⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version.⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚
Roliga fakta om inre krafter och momentFun facts about internal forces and moments2 stycken · klicka för att läsa
▶
🌊
1855ParisParis
Saint-Venants principSaint-Venant's principle
Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant löste 1855 problemet med skjuvflöde i en balk: τ = V·Q/(I·b). Hans princip — att lokala lastdistributionsdetaljer 'glö…Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant solved the beam shear-flow problem in 1855: τ = V·Q/(I·b). His principle — that local load-distribution details 'forge…
Läs mer →Read more →
🪛
1880StorbritannienUnited Kingdom
Spikförband och skjuvflödeNail joints and shear flow
I sammanspikade trä-I-balkar bestämmer skjuvflödet hur tätt spikarna ska sitta. Om q = 200 N/mm och varje spik tål 600 N, måste spikningen vara s = 600/200 = 3 …In built-up wooden I-beams the shear flow determines how closely nails must be spaced. If q = 200 N/mm and each nail can hold 600 N, spacing must be s = 600/200…
Läs mer →Read more →
·
Originallösningar — fullständig PDF (Madeleine Hermann) 🔒Original solutions — full PDF (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens fullständiga originallösningar (PDF).The author's complete original solutions (PDF).
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
— page 1 —
— page 2 —
— page 3 —
— page 4 —
— page 5 —
— page 6 —
— page 7 —
— page 8 —
— page 9 —
— page 10 —
— page 11 —
— page 12 —
— page 13 —
— page 14 —
— page 15 —
— page 16 —
— page 17 —
— page 18 —
10.1grund
Tre brädor spikas samman till en balk. Skjuvkraft per spik = 600 N. Bestäm största tillåtna tvärkraften om delning mellan spikraderna är s = 75 mm.
Three boards nailed into a beam. Each nail carries 600 N. Find the max transverse force if the nail-row spacing is s = 75 mm.
VerklighetsanknytningReal-world contextSammanspikade balkar (T-sektioner, I-sektioner) i timmerkonstruktioner förekommer överallt i lätta hus och scaffolding. Konstruktören väljer spikdelningen direkt från skjuvflödesberäkningen — tightare delning för områden nära stöd där tvärkraften är hög, glesare delning där V är liten. Modern OSB I-balkar (TJI) använder samma princip med limmade fogar istället.
💡 **Se även problem 20.3** — där dyker den här vridstångsformeln upp igen, men i en knäcknings-kontext: vridstången blir den ekvivalenta fjädern som stabiliserar en stel hävarm.
💡 **See also problem 20.3** — there the same torsion-bar formula returns in a buckling context: the torsion shaft becomes the equivalent spring stabilising a rigid lever.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: största tillåtna tvärkraften om delning mellan spikraderna är s = 75 mm.You're asked to find: the max transverse force if the nail-row spacing is s = 75 mm.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Skjuvflöde q = V·Q/I (N/m) — spikar och svetsarShear flow q = V·Q/I (N/m) — nails and welds
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Bestäm skjuvflödet q som spikarna kan ta uppBestäm skjuvflödet q som spikarna kan ta upp
Bestäm tvärsnittets I om dess egna tyngdpunktsaxelBestäm tvärsnittets I om dess egna tyngdpunktsaxel
Bestäm statiskt moment S för den del av tvärsnittet…Bestäm statiskt moment S för den del av tvärsnittet…
Vänd skjuvflödesformeln för att lösa för T_tillVänd skjuvflödesformeln för att lösa för T_till
Sätt inSätt in
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Två steg: (1) räkna ut skjuvflödet q från spikarnas kapacitet och delning: q = T_spik/s. (2) räkna ut T_till från skjuvflödesformeln baklänges: T_till = q·I/S. För steg 2 behöver du komposit-I och statiskt moment S för flänsen (delen ovanför skarven).Två steg: (1) räkna ut skjuvflödet q från spikarnas kapacitet och delning: q = T_spik/s. (2) räkna ut T_till från skjuvflödesformeln baklänges: T_till = q·I/S. För steg 2 behöver du komposit-I och statiskt moment S för flänsen (delen ovanför skarven).
3.T_till = 8 · 91,67·10⁶ / 562 500 ≈ 1304 N. Insikt: dimensionering av spikinfästningar handlar om att matcha q·s till spikens kapacitet. Tightare delning → högre balkkapacitet, linjärt skalat.T_till = 8 · 91,67·10⁶ / 562 500 ≈ 1304 N. Insikt: dimensionering av spikinfästningar handlar om att matcha q·s till spikens kapacitet. Tightare delning → högre balkkapacitet, linjärt skalat.
≈ 12 min≈ 12 min · skjuvflödespik-förbandsammanspikade-balkaranchor-problem
Fig. 10.1 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Skjuvflöde mellan brädor: q = V·Q/I. Per spikrad: F_spik = q·s. Sätt F_spik ≤ 600 → V ≤ 600·I/(s·Q). Beräkna Q som A·ȳ för det avskurna skiktet.Shear flow between boards: q = V·Q/I. Per nail row: F_nail = q·s. Set F_nail ≤ 600 → V ≤ 600·I/(s·Q). Compute Q as A·ȳ of the cut-off layer.
1. Bestäm skjuvflödet q som spikarna kan ta uppBestäm skjuvflödet q som spikarna kan ta upp
Spikarna fördelar belastningen längs skarven. Varje spik bär T_spik = 600 N med delning s = 75 mm.Bestäm skjuvflödet q som spikarna kan ta upp. Varje spik bär T_spik = 600 N, och spikarna är placerade med delningen s = 75 mm. Spikarna fördelar belastningen längs skarven
Skjuvflödet q som spikarna tar upp fås ur...The shear flow q the nails resist comes from...
50%
q = 600/75 = 8 N/mm. Sätt q = V·S/I och lös för V → V_till = 1304 N.q = 600/75 = 8 N/mm. Set q = V·S/I and solve for V → V_allow = 1304 N.
Sammanspikad I-balk (tvärsnitt): tre brädor med spik vid skarven mellan övre fläns och liv. Spikraden bär skjuvflödet q·s.Built-up I-beam (cross-section): three boards nailed at the top flange/web joint. The nail row carries shear flow q·s.
$$ q = T_{spik}/s = 600/75 = 8\;\text{N/mm} $$
2. Bestäm tvärsnittets I om dess egna tyngdpunktsaxelBestäm tvärsnittets I om dess egna tyngdpunktsaxel
Behandla T-sektionen som bounding-rektangeln 150×200 minus två 50×100-'hörn' på sidorna av flänsen.Bestäm tvärsnittets I om dess egna tyngdpunktsaxel. Behandla T-sektionen som en bounding-rektangel 150×200 (med höjden 200 från flänsens överkant till livets nederkant) minus två 50×100 'hörn' nere till sidorna av flänsen.
3. Bestäm statiskt moment S för den del av tvärsnittet…Bestäm statiskt moment S för den del av tvärsnittet…
Statiskt moment S för den del av tvärsnittet som ligger ovanför skarven (flänsen). Avstånd från flänsens egen tyngdpunkt till komposit-NL = 50 + 25 = 75 mm.Bestäm statiskt moment S för den del av tvärsnittet som ligger ovanför skarven — alltså flänsen. Avstånd från flänsens egen tyngdpunkt till komposit-NL = 50 (halva flänsens höjd) + 25 (halva flänsens tjocklek) = 75 mm
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-01_q_vs_tau_units
q (skjuvflöde) har enhet N/mm (kraft per längd), inte MPa. q·s ger N per spik; q/b ger MPa (skjuvspänning vid en specifik bredd).q (shear flow) has units N/mm (force per unit length), not MPa. q·s gives N per nail; q/b gives MPa (shear stress at a specific width).
M10-02_used_partial_I
I i q = T·S/I är hela sammansatta tvärsnittets I om dess egen tyngdpunktsaxel — INTE bara flänsen eller livet.The I in q = T·S/I is the I of the entire composite cross-section about its own centroidal axis — NOT just the flange or the web.
M10-S-decomposition_S_for_part_above_cut
S = A_del · ȳ_del där 'del' är den ENA SIDAN av snittet (typiskt flänsen ovanför skarven). Använd inte hela tvärsnittet.S = A_part · ȳ_part where 'part' is ONE SIDE of the cut (typically the flange above the joint). Do not use the entire cross-section.
Tre brädor hopspikade till en balk. s = 75 mm, F_till = 400 N per spik, w = 120 mm. Bestäm V_max.
Three boards nailed together. s = 75 mm, F_allow = 400 N per nail, w = 120 mm. Find V_max.
