Beräkna spänningen i den solida axeln vid samma T_max

$$ \tau = T_{max} / W_v = 5.169\cdot 10^{6} \cdot 16 / (\pi \cdot 67^{3}) \approx 87.5\;\text{MPa} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: T_max för röret [kNm] och τ i den ekvivalenta solida axeln [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: T_max on the tube [kNm] and τ on the equal-area solid shaft [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} = 5{,}17\;\text{kNm} \\ d_{solid} \approx 67\;\text{mm} \\ \tau_{solid} \approx 87{,}5\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M01_diameter_vs_radius

I formeln τ = T·r/J är r RADIEN, inte diametern. Skillnaden är en faktor 2 — kontrollera dubbelt. In the formula τ = T·r/J, r is the RADIUS, not the diameter. The difference is a factor of 2 — double-check.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

Se även:See also: Uppg. 5.10 — Ett moment T = 5 kNm belastar axeln. Bestäm förvridningsvink…Prob. 5.10 — Torque T = 5 kNm. Find the angle of twist (in degrees) if a)… — Samma rör-vs-solid jämförelse men för vridvinkel φ — där är skillnaden minimal. · Kap. 3 — Termiska lasterCh. 3 — Thermal loads — Samma säkerhetsfaktor-mönster som för normalspänning: τ_till = τ_eL/n.

Prova själv — hålaxel vs solid axel (samma area)Try it yourself — hollow shaft vs equal-area solid shaft

Vid samma tvärsnittsarea är solida axeln effektivt mjukare i vridning — den lägger material nära centrum där spänningen är låg. Notera hur τ_solid > τ_rör för samma T. For equal area, the solid shaft is effectively softer in torsion — it puts material near the centre where stress is low. Note how τ_solid > τ_tube for the same T.

500 Nm

60 mm

30 mm (inner)

Tvärsnittsjämförelse — färgintensitet visar τ_max. Rör och solid axel har samma yta men olika spänningsfördelning. Cross-section comparison — colour intensity tracks τ_max. The tube and the equivalent-area solid see different peak stresses.

StorhetQuantity	VärdeValue	EnhetUnit	KommentarNote
	—	mm⁴
	—	MPa
	—	mm
	—	MPa
	—	-

5.3 grund

En elektrisk motor avsätter momentet M_v = 1200 Nm på en axel ABCDE. Detta moment plockas ut på tre drev. Alla axlar är solida. Beräkna max spänning i BC, CD och DE. d_AB = 38, d_BC = 44, d_CD = 50, d_DE = 56 mm.

An electric motor applies M_v = 1200 Nm to a shaft ABCDE. The torque is tapped off at three gears. All shafts solid. Find max stress in BC, CD, DE. d_AB = 38, d_BC = 44, d_CD = 50, d_DE = 56 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Stegade drivaxlar med flera vridmomentuttag förekommer rakt över industriella plåtformningspressar — t.ex. Volvos pressanläggning i Olofström. Varje station längs axeln tar ut sitt eget moment, och konstruktören måste verifiera att inget segment överskrider τ_till. Snittmetoden är exakt det verktyg som används i praktiken. Stepped drive shafts with multiple torque takeoffs are everywhere in industrial pressing machinery — like Volvo's Olofström forming line. Each station along the shaft taps its own torque, and the designer must verify each segment against τ_allow. The section method is exactly the tool used in practice.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max spänning i BC, CD och DE.You're asked to find: max stress in BC, CD, DE.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Snitta i segment DECut in segment DE
Beräkna τ_DECompute τ_DE
Snitta i CDCut in segment CD
Beräkna τ_CDCompute τ_CD
Snitta i BCCut in segment BC

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Använd snittmetoden: skär axeln i mitten av varje segment, summera vridmoment på en sida av snittet. Använd snittmetoden: skär axeln i mitten av varje segment, summera vridmoment på en sida av snittet.

2. För DE: höger om snittet finns bara reaktionen 1,2 kNm. För CD: höger sidan har D-momentet (0,5) + reaktionen → M_CD = 1,2 − 0,5 = 0,7 kNm. För BC: M_BC = 1,2 − 0,5 − 0,4 = 0,3 kNm. För DE: höger om snittet finns bara reaktionen 1,2 kNm. För CD: höger sidan har D-momentet (0,5) + reaktionen → M_CD = 1,2 − 0,5 = 0,7 kNm. För BC: M_BC = 1,2 − 0,5 − 0,4 = 0,3 kNm.

3. τ = M·16/(π·d³). τ_DE = 1,2·10⁶·16/(π·56³) ≈ 34,8 MPa. τ_CD = 0,7·10⁶·16/(π·50³) ≈ 28,5 MPa. τ_BC = 0,3·10⁶·16/(π·44³) ≈ 17,9 MPa. τ = M·16/(π·d³). τ_DE = 1,2·10⁶·16/(π·56³) ≈ 34,8 MPa. τ_CD = 0,7·10⁶·16/(π·50³) ≈ 28,5 MPa. τ_BC = 0,3·10⁶·16/(π·44³) ≈ 17,9 MPa.

≈ 12 min≈ 12 min · snittmetoden stegad-axel kritiskt-segment Olofström anchor-problem

Figure 5.3 — Fig. 5.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Internt vridmoment minskar steg för steg när moment plockas ut. Skär av efter varje drev → T_BC, T_CD, T_DE. τ_i = T_i · 16 / (π·d_i³). Internal torque decreases stepwise as moment is tapped off. Cut after each gear → T_BC, T_CD, T_DE. τ_i = 16·T_i / (π·d_i³).

1. Snitta i segment DECut in segment DE

Snitta i segment DE och frilägg vänster sida — endast motormomentet M_A = 1,2 kNm bidrar. Cut segment DE and free the left side — only the motor torque M_A = 1.2 kNm contributes.

Vridmomentet i ett enskilt segment (t.ex. BC) fås genom att... The torque in a single segment (e.g. BC) is found by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Momentet varierar segmentvis när drev plockar ut moment. Snitta per segment → τ_max = 34,5 MPa. The torque varies segment by segment as gears draw torque off. Section per segment → τ_max = 34.5 MPa.

Stegad axel ABCDE — vridmoment vid varje station, snittmetoden ger T_internt per segmentStepped shaft ABCDE — torques at each station, the section method gives internal T per segment

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M = 0 : \; M_{DE} = M_A = 1{,}2\;\text{kNm} $$

2. Beräkna τ_DECompute τ_DE

Sätt in M_DE och d_DE = 56 mm i τ = 16·M/(π·d³). Substitute M_DE and d_DE = 56 mm into τ = 16·M/(π·d³).

$$ \tau_{DE} = \dfrac{16\,M_{DE}}{\pi\,d_{DE}^{3}} = \dfrac{16 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{6}}{\pi \cdot 56^{3}} \approx 34{,}8\;\text{MPa} $$

3. Snitta i CDCut in segment CD

Vänster om snittet ligger motormomentet (1,2 kNm) och uttaget vid D (0,5 kNm, motsatt riktning). Left of the cut: motor torque (1.2 kNm) and the takeoff at D (0.5 kNm, opposite sense).

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M = 0 : \; M_{CD} + 0{,}5 - 1{,}2 = 0 \;\to\; M_{CD} = 0{,}7\;\text{kNm} $$

4. Beräkna τ_CDCompute τ_CD

Sätt in M_CD och d_CD = 50 mm. Substitute M_CD and d_CD = 50 mm.

$$ \tau_{CD} = \dfrac{16\,M_{CD}}{\pi\,d_{CD}^{3}} = \dfrac{16 \cdot 0{,}7 \cdot 10^{6}}{\pi \cdot 50^{3}} \approx 28{,}5\;\text{MPa} $$

5. Snitta i BCCut in segment BC

Vänster om snittet: motormomentet och uttagen vid C och D. Left of the cut: the motor torque and the takeoffs at C and D.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M = 0 : \; M_{BC} + 0{,}4 + 0{,}5 - 1{,}2 = 0 \;\to\; M_{BC} = 0{,}3\;\text{kNm} $$

6. Beräkna τ_BCCompute τ_BC

Sätt in M_BC och d_BC = 44 mm. Substitute M_BC and d_BC = 44 mm.

Inre vridmoment T(x) längs axeln: trappstegformad — hopp vid varje drev där moment plockas ut.Internal torque T(x) along the shaft: step-shaped — jumps at each gear that taps off torque.

$$ \tau_{BC} = \dfrac{16\,M_{BC}}{\pi\,d_{BC}^{3}} = \dfrac{16 \cdot 0{,}3 \cdot 10^{6}}{\pi \cdot 44^{3}} \approx 17{,}9\;\text{MPa} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: τ_max [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: τ_max [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\tau_{max} = 33.4\;\text{MPa}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M_section_direction

Snittmetoden: skär axeln, frilägg ena sidan, summera moment där. Använd inte hela summan av applicerade moment som internt moment. Section method: cut the shaft, isolate one side, and sum the moments there. Do not use the entire sum of applied moments as the internal moment.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

Se även:See also: Kap. 1 — Inre krafter och momentCh. 1 — Internal forces and moments — Samma snittmetod-intuition: skär, frilägg, summera moment. 'Knife cut'-animationen från Ch1 borde visuellt rimma här. · Uppg. 5.4 — Alla axlar i figuren är solida. Bestäm i vilken axel spännin…Prob. 5.4 — All shafts solid. Find which carries the maximum stress and… — Samma mönster men där minsta |M| och största d sammanfaller — betonar att varken |M| eller d ensam avgör. · Uppg. 5.7 — En motor ger 12 kW och man plockar ut 3, 4 och 5 kW på respe…Prob. 5.7 — A motor delivers 12 kW; 3, 4, 5 kW are tapped at three gears… — Samma snittmetod men med effektuttag istället för moment — bryggar P → M omvandlingen.

5.4 grund

Alla axlar i figuren är solida. Bestäm i vilken axel spänningen är maximal och beräkna den. d_AB = 10, d_BC = 15, d_CD = 20, d_DE = 25 mm.

All shafts solid. Find which carries the maximum stress and compute it. d_AB = 10, d_BC = 15, d_CD = 20, d_DE = 25 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Detta scenario uppstår i pumpaxlar med flera lagerlägen — varje lagerläge tar sitt moment och axeln stegas ned successivt. Designern måste verifiera varje segment, inte bara det tunnaste. This scenario shows up in pump shafts with multiple bearing positions — each bearing taps off its own torque and the shaft steps down progressively. The designer must verify every segment, not just the thinnest one.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: i vilken axel spänningen är maximal och beräkna den.You're asked to find: which carries the maximum stress and compute it.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Inre vridmoment per sektionInternal torque per section
Skjuvspänning per sektionShear stress per section
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Räkna |M_v|/d³ för varje segment — det är det förhållandet som avgör τ_max. Räkna |M_v|/d³ för varje segment — det är det förhållandet som avgör τ_max.

2. Snittmetoden ger T_i för varje segment. τ_i = 16·T_i/(π·d_i³). Jämför och välj den största. Snittmetoden ger T_i för varje segment. τ_i = 16·T_i/(π·d_i³). Jämför och välj den största.

3. Det mest kritiska segmentet är typiskt INTE det med minst d eller störst T — det är där |T|/d³ är störst. Det mest kritiska segmentet är typiskt INTE det med minst d eller störst T — det är där |T|/d³ är störst.

≈ 8 min≈ 8 min · snittmetoden stegad-axel M-vs-d-tradeoff

Figure 5.4 — Fig. 5.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Snitta varje delaxel och beräkna τ = 16·T/(π·d³). Den med högsta τ är kritisk. Cut each shaft segment and compute τ = 16·T/(π·d³). The largest τ wins.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Stegrad axel fast inspänd vid E med fyra olika diametrar och fyra yttre vridmoment längs skaftet. Sökt: i vilken sektion τ är maximal och dess värde. Stepped shaft fixed at E with four different diameters and four applied torques along the shaft. Find: in which section τ is maximal and its value.

Vilken axel får högst skjuvspänning? Which shaft gets the highest shear stress?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

τ = 16T/(πd³) — både T och d spelar in. CD vinner (85,9 MPa) trots att den inte har minst diameter. τ = 16T/(πd³) — both T and d matter. CD wins (85.9 MPa) even though it isn't the smallest diameter.

$$ \tau = \dfrac{16\,|T|}{\pi\,d^{3}}\;\;\textcolor{#888}{\text{(solid cirkulär tvärsnitt)}} $$

$$ T_{\text{i sektion}} = \sum_{\text{moment till vänster om sektionen}} T_{\text{applicerat}} $$

2. Givna värdenGiven values

Diametrar avläses från figur; vridmomentens riktningar ges av dubbla pilar (axialvektor, höger-handsregel). Konvention: +x riktning åt höger ⇒ moment med pil åt höger är positiva. Diameters from the figure; torque directions given by double arrows (axial-vector, right-hand rule). Convention: +x to the right ⇒ torques pointing right are positive.

$$ d_{AB}=10\;\text{mm},\;d_{BC}=15\;\text{mm},\;d_{CD}=20\;\text{mm},\;d_{DE}=25\;\text{mm} $$

$$ T_A=-15\;\text{Nm},\;T_B=+60\;\text{Nm},\;T_C=+90\;\text{Nm},\;T_D=-120\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(E: vägg-reaktion)}} $$

3. Inre vridmoment per sektionInternal torque per section

Snitt-och-summa-från-vänster ger inre vridmomentet i varje sektion. Eftersom alla applicerade moment till vänster om snittet räknas in ackumuleras de stegvis. Section-and-sum-from-the-left gives the internal torque in each section. Since all applied torques to the left of the cut are included, they accumulate stepwise.

$$ T_{AB} = -15\;\text{Nm}\;\;\Rightarrow\;\;|T_{AB}|=15\;\text{Nm} $$

$$ T_{BC} = -15+60 = +45\;\text{Nm}\;\;\Rightarrow\;\;|T_{BC}|=45\;\text{Nm} $$

$$ T_{CD} = -15+60+90 = +135\;\text{Nm}\;\;\Rightarrow\;\;|T_{CD}|=135\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(störst)}} $$

$$ T_{DE} = -15+60+90-120 = +15\;\text{Nm}\;\;\Rightarrow\;\;|T_{DE}|=15\;\text{Nm} $$

4. Skjuvspänning per sektionShear stress per section

τ = 16·|T|/(π·d³) räknas för alla fyra sektioner. Smal diameter OCH stort vridmoment ger hög τ — så det räcker INTE att titta på enbart den smalaste sektionen. τ = 16·|T|/(π·d³) computed for all four sections. Small diameter AND large torque give high τ — so it is NOT enough to look at only the thinnest section.

Jämför BC (d=15, |T|=45) mot CD (d=20, |T|=135). Trots STÖRRE diameter får CD HÖGRE τ eftersom T växte med faktor 3 medan d³ bara med faktor (20/15)³ ≈ 2,37.Compare BC (d=15, |T|=45) with CD (d=20, |T|=135). Despite the LARGER diameter CD has the HIGHER τ because T grew by factor 3 while d³ only by (20/15)³ ≈ 2.37.

$$ \tau_{AB} = \dfrac{16\cdot 15\cdot 10^{3}}{\pi\cdot 10^{3}} \approx 76{,}4\;\text{MPa} $$

$$ \tau_{BC} = \dfrac{16\cdot 45\cdot 10^{3}}{\pi\cdot 15^{3}} \approx 67{,}9\;\text{MPa} $$

$$ \tau_{CD} = \dfrac{16\cdot 135\cdot 10^{3}}{\pi\cdot 20^{3}} \approx 85{,}9\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(störst)}} $$

$$ \tau_{DE} = \dfrac{16\cdot 15\cdot 10^{3}}{\pi\cdot 25^{3}} \approx 4{,}9\;\text{MPa} $$

5. SlutsvarFinal answer

Maximal skjuvspänning finns i sektion CD. Notera: Madeleines PDF anger τ_max = 67,9 MPa (BC) — hon beräknar inte τ_CD och missar det större värdet 85,9 MPa. Vi publicerar det fysiskt korrekta värdet. Maximum shear stress is in section CD. Note: Madeleine's PDF lists τ_max = 67.9 MPa (BC) — she does not compute τ_CD and misses the larger 85.9 MPa. We publish the physically correct value.

$$ \boxed{\tau_{max} = 85{,}9\;\text{MPa}\;\;\text{(sektion CD)}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

assumed_smallest_d_wins

Du har bara tittat på vilket segment som har minst diameter. Men kanske det segmentet har också minst |M_v|. Räkna τ för alla och jämför. You only looked at which segment has the smallest diameter. But that segment may also have the smallest |M_v|. Compute τ for all of them and compare.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

5.5 grund

Axel AB har diameter 30 mm och tål 90 MPa. Axel BC har diameter 50 mm och tål 60 MPa. Beräkna det största moment som kan appliceras vid A.

Shaft AB has d = 30 mm and τ_allow = 90 MPa. Shaft BC has d = 50 mm and τ_allow = 60 MPa. Find the maximum torque at A.

VerklighetsanknytningReal-world context Klassiskt problem i kraftöverföring: två axlar med olika tillåten skjuvning (kanske olika materialbehandlingar). Den svagaste länken styr — som en hängbro där kabel-sektionernas tillåtna spänning bestäms av den lägsta tabulerade värde. 💡 **Se även problem 9.4** — spänningskoncentration i steg-axel under vridning. 💡 **See also problem 9.4** — stress concentration in a stepped shaft under torsion.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: det största moment som kan appliceras vid A.You're asked to find: the maximum torque at A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Maxmoment per axelMaximum torque per shaft
Den smalare axeln dimensionerarThe thinner shaft governs
Kontroll: τ i BC vid T_maxCheck: τ in BC at T_max

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Båda axlarna bär samma T (seriekoppling). Beräkna T_max för varje begränsning. Båda axlarna bär samma T (seriekoppling). Beräkna T_max för varje begränsning.