VerklighetsanknytningReal-world contextNär man väljer mindre spikar/skruvar (sparar materialkostnad) sjunker V_max — det är en designtradeoff mellan förbindare-vikt och balk-kapacitet.
💡 **Se även problem 11.2** — kombinerad N+M+V analyseras med Mohr's cirkel + von Mises.💡 **See also problem 11.2** — combined N+M+V is analysed via Mohr's circle + von Mises.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: V_max.You're asked to find: V_max.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Skjuvflöde q = V·Q/I (N/m) — spikar och svetsarShear flow q = V·Q/I (N/m) — nails and welds
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givet — spikar och geometriGiven — nails and geometry
Skjuvflöde som spikarna får ta uppShear flow the nails must carry
Statiskt moment S för skiktet ovanför skarvenFirst moment S of the layer above the joint
Tröghetsmoment I för hela tvärsnittetMoment of inertia I of the full section
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Som 10.1 men nu F_spik = 400 N. Ny q_max.Som 10.1 men nu F_spik = 400 N. Ny q_max.
2.q_max = 400/75 = 5,33 N/mm. Räkna Q och I från geometrin (w = 120 mm).q_max = 400/75 = 5,33 N/mm. Räkna Q och I från geometrin (w = 120 mm).
3.V_max = q_max·I/Q.V_max = q_max·I/Q.
≈ 8 min≈ 8 min · spik-förbanddesign-tradeoff
Fig. 10.2 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Samma metod som 10.1. Beräkna Q för det avskurna skiktet (typiskt övre brädan). V_max = F_till·I/(s·Q).Same method as 10.1. Compute Q for the cut-off layer (typically the upper board). V_max = F_allow·I/(s·Q).
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler.Identify given quantities and the relevant formulas.
I formeln q = V·S/I är S (arealmomentet)...In q = V·S/I, S (the first moment of area) is...
50%
S = A'·ȳ' för det avskilda området ovanför fogen. V_till = 737 N.S = A'·ȳ' for the cut-off area beyond the joint. V_allow = 737 N.
Tvärsnitt: tre hopspikade brädor (mittbrädan 200 mm bred, topp/botten w = 120 mm). Spiken bär skjuvflödet q·s.Cross-section: three nailed boards (middle board 200 mm wide, top/bottom w = 120 mm). The nail row carries shear flow q·s.
$$ V_{max} = \dfrac{F_{till}\,I}{s\,Q} $$
2. Givet — spikar och geometriGiven — nails and geometry
Tre brädor spikas till en balk. Tillåten kraft per spik F_till = 400 N. Delning mellan spikrader s = 75 mm. Övre brädan har bredd w = 120 mm och tjocklek 60 mm.Three boards nailed together. Allowable force per nail F_allow = 400 N. Nail-row pitch s = 75 mm. Top board width w = 120 mm and thickness 60 mm.
$$ F_{till} = 400\;\text{N},\quad s = 75\;\text{mm},\quad w = 120\;\text{mm} $$
3. Skjuvflöde som spikarna får ta uppShear flow the nails must carry
Tillåtet skjuvflöde i skarven: kraften per spik delad med delningen.Allowable shear flow at the joint: force per nail divided by the pitch.
4. Statiskt moment S för skiktet ovanför skarvenFirst moment S of the layer above the joint
S beräknas för den del av tvärsnittet som ligger ovanför skarven (övre brädan, area 120·60, tyngdpunktsavstånd 60 mm till komposit-NL).S is the first moment of the area above the joint (top board, area 120·60, centroid 60 mm from the composite NA).
5. Tröghetsmoment I för hela tvärsnittetMoment of inertia I of the full section
Komposit-I = bredaste rektangelns I plus två tunnare flänsbidrag via Steiners sats (KB s.19).Composite I = wide-rectangle I plus two narrower-flange contributions via the parallel-axis theorem (KB p.19).
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-01_shear_flow_units
Skjuvflöde q = V·Q/I har enhet N/mm (kraft per längd). Per spik: F_spik = q·s (där s = delning).Shear flow q = V·Q/I has units N/mm (force per unit length). Per nail: F_nail = q·s (where s = pitch).
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
10.3grund
I-balk förstärks med två plattjärn. Skruvar d = 20 mm, s = 120 mm, τ_till = 90 MPa. Bestäm V_max.
I-beam reinforced with two flat bars. Bolts d = 20 mm, s = 120 mm, τ_allow = 90 MPa. Find V_max.
VerklighetsanknytningReal-world contextFörstärkta I-balkar med pålagda plattjärn (svensk benämning 'composite strenghtening') är vanligt i stålbroar. Skjuvflödet bestämmer skruvtätheten.Reinforced I-beams with bolted-on flat bars ('composite strengthening') are common in steel bridges. The shear flow sets the bolt spacing.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: V_max.You're asked to find: V_max.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Per skruvrad: F_skruv = q·s. Skjuvkraft begränsad av skruvens skjuvyta: F_skruv ≤ τ_till·π·d²/4. Lös för V.Per bolt row: F_bolt = q·s. Bolt limited by shear area: F_bolt ≤ τ_allow·π·d²/4. Solve for V.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in.Identify given quantities and the relevant formulas.
Skjuvflödet vid skarven fås ur...The shear flow at the joint comes from...
I-balk förstärkt med två plattjärn skruvade vid skarven. Skruv-skjuvning F_skruv = q·s ≤ τ_till·π·d²/4. d = 20, s = 120, τ_till = 90.I-beam reinforced with two flat bars bolted at the joint. Bolt-shear F_bolt = q·s ≤ τ_allow·π·d²/4. d = 20, s = 120, τ_allow = 90.
2. Givet — skruvar, plattjärn och I-balkGiven — bolts, flat bars and I-beam
I-balk I 300 förstärks ovan- och underifrån med två plattjärn 200×16 mm. Skarven hålls av skruvar i två rader med d = 20 mm, delning s = 120 mm. Tillåten skjuvspänning τ_till = 90 MPa.An I 300 beam is reinforced top and bottom with two 200×16 mm flat bars. The joint is held by two rows of bolts d = 20 mm at pitch s = 120 mm. Allowable shear stress τ_allow = 90 MPa.
$$ d = 20\;\text{mm},\quad s = 120\;\text{mm},\quad \tau _{till} = 90\;\text{MPa} $$
6. Statiskt moment S för plattjärnet ovanför skarvenFirst moment S of the flat bar above the joint
Plattjärnets tyngdpunkt ligger a_1 = 300/2 + 16/2 = 158 mm från balkens NL. Area A_1 = 200·16 mm².The flat bar's centroid is a_1 = 300/2 + 16/2 = 158 mm from the beam NA. Area A_1 = 200·16 mm².
7. Effektivt tröghetsmoment för sammansatt tvärsnittEffective moment of inertia of the composite section
Komposit-I = I_x (I 300) + två plattjärn via Steiners sats (KB s.19).Composite I = I_x of the I 300 plus two flat bars via the parallel-axis theorem (KB p.19).
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-01_shear_flow_units
Skjuvflöde q = V·Q/I har enhet N/mm (kraft per längd). Per spik: F_spik = q·s (där s = delning).Shear flow q = V·Q/I has units N/mm (force per unit length). Per nail: F_nail = q·s (where s = pitch).
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
10.4grund
Två HE140M skruvas ihop med M16-skruvar (d = 16 mm), s = 150 mm, τ_till = 75 MPa. Bestäm V_max.
Two HE140M bolted together with M16 (d = 16 mm), s = 150 mm, τ_allow = 75 MPa. Find V_max.
VerklighetsanknytningReal-world contextTvå-HE-balkar parallellt — typiskt i tunga kranbroar och industribyggnader för att dela last och minska deformation. Skjuvflöde-analysen styr skruvval.Twin HE-beams in parallel — typical in heavy crane runways and industrial buildings to share the load and reduce deflection. The shear-flow analysis drives the bolt selection.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: V_max.You're asked to find: V_max.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
3.V_max = F_skruv,max·I/(Q·s). Q på halva sammansatta profilen.V_max = F_skruv,max·I/(Q·s). Q på halva sammansatta profilen.
≈ 12 min≈ 12 min · HE-balkM16rygg-mot-rygg
Fig. 10.4 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Samma som 10.3 — skjuvflöde där fogen sitter, F_skruv = q·s ≤ τ_till·π·d²/4. Q beräknas på halva sammansatta profilen.Same as 10.3 — shear flow at the joint, F_bolt = q·s ≤ τ_allow·π·d²/4. Q computed on half of the built-up profile.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in.Identify given quantities and the relevant formulas.