2. T_AB,max = τ_AB · π·d_AB³/16. T_BC,max = τ_BC · π·d_BC³/16. Den lägre vinner. T_AB,max = τ_AB · π·d_AB³/16. T_BC,max = τ_BC · π·d_BC³/16. Den lägre vinner.

3. T_AB,max = 90·π·30³/16 ≈ 477 Nm. T_BC,max = 60·π·50³/16 ≈ 1473 Nm. AB styr → T_max ≈ 477 Nm. T_AB,max = 90·π·30³/16 ≈ 477 Nm. T_BC,max = 60·π·50³/16 ≈ 1473 Nm. AB styr → T_max ≈ 477 Nm.

≈ 6 min≈ 6 min · serie-koppling två-tau_till begränsning

Figure 5.5 — Fig. 5.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Båda axlarna bär samma T (seriekoppling). Beräkna T_max för varje begränsning och välj den lägre. Both shafts carry the same T (series). Compute T_max for each constraint and pick the lower.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Två solid-axlar i serie: AB (d = 30 mm) och BC (d = 50 mm). Samma vridmoment T passerar genom båda. För varje axel finns ett tillåtet τ. Det dimensionerande T_max är det mindre av de två. Two solid shafts in series: AB (d = 30 mm) and BC (d = 50 mm). The same torque T passes through both. Each shaft has its own allowable τ. The binding T_max is the smaller of the two.

Det största tillåtna momentet vid A bestäms av... The largest allowable torque at A is set by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Jämför tillåtna MOMENT, inte spänningar: AB tål 477 Nm < BC 1473 Nm → M_max = 477 Nm. Compare allowable TORQUES, not stresses: AB withstands 477 Nm < BC 1473 Nm → M_max = 477 Nm.

$$ \tau_{\max} = \dfrac{16\,T}{\pi\,d^{3}} $$

$$ T_{\max,i} = \dfrac{\tau_{\text{till},i}\cdot \pi\,d_i^{3}}{16} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Diameter och tillåten skjuvspänning för varje axel. Diameter and allowable shear stress for each shaft.

$$ d_{AB} = 30\;\text{mm},\;\;\tau_{\text{till},AB} = 90\;\text{MPa} $$

$$ d_{BC} = 50\;\text{mm},\;\;\tau_{\text{till},BC} = 60\;\text{MPa} $$

3. Maxmoment per axelMaximum torque per shaft

Beräkna T_max för varje axel separat. Compute T_max for each shaft separately.

Vertikal axel som i uppgiften: smal AB upptill, grov BC nedtill, fast inspänd nederst. Samma T passerar genom båda — lägst T_max,i binder.Vertical shaft as in the problem: thin AB on top, thick BC at the bottom, fixed at the base. The same T passes through both — the lowest T_max,i binds.

$$ T_{\max,AB} = \dfrac{90\cdot \pi\cdot 30^{3}}{16} = \dfrac{90\cdot \pi\cdot 27000}{16} \approx 477\,127\;\text{N}\cdot\text{mm} = 477\;\text{Nm} $$

$$ T_{\max,BC} = \dfrac{60\cdot \pi\cdot 50^{3}}{16} = \dfrac{60\cdot \pi\cdot 125\,000}{16} \approx 1\,472\,622\;\text{N}\cdot\text{mm} = 1473\;\text{Nm} $$

4. Den smalare axeln dimensionerarThe thinner shaft governs

AB (mindre d kombinerat med lägre τ_till·d³) är dimensionerande. AB (smaller d combined with τ_till·d³ smaller) is the governing shaft.

$$ T_{\max} = \min(T_{\max,AB},\;T_{\max,BC}) = \min(477,\;1473)\;\text{Nm} $$

$$ \boxed{T_{\max} \approx 477\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(AB är dimensionerande)}}} $$

5. Kontroll: τ i BC vid T_maxCheck: τ in BC at T_max

Vid T = 477 Nm är τ_BC mycket lägre än sitt tillåtna värde — bekräftar att AB är bindande. At T = 477 Nm, τ_BC is well below its allowable — confirming that AB is binding.

$$ \tau_{BC}(T_{\max}) = \dfrac{16\cdot 477\,127}{\pi\cdot 50^{3}} \approx 19{,}4\;\text{MPa} \ll 60\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Det största moment som kan appliceras vid A utan att överskrida någon axels tillåtna τ. The largest moment that can be applied at A without exceeding any shaft's allowable τ.

$$ \boxed{T_{\max} \approx 477\;\text{Nm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M01_diameter_vs_radius

I formeln τ = T·r/J är r RADIEN, inte diametern. Skillnaden är en faktor 2 — kontrollera dubbelt. In the formula τ = T·r/J, r is the RADIUS, not the diameter. The difference is a factor of 2 — double-check.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

compared_tau_not_T

Jämför inte τ_till-värdena direkt. Beräkna T_max för varje och välj den lägsta — det är slutsteget som styr. Don't compare the τ_allow values directly. Compute T_max for each and pick the smallest — it's the final step that governs.

5.6 grund

Remdrift med krafter på remhjulen. Bestäm skjuvspänningen i axeln BC. Axeln har diameter 30 mm och är friktionsfritt lagrad i A och D.

A belt drive applies forces to the pulleys. Find the shear stress in shaft BC. d = 30 mm, frictionless bearings at A and D.

VerklighetsanknytningReal-world context Remdrifter med olika kraft på spänd och slack sida — t.ex. bilens generatorrem, eller pump-drivningar — överför moment via skillnaden i remkraft. När du dimensionerar axeln räknas bara skillnaden. Belt drives with different forces on the tight and slack sides — like a car alternator belt or pump drives — transmit torque through the difference in belt tension. When sizing the shaft, only the difference counts.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: skjuvspänningen i axeln BC.You're asked to find: the shear stress in shaft BC.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Moment från varje remhjulTorque from each pulley
Inre vridmoment i BCInternal torque in BC
Skjuvspänning i BCShear stress in BC

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Remmens spända och slacka sida ger ett kraftpar runt remhjulet — det är (T₁ − T₂)·r. Remmens spända och slacka sida ger ett kraftpar runt remhjulet — det är (T₁ − T₂)·r.

2. Snittmetoden på axeln BC: vilka moment ligger till vänster om snittet? Summera dem för T_internt. Snittmetoden på axeln BC: vilka moment ligger till vänster om snittet? Summera dem för T_internt.

3. τ_BC = 16·T_internt/(π·30³). τ_BC = 16·T_internt/(π·30³).

≈ 8 min≈ 8 min · remdrift T1-minus-T2 snittmetoden

Figure 5.6 — Fig. 5.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Vrida varje remhjul ger ett vridmoment M_i = (T_1 − T_2)·r_pulley. Summera momenten in/ut för varje delaxel; snitt i BC ger T_BC. τ = 16·T_BC/(π·d³). Each pulley contributes M_i = (T_1 − T_2)·r_pulley. Sum moments in/out for each segment; cut in BC gives T_BC. τ = 16·T_BC/(π·d³).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vridmomentet från ett remhjul fås ur... The torque from a belt pulley comes from...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Det är NETTO-dragkraften som vrider: M = (T₁ − T₂)·r = 600 Nm → τ = 113 MPa. It is the NET belt tension that twists: M = (T₁ − T₂)·r = 600 Nm → τ = 113 MPa.

$$ M_i = (T_1 - T_2) r_{pulley} $$

$$ \tau = \dfrac{16\,T_{BC}}{\pi d^3} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Två remhjul (vid B och C) belastar axeln. Vridmomentet från varje hjul ges av kraftskillnaden mellan spänd och slack remsida gånger hjulets radie. Two pulleys (at B and C) load the shaft. Each pulley's torque equals the belt-force difference (tight side minus slack) times the pulley radius.

$$ M_i = (T_1 - T_2)\,r_{pulley} $$

3. Moment från varje remhjulTorque from each pulley

Sätt in remkrafterna och radierna (avläses från figur). Insert the belt forces and radii (read from the figure).

Två remhjul: nettomoment kommer från SKILLNADEN i remkraft, multiplicerat med remhjulets radie.Two pulleys: net torque comes from the DIFFERENCE in belt force times the pulley radius.

$$ M_B = (9-5)\cdot 10^{3}\cdot 150 = 600\,000\;\text{Nmm} = 600\;\text{Nm} $$

$$ M_C = (10-7)\cdot 10^{3}\cdot 200 = 600\,000\;\text{Nmm} = 600\;\text{Nm} $$

4. Inre vridmoment i BCInternal torque in BC

Snitta i BC och frilägg vänster sida — endast M_B ligger till vänster om snittet. Cut in BC and free the left side — only M_B lies to the left of the cut.

$$ T_{BC} = M_B = 600\;\text{Nm} $$

5. Skjuvspänning i BCShear stress in BC

Solid axel d = 30 mm. Sätt in i τ = 16·T/(π·d³). Solid shaft d = 30 mm. Substitute into τ = 16·T/(π·d³).

$$ \tau = \dfrac{16\,T_{BC}}{\pi\,d^{3}} = \dfrac{16 \cdot 600 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 30^{3}} = \dfrac{9{,}6 \cdot 10^{6}}{\pi \cdot 27\,000} \approx 113\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: τ [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: τ [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\tau = 113\;\text{MPa}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

used_T1_or_T2_alone

Det är SKILLNADEN T₁ − T₂ som överförs till axeln. Den absoluta nivån påverkar lagerlast men inte vridmoment. It is the DIFFERENCE T₁ − T₂ that is transmitted to the shaft. The absolute level affects the bearing load but not the torque.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

5.7 grund

En motor ger 12 kW och man plockar ut 3, 4 och 5 kW på respektive kugghjul vid 50 varv/s. Bestäm max skjuvspänning i axeln. d = 25 mm.

A motor delivers 12 kW; 3, 4, 5 kW are tapped at three gears at n = 50 rev/s. Find the max shear stress in the shaft. d = 25 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Industriella drivlinor i pump- och fläktstationer: en motor delar moment till flera maskiner. Dimensionering av huvudaxeln måste verifiera varje segment mellan effektuttag — exakt detta problem. Industrial drive lines in pump and fan stations: one motor splits torque to several machines. Sizing the main shaft requires verifying every segment between power takeoffs — exactly this problem.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max skjuvspänning i axeln.You're asked to find: the max shear stress in the shaft.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16
Effekt P = T·ωPower P = T·ω

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Moment per kraftuttagTorque per takeoff
T-diagrammet längs axelnT-diagram along the shaft
Maximal skjuvspänningMaximum shear stress

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Effekt P [W] = T·ω = T·2π·n [Nm·rad/s]. Konvertera P till W (1 kW = 1000 W) och n till varv/s. Effekt P [W] = T·ω = T·2π·n [Nm·rad/s]. Konvertera P till W (1 kW = 1000 W) och n till varv/s.

2. Räkna T för varje effektnivå. Internt T ändras vid varje drev (precis som i 5.3). Räkna T för varje effektnivå. Internt T ändras vid varje drev (precis som i 5.3).

3. T_motor = P/ω = 12000/(2π·50) ≈ 38,2 Nm. Snittmetoden ger T_i mellan dreven. τ_max = 16·T_max/(π·25³). T_motor = P/ω = 12000/(2π·50) ≈ 38,2 Nm. Snittmetoden ger T_i mellan dreven. τ_max = 16·T_max/(π·25³).

≈ 10 min≈ 10 min · effekt-moment T=P/omega snittmetoden

Figure 5.7 — Fig. 5.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

P = T·ω → T = P/(2π·n). Beräkna T_i för varje effektnivå. Internt vridmoment ändras vid varje drev. τ_max = 16·T_max/(π·d³). P = T·ω → T = P/(2π·n). Compute T_i for each power level. Internal torque steps at each gear. τ_max = 16·T_max/(π·d³).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Roterande axel med flera kraftuttag. För varje uttag eller drivning ger effekt och varvtal ett vridmoment. T-diagrammet längs axeln visar var det interna vridmomentet är maximalt. Rotating shaft with multiple power takeoffs. Each takeoff or drive gives a torque via power and rpm. The T-diagram along the shaft shows where the internal torque is maximal.

Sambandet mellan effekt och vridmoment är... The relation between power and torque is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

ω = 2π·50 rad/s; motoraxeln bär hela 12 kW → M = P/ω = 38,2 Nm är störst → τ_max = 12,5 MPa. ω = 2π·50 rad/s; the motor shaft carries the full 12 kW → M = P/ω = 38.2 Nm is largest → τ_max = 12.5 MPa.

$$ M = \dfrac{9550\,P}{n}\;\;\textcolor{#888}{\text{(P i kW, n i rpm, M i Nm)}} $$

$$ \tau_{max} = \dfrac{16\,T_{max}}{\pi\,d^{3}} $$

2. Givna värdenGiven values

Avläs uttag, motor, varvtal och axeldiameter. Read off takeoffs, motor power, rpm, and shaft diameter.

$$ P_A = 3,\;P_B = 4,\;P_C = 5\;\text{kW}\;\;\textcolor{#888}{\text{(uttag)}} $$

$$ P_{motor} = 12\;\text{kW}\;\;\textcolor{#888}{\text{(in från motor)}} $$

$$ n = 50\;\text{varv/s} = 3000\;\text{rpm},\;d = 25\;\text{mm} $$

3. Moment per kraftuttagTorque per takeoff

M = 9550·P/n ger momentet vid varje punkt. Summan ska stämma: M_motor måste lika summan av uttagen. M = 9550·P/n gives the torque at each location. Sanity check: M_motor must equal the sum of takeoffs.

$$ M_A = \dfrac{9550\cdot 3}{3000} = 9{,}55\;\text{Nm} $$

$$ M_B = \dfrac{9550\cdot 4}{3000} = 12{,}73\;\text{Nm} $$

$$ M_C = \dfrac{9550\cdot 5}{3000} = 15{,}92\;\text{Nm} $$

$$ M_{motor} = \dfrac{9550\cdot 12}{3000} = 38{,}2\;\text{Nm} = M_A + M_B + M_C\;\;\textcolor{#888}{\text{(✓)}} $$

4. T-diagrammet längs axelnT-diagram along the shaft

Bygg T-diagrammet från vänster (fria lager-änden). Inre vridmomentet ökar stegvis vid varje uttag och faller tillbaka till noll efter motorn. Build the T-diagram from the left (free bearing end). Internal torque steps up at each takeoff and drops back to zero past the motor.

Internt vridmoment T(x) längs axeln. Hopp vid varje drev. Max i sektionen C–motor (38,2 Nm).Internal torque T(x) along the shaft. Jumps at each gear. Max in section C–motor (38.2 Nm).

$$ \text{vänster lager → A: }\;T = 0 $$

$$ \text{A → B: }\;T = 9{,}55\;\text{Nm} $$

$$ \text{B → C: }\;T = 9{,}55 + 12{,}73 = 22{,}28\;\text{Nm} $$

$$ \text{C → motor: }\;T = 22{,}28 + 15{,}92 = 38{,}2\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(max)}} $$

$$ \text{motor → höger lager: }\;T = 38{,}2 - 38{,}2 = 0 $$

5. Maximal skjuvspänningMaximum shear stress

τ_max räknas på sektionen med störst |T|. Här C–motor med T = 38,2 Nm och axel-diameter d = 25 mm. τ_max computed on the section with the largest |T|. Here C–motor with T = 38.2 Nm and shaft diameter d = 25 mm.

$$ \tau_{max} = \dfrac{16\cdot 38{,}2\cdot 10^{3}}{\pi\cdot 25^{3}} \approx 12{,}45\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Boxat värde nedan. Boxed value below.

$$ \boxed{\tau_{max} \approx 12{,}5\;\text{MPa}\;\;\text{(sektion C–motor)}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26 · Effekt P = T·ω = T·2π·nPower P = T·ω = T·2π·n

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M07_power_constant

P = T·ω = T·2π·n. Räkna i konsekventa enheter: P [W], T [Nm], n [varv/s]. (P [kW] kräver omräkning.) P = T·ω = T·2π·n. Use consistent units: P [W], T [Nm], n [rev/s]. (P [kW] requires conversion.)

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

rpm_vs_rev_per_sec

ω har enhet rad/s. n i varv/s blir ω = 2π·n. n i rpm blir ω = 2π·n/60. Felblanda inte. ω has units rad/s. n in rev/s gives ω = 2π·n. n in rpm gives ω = 2π·n/60. Don't mix them.

5.8 grund

En solid stång AC är sammanbunden med ett rör AB via en stel platta i A. Röret har τ_till,AB = 55 MPa. a) Max tillåtet M_v. b) Stångens diameter d om τ_till,AC = 80 MPa. a = 200 mm, b = 100 mm, t = 4 mm, d_y = 70 mm.

A solid bar AC joins a tube AB via a rigid plate at A. Tube τ_allow,AB = 55 MPa. a) Find M_v,max. b) Find bar diameter d for τ_allow,AC = 80 MPa. a = 200 mm, b = 100 mm, t = 4 mm, d_o = 70 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Konstruktion av sammansatta drivaxlar (huvudaxel + ytterhylsa för dämpning) — t.ex. i tunga maskinverktyg. Den stela kopplingsplattan vid ena änden tvingar samma vridning, så momentet delar sig efter G·I_p-förhållande. Compound drive shaft design (inner shaft + outer sleeve for damping) — for example in heavy machine tools. The rigid coupling plate at one end forces the same rotation, so the torque splits according to the G·I_p ratio.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: M_v,max.You're asked to find: M_v,max.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
(a) Max tillåtet M_v från röret(a) Maximum allowable M_v from the tube
(b) Stångens minsta diameter(b) Minimum rod diameter
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Stel platta vid A → båda axlarna måste vridas exakt lika mycket (kompatibilitet). Stel platta vid A → båda axlarna måste vridas exakt lika mycket (kompatibilitet).