Skjuvflödet som skruvarna tar upp är...The shear flow the bolts resist is...
Två HE140M skruvade ihop med M16-bultar (d=16) vid skarven, s=150 mm, τ_till=75 MPa.Two HE140M bolted with M16 bolts (d=16) at the joint, s=150 mm, τ_allow=75 MPa.
2. Givet — två HE 140 M och M16-skruvarGiven — two HE 140 M sections and M16 bolts
Två HE 140 M-profiler skruvas ihop med M16 (d = 16 mm) i två rader, delning s = 150 mm. Tillåten skjuvspänning i skruven τ_till = 75 MPa.Two HE 140 M sections are bolted together with M16 (d = 16 mm) in two rows at pitch s = 150 mm. Allowable shear stress in the bolt τ_allow = 75 MPa.
$$ d = 16\;\text{mm},\quad s = 150\;\text{mm},\quad \tau _{till} = 75\;\text{MPa} $$
3. HE 140 M tvärsnittsdata (KB s.68)HE 140 M cross-section properties (KB p.68)
Slå upp HE 140 M i KB s.68: area, tröghetsmoment och total höjd H (för avståndet från skarven till profilens tyngdpunkt).Look up HE 140 M in KB p.68: area, moment of inertia, and overall height H (for the distance from the joint to the section centroid).
$$ A = 80{,}6\;\text{cm}^{2} = 80{,}6\cdot 10^{2}\;\text{mm}^{2} $$
6. Statiskt moment S för den ena profilenFirst moment S of one HE section
Skarven ligger mellan profilerna; halvsektionen är en hel HE 140 M med tyngdpunkt H/2 = 80 mm från skarven.The joint lies between the two sections; the half-cut is one full HE 140 M whose centroid is H/2 = 80 mm from the joint.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-01_shear_flow_units
Skjuvflöde q = V·Q/I har enhet N/mm (kraft per längd). Per spik: F_spik = q·s (där s = delning).Shear flow q = V·Q/I has units N/mm (force per unit length). Per nail: F_nail = q·s (where s = pitch).
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
M10-04_vM_skipped
Vid kombinerad σ och τ, beräkna σ_vM = √(σ² + 3τ²) som jämförelse mot σ_y. Bara σ ENSAMT är inte komplett.Under combined σ and τ, compute σ_vM = √(σ² + 3τ²) for comparison against σ_y. σ ALONE is not complete.
10.5grundinteractive
Balksnitt med M_b = −140 kNm och T = 200 kN. Bestäm a) max σ; b) τ i A; c) max τ.
Beam section with M_b = −140 kNm and T = 200 kN. Find a) max σ; b) τ at A; c) max τ.
VerklighetsanknytningReal-world contextIndustriella stålbalkar (I-balkar) i kranbanor, bro-kantbalkar och fabriksstommar måste klara båda σ och τ samtidigt — designkontrollen är en typisk dubbelkontroll, ofta tabulerad i KB och stålbyggnadsnormer. σ peakar vid ytterfibern, τ vid NL — det är därför stålbalkar har TJOCKA flänsar (för M) och TJOCKA liv (för V).Industrial steel beams (I-beams) in crane runways, bridge edge-beams, and factory frames must carry both σ and τ at once — the design check is a typical dual check, often tabulated in KB and steel-construction codes. σ peaks at the outer fibre, τ at the NA — which is why steel beams have THICK flanges (for M) and THICK webs (for V).
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: a) max σ; b) τ i A; c) max τ.You're asked to find: a) max σ; b) τ at A; c) max τ.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Kombinerad σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)Combined σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Bestäm tvärsnittets I om x-axelnBestäm tvärsnittets I om x-axeln
(a) σ_max vid ytterfibern(a) σ_max vid ytterfibern
(b) τ vid punkt A i livet just under flänsen(b) τ vid punkt A i livet just under flänsen
τ_A med b = 9.4 (livets bredd)τ_A med b = 9.4 (livets bredd)
(c) τ_max vid neutrallinjen(c) τ_max vid neutrallinjen
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Tre kontroller på olika platser i tvärsnittet: (a) σ_max vid ytterfibern (där M·y/I är störst), (b) τ vid en specifik punkt A, (c) τ_max på neutralaxeln (där Q är störst).Tre kontroller på olika platser i tvärsnittet: (a) σ_max vid ytterfibern (där M·y/I är störst), (b) τ vid en specifik punkt A, (c) τ_max på neutralaxeln (där Q är störst).
2.σ_max = M·y_max/I. För τ använd τ = V·Q/(I·b) — räkna Q som det statiska momentet av tvärsnittet ovanför aktuellt y-snitt. På NL: Q_max = (övre flänsen + halva livet). Vid annan punkt: bara den del av tvärsnittet som ligger ovanför den punkten.σ_max = M·y_max/I. För τ använd τ = V·Q/(I·b) — räkna Q som det statiska momentet av tvärsnittet ovanför aktuellt y-snitt. På NL: Q_max = (övre flänsen + halva livet). Vid annan punkt: bara den del av tvärsnittet som ligger ovanför den punkten.
3.σ_max ≈ 145 MPa (vid ytterfibern). τ_A ≈ 83,7 MPa (vid given punkt). τ_max ≈ 92,2 MPa (på NL). Insikt: σ och τ peakar på OLIKA platser. Var noga med att kontrollera båda.σ_max ≈ 145 MPa (vid ytterfibern). τ_A ≈ 83,7 MPa (vid given punkt). τ_max ≈ 92,2 MPa (på NL). Insikt: σ och τ peakar på OLIKA platser. Var noga med att kontrollera båda.
≈ 15 min≈ 15 min · I-balkσ-och-τkontrollera-bådaanchor-problem
Fig. 10.5 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
σ från böjning: σ = M·y/I. τ från tvärkraft: τ = V·Q/(I·b). Max τ ligger på neutralaxeln där Q är störst.σ from bending: σ = M·y/I. τ from shear: τ = V·Q/(I·b). Max τ at the neutral axis where Q is largest.
1. Bestäm tvärsnittets I om x-axelnBestäm tvärsnittets I om x-axeln
Behandla I-formen som bounding-rektangeln 255×256 minus två 122{,}8×224{,}8-'hörn'.Bestäm tvärsnittets I om x-axeln. Behandla I-formen som bounding-rektangeln 255×256 minus två 'hörn' av storlek 122.8×224.8
Var i tvärsnittet är skjuvspänningen τ störst?Where in the cross-section is the shear stress τ largest?
50%
τ = V·S/(I·b) är störst vid NL (där S är störst); σ är störst vid ytterfibern. τ_max = 92,2 MPa.τ = V·S/(I·b) is largest at the NA (where S is largest); σ is largest at the outer fibre. τ_max = 92.2 MPa.
I-balk 255×256, livets tjocklek 9,4 mm, flänsarnas 15,6 mm. σ_max peakar vid ytterfiber, τ_max på NLI-beam 255×256, web thickness 9.4 mm, flange thickness 15.6 mm. σ_max at outer fibre, τ_max at NL
3. (b) τ vid punkt A i livet just under flänsen(b) τ vid punkt A i livet just under flänsen
(b) τ vid punkt A i livet just under flänsen. Statiskt moment S_A: hela flänsen (centroid 120{,}2 mm från NL) plus en del av livet (9{,}4 mm hög × 9{,}4 mm bred).(b) τ vid punkt A i livet just under flänsen. Beräkna statiskt moment S_A: hela flänsen (centroid 120.2 mm från NL) plus en del av livet (9.4 mm hög × 9.4 mm bred)
5. (c) τ_max vid neutrallinjen(c) τ_max vid neutrallinjen
(c) τ_max vid neutrallinjen. S_NL inkluderar hela övre flänsen plus övre halva livet.(c) τ_max vid neutrallinjen. S_NL inkluderar hela övre flänsen plus övre halva livet
Insikt: σ_max och τ_max ligger på olika platser. Von Mises σ_e vid NL kan överskrida σ_max vid ytterfibern, trots σ = 0 där.Insikt: σ_max och τ_max är på olika platser. Om man räknar von Mises σ_e för båda punkterna ger NL faktiskt högre σ_e än ytterfibern, trots σ = 0 där.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-03_max_tau_at_NL
τ_max ligger på NEUTRALAXELN för symmetriska tvärsnitt — där S är störst. INTE vid ytterfibern (där S = 0).τ_max lies on the NEUTRAL AXIS for symmetric cross-sections — where S is largest. NOT at the outer fiber (where S = 0).
M10-S-decomposition_S_for_part_above_cut
S = A_del · ȳ_del där 'del' är den ENA SIDAN av snittet (typiskt flänsen ovanför skarven). Använd inte hela tvärsnittet.S = A_part · ȳ_part where 'part' is ONE SIDE of the cut (typically the flange above the joint). Do not use the entire cross-section.
M10-05_S_at_outer_fiber
Vid en YTTERFIBER: S = 0 (det finns inget material ovanför kanten). Därför τ_transverse = 0 där. Stress där är ren böjning + ev. axial.At an OUTER FIBER: S = 0 (no material above the edge). Therefore τ_transverse = 0 there. Stress at that point is pure bending + any axial.
M10-06_M_sign_in_combined_loading
σ_M har OLIKA tecken på drag- och tryckfiberna. Vid ytterfibern på dragsidan: +M/W. På trycksidan: −M/W. Räkna båda separat.σ_M has DIFFERENT signs on the tension and compression fibers. At the outer fiber on the tension side: +M/W. On the compression side: −M/W. Compute both separately.
Prova själv — I-balk under M + V, ändra dimensioner och se σ_max och τ_maxTry it yourself — I-beam under M + V, change dimensions and see σ_max and τ_max
σ_max sker vid ytterfibern, τ_max vid neutralaxeln. Tjockare fläns ⟹ större I ⟹ mindre σ. Tunnare liv ⟹ mindre I·b i nämnaren ⟹ STÖRRE τ. Båda kontrollerna är oberoende.σ_max at outer fibre, τ_max at the neutral axis. Thicker flange → larger I → smaller σ. Thinner web → smaller I·b in denominator → LARGER τ. Two independent checks.
140 kNm
200 kN
256 mm
255 mm
9.4 mm
15.6 mm
StorhetQuantity
VärdeValue
EnhetUnit
KommentarNote
—
mm⁴
—
MPa
—
mm³
—
MPa
10.6grund
HE240A belastad enligt figur. a) max M och max V; b) max σ; c) max τ.
HE240A loaded per figure. a) max M and max V; b) max σ; c) max τ.
VerklighetsanknytningReal-world contextHE-profil + komplex last — den vanligaste lastbärande balken i industribyggnader. Båda σ och τ verifieras parallellt.HE-profile + complex loading — the most common load-bearing beam in industrial buildings. Both σ and τ are verified in parallel.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Sätt upp lösningenSet up the solution
TvärsnittsdataCross-section properties
Stödreaktioner (tre punktlaster)Support reactions (three point loads)
B_y och A_yB_y and A_y
Tvärkraftsdiagram V(x)Shear diagram V(x)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.HE240A. Snitta för M_max och V_max via Ch6-tekniker.HE240A. Snitta för M_max och V_max via Ch6-tekniker.
2.σ_max = M_max/W_x. τ_max = V_max·Q_max/(I·b_NL) — slå upp Q i tabell.σ_max = M_max/W_x. τ_max = V_max·Q_max/(I·b_NL) — slå upp Q i tabell.
3.Båda kontroller måste vara inom tillåtna gränser.Båda kontroller måste vara inom tillåtna gränser.
≈ 12 min≈ 12 min · HE240Atabellvärden
Fig. 10.6 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Snitta för M och V. σ_max = M_max/W_x. τ_max = V_max·Q_max/(I·b) — på neutralaxeln för bredflänsad profil. Slå upp Q i KB.Section for M and V. σ_max = M_max/W_x. τ_max = V_max·Q_max/(I·b) — at the neutral axis for a wide-flange profile. Look up Q in KB.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in.Identify given quantities and the relevant formulas.
Maxspänningen σ och maxskjuvningen τ uppträder...The maximum σ and the maximum τ occur...
50%
σ_max vid ytterfibern (132,7 MPa), τ_max vid neutrallagret (81,8 MPa).σ_max at the outer fibre (132.7 MPa), τ_max at the neutral axis (81.8 MPa).
HE240A under tre punktlaster (60, 60, 120 kN). Snittmetoden ger M_max + V_max. σ_max = M_max/W_x, τ_max = V_max·Q/(I·b) på NL.HE240A under three point loads (60, 60, 120 kN). Section method → M_max + V_max. σ_max = M_max/W_x, τ_max = V_max·Q/(I·b) at NL.
3. Stödreaktioner (tre punktlaster)Support reactions (three point loads)
Last enligt figur: P_C = 60 kN vid x_C = 0{,}4 m, P_D = 60 kN vid x_D = 0{,}8 m, P_E = 120 kN vid x_E = 2{,}2 m. Spannet A–B är L = 3{,}0 m. Pinne i A, rulle i B. Inga utbredda laster.Loads from figure: P_C = 60 kN at x_C = 0.4 m, P_D = 60 kN at x_D = 0.8 m, P_E = 120 kN at x_E = 2.2 m. Span A–B is L = 3.0 m. Pin at A, roller at B. No distributed loads.
Lös ut B_y ur momentekvationen kring A, sedan A_y ur vertikal jämvikt.Solve B_y from the moment equation about A, then A_y from vertical equilibrium.
$$ B_y = 336/3{,}0 = 112\;\text{kN} $$
$$ A_y = 240 - 112 = 128\;\text{kN} $$
5. Tvärkraftsdiagram V(x)Shear diagram V(x)
V är styckvis konstant mellan punktlasterna och hoppar nedåt vid varje last.V is piecewise constant between point loads. Drops down at each load.
$$ 0 \le x < 0{,}4:\;\; V = +A_y = 128\;\text{kN} $$
$$ 0{,}4 < x < 0{,}8:\;\; V = 128 - 60 = 68\;\text{kN} $$
$$ 0{,}8 < x < 2{,}2:\;\; V = 68 - 60 = 8\;\text{kN} $$
$$ 2{,}2 < x < 3{,}0:\;\; V = 8 - 120 = -112\;\text{kN} $$
$$ V_{max} = T_{max} = 128\;\text{kN} \;\text{(precis till höger om A)} $$
6. Momentdiagram M(x) och M_maxMoment diagram M(x) and M_max
M är styckvis linjär (eftersom V är styckvis konstant). Toppar uppträder vid lastpunkterna. Eftersom V byter tecken mellan E och B ligger M_max vid E (x = 2{,}2 m).M is piecewise linear (since V is piecewise constant). Peaks occur at load points. Because V changes sign between E and B, M_max is at E (x = 2.2 m).
Använd V_max = 128 kN, statiskt moment S ≈ 372 cm³ (KB-tabell HE240A) över neutralaxeln, livtjocklek b = t_w ≈ 7{,}5 mm.Use V_max = 128 kN, first moment S ≈ 372 cm³ (KB table HE240A) above the neutral axis, web thickness b = t_w ≈ 7.5 mm.
Slutsvar. Värdena gäller för korrekt last (tre punktlaster — INGEN utbredd last).The question asks for: M_max [kN·m], V_max [kN], σ_max [MPa], τ_max [MPa]. Values are for the correct loading (three point loads — NO distributed load).
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-03_max_tau_location
τ_max ligger på NEUTRALAXELN för symmetriska tvärsnitt — där Q är störst. INTE vid ytterfibern.τ_max lies on the NEUTRAL AXIS for symmetric cross-sections — where Q is largest. NOT at the outer fiber.
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
M10-04_vM_skipped
Vid kombinerad σ och τ, beräkna σ_vM = √(σ² + 3τ²) som jämförelse mot σ_y. Bara σ ENSAMT är inte komplett.Under combined σ and τ, compute σ_vM = √(σ² + 3τ²) for comparison against σ_y. σ ALONE is not complete.
10.7grund
HE400A enligt figur. a) max M och V; b) max σ; c) max τ.
HE400A per figure. a) max M and V; b) max σ; c) max τ.
VerklighetsanknytningReal-world contextHE400A är en av de tunga byggprofilerna — typiskt 1.5-2 m långa balkar i hallar och fabriksbyggnader.HE400A is one of the heavy structural profiles — typically 1.5-2 m long beams in halls and factory buildings.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
ReaktionerReactions
T-diagrammetV-diagram
M-diagrammet och M_maxM-diagram and M_max
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.HE400A — större profil. Samma analys som 10.6 med större I + W.HE400A — större profil. Samma analys som 10.6 med större I + W.
2.M_max, V_max från jämvikt. σ och τ från standardformler.M_max, V_max från jämvikt. σ och τ från standardformler.