2. Jämvikt: M_v = T_stång + T_rör. Kompatibilitet: θ_stång = θ_rör. Lös båda samtidigt. Jämvikt: M_v = T_stång + T_rör. Kompatibilitet: θ_stång = θ_rör. Lös båda samtidigt.

3. (a) M_v,max = τ_AB · W_v,rör. (b) d_stång från τ_AC,till och beräknat T_stång (proportionellt mot G·I_p). (a) M_v,max = τ_AB · W_v,rör. (b) d_stång från τ_AC,till och beräknat T_stång (proportionellt mot G·I_p).

≈ 15 min≈ 15 min · parallell-koppling stel-platta kompositaxel

Figure 5.8 — Fig. 5.8 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) M_v,max = τ_till,AB · I_p,AB / r_y med I_p = π(d_y⁴ − (d_y − 2t)⁴)/32. b) τ_till,AC = M_v · 16/(π·d³) → d = ∛(16·M_v/(π·τ_till,AC)). a) M_v,max = τ_allow,AB · I_p,AB / r_o with I_p = π(d_o⁴ − (d_o − 2t)⁴)/32. b) τ_allow,AC = M_v · 16/(π·d³) → d = ∛(16·M_v/(π·τ_allow,AC)).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Stång inuti rör, sammanbundna med stel platta vid A. Röret fast vid B; M_v anbringas vid C på stångens fria ände. Båda komponenter ser samma vridmoment M_v i den övre delen (parallellkoppling via plattan), men eftersom uppgiften ber om gränserna separat är det rörets τ_till som begränsar M_v_max, och stångens τ_till som bestämmer min-diametern. Rod inside a tube, joined by a rigid plate at A. Tube fixed at B; M_v applied at C on the rod's free end. Both components see the same torque M_v in the upper section (parallel through the plate), but since the problem asks the bounds separately, the tube's τ_till caps M_v and the rod's τ_till sets the minimum diameter.

Det tunnväggiga röret AB:s vridmotstånd beräknas... The thin-walled tube AB's torsion modulus is computed...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Röret: W_v ur (d_y⁴ − d_i⁴) → M_v = 1505 Nm; sedan dimensioneras den solida stången till d = 45,8 mm. Tube: W_v from (d_y⁴ − d_i⁴) → M_v = 1505 Nm; then the solid rod is sized to d = 45.8 mm.

$$ \text{Tunnväggsrör: }\;W_{v,\text{rör}} = \tfrac{\pi}{2}\,d_m^{2}\,t,\;\;d_m = d_y - t $$

$$ M_{v,\max} = \tau_{till,\text{rör}}\cdot W_{v,\text{rör}} $$

$$ \text{Stång (massiv): }\;\tau = \dfrac{16\,M_v}{\pi\,d^{3}} \le \tau_{till,\text{stång}}\;\;\Rightarrow\;\;d_{min} = \sqrt[3]{\dfrac{16\,M_v}{\pi\,\tau_{till,\text{stång}}}} $$

2. Givna värdenGiven values

Geometri och materialgränser från uppgiften. a och b behövs inte i spänningsanalysen — de skulle behövts om vi frågade efter vridvinkel. Geometry and material limits from the problem. The lengths a and b do not enter the stress analysis — they would be needed only for a twist-angle question.

$$ d_y = 70\;\text{mm},\;t = 4\;\text{mm} $$

$$ \tau_{till,\text{rör}} = 55\;\text{MPa},\;\tau_{till,\text{stång}} = 80\;\text{MPa} $$

$$ d_m = d_y - t = 66\;\text{mm} $$

3. (a) Max tillåtet M_v från röret(a) Maximum allowable M_v from the tube

Använd tunnväggsformeln för rörets polära böjmotstånd och multiplicera med τ_till för röret. Use the thin-wall formula for the tube's polar section modulus and multiply by τ_till for the tube.

Tvärsnitt av röret: ytterdiameter d_y = 70, väggtjocklek t = 4, medeldiameter d_m = 66 mm. τ_max på ytterytan.Tube cross-section: outer d_o = 70, wall t = 4, mean d_m = 66 mm. τ_max at the outer fibre.

$$ W_{v,\text{rör}} = \tfrac{\pi}{2}\cdot 66^{2}\cdot 4 \approx 27\,370\;\text{mm}^{3} $$

$$ M_v = \tau_{till,\text{rör}}\cdot W_{v,\text{rör}} = 55\cdot 27\,370 \approx 1\,505\,000\;\text{N}\cdot\text{mm} $$

$$ \boxed{M_v \approx 1505\;\text{Nm}} $$

4. (b) Stångens minsta diameter(b) Minimum rod diameter

Lös d ur τ-formeln för en massiv rund stång, med M_v från (a) och stångens τ_till = 80 MPa. Solve d from the τ formula for a solid round rod, with M_v from (a) and the rod's τ_till = 80 MPa.

$$ d_{min} = \sqrt[3]{\dfrac{16\,M_v}{\pi\,\tau_{till,\text{stång}}}} = \sqrt[3]{\dfrac{16\cdot 1\,505\,000}{\pi\cdot 80}} $$

$$ d_{min} \approx 45{,}8\;\text{mm} \;\;\textcolor{#888}{\text{(välj t.ex. } d = 46\text{ mm i praktiken)}} $$

5. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}M_{v,\max} \approx 1505\;\text{Nm} \\ d_{min} \approx 45{,}8\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.9 grund

En växellåda med två kugghjul överför moment från AB till CD. Hur stor blir maxspänningen i axlarna om M_v = 500 Nm vid A? d_AB = 45 mm, d_CD = 65 mm, r_b = 250 mm, r_g = 100 mm.

A gearbox transfers torque from AB to CD via two gears. Find max stress if M_v = 500 Nm at A. d_AB = 45 mm, d_CD = 65 mm, r_b = 250 mm, r_g = 100 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Bilvärlden: bytesväxellåda. Olika växel = olika r_blå/r_grön förhållande = olika moment och rpm på utgående sida. Samma princip, fast med 5-6 olika ratios. Automotive world: a manual gearbox. Different gears = different r_blue/r_green ratios = different torque and rpm on the output side. The same principle, just with 5–6 selectable ratios.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max stress if M_v = 500 Nm at A.You're asked to find: max stress if M_v = 500 Nm at A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Kontaktkraft och momentöverföringContact force and torque transfer
Spänning i ABStress in AB
Spänning i CDStress in CD

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Kontaktkraft mellan kugghjulen: F = M_AB/r_blå = M_CD/r_grön. Det ger M_CD = M_AB · r_grön/r_blå. Kontaktkraft mellan kugghjulen: F = M_AB/r_blå = M_CD/r_grön. Det ger M_CD = M_AB · r_grön/r_blå.

2. Skjuvspänningar: τ_AB = 16·M_AB/(π·d_AB³), τ_CD = 16·M_CD/(π·d_CD³). Skjuvspänningar: τ_AB = 16·M_AB/(π·d_AB³), τ_CD = 16·M_CD/(π·d_CD³).

3. M_CD = 500 · 100/250 = 200 Nm. τ_AB = 16·500000/(π·45³) ≈ 28 MPa. τ_CD = 16·200000/(π·65³) ≈ 3,7 MPa. M_CD = 500 · 100/250 = 200 Nm. τ_AB = 16·500000/(π·45³) ≈ 28 MPa. τ_CD = 16·200000/(π·65³) ≈ 3,7 MPa.

≈ 10 min≈ 10 min · växel moment-skalning ratio

Figure 5.9 — Fig. 5.9 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Kontaktkraft mellan kugghjulen: F = M_AB / r_blå. Moment överfört till CD: M_CD = F · r_grön = M_AB · (r_grön / r_blå). Spänningar τ_i = 16·M_i/(π·d_i³). Gear contact force: F = M_AB / r_blue. Torque on CD: M_CD = F · r_green = M_AB · (r_green / r_blue). Stresses τ_i = 16·M_i/(π·d_i³).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vid en kuggväxel ändras vridmomentet i proportion till... Through a gear pair the torque changes in proportion to...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Momentet skalas med radieförhållandet — den drivna sidan (CD) får högre moment (1500 Nm). τ_max = 28,0 MPa. The torque scales with the radius ratio — the driven side (CD) gets a higher torque (1500 Nm). τ_max = 28.0 MPa.

$$ M_{CD} = M_{AB}\,\dfrac{r_g}{r_b} $$

$$ \tau_i = \dfrac{16\,M_i}{\pi d_i^3} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Moment vid A, axeldiametrar och kuggradier (motsv. delningsradier på de två kontakthjulen). Torque at A, shaft diameters, and gear-pitch radii at the two meshing gears.

$$ M_{AB} = M_A = 500\;\text{Nm} $$

$$ d_{AB} = 45\;\text{mm},\;d_{CD} = 65\;\text{mm} $$

$$ r_{b} = 250\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(blå hjul, sitter på AB)}},\;r_{g} = 100\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(grönt hjul, sitter på CD)}} $$

3. Kontaktkraft och momentöverföringContact force and torque transfer

Kuggkraften F är gemensam för båda kugghjulen: F = M_AB / r_b = M_CD / r_g. Här går momentet från det mindre hjulet (på AB) till det större (på CD), så momentet skalas upp med radieförhållandet. The contact force F is common to both gears: F = M_AB / r_b = M_CD / r_g. Here the torque is passed from the small gear (on AB) to the large gear (on CD), so the torque scales up by the radius ratio.

Två kugghjul i ingrepp: kontaktkraft F vid tandkanten är gemensam. Momentet skalar med radien.Two meshing gears: contact force F at the tooth is common. Torque scales with the radius.

$$ F = \dfrac{M_{AB}}{r_{b}} \;\to\; M_{CD} = F\,r_{g} = M_{AB}\,\dfrac{r_{g}}{r_{b}}\;\;\textcolor{#888}{\text{(om }r_{g}\text{ är på CD och }r_{b}\text{ på AB)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Madeleines avläsning: }r_{g}\text{ hör till AB, }r_{b}\text{ hör till CD, vilket ger}} $$

$$ M_{CD} = M_{AB}\,\dfrac{r_{b}}{r_{g}} = 500\cdot \dfrac{250}{100} = 1250\;\text{Nm} $$

4. Spänning i ABStress in AB

Solid axel d_AB = 45 mm med T_AB = 500 Nm. Solid shaft d_AB = 45 mm carrying T_AB = 500 Nm.

$$ \tau_{AB} = \dfrac{16\,M_{AB}}{\pi\,d_{AB}^{3}} = \dfrac{16 \cdot 500 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 45^{3}} \approx 28{,}0\;\text{MPa} $$

5. Spänning i CDStress in CD

Solid axel d_CD = 65 mm med T_CD = 1250 Nm. Solid shaft d_CD = 65 mm carrying T_CD = 1250 Nm.

$$ \tau_{CD} = \dfrac{16\,M_{CD}}{\pi\,d_{CD}^{3}} = \dfrac{16 \cdot 1250 \cdot 10^{3}}{\pi \cdot 65^{3}} \approx 23{,}0\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Maxspänningen finns i AB (smalare axel trots lägre moment). The maximum stress sits in AB (thinner shaft, despite the lower torque).

$$ \boxed{\begin{array}{l}\tau_{AB} \approx 28{,}0\;\text{MPa} \\ \tau_{CD} \approx 23{,}0\;\text{MPa} \\ \tau_{max} = \tau_{AB} \approx 28\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M08_gear_ratio_inverted

Växeln: kontaktkraften F = M_in/r_in = M_ut/r_ut. M_ut = M_in · r_ut/r_in. Vänd inte förhållandet. Gear: contact force F = M_in/r_in = M_out/r_out. M_out = M_in · r_out/r_in. Do not invert the ratio.

M01_diameter_vs_radius

I formeln τ = T·r/J är r RADIEN, inte diametern. Skillnaden är en faktor 2 — kontrollera dubbelt. In the formula τ = T·r/J, r is the RADIUS, not the diameter. The difference is a factor of 2 — double-check.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.10 grundinteractive

Ett moment T = 5 kNm belastar axeln. Bestäm förvridningsvinkeln (i grader) om a) solid med D = 75 mm; b) rör med d = 25 mm, D = 75 mm. G = 26 GPa.

Torque T = 5 kNm. Find the angle of twist (in degrees) if a) solid D = 75 mm; b) tube d = 25 mm, D = 75 mm. G = 26 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Långa borrstänger i oljeborr (problem 5.13 utvecklar detta vidare): θ kan bli flera VARV innan borrkronan ens börjar vrida. Stänger lagrar enorm elastisk vridningsenergi. Long drill strings in oil rigs (problem 5.13 develops this further): θ can reach several full TURNS before the drill bit even starts to rotate. The string stores enormous elastic torsional energy.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: förvridningsvinkeln (i grader) om a) solid med D = 75 mm; b) rör med d = 25 mm, D = 75 mm.You're asked to find: the angle of twist (in degrees) if a) solid D = 75 mm; b) tube d = 25 mm, D = 75 mm.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
(a) Solid axel — I_p och θ(a) Solid shaft — I_p and θ
(b) Rör — I_p och θ(b) Tube — I_p and θ
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. θ = T·L/(G·I_p). Linjär i T och L, omvänt prop. mot G·I_p. θ = T·L/(G·I_p). Linjär i T och L, omvänt prop. mot G·I_p.

2. Solid: I_p = π·D⁴/32. Rör: I_p = π(D⁴−d⁴)/32. Omvandla resultatet rad → grader. Solid: I_p = π·D⁴/32. Rör: I_p = π(D⁴−d⁴)/32. Omvandla resultatet rad → grader.

3. θ ≈ 4,26° (solid), 4,31° (rör) — bara 1% skillnad! Eftersom inre materialet bidrar lite till I_p. θ ≈ 4,26° (solid), 4,31° (rör) — bara 1% skillnad! Eftersom inre materialet bidrar lite till I_p.

≈ 8 min≈ 8 min · vridvinkel rör-vs-solid r⁴-vikting

Figure 5.10 — Fig. 5.10 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

θ = T·L/(G·I_p). I_p (solid) = π·D⁴/32; I_p (rör) = π(D⁴ − d⁴)/32. Omvandla rad → deg med 180/π. θ = T·L/(G·I_p). I_p (solid) = π·D⁴/32; I_p (tube) = π(D⁴ − d⁴)/32. Convert rad → deg with 180/π.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Ett rör (d_i = 25) jämfört med en solid axel (samma d_y = 75) ger en förvridningsvinkel som är... A tube (d_i = 25) compared with a solid shaft (same d_y = 75) gives a twist angle that is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Det innersta materialet bidrar minst till I_p, så att ta bort en liten kärna ändrar lite: φ_rör = 4,31° ≈ φ_solid = 4,26°. The innermost material contributes least to I_p, so removing a small core changes little: φ_tube = 4.31° ≈ φ_solid = 4.26°.

Vridvinkel θ = T·L/(G·I_p). Vänster: solid D=75. Höger: rör D=75, d=25. I_p,rör ≈ 0,988·I_p,solid (1% skillnad).Twist θ = T·L/(G·I_p). Left: solid D=75. Right: tube D=75, d=25. I_p,tube ≈ 0.988·I_p,solid (1% gap).

$$ \theta = \dfrac{T L}{G I_p} $$

$$ \theta_{deg} = \theta_{rad}\cdot\tfrac{180}{\pi} $$

2. Givna värdenGiven values

Avläs T, G och L från uppgiften samt diametrar för (a) och (b). Read off T, G and L from the problem, plus diameters for (a) and (b).

$$ T = 5\;\text{kNm} = 5\cdot 10^{6}\;\text{Nmm} $$

$$ G = 26\;\text{GPa} = 26\cdot 10^{3}\;\text{MPa} $$

$$ L = 1{,}2\;\text{m} = 1200\;\text{mm} $$

$$ \text{(a) solid } D = 75\;\text{mm};\;\text{(b) rör } D = 75,\;d = 25\;\text{mm} $$

3. (a) Solid axel — I_p och θ(a) Solid shaft — I_p and θ

Polärt tröghetsmoment för en massiv cirkulär axel, sedan vridvinkeln θ = T·L/(G·I_p). Polar moment of inertia for a solid circular shaft, then the twist angle θ = T·L/(G·I_p).

$$ I_{p,solid} = \dfrac{\pi D^{4}}{32} = \dfrac{\pi\cdot 75^{4}}{32} \approx 3{,}11\cdot 10^{6}\;\text{mm}^{4} $$

$$ \theta_{solid} = \dfrac{T\,L}{G\,I_{p,solid}} = \dfrac{5\cdot 10^{6}\cdot 1200}{26\cdot 10^{3}\cdot 3{,}11\cdot 10^{6}} \approx 0{,}0743\;\text{rad} $$

$$ \theta_{solid} \approx 0{,}0743\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 4{,}26^{\circ} $$

4. (b) Rör — I_p och θ(b) Tube — I_p and θ

Inre håligheten d = 25 mm tar bort bara en liten del av I_p — (25/75)⁴ ≈ 1,2 %. The inner cavity d = 25 mm removes only a tiny share of I_p — (25/75)⁴ ≈ 1.2 %.

$$ I_{p,rör} = \dfrac{\pi (D^{4} - d^{4})}{32} = \dfrac{\pi (75^{4} - 25^{4})}{32} \approx 3{,}08\cdot 10^{6}\;\text{mm}^{4} $$

$$ \theta_{rör} = \dfrac{T\,L}{G\,I_{p,rör}} = \dfrac{5\cdot 10^{6}\cdot 1200}{26\cdot 10^{3}\cdot 3{,}08\cdot 10^{6}} \approx 0{,}0752\;\text{rad} $$

$$ \theta_{rör} \approx 0{,}0752\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 4{,}31^{\circ} $$

5. SlutsvarFinal answer

Skillnaden är bara ≈ 1 % — det material som tas bort i röret sitter nära centrum och bidrar nästan inget till I_p. The two answers differ by only ≈ 1 % — the material removed from the tube sits near the centre and barely contributes to I_p.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\theta_{solid} \approx 4{,}26^{\circ} \\ \theta_{rör} \approx 4{,}31^{\circ}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M10_hollow_treated_solid

För rör: W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16D), inte π·D³/16. Inre håligheten reducerar W_v markant. For a tube: W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16D), not π·D³/16. The inner cavity reduces W_v markedly.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

wrong_rad_to_deg

1 rad = 57,296°. Omvandla med ·(180/π) i slutet, inte med·(360/π) eller liknande. 1 rad = 57.296°. Convert with ·(180/π) at the end, not with ·(360/π) or similar.

Se även:See also: Uppg. 5.2 — Ett rör belastas av ett vridmoment T. Max tillåten spänning…Prob. 5.2 — A tube carries torque T with τ_allow = 45 MPa. a) Find T_max… — Samma rör-vs-solid jämförelse, men där för spänning — där är skillnaden DRAMATISK (44%).

Prova själv — förvridningsvinkel θ för solid axel och rörTry it yourself — twist angle θ for solid and tube

θ = T·L / (G·I_p). Linjär i T och L, omvänt proportionell mot G·I_p. Hålaxeln har mindre I_p ⇒ större θ för samma T. θ = T·L / (G·I_p). Linear in T and L, inversely proportional to G·I_p. The hollow shaft has smaller I_p ⇒ larger θ for the same T.

5000 Nm

1000 mm

26000 MPa

75 mm (outer)

25 mm (inner)

Sidovy av axeln. Den tuna kurvan på övre kant är en "streckad" referenslinje — efter vridning blir den en helix. Solid (övre) och rör (nedre) sida vid sida. Side view of the shaft. The line on the top edge is a reference fibre painted along the surface — after twisting it becomes a helix. Solid (top) vs tube (bottom).

StorhetQuantity	VärdeValue	EnhetUnit	KommentarNote
	—	mm⁴
	—	°
	—	mm⁴
	—	°

5.11 grund

En motor avsätter 600 Nm i D. Axeln roterar med konstant hastighet och består av solida delar. Beräkna vridvinkeln mellan B och C, samt mellan B och D. G = 26 GPa. d_AB = 40, d_BC = 45, d_CD = 50 mm.

A motor applies 600 Nm at D. The shaft rotates at constant speed (solid segments). Find the twist angles B→C and B→D. G = 26 GPa. d_AB = 40, d_BC = 45, d_CD = 50 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Vridningsmätningar på maskinverktygsaxlar: lasercensorer mäter θ vid ändpunkter, vridningen mellan mellanlägen räknas från denna teknik. Twist measurements on machine-tool shafts: laser sensors record θ at the end points, and the twist between intermediate stations is back-calculated using exactly this technique.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: vridvinkeln mellan B och C, samt mellan B och D.You're asked to find: the twist angles B→C and B→D.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Inre vridmoment per segmentInternal torque per segment
Vridvinkel BCTwist angle BC
Vridvinkel CDTwist angle CD

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Snitta varje segment, hitta T_i (samma metod som 5.3). Snitta varje segment, hitta T_i (samma metod som 5.3).

2. θ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). Total θ mellan A och C är summan över de aktuella segmenten. θ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). Total θ mellan A och C är summan över de aktuella segmenten.

3. Räkna θ_AB, θ_BC, θ_CD separat. Sedan θ_BC + θ_BD = θ_BD och θ_AB + θ_BC + θ_CD = θ_AD. Räkna θ_AB, θ_BC, θ_CD separat. Sedan θ_BC + θ_BD = θ_BD och θ_AB + θ_BC + θ_CD = θ_AD.

≈ 10 min≈ 10 min · vridvinkel stegad snittmetoden

Figure 5.11 — Fig. 5.11 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Snitta och hitta T_i för varje segment. θ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). Total θ mellan två punkter är summan av segmenten emellan. Section to find T_i for each segment. θ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). Total θ between two points = sum of segments between.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Den totala vridvinkeln över flera segment (B→D) fås genom att... The total twist over several segments (B→D) is found by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

φ_BD = φ_BC + φ_CD = 1,51° + 1,94° = 3,45°. φ_BD = φ_BC + φ_CD = 1.51° + 1.94° = 3.45°.

$$ \theta_{BD} = \sum_i \dfrac{T_i L_i}{G I_{p,i}} $$

2. Givna värdenGiven values

Diametrar, segmentlängder och G från uppgiften. Motormomentet 600 Nm appliceras vid D; vid B respektive C tas en del ut. Diameters, segment lengths and G from the problem. The 600 Nm motor torque is applied at D; portions are tapped off at B and C.

$$ d_{BC} = 45\;\text{mm},\;d_{CD} = 50\;\text{mm} $$

$$ L_{BC} = 1{,}1\;\text{m},\;L_{CD} = 0{,}9\;\text{m} $$

$$ G = 26\;\text{GPa} = 26\cdot 10^{3}\;\text{MPa} $$

3. Inre vridmoment per segmentInternal torque per segment

Snittmetoden från höger: i CD passerar hela motormomentet 600 Nm; i BC återstår 250 Nm efter uttaget vid C (avläsning av Madeleines siffror). Section method from the right: CD carries the full 600 Nm motor torque; in BC the remainder is 250 Nm after the takeoff at C (read from Madeleine).

T(x) längs ABCD-axeln. Snittmetoden från höger ger T_CD = 600 Nm; uttaget vid C reducerar till T_BC = 250 Nm.T(x) along the ABCD shaft. Section from the right gives T_CD = 600 Nm; the takeoff at C reduces to T_BC = 250 Nm.

$$ T_{CD} = 600\;\text{Nm},\;T_{BC} = 250\;\text{Nm} $$

4. Vridvinkel BCTwist angle BC

θ_BC = T·L·32/(π·d⁴·G). θ_BC = T·L·32/(π·d⁴·G).

$$ \theta_{BC} = \dfrac{T_{BC}\,L_{BC}\,32}{\pi\,d_{BC}^{4}\,G} = \dfrac{250\cdot 10^{3}\cdot 1100\cdot 32}{\pi \cdot 45^{4}\cdot 26\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0263\;\text{rad} $$

$$ \theta_{BC} \approx 0{,}0263\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 1{,}51^{\circ} $$

5. Vridvinkel CDTwist angle CD

Samma formel med T_CD och d_CD. Same formula with T_CD and d_CD.

$$ \theta_{CD} = \dfrac{T_{CD}\,L_{CD}\,32}{\pi\,d_{CD}^{4}\,G} = \dfrac{600\cdot 10^{3}\cdot 900\cdot 32}{\pi \cdot 50^{4}\cdot 26\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0338\;\text{rad} $$

$$ \theta_{CD} \approx 0{,}0338\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 1{,}94^{\circ} $$

6. Vridvinkel BDTwist angle BD

Segmentvinklarna adderas (samma riktning). The segment angles add (same sense).

$$ \theta_{BD} = \theta_{BC} + \theta_{CD} \approx 1{,}51^{\circ} + 1{,}94^{\circ} = 3{,}45^{\circ} $$

7. SlutsvarFinal answer

Vridvinklar mellan B–C och B–D. Twist angles B–C and B–D.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\theta_{BC} \approx 1{,}51^{\circ} \\ \theta_{BD} \approx 3{,}45^{\circ}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M09_signed_twist_sum

Vridvinkeln θ är RIKTAD. Moment åt motsatta håll på olika segment subtraherar från totalen — ADDERA INTE absolutbelopp. The twist angle θ is DIRECTED. Moments in opposite directions on different segments subtract from the total — do NOT add absolute values.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

5.12 grund

En axel ABCDE med moment enligt figur. Alla delar solida, 120 mm långa. G = 77 GPa. Beräkna vridvinkeln mellan A–C och A–E.

A shaft ABCDE with torques per figure. All segments solid, 120 mm long. G = 77 GPa. Find twist A–C and A–E.

VerklighetsanknytningReal-world context Räkneoperation i CAD-system för axelvridning: alla CAD-program räknar med signerade θ för att hantera kombinationen av flera applicerade moment. How CAD systems handle shaft twist: every CAD/CAE package works with signed θ values so it can superimpose the effects of several applied torques correctly.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: vridvinkeln mellan A–C och A–E.You're asked to find: twist A–C and A–E.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Vridvinklar A→C och A→ETwist angles A→C and A→E
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. θ är RIKTAD — moment åt motsatta håll på olika segment subtraherar. θ är RIKTAD — moment åt motsatta håll på olika segment subtraherar.

2. Bestäm tecknet på T_i för varje segment (högerhand). Sätt θ = ΣT_i·L_i/(G·I_p,i) med tecken. Bestäm tecknet på T_i för varje segment (högerhand). Sätt θ = ΣT_i·L_i/(G·I_p,i) med tecken.

3. θ_AC = θ_AB + θ_BC = (T_AB·L + T_BC·L)/(G·I_p) med korrekta tecken. θ_AC = θ_AB + θ_BC = (T_AB·L + T_BC·L)/(G·I_p) med korrekta tecken.

≈ 8 min≈ 8 min · signerad-vridning snittmetoden

Figure 5.12 — Fig. 5.12 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Snitta varje segment, T_i; θ = Σ T_i·L_i/(G·I_p,i) över de aktuella segmenten. Cut each segment for T_i; θ = Σ T_i·L_i/(G·I_p,i) over the relevant segments.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vridvinkeln mellan A och E är... The twist angle between A and E is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Moment kan vara motriktade i olika segment → addera φ_i med rätt tecken. Torques can be opposed in different segments → add φ_i with the correct sign.

$$ \theta = \sum_i \dfrac{T_i L_i}{G I_{p,i}} $$

2. Givna värdenGiven values

Axel ABCDE med yttre moment vid varje station (avläses från figur), gemensam segmentlängd 120 mm och G för stål. Shaft ABCDE with external torques at each station (read from the figure), common segment length 120 mm, and G for steel.

$$ L_{segment} = 120\;\text{mm},\;G = 77\;\text{GPa} = 77\cdot 10^{3}\;\text{MPa} $$

3. Vridvinklar A→C och A→ETwist angles A→C and A→E

Bygg φ-summan segmentvis med rätt tecken. Snitta varje segment, hitta T_i från jämvikt och addera bidragen φ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). (Källans handritade lösning ger värdena nedan; den fullständiga segmentvisa härledningen ska skrivas ut här i framtida revision — se _madeleine_note.) Build the φ-sum segment by segment with the correct sign. For each segment, find T_i from equilibrium and add φ_i = T_i·L_i/(G·I_p,i). (The source's hand-written solution gives the values below; the full segment-wise derivation is to be written out in a future revision — see _madeleine_note.)

$$ \varphi_{i} = \dfrac{T_{i}\,L_{i}}{G\,I_{p,i}}\;\;\;\textcolor{#888}{\text{(per segment, med tecken)}} $$

$$ \varphi_{AC} \approx -0{,}078\;\text{rad}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine)}} $$

$$ \varphi_{AE} \approx 0{,}078\;\text{rad}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine; netto från A)}} $$

4. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: φ_AC [rad], φ_max [°]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: φ_AC [rad], φ_max [°]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\varphi_{AC} = 0.078\;\text{rad} \\ \varphi_{max} = 4.47^{\circ}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M09_signed_twist_sum

Vridvinkeln θ är RIKTAD. Moment åt motsatta håll på olika segment subtraherar från totalen — ADDERA INTE absolutbelopp. The twist angle θ is DIRECTED. Moments in opposite directions on different segments subtract from the total — do NOT add absolute values.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.13 grund

Vid borrning används en 2500 m lång borrstång med d = 200 mm. Övre änden roterade 2,5 varv innan borrkronan började vrida sig. Bestäm max spänning. G = 77 GPa.

An oil-drilling string 2500 m long, d = 200 mm. The top rotated 2.5 turns before the bit began to turn. Find max stress. G = 77 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Oljeborr i 2500 m djup: borrstången är en gigantisk vridfjäder. När operatören slår igång rotationen i ytan, lagrar stången upp 2-3 varv elastisk vridning innan borrkronan på botten ens börjar röra sig. Plötslig 'unstick' kan ge livsfarliga rebound — ett konkret skäl till slow-start på alla riggar. Oil drilling at 2500 m depth: the drill string is a giant torsion spring. When the operator starts rotating at the surface, the string stores 2–3 full turns of elastic twist before the bit at the bottom even begins to move. A sudden 'unstick' can produce a dangerous rebound — one concrete reason every rig uses a slow-start procedure.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max spänning.You're asked to find: max stress.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16
Effekt P = T·ωPower P = T·ω

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Polärt tröghetsmomentPolar moment of inertia
Vridmoment från θ = T·L/(G·I_p)Torque from θ = T·L/(G·I_p)
Maximal skjuvspänningMaximum shear stress

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Förvridning θ = 2,5 varv = 2,5 · 2π rad. Detta är HUVUDDATA — börja här. Förvridning θ = 2,5 varv = 2,5 · 2π rad. Detta är HUVUDDATA — börja här.

2. Från θ = T·L/(G·I_p) → T = θ·G·I_p/L. Sedan τ_max = T·(D/2)/I_p = 16·T/(π·D³). Från θ = T·L/(G·I_p) → T = θ·G·I_p/L. Sedan τ_max = T·(D/2)/I_p = 16·T/(π·D³).

3. I_p = π·200⁴/32 ≈ 1,57·10⁸ mm⁴. T = 5π·77·10³·1,57·10⁸ / 2,5·10⁶ ≈ 76 kNm. τ_max = T·(d/2)/I_p ≈ 48 MPa. I_p = π·200⁴/32 ≈ 1.57·10⁸ mm⁴. T = 5π·77·10³·1.57·10⁸ / 2.5·10⁶ ≈ 76 kNm. τ_max = T·(d/2)/I_p ≈ 48 MPa.

≈ 8 min≈ 8 min · oljeborr långa-axlar stora-θ

Figure 5.13 — Fig. 5.13 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Förvridning θ = 2,5·2π rad. Från θ = T·L/(G·I_p) → T. Sedan τ_max = T·r/I_p. Twist θ = 2.5·2π rad. From θ = T·L/(G·I_p) → T. Then τ_max = T·r/I_p.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vridningen 2,5 varv måste först... The 2.5 turns of twist must first be...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

φ = 2,5·2π = 15,71 rad. Sedan M_v = φ·G·I_p/L och τ = M_v/W_v = 48,4 MPa. φ = 2.5·2π = 15.71 rad. Then M_v = φ·G·I_p/L and τ = M_v/W_v = 48.4 MPa.

Oljeborr: 2500 m solid stång d = 200 mm. Övre änden vrider 2,5 varv (5π rad) innan borrkronan rör sigFree-body diagram

$$ T = \dfrac{\theta G I_p}{L} $$

$$ \tau_{max} = \dfrac{16\,T}{\pi d^3} $$

2. Givna värdenGiven values

Borrstångens längd, diameter, materialkonstant och pålagd förvridning. Drill string length, diameter, shear modulus, and the applied twist.

$$ L = 2500\;\text{m} = 2{,}5\cdot 10^{6}\;\text{mm} $$

$$ d = 200\;\text{mm},\;G = 77\;\text{GPa} = 77\cdot 10^{3}\;\text{MPa} $$

$$ \theta = 2{,}5\;\text{varv} = 2{,}5\cdot 2\pi = 5\pi\;\text{rad} $$

3. Polärt tröghetsmomentPolar moment of inertia

Solid cirkulär axel. Solid circular shaft.

$$ I_p = \dfrac{\pi\,d^{4}}{32} = \dfrac{\pi\cdot 200^{4}}{32} \approx 1{,}57\cdot 10^{8}\;\text{mm}^{4} $$

4. Vridmoment från θ = T·L/(G·I_p)Torque from θ = T·L/(G·I_p)

Lös ut T och sätt in värdena. Solve for T and substitute the values.

$$ T = \dfrac{\theta\,G\,I_p}{L} = \dfrac{5\pi \cdot 77\cdot 10^{3} \cdot 1{,}57\cdot 10^{8}}{2{,}5\cdot 10^{6}} \approx 7{,}6\cdot 10^{7}\;\text{Nmm} \approx 76\;\text{kNm} $$

5. Maximal skjuvspänningMaximum shear stress

τ_max = T·r/I_p = T·(d/2)/I_p (samma som 16·T/(π·d³) för solid axel). τ_max = T·r/I_p = T·(d/2)/I_p (equivalent to 16·T/(π·d³) for a solid shaft).

$$ \tau_{max} = \dfrac{T\,(d/2)}{I_p} = \dfrac{76\cdot 10^{6}\cdot 100}{1{,}57\cdot 10^{8}} \approx 48{,}4\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: τ [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: τ [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\tau = 48.4\;\text{MPa}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M01_diameter_vs_radius

I formeln τ = T·r/J är r RADIEN, inte diametern. Skillnaden är en faktor 2 — kontrollera dubbelt. In the formula τ = T·r/J, r is the RADIUS, not the diameter. The difference is a factor of 2 — double-check.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

forgot_radians

Vridvarv 2,5 = 2,5·2π = 5π radianer. Räkna inte med varv direkt i formeln θ = TL/(GI_p). 2.5 revolutions = 2.5·2π = 5π radians. Don't plug revolutions directly into the formula θ = TL/(GI_p).

5.14 grund

Solid axel AB, d = 45 mm. a) Största M_v om någon tillåten spänning inte överskrids eller om CD vrids mer än 0,375°. b) Vinkel som A roterar vid denna last. G_AB = 77 GPa, G_CD = 38 GPa; τ_AB = 80, τ_CD = 50 MPa.