3.Större profil ⇒ lägre spänningar för samma last.Större profil ⇒ lägre spänningar för samma last.
≈ 10 min≈ 10 min · HE400A
Fig. 10.7 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Samma metod som 10.6 med HE400A från KB-tabell.Same method as 10.6 with HE400A from the KB table.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
En enkelt-uppstadd balk med både punktlast och utbredd last. Lösningsschema: (1) reaktioner via jämvikt, (2) T- och M-diagram för att hitta M_max och T_max, (3) spänningar via tvärsnittsdata för HE400A.Simply-supported beam with both a point load and a distributed load. Plan: (1) reactions via equilibrium, (2) V- and M-diagrams to find M_max and T_max, (3) stresses via HE400A section data.
I en I-balk bärs skjuvkraften huvudsakligen av...In an I-beam the shear force is carried mainly by...
50%
Livet bär nästan all skjuvning; τ_max = 49,6 MPa vid neutrallagret.The web carries nearly all the shear; τ_max = 49.6 MPa at the neutral axis.
HE400A enkelt-uppstadd balk L = 4,1 m. Pinne vid A (x=0), rulle vid B (x=4,1). Punktlast P = 125 kN nedåt vid D (x=0,6 m). Utbredd last q = 100 kN/m nedåt från E (x=1,6 m) till B (x=4,1 m).HE400A simply-supported beam L = 4.1 m. Pin at A (x=0), roller at B (x=4.1). Point load P = 125 kN downward at D (x=0.6 m). UDL q = 100 kN/m downward from E (x=1.6 m) to B (x=4.1 m).
Ersätt q med dess resultant W_q = q·L_q = 250 kN applicerad i tyngdpunkten vid x = (1,6+4,1)/2 = 2,85 m. ΣM om A ger B_y; ΣF_y ger A_y.Replace q with its resultant W_q = q·L_q = 250 kN at the centroid x = (1.6+4.1)/2 = 2.85 m. ΣM about A gives B_y; ΣF_y gives A_y.
V byggs från vänster: starta vid A_y, falla med punktlasten vid D, sedan linjär nedgång i q-zonen. V = 0 inuti q-zonen är den potentiella M-max-positionen.Build V from the left: start at A_y, drop at the point load at D, then linear decrease through the q-zone. V = 0 inside the q-zone marks the M-max position.
M_max ligger vid x* = 2,18 m (där V = 0). Beräkna M där via M(E) + triangelarean under V mellan E och x*. Madeleines avrundning ger 183 kNm; precis beräkning 184,6 kNm.M_max is at x* = 2.18 m (where V = 0). Compute M there via M(E) + the triangular area under V between E and x*. Madeleine's rounding gives 183 kNm; the precise value is 184.6 kNm.
τ_max = T·S/(I·b) vid neutralaxeln, där S_max är statiska momentet för halva tvärsnittet och b är livets bredd. För HE400A: b = t_w ≈ 11 mm (livtjocklek).τ_max = T·S/(I·b) at the neutral axis, where S_max is the first moment of half the section and b is the web thickness. For HE400A: b = t_w ≈ 11 mm.
📈 Snittposition: dra reglaget för att se V(x) och M(x)Section position: drag the slider to see V(x) and M(x)
HE400A, A pinned at x = 0, B roller vid x = 4,1 m. Punktlast 125 kN vid x_D = 0,6 m, UDL 100 kN/m på 1,6 ≤ x ≤ 4,1 m. Reaktioner A_y ≈ 183 kN, B_y ≈ 192 kN. V(x) hoppar vid D och avtar linjärt under UDL; M(x) är linjär i AB-AD-segmenten och parabolisk i UDL-segmentet. V = 0 vid x ≈ 2,18 m där M_max ≈ 183 kN·m uppstår.HE400A, A pinned at x = 0, B roller at x = 4.1 m. 125 kN point load at x_D = 0.6 m, UDL 100 kN/m on 1.6 ≤ x ≤ 4.1 m. Reactions A_y ≈ 183 kN, B_y ≈ 192 kN. V(x) jumps at D and decreases linearly under the UDL; M(x) is linear in the AD-DE segments and parabolic in the UDL segment. V = 0 at x ≈ 2.18 m, where M_max ≈ 183 kN·m occurs.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-03_max_tau_location
τ_max ligger på NEUTRALAXELN för symmetriska tvärsnitt — där Q är störst. INTE vid ytterfibern.τ_max lies on the NEUTRAL AXIS for symmetric cross-sections — where Q is largest. NOT at the outer fiber.
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
M10-04_vM_skipped
Vid kombinerad σ och τ, beräkna σ_vM = √(σ² + 3τ²) som jämförelse mot σ_y. Bara σ ENSAMT är inte komplett.Under combined σ and τ, compute σ_vM = √(σ² + 3τ²) for comparison against σ_y. σ ALONE is not complete.
10.8grund
Två plattjärn svetsas till IPE300. Bestäm V_max om τ_till = 90 MPa.
Two flat bars welded to an IPE300. Find V_max if τ_allow = 90 MPa.
VerklighetsanknytningReal-world contextFörstärkning av befintliga IPE-balkar med svetsade plattjärn — vanligt i renovering av äldre stålkonstruktioner. Svetsdimensionering är kritisk.Reinforcing existing IPE-beams with welded flat bars — common when refurbishing older steel structures. Weld sizing is critical.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: V_max om τ_till = 90 MPa.You're asked to find: V_max if τ_allow = 90 MPa.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Effektivt tröghetsmoment för sammansatt tvärsnittEffective moment of inertia of the built-up section
Statiskt moment S vid skarven (plattjärnet ovan)First moment S at the joint (top plate)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Plattjärn svetsade till IPE300 → komposit. Skjuvflöde vid svetsfogen.Plattjärn svetsade till IPE300 → komposit. Skjuvflöde vid svetsfogen.
2.Svets klarar τ_till·a (a = svets-tjocklek). V_max = τ_till·a·I/Q.Svets klarar τ_till·a (a = svets-tjocklek). V_max = τ_till·a·I/Q.
3.Räkna Q som A·ȳ för plattjärnet relativt sammansatta neutralaxeln.Räkna Q som A·ȳ för plattjärnet relativt sammansatta neutralaxeln.
≈ 10 min≈ 10 min · svetsfogIPE+plattjärn
Fig. 10.8 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Svetsfogen tar skjuvflödet: q = V·Q/I ≤ τ_till·a (a = svetsstorlek). Q och I för sammansatt profil. Lös V_max.The weld carries the shear flow: q = V·Q/I ≤ τ_allow·a (a = weld throat). Q and I for the composite profile. Solve V_max.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in.Identify given quantities and the relevant formulas.
Vid svetsförbandet bestäms tillåten tvärkraft av...At the welded joint the allowable shear force is set by...
50%
S för det påsvetsade plattjärnet ger skjuvflödet; V_till = 196 kN.S for the welded-on plate gives the shear flow; V_allow = 196 kN.
Två plattjärn svetsade på IPE300. Svetsfogen tar skjuvflödet q = V·Q/I; svetstaxa·a = max bärbarhet.Two flat bars welded to IPE300. The weld carries the shear flow q = V·Q/I; weld throat·τ_allow = max capacity.
2. Givet — IPE 300 med två svetsade plattjärnGiven — IPE 300 with two welded flat bars
IPE 300 förstärkt med plattjärn 200×12 mm på över- och undersidan. Tillåten skjuvspänning i svetsen τ_till = 90 MPa.IPE 300 reinforced with 200×12 mm flat bars on top and bottom. Allowable shear stress in the weld τ_allow = 90 MPa.
Slå upp IPE 300: tröghetsmoment, statiskt moment vid NL, livtjocklek och total höjd.Read IPE 300: moment of inertia, first moment at NA, web thickness, and overall height.
$$ t_w = 7{,}1\;\text{mm},\quad H = 300\;\text{mm} $$
4. Effektivt tröghetsmoment för sammansatt tvärsnittEffective moment of inertia of the built-up section
Plattjärnens tyngdpunkt ligger d = H/2 + 12/2 = 156 mm från NL. Steiners sats (KB s.19) ger bidraget från varje platta.The flat bars' centroid is d = H/2 + 12/2 = 156 mm from the NA. The parallel-axis theorem (KB p.19) gives each plate's contribution.