Solid shaft AB, d = 45 mm. a) Find the largest M_v with no allowable stress exceeded and CD twist ≤ 0.375°. b) Find the angle through which A rotates at this load. G_AB = 77 GPa, G_CD = 38 GPa; τ_AB = 80, τ_CD = 50 MPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Maskinverktyg där precision är kritisk: en θ-gräns på 0,1-0,5° kan vara striktare än τ-gränsen, eftersom drevpositioneringen kräver minimal vridning. Machine tools where precision is critical: a θ limit of 0.1–0.5° can be stricter than the τ limit, because gear positioning demands minimal twist.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: the largest M_v with no allowable stress exceeded and CD twist ≤ 0.You're asked to find: the largest M_v with no allowable stress exceeded and CD twist ≤ 0.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Villkor 1: τ-gränsen i ABConstraint 1: τ-limit in AB
Villkor 2 och 3: CD-axelnConstraints 2 and 3: shaft CD
(a) Dimensionerande T_max(a) Governing T_max

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Tre villkor — räkna M_max för var och en, välj det lägsta. Tre villkor — räkna M_max för var och en, välj det lägsta.

2. τ_AB ≤ 80, τ_CD ≤ 50, θ_CD ≤ 0,375° (omvandla till rad!). Räkna M_max för alla tre. τ_AB ≤ 80, τ_CD ≤ 50, θ_CD ≤ 0,375° (omvandla till rad!). Räkna M_max för alla tre.

3. θ_villkor är ofta hårdare än τ-villkoren — kontrollera noga. θ_villkor är ofta hårdare än τ-villkoren — kontrollera noga.

≈ 12 min≈ 12 min · multi-constraint θ-gräns

Figure 5.14 — Fig. 5.14 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Tre begränsningar — τ_AB ≤ 80, τ_CD ≤ 50, θ_CD ≤ 0,375°. Beräkna M_v,max för var och en; välj det minsta. Sedan θ_A = Σ θ_i. Three constraints — τ_AB ≤ 80, τ_CD ≤ 50, θ_CD ≤ 0.375°. Compute M_v,max for each; pick the smallest. Then θ_A = Σ θ_i.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Det största momentet begränsas av... The largest torque is limited by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kontrollera både τ-villkoret och vinkelvillkoret (0,375°); det hårdaste styr. Här styr spänningen → T_max = 1431 Nm. Check both the τ-condition and the angle condition (0.375°); the tighter governs. Here stress governs → T_max = 1431 Nm.

$$ M_{v,max} = \min(M_{\tau,AB},\,M_{\tau,CD},\,M_{\theta,CD}) $$

2. Givna värdenGiven values

Två axlar i serie. AB är solid d = 45 mm; CD är rör (avläses från figur). Tre begränsningar: τ_AB ≤ 80 MPa, τ_CD ≤ 50 MPa, θ_CD ≤ 0,375°. Two shafts in series. AB is solid d = 45 mm; CD is a tube (read from the figure). Three constraints: τ_AB ≤ 80 MPa, τ_CD ≤ 50 MPa, θ_CD ≤ 0.375°.

$$ d_{AB} = 45\;\text{mm},\;\tau_{till,AB} = 80\;\text{MPa},\;G_{AB} = 77\;\text{GPa} $$

$$ \tau_{till,CD} = 50\;\text{MPa},\;G_{CD} = 38\;\text{GPa},\;\theta_{till,CD} = 0{,}375^{\circ} $$

3. Villkor 1: τ-gränsen i ABConstraint 1: τ-limit in AB

Solid axel d_AB = 45 mm. T = τ_till·π·d³/16. Solid shaft d_AB = 45 mm. T = τ_till·π·d³/16.

$$ T_{\tau,AB} = \tau_{till,AB}\cdot \dfrac{\pi\,d_{AB}^{3}}{16} = 80\cdot \dfrac{\pi\cdot 45^{3}}{16} \approx 1431\;\text{Nm} $$

4. Villkor 2 och 3: CD-axelnConstraints 2 and 3: shaft CD

Madeleines lösning ger τ-villkoret i CD T ≈ 2402 Nm och θ-villkoret T ≈ 2390 Nm (avläst från PDF). Den minst tillåtna T är från villkor 1 (AB-axelns τ_till). Madeleine's solution gives the τ-constraint in CD as T ≈ 2402 Nm and the θ-constraint as T ≈ 2390 Nm (read from the PDF). The smallest allowed T comes from constraint 1 (AB shaft τ_till).

$$ T_{\tau,CD} \approx 2402\;\text{Nm}\;\;\;\textcolor{#888}{\text{(från Madeleine)}} $$

$$ T_{\theta,CD} \approx 2390\;\text{Nm}\;\;\;\textcolor{#888}{\text{(från Madeleine)}} $$

5. (a) Dimensionerande T_max(a) Governing T_max

Det minsta värdet styr. The smallest value governs.

Tre tillåtna T:n från tre villkor. Det LÄGSTA binder — här AB:s τ-villkor.Three allowable T values from three constraints. The LOWEST binds — here the AB τ-constraint.

$$ T_{max} = \min(1431,\;2402,\;2390) \approx 1431\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(AB:s τ-villkor)}} $$

6. (b) Total vridvinkel vid A(b) Total rotation at A

Vid T_max är vridvinkeln vid A summan av segmentvinklarna AB + CD. At T_max the rotation at A is the sum of the segment twist angles AB + CD.

$$ \theta_A = \theta_{AB} + \theta_{CD} \approx 0{,}0187\;\text{rad} \approx 1{,}07^{\circ}\;\;\;\textcolor{#888}{\text{(från Madeleines summa)}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} \approx 1431\;\text{Nm} \\ \theta_A \approx 1{,}07^{\circ}\;(\approx 0{,}0187\;\text{rad})\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

assumed_tau_dominates

Det är vanligt att studenter bara räknar τ-villkoren och glömmer θ-villkoret. Räkna alla tre, det lägsta vinner. Students commonly check only the τ-conditions and forget the θ-condition. Compute all three; the smallest wins.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

M04_signed_tau

Tecknet på M_v anger vridriktning. Skjuvspänningens storlek är |M_v|/W_v — alltid positiv (Madeleines anteckning i 5.4). The sign of M_v indicates the direction of twist. The magnitude of the shear stress is |M_v|/W_v — always positive (Madeleine's note in 5.4).

5.15 grund

Växellåda som överför M_v = 500 Nm från AB till CD. Bestäm vinkeln A vrids. d_AB = 45, d_CD = 65 mm, a = 800, b = 600 mm, r_b = 250, r_g = 100 mm. G = 70 GPa.

Gearbox transfers M_v = 500 Nm from AB to CD. Find the rotation of end A. d_AB = 45, d_CD = 65 mm; a = 800, b = 600 mm; r_b = 250, r_g = 100 mm. G = 70 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Bilens kardanaxel + slutväxel: helt samma matematik, fast med två växlar och en mellanaxel. När du justerar slutväxelförhållande för olika däckstorlekar är det exakt denna typ av beräkning som tekniker använder. A car's propshaft plus final drive: exactly the same maths, just with two gears and an intermediate shaft. When you re-spec the final-drive ratio for a different tyre size, this is the calculation drivetrain engineers run.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: vinkeln A vrids.You're asked to find: the rotation of end A.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Moment i CD via kugghjulenTorque in CD via the gears
Vridvinklar segmentvisTwist angles segment by segment
Översättning genom växelnTranslation through the gears

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Vridningen översätts genom växeln med faktor r_blå/r_grön (omvänt mot momentet). Vridningen översätts genom växeln med faktor r_blå/r_grön (omvänt mot momentet).

2. θ_A = θ_AB + (r_blå/r_grön)·θ_CD. Räkna θ_AB med M_AB och θ_CD med M_CD = M_AB·r_grön/r_blå. θ_A = θ_AB + (r_blå/r_grön)·θ_CD. Räkna θ_AB med M_AB och θ_CD med M_CD = M_AB·r_grön/r_blå.

3. Notera: moment minskar genom växel (r_grön/r_blå) men vridning ökar (r_blå/r_grön) — effekten är konserverad. Notera: moment minskar genom växel (r_grön/r_blå) men vridning ökar (r_blå/r_grön) — effekten är konserverad.

≈ 12 min≈ 12 min · växel vridning-konservering

Figure 5.15 — Fig. 5.15 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

θ_A = θ_AB + (r_blå/r_grön)·θ_CD (CD-vridningen översätts via kugghjulen). M_CD = M_AB·(r_g/r_b). Räkna θ_AB med M_AB, θ_CD med M_CD. θ_A = θ_AB + (r_blue/r_green)·θ_CD (CD twist translates back through the gears). M_CD = M_AB·(r_g/r_b). Compute θ_AB with M_AB, θ_CD with M_CD.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vinkeln som A vrids är... The angle that A rotates is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

θ_A inkluderar både AB:s och CD:s vridning, omräknat genom växeln → 1,69°. θ_A includes both the AB and CD twist, transformed through the gear → 1.69°.

$$ \theta_A = \theta_{AB} + \tfrac{r_b}{r_g}\,\theta_{CD} $$

2. Givna värdenGiven values

Två axlar (AB solid d=45, CD solid d=65) sammankopplade via två kugghjul (r_b på AB, r_g på CD). Pålagt M = 500 Nm vid A. Two solid shafts (AB d=45, CD d=65) coupled by two gears (r_b on AB, r_g on CD). Applied torque M = 500 Nm at A.

$$ M_{AB} = 500\;\text{Nm},\;d_{AB} = 45\;\text{mm},\;L_{AB} = a = 800\;\text{mm} $$

$$ d_{CD} = 65\;\text{mm},\;L_{CD} = b = 600\;\text{mm} $$

$$ r_b = 250\;\text{mm},\;r_g = 100\;\text{mm},\;G = 70\;\text{GPa} = 70\cdot 10^{3}\;\text{MPa} $$

3. Moment i CD via kugghjulenTorque in CD via the gears

Kontaktkraften F är gemensam: F = M_AB/r_b = M_CD/r_g. Common contact force: F = M_AB/r_b = M_CD/r_g.

$$ M_{CD} = M_{AB}\cdot \dfrac{r_b}{r_g} = 500\cdot \dfrac{250}{100} = 1250\;\text{Nm} $$

4. Vridvinklar segmentvisTwist angles segment by segment

θ_i = T·L·32/(π·d⁴·G) för varje axel. θ_i = T·L·32/(π·d⁴·G) for each shaft.

$$ \theta_{AB} = \dfrac{M_{AB}\,L_{AB}\,32}{\pi\,d_{AB}^{4}\,G} = \dfrac{500\cdot 10^{3}\cdot 800\cdot 32}{\pi\cdot 45^{4}\cdot 70\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0142\;\text{rad} $$

$$ \theta_{CD} = \dfrac{M_{CD}\,L_{CD}\,32}{\pi\,d_{CD}^{4}\,G} = \dfrac{1250\cdot 10^{3}\cdot 600\cdot 32}{\pi\cdot 65^{4}\cdot 70\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0061\;\text{rad} $$

5. Översättning genom växelnTranslation through the gears

θ_CD ses från AB-sidan skalat med r_b/r_g (kugghjulen vrider sig samma bågsträcka men över olika radier — vinkel-förhållandet är inverst mot moment-förhållandet). θ_CD as seen from the AB side is scaled by r_b/r_g (the gear arcs match, so the angle ratio is inverse to the torque ratio).

Kontaktpunktens bågsträcka är gemensam: r_b·θ_AB-sidan = r_g·θ_CD-sidan ⇒ vridvinkeln på AB-sidan ökar med faktor r_b/r_g.Common contact-arc length: r_b·θ_AB-side = r_g·θ_CD-side ⇒ the AB-side rotation is scaled by r_b/r_g.

$$ \theta_A = \theta_{AB} + \dfrac{r_b}{r_g}\,\theta_{CD} = 0{,}0142 + 2{,}5\cdot 0{,}0061 \approx 0{,}0295\;\text{rad} $$

$$ \theta_A \approx 0{,}0295\cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 1{,}69^{\circ} $$

6. SlutsvarFinal answer

Vinkel som änden A roterar. Rotation of end A.

$$ \boxed{\theta_A \approx 1{,}69^{\circ}\;(\approx 0{,}0295\;\text{rad})} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M08_gear_ratio_inverted

Växeln: kontaktkraften F = M_in/r_in = M_ut/r_ut. M_ut = M_in · r_ut/r_in. Vänd inte förhållandet. Gear: contact force F = M_in/r_in = M_out/r_out. M_out = M_in · r_out/r_in. Do not invert the ratio.

M09_signed_twist_sum

Vridvinkeln θ är RIKTAD. Moment åt motsatta håll på olika segment subtraherar från totalen — ADDERA INTE absolutbelopp. The twist angle θ is DIRECTED. Moments in opposite directions on different segments subtract from the total — do NOT add absolute values.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.16 grund

Kompositaxel: stålkärna d = 40 mm + mässingshölje t = 5 mm, sammanfogade. T = 600 Nm. a) Max τ i mässing. b) Max τ i stål. c) Vinkel A→B. G_s = 77, G_m = 39 GPa.

Composite shaft: steel core d = 40 mm + brass sleeve t = 5 mm, bonded. T = 600 Nm. a) Max τ in brass. b) Max τ in steel. c) Twist A→B. G_s = 77, G_m = 39 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Specialtillverkade kompositaxlar (kolfiber-rör runt stålkärna) använder denna princip för flygplansrotorer: lätt + styv. Materialets G·I_p i kombination styr. Custom-built composite shafts (carbon-fibre tube around a steel core) use this principle for aircraft rotors: light and stiff. It is the combined G·I_p of the two materials that governs.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility
Tröghetsmoment och momentfördelningPolar moments and torque split
(a) τ i mässing(a) τ in brass

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Parallellkoppling via stum bindning: BÅDA materialen har SAMMA θ. Parallellkoppling via stum bindning: BÅDA materialen har SAMMA θ.

2. Jämvikt: T = T_s + T_m. Kompatibilitet: θ_s = θ_m ⇒ T_i = (G_i·I_p,i)·θ/L. Jämvikt: T = T_s + T_m. Kompatibilitet: θ_s = θ_m ⇒ T_i = (G_i·I_p,i)·θ/L.

3. Lös för θ: θ = T·L / (G_s·I_p,s + G_m·I_p,m). Sedan T_s, T_m, och τ_i = T_i·r_i/I_p,i. Lös för θ: θ = T·L / (G_s·I_p,s + G_m·I_p,m). Sedan T_s, T_m, och τ_i = T_i·r_i/I_p,i.

≈ 12 min≈ 12 min · komposit parallell kolfiber-analogi

Figure 5.16 — Fig. 5.16 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Sammansatt: θ samma för båda (kompatibilitet). T = T_s + T_m. T_i = (G_i·I_p,i)·θ/L. Lös för θ, sedan T_i och τ_i = T_i·r_i/I_p,i. Composite: θ common (compatibility). T = T_s + T_m. T_i = (G_i·I_p,i)·θ/L. Solve for θ, then T_i and τ_i = T_i·r_i/I_p,i.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Stålkärnan och mässingshöljet är sammanfogade och delar... The steel core and brass sleeve are bonded and share...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Parallellt ⇒ samma vridning per längd; momentet fördelas efter G·I_p. τ_stål = 174, τ_mässing = 125 MPa. In parallel ⇒ the same twist per length; the torque splits by G·I_p. τ_steel = 174, τ_brass = 125 MPa.

$$ \theta = \dfrac{T L}{\sum_i G_i I_{p,i}} $$

$$ T_i = (G_i I_{p,i})\,\theta/L $$

2. Givna värdenGiven values

Stålkärna d_s = 40 mm. Mässingshölje med t = 5 mm, så yttre D_m = 40 + 2·5 = 50 mm. Pålagt T = 600 Nm. Steel core d_s = 40 mm. Brass sleeve t = 5 mm, so outer D_m = 40 + 2·5 = 50 mm. Applied T = 600 Nm.

$$ d_s = 40\;\text{mm},\;D_m = 50\;\text{mm},\;T = 600\;\text{Nm} $$

$$ G_s = 77\;\text{GPa},\;G_m = 39\;\text{GPa} $$

3. Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility

Parallellkoppling: båda materialen har samma vridvinkel θ över samma längd L. Totala momentet delas i förhållande till torsionsstyvheten G·I_p. Parallel coupling: both materials share the same twist angle θ over the same length L. The total torque splits in proportion to the torsional rigidity G·I_p.

$$ T = M_s + M_m\;\;\textcolor{#888}{\text{(jämvikt)}} $$

$$ \dfrac{M_s}{G_s\,I_{p,s}} = \dfrac{M_m}{G_m\,I_{p,m}}\;\;\textcolor{#888}{\text{(kompatibilitet }θ_s = θ_m\text{)}} $$

4. Tröghetsmoment och momentfördelningPolar moments and torque split

I_p för kärnan och I_p för höljet. I_p for the core and I_p for the sleeve.

Tvärsnitt: stålkärna (d=40) + mässingshölje (t=5, D=50). τ-fördelningen är diskontinuerlig vid gränsytan eftersom G_s ≠ G_m, men θ är gemensam.Cross-section: steel core (d=40) + brass sleeve (t=5, D=50). The τ profile is discontinuous at the interface because G_s ≠ G_m, but θ is common.

$$ I_{p,s} = \dfrac{\pi\,d_s^{4}}{32} = \dfrac{\pi\cdot 40^{4}}{32} \approx 2{,}51\cdot 10^{5}\;\text{mm}^{4} $$

$$ I_{p,m} = \dfrac{\pi (D_m^{4} - d_s^{4})}{32} = \dfrac{\pi (50^{4} - 40^{4})}{32} \approx 3{,}62\cdot 10^{5}\;\text{mm}^{4} $$

$$ M_s = T\cdot \dfrac{G_s\,I_{p,s}}{G_s\,I_{p,s} + G_m\,I_{p,m}} \approx 600\cdot \dfrac{77\cdot 2{,}51}{77\cdot 2{,}51 + 39\cdot 3{,}62} \approx 253\;\text{Nm} $$

$$ M_m = T - M_s \approx 347\;\text{Nm} $$

5. (a) τ i mässing(a) τ in brass

Mässingen ser sitt maximum vid ytterytan r = D_m/2 = 25 mm. Madeleines avläsning ger 125 MPa. The brass peaks at the outer fibre r = D_m/2 = 25 mm. Madeleine reads 125 MPa.

$$ \tau_m = \dfrac{M_m\cdot (D_m/2)}{I_{p,m}} \approx 125\;\text{MPa} $$

6. (b) τ i stål(b) τ in steel

Stålkärnan ser sitt maximum vid r = d_s/2 = 20 mm. Madeleines avläsning ger 174 MPa. The steel core peaks at r = d_s/2 = 20 mm. Madeleine reads 174 MPa.

$$ \tau_s = \dfrac{M_s\cdot (d_s/2)}{I_{p,s}} \approx 174\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine)}} $$

7. (c) Vridvinkel A→B(c) Twist angle A→B

θ = M·L / (G·I_p) tillämpat på endera materialet (samma θ). θ = M·L / (G·I_p) on either material (the same θ).

$$ \theta_{AB} \approx 2{,}05^{\circ}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine, s. 85)}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Tre delfrågor besvarade. All three sub-questions.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\tau_{m} \approx 125\;\text{MPa} \\ \tau_{s} \approx 174\;\text{MPa} \\ \theta_{AB} \approx 2{,}05^{\circ}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

treated_as_series

Kompositaxel = parallell, INTE serie. Båda materialen bär last samtidigt vid samma θ. A composite shaft is parallel, NOT series. Both materials carry load simultaneously at the same θ.

5.17 grund

Kompositaxel: aluminiumkärna d = 65 mm + stålhölje t = 1,5 mm, sammanfogade. Bestäm största T och vinkel A→B. G_s = 77, τ_s = 50 MPa; G_al = 26, τ_al = 20 MPa.

Composite: aluminium core d = 65 mm + steel sleeve t = 1.5 mm. Find max T and twist A→B. G_s = 77, τ_s = 50 MPa; G_al = 26, τ_al = 20 MPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Hybridaxlar i vindkraftverk: stålkärna + aluminiumhölje för korrosionsskydd. Designern måste verifiera båda materialen separat — ofta är aluminiumet kritiskt trots att det 'bara' är skyddsskikt. Hybrid shafts in wind turbines: steel core plus aluminium sleeve for corrosion protection. The designer must verify both materials separately — and the aluminium is often the critical one even though it is 'just' a protective layer.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: största T och vinkel A→B.You're asked to find: max T and twist A→B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility
Sätt τ-villkorenApply the τ-constraints
Dimensionerande TGoverning T

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Som 5.16, men nu söks T_max. Två τ-villkor → välj begränsande. Som 5.16, men nu söks T_max. Två τ-villkor → välj begränsande.

2. θ_max,i = τ_till,i · L / (G_i · r_i). Den lägre vinner. Sedan T_max = (Σ G_j·I_p,j)·θ_max/L. θ_max,i = τ_till,i · L / (G_i · r_i). Den lägre vinner. Sedan T_max = (Σ G_j·I_p,j)·θ_max/L.

3. Räkna både θ_max,stål och θ_max,al — det MINDRE θ-värdet är begränsande. Sedan beräkna T. Räkna både θ_max,stål och θ_max,al — det MINDRE θ-värdet är begränsande. Sedan beräkna T.

≈ 12 min≈ 12 min · komposit T_max två-tau_till

Figure 5.17 — Fig. 5.17 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Som 5.16: θ gemensam → τ_i = G_i · r_i · θ/L. Två τ-villkor → välj begränsande. Det ger θ_max, sedan T = (Σ G_i·I_p,i)·θ_max/L. As 5.16: θ common → τ_i = G_i · r_i · θ/L. Two τ constraints → pick the binding one for θ_max, then T = (Σ G_i·I_p,i)·θ_max/L.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

I kompositaxeln delar de två materialen... In the composite shaft the two materials share...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Parallellt ⇒ momentet fördelas efter G·I_p. Stålhöljet når sin gräns först → T_max = 1597 Nm. In parallel ⇒ the torque splits by G·I_p. The steel sleeve reaches its limit first → T_max = 1597 Nm.

$$ \theta_{max} = \min\left(\tfrac{\tau_s L}{G_s r_s},\,\tfrac{\tau_{al} L}{G_{al} r_{al}}\right) $$

2. Givna värdenGiven values

Aluminiumkärna d = 65 mm med ett stålhölje t = 1,5 mm — ytterdiameter D = 65 + 2·1,5 = 68 mm. Material- och spänningsgränser från uppgiften. Aluminium core d = 65 mm with a steel sleeve t = 1.5 mm — outer D = 65 + 2·1.5 = 68 mm. Material constants and allowable stresses from the problem.

$$ d = 65\;\text{mm},\;D = 68\;\text{mm} $$

$$ G_{al} = 26\;\text{GPa},\;\tau_{till,al} = 20\;\text{MPa} $$

$$ G_{s} = 77\;\text{GPa},\;\tau_{till,s} = 50\;\text{MPa} $$

3. Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility

Båda materialen roterar ihop. Madeleines algebra ger momentfördelningen M_al = 0,631·T och M_s = 0,369·T. Both materials rotate together. Madeleine's algebra gives the torque split M_al = 0.631·T and M_s = 0.369·T.

Tvärsnitt: aluminiumkärna (d=65) + tunn stålhylsa (t=1,5, D=68). Stålet sitter där radien är störst — bär stor andel av τ.Cross-section: aluminium core (d=65) + thin steel sleeve (t=1.5, D=68). Steel lives at the largest radius — carries a high share of τ.

$$ T = M_s + M_{al},\;\;\dfrac{M_s}{G_s\,I_{p,s}} = \dfrac{M_{al}}{G_{al}\,I_{p,al}} $$

$$ M_{al} \approx 0{,}631\,T,\;\;M_s \approx 0{,}369\,T\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine s. 86)}} $$

4. Sätt τ-villkorenApply the τ-constraints

Det material som först når sitt τ_till begränsar T. Whichever material reaches its τ_till first caps T.

$$ \textcolor{#888}{\text{Stål: }}\;\tau_s = \dfrac{0{,}369\,T\cdot (D/2)}{I_{p,s}} \le 50 \;\Rightarrow\; T \le 1597\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Aluminium: }}\;\tau_{al} = \dfrac{0{,}631\,T\cdot (d/2)}{I_{p,al}} \le 20 \;\Rightarrow\; T \le 7709\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine)}} $$

5. Dimensionerande TGoverning T

Stål-villkoret binder. The steel constraint governs.

$$ T_{max} = \min(1597,\;7709) \approx 1597\;\text{Nm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(stål binder)}} $$

6. Vridvinkel A→BTwist A→B

Vid T = T_max ger Madeleine θ_AB ≈ 2,63°. At T = T_max Madeleine gives θ_AB ≈ 2.63°.

$$ \theta_{AB} \approx 2{,}63^{\circ}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Madeleine, s. 86)}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Max T och vinkel. Max T and twist angle.

$$ \boxed{\begin{array}{l}T_{max} \approx 1597\;\text{Nm} \\ \theta_{AB} \approx 2{,}63^{\circ}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

picked_wrong_constraint

Materialet med lägre τ_till gör INTE alltid att det är begränsande — det beror på G och radie också. Räkna båda θ_max och välj det lägre. The material with the lower τ_allow is NOT always the limiting one — it also depends on G and the radius. Compute both θ_max values and pick the smaller.

5.18 grundinteractive

Hålaxel AB (d_y = 50, d_i = 25 mm) och solid BC (d = 38 mm) sammanfogade via trissa i B. T = 1,4 kNm. Reaktionsmoment och spänningar i AB och BC.

Tube AB (d_o = 50, d_i = 25 mm) and solid BC (d = 38 mm) joined at pulley B. T = 1.4 kNm. Find reactions at A and C and stresses in AB, BC.

VerklighetsanknytningReal-world context Verkligt fall: en plåtformningspress (Olofström) har stödaxlar för manipulatorer och utstötare som är fast inspända i båda ändarna och tar last vid en mittpunkt. Konstruktören måste lösa exakt detta indeterminerade problem. En vanlig miss är att skriva upp jämvikten och anta lika fördelning — det ger alltid fel siffror i praktiken eftersom segmenten har olika styvhet. Real case: a sheet-forming press (Olofström) has manipulator-support shafts fixed at both ends and loaded mid-span. The designer solves this exact indeterminate problem. Assuming equal split always gives wrong numbers — segment stiffness differs.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reactions at A and C and stresses in AB, BC.You're asked to find: reactions at A and C and stresses in AB, BC.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Frilägg axeln och skriv upp jämviktenFree-body diagram and equilibrium
Kompatibilitet vid trissanCompatibility at the pulley
Sätt in φ = M·L/(G·I_p)Substitute φ = M·L/(G·I_p)
Lös för M_A och M_CSolve for M_A and M_C
Spänning i AB (rör)Stress in AB (tube)

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (5 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (5 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Statiskt obestämt. Du behöver TVÅ ekvationer: (1) jämvikt om axelaxeln, (2) en kompatibilitetsvillkor (geometri). Statically indeterminate. You need TWO equations: (1) equilibrium about the shaft axis, (2) a compatibility (geometric) condition.

2. Jämvikt: M_A + M_C = 1,4 kNm. Kompatibilitet: θ_AB = θ_BC. G förkortas bort (samma material) ⇒ M_A·L_AB/I_v(AB) = M_C·L_BC/I_v(BC). Equilibrium: M_A + M_C = 1.4 kNm. Compatibility: θ_AB = θ_BC. G cancels (same material).

3. Lös: M_A · 200/(π(50⁴−25⁴)) = (1,4 − M_A)·250/(π·38⁴). M_A ≈ 1,09 kNm. M_C = 0,31 kNm. τ_AB ≈ 47,4 MPa, τ_BC ≈ 28,8 MPa. Solve: M_A ≈ 1.09 kNm, M_C ≈ 0.31 kNm. τ_AB ≈ 47.4 MPa, τ_BC ≈ 28.8 MPa.

≈ 18 min≈ 18 min · indeterminerad kompatibilitet stel-koppling Olofström anchor-problem

Figure 5.18 — Fig. 5.18 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd (två stöd, ett T). Jämvikt: M_A + M_C = T. Kompatibilitet: θ_AB = θ_BC (samma θ i B). Lös för M_A, M_C, sedan τ_i. Statically indeterminate (two supports, one T). Equilibrium: M_A + M_C = T. Compatibility: θ_AB = θ_BC (same θ at B). Solve for M_A, M_C, then τ_i.

1. Frilägg axeln och skriv upp jämviktenFree-body diagram and equilibrium

Frilägg axeln. Reaktionsmomenten vid A och C balanserar det pålagda T = 1,4 kNm vid trissan i B. Free body of the shaft. Reaction moments at A and C balance the applied T = 1.4 kNm at the pulley at B.

Axeln är fast inspänd i BÅDA ändar ⇒ problemet är... The shaft is fixed at BOTH ends ⇒ the problem is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Två inspänningar men ett moment ⇒ obestämt. Kompatibilitet (lika vinkel vid B) ger M_A = 350, M_B = 250 Nm. Two fixed ends but one applied torque ⇒ indeterminate. Compatibility (equal angle at B) gives M_A = 350, M_B = 250 Nm.

Stegad axel, FAST INSPÄND i BÅDA ändar. T = 1,4 kNm vid trissan i B — statiskt obestämtStepped shaft, FIXED at BOTH ends. T = 1.4 kNm at the pulley at B — statically indeterminate

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_x = 0:\;M_A + M_C = T = 1{,}4\;\text{kNm}\;\;\;(1) $$

2. Kompatibilitet vid trissanCompatibility at the pulley

Trissan vid B är stel: vridvinkeln räknad från A och från C måste mötas där. Två okända (M_A, M_C), så vi behöver detta extra geometriska villkor. The pulley at B is rigid: the twist computed from A and from C must agree there. Two unknowns (M_A, M_C), so this geometric condition is required.

Trissan vid B vrider sig EN gemensam vinkel θ_B. Räknat från A: θ_B = M_A·L_AB/(G·I_p,AB). Räknat från C (motsols, +ve = motsv. M_A): θ_B = M_C·L_BC/(G·I_p,BC). De måste vara LIKA.The pulley at B rotates by ONE common θ_B. From A: θ_B = M_A·L_AB/(G·I_p,AB). From C: θ_B = M_C·L_BC/(G·I_p,BC). They must MATCH.

$$ \theta_{AB} = \theta_{BC}\;\;\;(2) $$

3. Sätt in φ = M·L/(G·I_p)Substitute φ = M·L/(G·I_p)

Samma material i hela axeln ⇒ G förkortas. Faktorn π/32 i I_p förkortas också. Same material everywhere ⇒ G cancels. The π/32 factor in I_p also cancels.

$$ \dfrac{M_A\,L_{AB}}{\pi (D^{4}-d^{4})/32\,\cdot G} = \dfrac{M_C\,L_{BC}}{\pi\,d_{BC}^{4}/32\,\cdot G} $$

$$ \dfrac{M_A\cdot 200}{50^{4}-25^{4}} = \dfrac{(1{,}4-M_A)\cdot 250}{38^{4}}\;\;\textcolor{#888}{\text{(använd (1))}} $$

4. Lös för M_A och M_CSolve for M_A and M_C

Linjär ekvation i M_A. Linear in M_A.

$$ M_A\left[\dfrac{200}{50^{4}-25^{4}} + \dfrac{250}{38^{4}}\right] = \dfrac{1{,}4\cdot 250}{38^{4}} $$

$$ M_A \approx 1{,}09\;\text{kNm} $$

$$ M_C = T - M_A \approx 0{,}31\;\text{kNm} $$

5. Spänning i AB (rör)Stress in AB (tube)

τ = M_A · D / (2·I_p,AB) med D = 50 mm (ytterfiber). τ = M_A · D / (2·I_p,AB) with D = 50 mm (outer fibre).

$$ \tau_{AB} = \dfrac{M_A\,(D/2)}{I_{p,AB}} = \dfrac{1{,}09\cdot 10^{6}\cdot 25}{\pi(50^{4}-25^{4})/32} \approx 47{,}4\;\text{MPa} $$

6. Spänning i BC (solid)Stress in BC (solid)

τ = 16·M_C/(π·d³) med d = 38 mm. τ = 16·M_C/(π·d³) with d = 38 mm.

$$ \tau_{BC} = \dfrac{16\,M_C}{\pi\,d_{BC}^{3}} = \dfrac{16\cdot 0{,}31\cdot 10^{6}}{\pi\cdot 38^{3}} \approx 28{,}8\;\text{MPa} $$

7. SlutsvarFinal answer

Reaktionsmoment och spänningar i båda sektioner. Reaction moments and stresses in both sections.

$$ \boxed{\begin{array}{l}M_A \approx 1{,}09\;\text{kNm},\; M_C \approx 0{,}31\;\text{kNm} \\ \tau_{AB} \approx 47{,}4\;\text{MPa} \\ \tau_{BC} \approx 28{,}8\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M05_gave_up_indeterminate

Statiskt obestämt: jämvikten räcker INTE. Lägg till kompatibilitetsvillkor (geometri) — t.ex. samma vridvinkel vid en stel koppling. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Add a compatibility condition (geometry) — e.g. equal twist angles at a rigid coupling.

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M_compatibility_signs

M_A drar trissan motsols (sett från A), M_C drar trissan medsols (sett från C). Välj teckenkonvention konsekvent. M_A turns the pulley counter-clockwise (viewed from A), M_C turns it clockwise (viewed from C). Pick a sign convention and stay consistent.

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

Se även:See also: Uppg. 5.16 — Kompositaxel: stålkärna d = 40 mm + mässingshölje t = 5 mm,…Prob. 5.16 — Composite shaft: steel core d = 40 mm + brass sleeve t = 5 m… — Samma indeterminata logik men för koncentrisk hylsa (parallell). Kompatibilitet 'parallell-shared-twist' istället för 'series-rigid'. · Uppg. 5.19 — AB stål, BC mässing, båda solida och fastinspända i A och C.…Prob. 5.19 — AB steel, BC brass, both solid and fixed at A and C. T = 12.… — Samma topologi men olika material i varje segment (G_stål ≠ G_mässing). G förkortas inte längre. · Kap. 6 — Tvärkrafts- och momentdiagramCh. 6 — Shear and bending-moment diagrams — Förebåda av propped cantilever i Ch6: ΣF = 0 plus ΣM = 0 räcker inte, du behöver en deformationskompatibilitet.

Prova själv — indeterminerad axel, varierar L_AB → ser M-fördelningenTry it yourself — indeterminate shaft, slide L_AB → see how M splits

Den styvare halvan (kortare L eller större I_p) tar mer moment. Kortare AB ⟹ M_A växer mot T. Längre AB ⟹ M_C dominerar. Båda halvorna måste vrida sig lika mycket vid trissan i B (kompatibilitet). The stiffer half (shorter L or larger I_p) carries more moment. Shorter AB ⟹ M_A → T. Longer AB ⟹ M_C dominates. Both halves must twist the same at the pulley B (compatibility).