Skjuvspänningsformeln τ = T·S/(I·b) löses för T_till. Två svetsfogar på varje sida av plattan ⇒ effektiv bredd b = 2·a (a = svetsstorlek). Här används b ≈ 7,5 mm enligt Madeleines lösning.Solve τ = T·S/(I·b) for T_allow. Two welds either side of each plate ⇒ effective width b = 2·a (a = weld throat). Per Madeleine's solution, b ≈ 7.5 mm.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-01_shear_flow_units
Skjuvflöde q = V·Q/I har enhet N/mm (kraft per längd). Per spik: F_spik = q·s (där s = delning).Shear flow q = V·Q/I has units N/mm (force per unit length). Per nail: F_nail = q·s (where s = pitch).
M10-02_wrong_Q_definition
Q = statiskt moment över skiktet, dvs A·ȳ för den DEL av tvärsnittet som ligger UTANFÖR snittet (mellan snitt och fri yta).Q = first moment of area above the layer, i.e. A·ȳ for the PART of the cross-section OUTSIDE the cut (between the cut and the free surface).
10.9grund
Arm AB 10×30 mm med F = 1,8 kN i A. M anbringas för jämvikt. Bestäm σ och τ i a, b, c (θ = 40°). Ange normal- och skjuvkomponenter, samt jämförelsespänning.
Arm AB 10×30 mm with F = 1.8 kN at A. M ensures equilibrium. Find σ and τ at a, b, c (θ = 40°). Decompose into normal/shear and compute equivalent stress.
VerklighetsanknytningReal-world contextL-formade armar och vinklade hävarmar i mekaniska anslutningar (dörrhandtag, brytararmar, kran-jib-anslutningar) bär exakt denna typ av kombinerad N + M + T-last. Konstruktören tabulerar σ_e vid flera kritiska punkter och dimensionerar mot maxvärdet. Det är inte alltid den med största |σ| som vinner — vid kombinerad belastning kan ren skjuvning på NL vara värre än ren böjning vid ytterkanten.L-shaped arms and angled levers in mechanical linkages (door handles, switch arms, crane-jib joints) carry exactly this kind of combined N + M + T loading. The designer tabulates σ_e at several critical points and sizes against the maximum. The point with the largest |σ| does not always win — under combined loading, pure shear at the NA can be worse than pure bending at the outer edge.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: σ och τ i a, b, c (θ = 40°).You're asked to find: σ and τ at a, b, c (θ = 40°).
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Kombinerad σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)Combined σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N…Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N…
Beräkna böjmomentet vid snittetBeräkna böjmomentet vid snittet
Beräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mmBeräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mm
Punkt a (ytterfibern där M skapar drag, y = +15 mm)Punkt a (ytterfibern där M skapar drag, y = +15 mm)
Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm)Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm)
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Snittlasterna är N + M + T (axial + böjning + tvärkraft) — räkna alla tre vid snittet. Sedan vid varje punkt: σ-bidrag från N och M, τ-bidrag från T. von Mises σ_e = √(σ² + 3·τ²).Snittlasterna är N + M + T (axial + böjning + tvärkraft) — räkna alla tre vid snittet. Sedan vid varje punkt: σ-bidrag från N och M, τ-bidrag från T. von Mises σ_e = √(σ² + 3·τ²).
2.Vid ytterfiber (punkt a, c): S = 0 ⇒ τ_transverse = 0. Bara σ från N + M, τ från eventuell vridning (här inga). Vid neutralaxel (punkt b): σ_M = 0 men τ_max.Vid ytterfiber (punkt a, c): S = 0 ⇒ τ_transverse = 0. Bara σ från N + M, τ från eventuell vridning (här inga). Vid neutralaxel (punkt b): σ_M = 0 men τ_max.
3.Punkt a: σ_e = 81,9 MPa (drag-fiber, dimensionerande). Punkt b: σ_e = 11 MPa (NL, ren skjuv). Punkt c: σ_e = 72,7 MPa (tryck-fiber). a binder.Punkt a: σ_e = 81,9 MPa (drag-fiber, dimensionerande). Punkt b: σ_e = 11 MPa (NL, ren skjuv). Punkt c: σ_e = 72,7 MPa (tryck-fiber). a binder.
≈ 18 min≈ 18 min · L-armvon-Miseskombinerad-N+M+Ttre-punkteranchor-problem
Fig. 10.9 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Lasten ger N, V, M i tvärsnittet (snittlaster). σ = N/A + M·y/I; τ = V·Q/(I·b). I varje punkt: bestäm vinkeln och separera σ_n, τ. Effektivspänning σ_vM = √(σ² + 3τ²).The load gives N, V, M at the section (internal). σ = N/A + M·y/I; τ = V·Q/(I·b). For each point: find the angle, separate σ_n, τ. Equivalent σ_vM = √(σ² + 3τ²).
1. Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N…Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N…
Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N (parallell med stångens axel) och transversalkomponenten (vinkelrät)Bryt ner den 1.8 kN kraften i normalkomponenten N (parallell med stångens axel) och transversalkomponenten (vinkelrät)
Den lutande kraften (40°) ger i armen...The inclined force (40°) produces in the arm...
50%
Dela upp kraften: N = 1,38 kN, T = −1,16 kN och momentet M = −116 Nm → kombinerad spänning.Resolve the force: N = 1.38 kN, T = −1.16 kN and the moment M = −116 Nm → combined stress.
$$ N = 1{,}8\cdot \cos 40^{\circ} = 1{,}378\;\text{kN},\quad T = 1{,}8\cdot \sin 40^{\circ} = 1{,}157\;\text{kN} \textcolor{#888}{\text{ (N positiv som drag, T negativ enligt EduME-konvention)}} $$
2. Beräkna böjmomentet vid snittetBeräkna böjmomentet vid snittet
Beräkna böjmomentet vid snittet: M = T · avstånd (med passande tecken)Beräkna böjmomentet vid snittet: M = T · avstånd (med passande tecken)
$$ M = -1{,}8\cdot \sin 40^{\circ} \cdot 100 = -115{,}7\;\text{Nmm} \approx -116\;\text{Nm} \textcolor{#888}{\text{ (negativt M böjer stången uppåt vid snittet, sätter fiber a i drag)}} $$
3. Beräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mmBeräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mm
Beräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mmBeräkna tvärsnittsegenskaper för rektangeln 10 × 30 mm
5. Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm)Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm)
Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm). σ från N (fortfarande drag) PLUS σ från M (nu tryck), τ = 0Punkt c (ytterfibern där M skapar tryck, y = −15 mm). σ från N (fortfarande drag) PLUS σ från M (nu tryck), τ = 0
Punkt b (neutrallinjen, y = 0). σ_bend = 0 på NL. σ kommer enbart från N. τ kommer från transversal T med S vid NLPunkt b (neutrallinjen, y = 0). σ_bend = 0 på NL. σ kommer enbart från N. τ kommer från transversal T med S vid NL
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-04_vM_formula
von Mises (2D): σ_e = √(σ² + 3·τ²). FAKTOR 3 framför τ² — eftersom ren skjuvning ger flytning vid σ_y/√3.von Mises (2D): σ_e = √(σ² + 3·τ²). FACTOR 3 in front of τ² — because pure shear yields at σ_y/√3.
M10-05_S_at_outer_fiber
Vid en YTTERFIBER: S = 0 (det finns inget material ovanför kanten). Därför τ_transverse = 0 där. Stress där är ren böjning + ev. axial.At an OUTER FIBER: S = 0 (no material above the edge). Therefore τ_transverse = 0 there. Stress at that point is pure bending + any axial.
M10-07_forgot_third_force
Kombinerad belastning N + M + T: glöm inte att summera ALLA σ-bidrag och ALLA τ-bidrag innan du beräknar σ_e.Combined loading N + M + T: don't forget to sum ALL σ-contributions and ALL τ-contributions before computing σ_e.
M10-06_M_sign_in_combined_loading
σ_M har OLIKA tecken på drag- och tryckfiberna. Vid ytterfibern på dragsidan: +M/W. På trycksidan: −M/W. Räkna båda separat.σ_M has DIFFERENT signs on the tension and compression fibers. At the outer fiber on the tension side: +M/W. On the compression side: −M/W. Compute both separately.
Två 4 kN krafter på en vinklad arm. Bestäm spänningar i a-c, σ/τ-uppdelning, samt jämförelsespänning.
Two 4 kN forces on a bent arm. Find stresses at a-c, decompose σ/τ, compute equivalent stress.
VerklighetsanknytningReal-world contextSom 10.9 — vinklade armar i mekanisk konstruktion. von Mises ger en enskild siffra att jämföra med materialgräns.Like 10.9 — angled arms in mechanical design. von Mises gives a single number to compare against the material limit.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Du ska hitta: spänningar i a-c, σ/τ-uppdelning, samt jämförelsespänning.You're asked to find: stresses at a-c, decompose σ/τ, compute equivalent stress.
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Kombinerad σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)Combined σ + τ: von Mises σ_vM = √(σ²+3τ²)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Snittlaster N, T, M vid det vertikala benets snitt a-b-cInternal N, T, M at the vertical leg's a-b-c section
Tvärsnittsdata för 20×20 mmCross-section properties for 20×20 mm
Bidrag från böjning, axial och skjuvBending, axial, and shear contributions
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Två 4 kN krafter på vinklad arm. Snittlaster (N, V, M) vid varje aktuellt tvärsnitt.Två 4 kN krafter på vinklad arm. Snittlaster (N, V, M) vid varje aktuellt tvärsnitt.
2.σ och τ från standardformler. σ_vM = √(σ² + 3τ²).σ och τ från standardformler. σ_vM = √(σ² + 3τ²).
3.Räkna för punkterna a, b, c i tabellform.Räkna för punkterna a, b, c i tabellform.
≈ 12 min≈ 12 min · vinklad-armvon-Mises
Fig. 10.10 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Som 10.9 — reducera lasterna till snittlaster (N, V, M) i varje aktuellt tvärsnitt. Beräkna σ och τ per punkt; σ_vM = √(σ² + 3τ²).As 10.9 — reduce loads to internal (N, V, M) at each section. Compute σ and τ per point; σ_vM = √(σ² + 3τ²).
1. Sätt upp lösningenSet up the solution
Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in.Identify given quantities and the relevant formulas.
Jämförelsespänningen i punkt b beräknas med...The equivalent stress at point b is computed with...
50%
σ_e = √(σ² + 3τ²) = 23,8 MPa. Normal- och skjuvspänning får inte adderas rakt av.σ_e = √(σ² + 3τ²) = 23.8 MPa. Normal and shear stress must not be added directly.
Vinklad arm. Två 4 kN-laster verkar längs diagonalen A–B och pekar MOT VARANDRA (intern tryckkraft i armen). Diagonalen lutar α = arctan(150/300) = 26,57°. Vid tvärsnittet a-b-c reduceras lasten till N (axial), V (transversell) och M (böjning).Bent arm. Two 4 kN loads act along the diagonal A–B and point TOWARDS each other (internal compression in the arm). Diagonal angle α = arctan(150/300) = 26.57°. At section a-b-c the load reduces to N (axial), V (transverse) and M (bending).
$$ \sigma_{vM} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} $$
2. BeräkningCalculation
Givet: två 4 kN-krafter längs diagonalen A–B, riktade mot varandra (tryck längs diagonalen). Geometri: 300 mm horisontellt, 150 mm vertikalt ⇒ diagonalvinkel α = arctan(150/300) ≈ 26{,}57°. Sönderdela kraften i komponenter parallella med och vinkelrätt mot armens lokala axlar.Given: two 4 kN forces along diagonal A–B, pointing TOWARDS each other (compression along the diagonal). Geometry: 300 mm horizontal, 150 mm vertical ⇒ diagonal angle α = arctan(150/300) = 26.57°. Step 1: Decompose the force into components parallel and perpendicular to the local arm axes to obtain N (axial), T (transverse shear) and M (bending moment) at section a-b-c.
3. Snittlaster N, T, M vid det vertikala benets snitt a-b-cInternal N, T, M at the vertical leg's a-b-c section
Vid det vertikala benets tvärsnitt a-b-c: axial komponent N = F_⊥ = 1,79 kN (tryck), transversell komponent T = F_∥ = 3,58 kN, och böjmoment M = F_⊥·hävarm = 1,79·90 ≈ 161 Nm enligt figur.At the vertical leg's a-b-c section: axial component N = F_⊥ = 1.79 kN (compression), transverse component T = F_∥ = 3.58 kN, and the moment M = F_⊥·arm = 1.79·90 ≈ 161 N·m per figure.
$$ N = 1{,}79\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{ (tryck)}} $$
4. Tvärsnittsdata för 20×20 mmCross-section properties for 20×20 mm
Kvadratiskt tvärsnitt, sida 20 mm. Area A, böjmotstånd W och tröghetsmoment I följer standardformlerna.Square section, side 20 mm. Area A, section modulus W, and moment of inertia I follow the standard formulas.
$$ A = 20\cdot 20 = 400\;\text{mm}^{2} $$
$$ W = b^{3}/6 = 20^{3}/6 \approx 1333\;\text{mm}^{3} $$
$$ I = b^{4}/12 = 20^{4}/12 \approx 13\,333\;\text{mm}^{4} $$
5. Bidrag från böjning, axial och skjuvBending, axial, and shear contributions
Räkna ut maximala böjspänningen, jämn axialspänning och skjuvspänningen på neutralaxeln.Compute the peak bending stress, the uniform axial stress, and the shear stress at the neutral axis.
6. Superposition i punkterna a, b, cSuperposition at points a, b, c
I varje punkt summeras σ_böj och σ_N. Vid ytterfibrerna (a och c) är τ = 0; vid NL (punkt b) är σ_böj = 0 men τ = τ_b. Punkt a är på dragsidan av M, punkt c på trycksidan.Add σ_bend and σ_N at each point. At the outer fibres (a and c) τ = 0; at the NA (b) σ_bend = 0 but τ = τ_b. Point a is on the tension side of M, point c on the compression side.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M10-04_vM_skipped
Vid kombinerad σ och τ, beräkna σ_vM = √(σ² + 3τ²) som jämförelse mot σ_y. Bara σ ENSAMT är inte komplett.Under combined σ and τ, compute σ_vM = √(σ² + 3τ²) for comparison against σ_y. σ ALONE is not complete.
M10-03_max_tau_location
τ_max ligger på NEUTRALAXELN för symmetriska tvärsnitt — där Q är störst. INTE vid ytterfibern.τ_max lies on the NEUTRAL AXIS for symmetric cross-sections — where Q is largest. NOT at the outer fiber.
10.11grund
Balk AB med tvärsnitt 90×200 mm. Bestäm: a) Q så att σ_c = −5,5 MPa; b) spänningarna i b för denna Q.
Beam AB section 90×200 mm. Find: a) Q so σ_c = −5.5 MPa; b) stresses at b for this Q.
VerklighetsanknytningReal-world contextInverst dimensioneringsproblem — när du vet σ vid en specifik punkt och söker hur stor last som ger det. Vanligt i FE-modell valideringar.Inverse design problem — when you know σ at a specific point and back-solve for the load that produces it. Common in FE-model validations.
💡 Hjälp mig förstå problemet💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om?What is the question asking?
Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?
Mekaniska begrepp att ha i huvudetMechanics concepts to keep in mind
Q = statiskt moment för delen UTANFÖR snittetQ = first moment of the area OUTSIDE the cut
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret)Suggested thinking process (without giving away the answer)
Räkna ut V(x) på det aktuella snittet.Compute V(x) at the relevant cut.
Bestäm Q och t på det skikt du analyserar.Determine Q and t at the layer you're analysing.
τ = V·Q/(I·t); kombinera med σ via von Mises om båda finns.τ = V·Q/(I·t); combine with σ via von Mises if both are present.
Frikroppsdiagram av balken ABFree-body diagram of beam AB
Dekomponera de sneda lasternaDecompose the inclined loads
Inre normalkraft N vid inspänningenInternal normal force N at the fixed end
Böjmoment M vid inspänningenBending moment M at the fixed end
Sätt upp ekvationen och lös för QSet up the equation and solve for Q
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1.Balk 90×200 mm. Hitta Q sådan att σ_c = −5,5 MPa.Balk 90×200 mm. Hitta Q sådan att σ_c = −5,5 MPa.
2.σ_c = N/A + M·y_c/I. Med kända A, I, y_c ⇒ lös för Q.σ_c = N/A + M·y_c/I. Med kända A, I, y_c ⇒ lös för Q.
3.(b) Med det Q-värdet räkna σ vid punkt b på samma sätt.(b) Med det Q-värdet räkna σ vid punkt b på samma sätt.
≈ 12 min≈ 12 min · inverse-problemkombinerad
Fig. 10.11 · EduME / Madeleine Hermann
LösningSolution
Tryckspänning i c är resultat av kombinerad axial + böjning. Sätt upp σ_c = N/A − M·y_c/I = −5,5 och lös för Q. Beräkna σ_b med samma metod.Compression at c is from combined axial + bending. Set σ_c = N/A − M·y_c/I = −5.5 and solve for Q. Compute σ_b similarly.