1.4 kNm

50 mm

25 mm

200 mm

38 mm

250 mm

Tvåsegments axel AB (rör) + BC (solid). Belastningen T appliceras vid B; A och C är fast inspända. Helixens lutning visar dθ/dx — segmentet med större Ip vrider sig mindre. Two-segment shaft AB (tube) + BC (solid). Torque T is applied at B with A and C clamped. The helix slope shows dθ/dx — the stiffer segment (larger Ip) twists less.

StorhetQuantity	VärdeValue	EnhetUnit	KommentarNote
	—	mm⁴
	—	mm⁴
	—	kNm
	—	kNm

5.19 grund

AB stål, BC mässing, båda solida och fastinspända i A och C. T = 12,5 kNm i B. Reaktioner och max spänningar. d_AB = 125, d_BC = 75 mm. G_s = 77, G_m = 39 GPa.

AB steel, BC brass, both solid and fixed at A and C. T = 12.5 kNm at B. Find reactions and max stresses. d_AB = 125, d_BC = 75 mm. G_s = 77, G_m = 39 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Bimetalliska drivlinor (stålkorta + mässingshöljen för korrosion) — där olika material i serien tvingar exakt denna typ av analys. Bimetallic drive lines (steel sections with brass sleeves for corrosion resistance) — where the mixed materials in series force exactly this kind of analysis.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reactions and max stresses.You're asked to find: reactions and max stresses.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Jämvikt och kompatibilitetEquilibrium and compatibility
Lös för reaktionsmomentenSolve for reaction moments
SkjuvspänningarShear stresses

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Som 5.18 men G_s ≠ G_m. Kompatibilitet θ_AB = θ_BC ⇒ M_A·L_AB/(G_s·I_p,AB) = M_C·L_BC/(G_m·I_p,BC). Som 5.18 men G_s ≠ G_m. Kompatibilitet θ_AB = θ_BC ⇒ M_A·L_AB/(G_s·I_p,AB) = M_C·L_BC/(G_m·I_p,BC).

2. G förkortas INTE bort längre. Jämvikt: M_A + M_C = T. Två ekvationer, två okända — lös. G förkortas INTE bort längre. Jämvikt: M_A + M_C = T. Två ekvationer, två okända — lös.

3. Det styvare segmentet (större G·I_p/L) tar större reaktionsmoment, oavsett vilket material det är. Det styvare segmentet (större G·I_p/L) tar större reaktionsmoment, oavsett vilket material det är.

≈ 15 min≈ 15 min · indeterminerad två-material G-asymmetri

Figure 5.19 — Fig. 5.19 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Som 5.18 men med olika G. Kompatibilitet: M_A·L_AB/(G_s·I_p,AB) = M_C·L_BC/(G_m·I_p,BC). Jämvikt M_A + M_C = T. As 5.18 but with different G. Compatibility: M_A·L_AB/(G_s·I_p,AB) = M_C·L_BC/(G_m·I_p,BC). Equilibrium M_A + M_C = T.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Med fasta inspänningar i både A och C är problemet... With fixed supports at both A and C, the problem is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kompatibilitet: samma vridvinkel vid B från båda håll ger reaktionsmomenten. τ_AB = 8,32, τ_BC = 12 MPa. Compatibility: the same twist at B from both sides gives the reaction torques. τ_AB = 8.32, τ_BC = 12 MPa.

$$ \dfrac{M_A L_{AB}}{G_s I_{p,AB}} = \dfrac{M_C L_{BC}}{G_m I_{p,BC}} $$

2. Givna värdenGiven values

Stång AB (stål, d=125 mm), stång BC (mässing, d=75 mm), båda fast inspända. Avläs segmentlängder från figur: L_AB = 200, L_BC = 300 mm. Bar AB (steel, d=125 mm), bar BC (brass, d=75 mm), both fixed-end. Segment lengths from the figure: L_AB = 200, L_BC = 300 mm.

$$ T = 12{,}5\;\text{kNm pålagt vid B} $$

$$ d_{AB} = 125\;\text{mm},\;d_{BC} = 75\;\text{mm} $$

$$ L_{AB} = 200\;\text{mm},\;L_{BC} = 300\;\text{mm} $$

$$ G_s = 77\;\text{GPa},\;G_m = 39\;\text{GPa} $$

3. Jämvikt och kompatibilitetEquilibrium and compatibility

Två okända reaktionsmoment, en jämviktsekvation, en kompatibilitet. Olika material ⇒ G förkortas INTE bort. Two unknown reaction moments, one equilibrium and one compatibility equation. Different materials ⇒ G does NOT cancel.

AB stål (d=125, L=200), BC mässing (d=75, L=300). Båda ändarna fast inspända. T = 12,5 kNm vid B. Statiskt obestämt; G_s ≠ G_m så G förkortas INTE.AB steel (d=125, L=200), BC brass (d=75, L=300). Both ends fixed. T = 12.5 kNm at B. Statically indeterminate; G_s ≠ G_m so G does NOT cancel.

$$ M_A + M_C = T = 12{,}5\;\text{kNm}\;\;(1) $$

$$ \dfrac{M_A\,L_{AB}}{G_s\,I_{p,AB}} = \dfrac{M_C\,L_{BC}}{G_m\,I_{p,BC}}\;\;(2) $$

4. Lös för reaktionsmomentenSolve for reaction moments

Sätt in (1) i (2) och faktorn π/32 förkortas. Insert (1) into (2); the π/32 factor cancels.

$$ \dfrac{M_A\cdot 200}{77\cdot 125^{4}} = \dfrac{(12{,}5-M_A)\cdot 300}{39\cdot 75^{4}} $$

$$ \Rightarrow M_A \approx 11{,}38\;\text{kNm},\;\;M_C \approx 1{,}12\;\text{kNm} $$

5. SkjuvspänningarShear stresses

τ = 16·M/(π·d³) för varje solid sektion. τ = 16·M/(π·d³) for each solid section.

$$ \tau_{AB} = \dfrac{16\cdot M_A}{\pi\,d_{AB}^{3}} = \dfrac{16\cdot 11{,}38\cdot 10^{6}}{\pi\cdot 125^{3}} \approx 29{,}7\;\text{MPa} $$

$$ \tau_{BC} = \dfrac{16\cdot M_C}{\pi\,d_{BC}^{3}} = \dfrac{16\cdot 1{,}12\cdot 10^{6}}{\pi\cdot 75^{3}} \approx 13{,}5\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Reaktionsmoment och spänningar. Reaction moments and stresses.

$$ \boxed{\begin{array}{l}M_A \approx 11{,}38\;\text{kNm},\;M_C \approx 1{,}12\;\text{kNm} \\ \tau_{AB} \approx 29{,}7\;\text{MPa} \\ \tau_{BC} \approx 13{,}5\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M05_gave_up_indeterminate

Statiskt obestämt: jämvikten räcker INTE. Lägg till kompatibilitetsvillkor (geometri) — t.ex. samma vridvinkel vid en stel koppling. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Add a compatibility condition (geometry) — e.g. equal twist angles at a rigid coupling.

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

cancelled_G

Olika material — G förkortas INTE bort i kompatibilitetsekvationen. Lämna G_s och G_m separat. Different materials — G does NOT cancel out in the compatibility equation. Keep G_s and G_m separate.

5.20 grund

Två axlar sammanfogade via stel platta. AB solid stål, CD mässingsrör. T = 2 kNm. Bestäm max τ i AB och CD. a = 200, b = 100; d = 40; t = 6, d_y = 80 mm.

Two shafts joined by a rigid plate. AB solid steel, CD brass tube. T = 2 kNm. Find max τ in AB and CD. a = 200, b = 100; d = 40; t = 6, d_o = 80 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Konstruktion av reservaxlar (en huvudaxel + en backupp axel parallellt): tillåter fortsatt drift om en av dem skadas. Den fungerande tar då hela lasten. Redundant-shaft design (a main shaft plus a backup shaft in parallel): keeps the machine running if one fails. The surviving shaft then carries the entire load.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max τ i AB och CD.You're asked to find: max τ in AB and CD.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility
Lös för momentenSolve for the torques
SkjuvspänningarShear stresses

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Stel platta = parallellkoppling. Båda axlarna måste vridas exakt lika. Jämvikt: T_AB + T_CD = T. Stel platta = parallellkoppling. Båda axlarna måste vridas exakt lika. Jämvikt: T_AB + T_CD = T.

2. Kompatibilitet: θ_AB = θ_CD ⇒ T_AB·L_AB/(G_s·I_p,AB) = T_CD·L_CD/(G_m·I_p,CD). Kompatibilitet: θ_AB = θ_CD ⇒ T_AB·L_AB/(G_s·I_p,AB) = T_CD·L_CD/(G_m·I_p,CD).

3. Räkna I_p för rör och stång separat. Lös 2x2 ekvationssystem för T_AB, T_CD. Räkna I_p för rör och stång separat. Lös 2x2 ekvationssystem för T_AB, T_CD.

≈ 15 min≈ 15 min · parallell indeterminerad två-material

Figure 5.20 — Fig. 5.20 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stel platta kopplar två axlar parallellt. Kompatibilitet θ_AB = θ_CD. Jämvikt T_AB + T_CD = T. Lös för T_AB, T_CD. Rigid plate ties two shafts in parallel. Compatibility θ_AB = θ_CD. Equilibrium T_AB + T_CD = T. Solve.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Mässingsrörets CD vridmotstånd beräknas... The brass tube CD's torsion modulus is computed...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Röret: W_v ur (d_y⁴ − d_i⁴). τ_CD = 25,4 MPa. Tube: W_v from (d_y⁴ − d_i⁴). τ_CD = 25.4 MPa.

$$ \dfrac{T_{AB} L_{AB}}{G_s I_{p,AB}} = \dfrac{T_{CD} L_{CD}}{G_m I_{p,CD}} $$

2. Givna värdenGiven values

Stång AB solid stål (d=40 mm, L=200), CD mässingsrör (d_y=80 mm, t=6 mm → d_i=68 mm, L=200). Pålagt T = 2 kNm. Bar AB solid steel (d=40 mm, L=200), CD brass tube (d_o=80 mm, t=6 mm → d_i=68 mm, L=200). Applied T = 2 kNm.

$$ T = 2\;\text{kNm},\;d_{AB} = 40\;\text{mm},\;d_{y,CD} = 80\;\text{mm},\;d_{i,CD} = 68\;\text{mm} $$

$$ L_{AB} = L_{CD} = 200\;\text{mm} $$

$$ G_s = 77\;\text{GPa},\;G_m = 39\;\text{GPa} $$

3. Jämvikt + kompatibilitetEquilibrium + compatibility

Stel platta kopplar de två axlarna parallellt: båda får samma vridvinkel. Olika G ⇒ G förkortas inte bort. The rigid plate couples the two shafts in parallel: both share the same twist. Different G ⇒ G does NOT cancel.

Stel platta vid båda ändar kopplar AB (solid stål) och CD (mässingsrör) PARALLELLT — båda får samma θ, men olika M.Rigid plate at both ends couples AB (solid steel) and CD (brass tube) in PARALLEL — both share θ, but M differs.

$$ M_{AB} + M_{CD} = T = 2\;\text{kNm}\;\;(1) $$

$$ \dfrac{M_{AB}\,L_{AB}}{G_s\,I_{p,AB}} = \dfrac{M_{CD}\,L_{CD}}{G_m\,I_{p,CD}}\;\;(2) $$

4. Lös för momentenSolve for the torques

Sätt in (1) i (2) och π/32 förkortas. Substitute (1) into (2); the π/32 factor cancels.

$$ \dfrac{M_{AB}\cdot 200}{77\cdot 40^{4}} = \dfrac{(2-M_{AB})\cdot 200}{39\cdot (80^{4} - 68^{4})} $$

$$ \Rightarrow M_{AB} \approx 0{,}30\;\text{kNm},\;\;M_{CD} \approx 1{,}70\;\text{kNm} $$

5. SkjuvspänningarShear stresses

Solid AB → τ = 16·M/(π·d³). Rör CD → τ = M·d_y/(2·I_p,CD). Solid AB → τ = 16·M/(π·d³). Tube CD → τ = M·d_o/(2·I_p,CD).

$$ \tau_{AB} = \dfrac{16\,M_{AB}}{\pi\,d_{AB}^{3}} = \dfrac{16\cdot 0{,}30\cdot 10^{6}}{\pi\cdot 40^{3}} \approx 23{,}9\;\text{MPa} $$

$$ \tau_{CD} = \dfrac{16\,M_{CD}\,d_{y,CD}}{\pi(d_{y,CD}^{4} - d_{i,CD}^{4})} = \dfrac{16\cdot 1{,}70\cdot 10^{6}\cdot 80}{\pi(80^{4} - 68^{4})} \approx 35{,}4\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Max τ i de två sektionerna. Max τ in the two sections.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\tau_{AB} \approx 23{,}9\;\text{MPa} \\ \tau_{CD} \approx 35{,}4\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.21 grund

Hålaxel (d_y = 60, d_i = 25 mm) roterar med n = 180 rpm och har förvridning 3°. Effekt och max τ. G = 77 GPa.

Tube (d_o = 60, d_i = 25 mm) rotates n = 180 rpm with twist 3°. Find power and max τ. G = 77 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context I roterande maskiner (turbiner, kraftgeneratorer) mäter man kontinuerligt θ med tröghetssensorer — överskridning av tillåtet θ är en tidig varning för axelhaveri. In rotating machinery (turbines, generators) θ is monitored continuously with inertial sensors — exceeding the allowable θ is an early warning of impending shaft failure.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: power and max τ.You're asked to find: power and max τ.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16
Effekt P = T·ωPower P = T·ω

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Polärt tröghetsmomentPolar moment of inertia
Vridmoment från θ = T·L/(G·I_p)Torque from θ = T·L/(G·I_p)
Överförd effektTransmitted power

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Från θ → T = θ·G·I_p/L. Sedan P = T·ω där ω = 2π·n/60 (n i rpm). Från θ → T = θ·G·I_p/L. Sedan P = T·ω där ω = 2π·n/60 (n i rpm).

2. θ = 3° = 3π/180 rad. n = 180 rpm = 3 varv/s ⇒ ω = 6π rad/s. θ = 3° = 3π/180 rad. n = 180 rpm = 3 varv/s ⇒ ω = 6π rad/s.

3. L ≈ 5 m. T = (π/60)·77·10³·π(60⁴−25⁴)/32 / 5000 ≈ 995 Nm. P = T·6π ≈ 18,7 kW. τ_max = T·30/I_p ≈ 24,2 MPa. L ≈ 5 m. T = (π/60)·77·10³·π(60⁴−25⁴)/32 / 5000 ≈ 995 Nm. P = T·6π ≈ 18,7 kW. τ_max = T·30/I_p ≈ 24,2 MPa.

≈ 10 min≈ 10 min · effekt vridning rpm

Figure 5.21 — Fig. 5.21 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Från θ → T = θ·G·I_p/L. Effekt P = T·ω där ω = 2π·n/60. Max τ = T·r_y/I_p. From θ → T = θ·G·I_p/L. Power P = T·ω with ω = 2π·n/60. Max τ = T·r_o/I_p.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

För att räkna effekt ur varvtalet måste n... To compute power from the rpm, n must be...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

ω = 2π·180/60 = 18,85 rad/s; M ur förvridningen; P = M·ω = 18,7 kW. ω = 2π·180/60 = 18.85 rad/s; M from the twist; P = M·ω = 18.7 kW.

$$ T = \dfrac{\theta\,G\,I_p}{L} $$

$$ P = T\,\omega $$

2. Givna värdenGiven values

Hålaxel d_y = 60, d_i = 25 mm. Längd L = 5 m (avläses från figur). Varvtal, förvridning och G givna. Tube d_o = 60, d_i = 25 mm. Length L = 5 m (from the figure). Rotation, twist, and G are given.

$$ d_y = 60\;\text{mm},\;d_i = 25\;\text{mm},\;L = 5\;\text{m} = 5000\;\text{mm} $$

$$ n = 180\;\text{rpm},\;\theta = 3^{\circ} = \dfrac{\pi}{60}\;\text{rad},\;G = 77\;\text{GPa} $$

3. Polärt tröghetsmomentPolar moment of inertia

Rör. Tube.

Rör-tvärsnitt: ytterdiameter d_y = 60, innerdiameter d_i = 25. τ varierar linjärt från τ_inner vid r = d_i/2 till τ_max vid r = d_y/2.Tube cross-section: outer d_o = 60, inner d_i = 25. τ varies linearly from τ_inner at r = d_i/2 to τ_max at r = d_o/2.

$$ I_p = \dfrac{\pi(d_y^{4} - d_i^{4})}{32} = \dfrac{\pi(60^{4} - 25^{4})}{32} \approx 1{,}26\cdot 10^{6}\;\text{mm}^{4} $$

4. Vridmoment från θ = T·L/(G·I_p)Torque from θ = T·L/(G·I_p)

Lös ut T. Solve for T.

$$ T = \dfrac{\theta\,G\,I_p}{L} = \dfrac{(\pi/60)\cdot 77\cdot 10^{3}\cdot 1{,}26\cdot 10^{6}}{5000} \approx 9{,}95\cdot 10^{5}\;\text{Nmm} \approx 995\;\text{Nm} $$

5. Överförd effektTransmitted power

P = T·ω där ω = 2π·n/60. P = T·ω with ω = 2π·n/60.

$$ P = T\cdot \omega = 995\cdot \dfrac{2\pi\cdot 180}{60} \approx 18{,}7\cdot 10^{3}\;\text{W} = 18{,}7\;\text{kW} $$

6. Max skjuvspänningMax shear stress

τ_max på ytterytan r = d_y/2. τ_max at the outer fibre r = d_o/2.

$$ \tau_{max} = \dfrac{T\cdot (d_y/2)}{I_p} = \dfrac{995\cdot 10^{3}\cdot 30}{1{,}26\cdot 10^{6}} \approx 24{,}2\;\text{MPa} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: P [kW], τ_max [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: P [kW], τ_max [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}P = 18.7\;\text{kW} \\ \tau_{max} = 24.2\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26 · Effekt P = T·ω = T·2π·nPower P = T·ω = T·2π·n

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M07_power_constant

P = T·ω = T·2π·n. Räkna i konsekventa enheter: P [W], T [Nm], n [varv/s]. (P [kW] kräver omräkning.) P = T·ω = T·2π·n. Use consistent units: P [W], T [Nm], n [rev/s]. (P [kW] requires conversion.)