1. Frikroppsdiagram av balken ABFree-body diagram of beam AB
Vi ritar först ett frikroppsdiagram som speglar uppgiftens figur. Balken AB är en konsolbalk, fast inspänd vid A (vänster) och fri vid B (höger). Tvärsnittet är 90 mm brett och 200 mm högt, så punkterna a (övre fiber), b (neutralaxeln) och c (undre fiber) ligger på +100, 0 och −100 mm relativt centroiden. Två likadana laster på 2,7 kN angriper på balkens överkant vid x = 300 mm och x = 450 mm, parallella och vinklade 30° från vertikalen (lutande åt höger). Den axiella kraften Q angriper i B längs balkens centrumaxel, riktad åt vänster (tryck på balken). Spannlängderna är 300 + 150 + 150 = 600 mm. Detta diagram är utgångspunkten för all spänningsanalys nedan.We start by drawing the free-body diagram that mirrors the problem figure. Beam AB is a cantilever, fully fixed at A (left) and free at B (right). The cross-section is 90 mm wide and 200 mm tall, so points a (top fiber), b (neutral axis) and c (bottom fiber) sit at +100, 0 and −100 mm from the centroid. Two identical 2.7 kN loads act on the top of the beam at x = 300 mm and x = 450 mm, parallel and tilted 30° from the vertical (inclined to the right). The axial force Q acts at B along the beam centerline, pointing leftward (compressing the beam). The span dimensions are 300 + 150 + 150 = 600 mm. This diagram is the starting point for every stress calculation below.
Lasten verkar excentriskt på balken, vilket ger...The load acts eccentrically on the beam, producing...
Konsolbalk AB (90×200 mm). Två parallella 2,7 kN-laster vinklade 30° från vertikalen (lutande åt höger) vid x = 300 och x = 450 mm. Q angriper axiellt i B. Punkterna a/b/c markerar spänningspunkter vid inspänningssnittet.Cantilever AB (90×200 mm). Two parallel 2.7 kN loads tilted 30° from vertical (inclined to the right) at x = 300 and x = 450 mm. Q is the axial force at B. Points a/b/c mark the stress points at the fixed-end section.
2. Dekomponera de sneda lasternaDecompose the inclined loads
Varje 2,7 kN-last delas upp i en vertikal komponent (tvärkraft T) och en horisontell komponent (axiell H). Eftersom vinkeln 30° mäts från vertikalen blir T = 2{,}7 \cdot \cos 30° och H = 2{,}7 \cdot \sin 30°. De två horisontella komponenterna är lika stora men riktade åt motsatt håll (lasterna lutar mot varandra), så deras nettokraft längs balken är noll — H-komponenterna bildar däremot ett kraftpar som påverkar momentbalansen. Båda T-komponenterna pekar nedåt och summerar till en total nedåtriktad kraft 2T på balken.Each 2.7 kN load is split into a vertical (transverse, T) and a horizontal (axial, H) component. Because the 30° angle is measured from the vertical, T = 2.7 · cos 30° and H = 2.7 · sin 30°. The two horizontal components are equal in magnitude but opposite in direction (the loads tilt toward each other), so their net axial force on the beam is zero — but they do form a couple that enters the moment balance. The two vertical components both point downward and sum to a total transverse load of 2T.
3. Inre normalkraft N vid inspänningenInternal normal force N at the fixed end
Vi snittar balken precis vid inspänningen A och tittar på den högra delen. Den enda axiella kraften som verkar på den högra delen är Q vid B (riktad åt vänster). De horisontella komponenterna från de sneda lasterna tar ut varandra och bidrar inte till nettonormalkraften. Den inre normalkraften N vid snittet blir därför −Q (tryck). Tecknet följer konventionen att tryckkraft är negativ.We cut the beam just at the fixed end A and look at the right-hand portion. The only axial force on the right portion is Q at B (pointing leftward). The horizontal components of the inclined loads cancel and contribute zero to the net normal force. The internal normal force at the cut is therefore N = −Q (compression). The sign follows the convention that compression is negative.
4. Böjmoment M vid inspänningenBending moment M at the fixed end
Vid en konsolbalk är böjmomentet störst vid inspänningen, så det är där punkt c blir mest belastad. Momentet om snittet A från de två T-komponenterna räknas som T \cdot x för varje last, där x är avståndet från A till lastens angreppspunkt. De två H-komponenterna bildar ett kraftpar med hävarm i x-led (450 − 300 = 150 mm) och bidrar i princip också till momentbalansen, men eftersom kraftparet ligger i balkens längdriktning och inte i tvärsnittsplanet ger det inget bidrag till böjmomentet om neutralaxeln. Det effektiva böjmomentet om neutralaxeln blir därmed enbart bidraget från T-komponenterna.For a cantilever, the bending moment is largest at the fixed end, which is why point c is most stressed there. The moment about the cut at A from the two T-components is T · x for each load, where x is the distance from A to the load's point of application. The two H-components form a couple with a lever arm in the x-direction (450 − 300 = 150 mm) and would contribute to a moment balance, but since this couple lies along the beam axis and not in the cross-section plane it does not contribute to the bending moment about the neutral axis. The effective bending moment about the neutral axis is therefore due to the T-components alone.
$$ M_A = T \cdot 300 + T \cdot 450 = 2{,}338 \cdot 750 = 1\,753{,}5\;\text{kN}\cdot\text{mm} \approx 1{,}754\;\text{kN}\cdot\text{m} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{Vid c (undre fiber, y = +100 mm) ger detta tryck:}} $$
5. Sätt upp ekvationen och lös för QSet up the equation and solve for Q
Den totala spänningen i punkt c är summan av normalspänningen från Q och böjspänningen från T-komponenterna. Båda är tryckande (negativa) här: Q trycker hela tvärsnittet och böjmomentet vid inspänningen pressar ihop undre fibern. Vi sätter summan lika med det givna värdet −5,5 MPa och löser för Q.The total stress at point c is the sum of the normal stress from Q and the bending stress from the T-components. Both are compressive (negative) here: Q compresses the whole cross-section and the bending moment at the fixed end squeezes the bottom fiber. We set the sum equal to the given −5.5 MPa and solve for Q.
6. Spänningar i punkt b (neutralaxeln)Stresses at point b (neutral axis)
Med Q bestämt kan vi beräkna spänningarna i punkt b vid inspänningssnittet. Punkt b ligger på neutralaxeln, så böjspänningen där är noll. Den enda normalspänningen är därmed σ_N från Q. Däremot är skjuvspänningen från tvärkraften maximal vid neutralaxeln för ett rektangulärt tvärsnitt: τ_max = 3V/(2A) där V är den totala tvärkraften vid snittet. Vid inspänningen har båda T-komponenterna passerat, så V = 2T.With Q determined we can compute the stresses at point b at the fixed-end section. Point b lies on the neutral axis, so the bending stress there is zero. The only normal stress is therefore σ_N from Q. The shear stress from the transverse force, however, is maximum at the neutral axis for a rectangular cross-section: τ_max = 3V/(2A) where V is the total transverse force at the cut. At the fixed end both T-components have been transmitted, so V = 2T.
Uppgiften frågar efter Q [N] i deluppgift (a) och spänningarna i punkt b i deluppgift (b). Värdena är inramade nedan. Notera: facit anger Q ≈ 51 840 N, men den rena fysikaliska härledningen ovan ger Q ≈ 46 386 N. Skillnaden är dokumenterad i expected_answers — gå tillbaka stegvis genom härledningen om du vill förstå var avvikelsen uppstår.The question asks for Q [N] in part (a) and the stresses at point b in part (b). The values are boxed below. Note: the answer key states Q ≈ 51 840 N, but the clean physical derivation above gives Q ≈ 46 386 N. The discrepancy is documented in expected_answers — walk back through the derivation step by step if you want to understand where the deviation arises.
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse.The author's own hand-written solution — shown for comparison.
Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen.BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.
Vanliga misstagCommon mistakes
M9-01_missed_eccentricity
Excentrisk axial last = N + M där M = N·e. Räkna BÅDA: σ = N/A ± M·y/I.Eccentric axial load = N + M where M = N·e. Compute BOTH: σ = N/A ± M·y/I.
M9-02_wrong_sign_for_side
På lastsidan: σ = N/A + M·y/I (drag förstärks). På motsatt sida: σ = N/A − M·y/I (drag försvagas / blir tryck).On the load side: σ = N/A + M·y/I (tension is amplified). On the opposite side: σ = N/A − M·y/I (tension is reduced / becomes compression).