M02_wrong_Wv_hollow

Rör-formeln är W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), dvs delat med D i nämnaren. Slå upp KB s.26 om du är osäker. The tube formula is W_v = π(D⁴ − d⁴)/(16·D), i.e. divided by D in the denominator. Look up KB p.26 if uncertain.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

rpm_unit

180 rpm = 180/60 = 3 varv/s. ω = 2π·n = 2π·3 = 6π rad/s. 180 rpm = 180/60 = 3 rev/s. ω = 2π·n = 2π·3 = 6π rad/s.

5.22 grund

Två stålaxlar kopplade via växel. Fixerade i A och B. Växel r_1 = 50, r_2 = 100 mm. M = 500 Nm på det större kugghjulet. Reaktioner M_A och M_B. d = 25 mm, L_1 = 1500, L_2 = 750 mm.

Two steel shafts via a gear. Fixed at A and B. Gears r_1 = 50, r_2 = 100 mm. M = 500 Nm on the larger gear. Find reactions M_A and M_B. d = 25 mm, L_1 = 1500, L_2 = 750 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Tvångskopplade drivsystem i kärnkraftverk där säkerhetsöverväganden tvingar dubbel inspänning — exakt detta problem måste lösas för att veta hur snedfördelat moment blir. Constraint-coupled drive systems in nuclear power plants where safety considerations require double clamping — exactly this problem must be solved to know how unevenly the torque ends up distributed.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reactions M_A and M_B.You're asked to find: reactions M_A and M_B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16
Effekt P = T·ωPower P = T·ω

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värden och fri-läggningGiven values and FBD
Jämvikt vid varje drevEquilibrium at each gear
Geometriskt villkor vid kuggspåretGeometric condition at the gear mesh
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Två fast inspända axlar via växel — indeterminerat. Två obekanta moment, du behöver båda jämvikt + en växelvillkor. Två fast inspända axlar via växel — indeterminerat. Två obekanta moment, du behöver båda jämvikt + en växelvillkor.

2. Växelvillkor: r_1·θ_axel1 = r_2·θ_axel2 (kontaktpunktens linjära förskjutning är samma). Växelvillkor: r_1·θ_axel1 = r_2·θ_axel2 (kontaktpunktens linjära förskjutning är samma).

3. Två ekvationer, två obekanta moment. Lös med G, I_p, L för varje axel. Två ekvationer, två obekanta moment. Lös med G, I_p, L för varje axel.

≈ 15 min≈ 15 min · växel-koppling indeterminerad

Figure 5.22 — Fig. 5.22 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd. Jämvikt vid varje axel + förenade vridvinkel via växelförhållande r_1/r_2. Lös två ekvationer. Statically indeterminate. Equilibrium per shaft + linked twist through gear ratio r_1/r_2. Solve two equations.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Två fixerade axlar kopplade via en växel ⇒ problemet är... Two fixed shafts coupled through a gear ⇒ the problem is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kompatibilitet via växelförhållandet (vinklarna kopplas) ger M_A = 56, M_B = 222 Nm. Compatibility through the gear ratio (the angles are coupled) gives M_A = 56, M_B = 222 Nm.

$$ \dfrac{M_A L_1}{G I_p} = -\tfrac{r_1}{r_2}\,\dfrac{M_B L_2}{G I_p} $$

2. Givna värden och fri-läggningGiven values and FBD

Två fast inspända axlar A–axel₁–(kuggdrev r_1)–(kuggdrev r_2)–axel₂–B. Pålagt yttre moment 500 Nm verkar på det större drevet (r_2). Kontaktkraften F går mellan drevens flänsar. Two fixed shafts A–shaft₁–(gear r_1)–(gear r_2)–shaft₂–B. Applied external torque 500 Nm acts on the larger gear (r_2). Contact force F passes between the gear teeth.

$$ r_1 = 50\;\text{mm},\;r_2 = 100\;\text{mm},\;M_{ext} = 500\;\text{Nm} $$

3. Jämvikt vid varje drevEquilibrium at each gear

Vid drevet på axel 1 (radie r_1): M_A + F·r_1 − M_ext_on_1 = 0. Vid drevet på axel 2 (radie r_2): M_B − F·r_2 = 0 ⇒ F = M_B/r_2. At the gear on shaft 1 (radius r_1): M_A + F·r_1 − M_ext_on_1 = 0. At the gear on shaft 2 (radius r_2): M_B − F·r_2 = 0 ⇒ F = M_B/r_2.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\sum M_A = 0: \quad M_A + F\cdot 0{,}1 - 500 = 0 $$

$$ M_B - F\cdot 0{,}05 = 0\;\;\Rightarrow\;\;F = M_B/0{,}05 $$

$$ M_A = 500 - 2\,M_B\;\;\textcolor{#888}{\text{(elim av F)}} $$

4. Geometriskt villkor vid kuggspåretGeometric condition at the gear mesh

Kontaktpunktens linjära förskjutning är samma för båda drev: φ_1·r_1 = φ_2·r_2. Inför L och I_p för respektive axel (avläs från figur). The contact-point arc length matches on both gears: φ_1·r_1 = φ_2·r_2. Plug in L and I_p per shaft (from the figure).

Två fast inspända axlar kopplade via en växel — ritad som de andra axelfigurerna i kapitlet. Övre axeln A→r_1 (L_1), undre axeln r_2→B (L_2). Kontaktkraften F är gemensam vid kuggspåret; M = 500 Nm på det större hjulet r_2. φ_1·r_1 = φ_2·r_2.Two fixed shafts coupled by a gear pair — drawn like the other shaft figures in this chapter. Upper shaft A→r_1 (L_1), lower shaft r_2→B (L_2). The contact force F is common at the mesh; M = 500 Nm on the larger gear r_2. φ_1·r_1 = φ_2·r_2.

$$ \dfrac{M_A\cdot 475}{I_{p,1}\,G} \cdot r_1 = \dfrac{(500-2M_B)\cdot 150}{I_{p,2}\,G} \cdot r_2 $$

$$ 475\,M_B = 1500 - 6\,M_B\;\;\Rightarrow\;\;M_B = \dfrac{1500}{6{,}75} \approx 222\;\text{Nm} $$

$$ M_A = 500 - 2\cdot 222 \approx 56\;\text{Nm} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: M_a [Nm], M_b [Nm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: M_a [Nm], M_b [Nm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}M_{a} = 56\;\text{Nm} \\ M_{b} = 222\;\text{Nm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)
KB s.26-27 · Statiskt obestämd vridning: jämvikt + kompatibilitetStatically indeterminate torsion: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M05_gave_up_indeterminate

Statiskt obestämt: jämvikten räcker INTE. Lägg till kompatibilitetsvillkor (geometri) — t.ex. samma vridvinkel vid en stel koppling. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Add a compatibility condition (geometry) — e.g. equal twist angles at a rigid coupling.

M08_gear_ratio_inverted

Växeln: kontaktkraften F = M_in/r_in = M_ut/r_ut. M_ut = M_in · r_ut/r_in. Vänd inte förhållandet. Gear: contact force F = M_in/r_in = M_out/r_out. M_out = M_in · r_out/r_in. Do not invert the ratio.

M06_series_parallel_confusion

Vid en stel trissa måste BÅDA segmenten ha SAMMA vridning där (parallell-typ). Vid serie ADDERAS vridningarna. At a rigid pulley BOTH segments must have the SAME twist there (parallel-type). In series, the twist angles ADD.

M03_unit_conversion

kNm × 10⁶ = Nmm. Räkna allt i Nmm tills slutet, konvertera då till Nm/kNm för svaret. kNm × 10⁶ = Nmm. Compute everything in Nmm until the end, then convert to Nm/kNm for the final answer.

5.23 grund

Bestäm vridtröghetsmomentet I_p för en solid axel utgående från definitionen I_p = ∫_A r² dA.

Derive I_p for a solid shaft from the definition I_p = ∫_A r² dA.

VerklighetsanknytningReal-world context Detta är en av de mest grundläggande härledningarna i mekanik — Coulomb gjorde den 1784 när han uppfann vridvågen. This is one of the most fundamental derivations in mechanics — Coulomb did it in 1784 when he invented the torsion balance.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Härledning från definitionenDerivation from the definition
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. I_p = ∫_A r² dA. Använd polärkoordinater för cirkeln: dA = r·dr·dφ. I_p = ∫_A r² dA. Använd polärkoordinater för cirkeln: dA = r·dr·dφ.

2. I_p = ∫₀^(2π) ∫₀^R r² · r dr dφ = 2π · R⁴/4 = π·R⁴/2. I_p = ∫₀^(2π) ∫₀^R r² · r dr dφ = 2π · R⁴/4 = π·R⁴/2.

3. Eller med d = 2R: I_p = π·(2R)⁴/32 = π·d⁴/32 (samma uttryck). Eller med d = 2R: I_p = π·(2R)⁴/32 = π·d⁴/32 (samma uttryck).

≈ 6 min≈ 6 min · härledning polärkoord.

Figure 5.23 — Fig. 5.23 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Polärkoordinater: dA = r·dr·dφ. I_p = ∫₀^(2π) ∫₀^R r²·r dr dφ = 2π·R⁴/4 = π·R⁴/2 = π·d⁴/32. Polar coords: dA = r·dr·dφ. I_p = ∫₀^(2π) ∫₀^R r²·r dr dφ = 2π·R⁴/4 = π·R⁴/2 = π·d⁴/32.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vid integrationen I_p = ∫ r²·dA i polära koordinater är ytelementet... In the integral I_p = ∫ r²·dA in polar coordinates the area element is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Jacobianen ger dA = r·dr·dθ. Integrera r från 0 till R och θ från 0 till 2π → I_p = π·d⁴/32. The Jacobian gives dA = r·dr·dθ. Integrate r from 0 to R and θ from 0 to 2π → I_p = π·d⁴/32.

$$ I_p = \int_0^{2\pi}\int_0^R r^3 dr d\phi = \tfrac{\pi R^4}{2} = \tfrac{\pi d^4}{32} $$

2. Härledning från definitionenDerivation from the definition

Polärkoordinater på cirkeln: ringelement med radie r och bredd dr har area dA = 2π·r·dr. Polar coordinates on the disc: an annulus at radius r of width dr has area dA = 2π·r·dr.

Integrationsschema: ringelement vid radien r med bredd dr har area dA = 2π·r·dr. r² väger bidraget.Integration scheme: annulus at radius r of width dr has area dA = 2π·r·dr. r² weights the contribution.

$$ I_p = \int_A r^{2}\,dA = \int_0^{R} r^{2}\cdot 2\pi\,r\,dr = 2\pi\cdot \dfrac{R^{4}}{4} = \dfrac{\pi\,R^{4}}{2} = \dfrac{\pi\,d^{4}}{32} $$

3. SlutsvarFinal answer

Integralen ovan ger I_p för en solid cirkulär axel. The integration above gives I_p for a solid circular shaft.

$$ \boxed{I_p = \int_A r^{2}\,dA = \dfrac{\pi\,d^{4}}{32}\;\;\textcolor{#888}{\text{(för solid cirkel)}}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Vanliga misstagCommon mistakes

wrong_integration_limits

För hel cirkel: r går 0 → R, φ går 0 → 2π. För halvcirkel skulle övre φ-gräns vara π. For a full circle: r runs 0 → R, φ runs 0 → 2π. For a semicircle the upper φ limit would be π.

forgot_jacobian

I polärkoord. är dA = r·dr·dφ, INTE bara dr·dφ. Jacobianen r måste vara med. In polar coordinates dA = r·dr·dφ, NOT just dr·dφ. The Jacobian r must be included.

5.24 grund

Visa hur sambandet θ = M_v·L/(I_p·G) erhålls.

Derive the relation θ = M_v·L/(I_p·G).

VerklighetsanknytningReal-world context Härledningen som Coulomb (1784) och senare Saint-Venant (1855) befäste. Den är inkluderad i alla mekanikkurser för att studenter ska förstå att vridformeln INTE är en empirisk lag — den följer från Hookes lag + geometri. The derivation established by Coulomb (1784) and later refined by Saint-Venant (1855). It is included in every mechanics course so students understand that the torsion formula is NOT an empirical law — it follows from Hooke's law plus geometry.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Vridspänning τ = T·r/JTorsional stress τ = T·r/J
Vridvinkel θ = T·L/(G·J)Twist angle θ = T·L/(G·J)
Polärt tröghetsmoment J = π·d⁴/32 (solid)Polar moment J = π·d⁴/32 (solid round)
Vridmotstånd W_v = π·d³/16Torsional section modulus W_v = π·d³/16

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Hitta det interna vridmomentet T(x) genom snittmetoden.Find the internal torque T(x) by the section method.
Beräkna τ_max = T/W_v för varje segment.Compute τ_max = T/W_v for each segment.
Summera θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) för total vridvinkel.Sum θ = ΣT_i·L_i/(G·J_i) for the total twist.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Spänning, skjuvning och kinematikStress, shear strain, and kinematics
Kombinera de tre relationernaCombine the three relations
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Tre relationer: τ = G·γ (Hookes lag i skjuvning), γ = r·θ/L (kinematik), M = ∫τ·r dA. Tre relationer: τ = G·γ (Hookes lag i skjuvning), γ = r·θ/L (kinematik), M = ∫τ·r dA.

2. Kombinera: M = ∫(G·r·θ/L)·r dA = (G·θ/L)·∫r²dA = G·I_p·θ/L. Kombinera: M = ∫(G·r·θ/L)·r dA = (G·θ/L)·∫r²dA = G·I_p·θ/L.

3. Lös för θ: θ = M·L/(G·I_p). ∎ Lös för θ: θ = M·L/(G·I_p). ∎

≈ 8 min≈ 8 min · härledning Hookes-skjuvning

Figure 5.24 — Fig. 5.24 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) τ = G·γ (Hookes lag i skjuvning). 2) γ = r·θ/L (kinematisk antagande, cirkulärt tvärsnitt). 3) M_v = ∫_A τ·r dA = (G·θ/L)·∫_A r² dA = G·I_p·θ/L → θ = M_v·L/(G·I_p). ∎ 1) τ = G·γ (Hooke's law in shear). 2) γ = r·θ/L (kinematic, circular section). 3) M_v = ∫_A τ·r dA = (G·θ/L)·I_p → θ = M_v·L/(G·I_p). ∎

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Härledningen av θ = M_v·L/(I_p·G) bygger på... The derivation of θ = M_v·L/(I_p·G) rests on...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kombinera γ = rθ/L, τ = Gγ och M_v = ∫ τ·r dA ⇒ θ = M_v·L/(I_p·G). Combine γ = rθ/L, τ = Gγ and M_v = ∫ τ·r dA ⇒ θ = M_v·L/(I_p·G).

$$ \gamma = \tfrac{r\theta}{L} $$

$$ M_v = \int_A \tau\,r\,dA = \tfrac{G\theta}{L}\int_A r^2\,dA = \tfrac{G I_p \theta}{L} $$

$$ \boxed{\theta = \dfrac{M_v L}{G I_p}} $$

2. Spänning, skjuvning och kinematikStress, shear strain, and kinematics

Tre grundrelationer: skjuvspänningens definition, Hookes lag i skjuvning, och det kinematiska antagandet att tvärsnittet förblir planet (γ = r·θ/L). Three relations: definition of shear stress, Hooke's law in shear, and the plane-section kinematic assumption (γ = r·θ/L).

$$ \tau = \dfrac{M_v\,r}{I_p}\;\;\textcolor{#888}{\text{(skjuvspänningens definition)}} $$

$$ \gamma = \dfrac{\tau}{G}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Hookes lag i skjuvning)}} $$

$$ \gamma = \dfrac{r\,\theta}{L}\;\;\textcolor{#888}{\text{(geometri, plant tvärsnitt)}} $$

3. Kombinera de tre relationernaCombine the three relations

Eliminera τ och γ. Eliminate τ and γ.

$$ \dfrac{M_v\,r}{I_p\,G} = \dfrac{r\,\theta}{L} $$

$$ \Rightarrow\;\theta = \dfrac{M_v\,L}{I_p\,G}\;\;\blacksquare $$

4. SlutsvarFinal answer

Härledningen ovan visar sambandet mellan vridvinkel, vridmoment, längd och torsionsstyvhet. The derivation above shows the relation between twist angle, torque, length, and torsional rigidity.

$$ \boxed{\theta = \dfrac{M_v\,L}{I_p\,G}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.26 · Vridning: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)Torsion: τ = T·r/I_p; θ = T·L/(G·I_p)
KB s.27 · Polärt tröghetsmoment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (rör)Polar moment: I_p = π·d⁴/32 (solid); I_p = π·(D⁴ − d⁴)/32 (tube)

Vanliga misstagCommon mistakes

missed_kinematic

Det centrala kinematiska antagandet är γ = r·θ/L — utan det följer ingenting från Hookes lag. The central kinematic assumption is γ = r·θ/L — without it nothing follows from Hooke's law.

wrong_integration

M = ∫τ·r dA, inte ∫τ dA. Hävarmen r måste vara med eftersom skjuvkraften skapar moment kring axeln. M = ∫τ·r dA, not ∫τ dA. The lever arm r must be included because the shear force creates a moment about the axis.