HemHome

MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Chapter 11: Sammansatta spänningarCombined stresses · Week 11 · 2 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚 Roliga fakta om inre krafter och moment Fun facts about internal forces and moments 2 stycken · klicka för att läsa
▶
⭕
1882 DresdenDresden
Mohrs cirkel Mohr's circle
Otto Mohr publicerade 1882 sin grafiska metod för spänningstransformation. Cirkeln med centrum vid (σ_x+σ_y)/2 och radie √(((σ_x−σ_y)/2)² + τ_xy²) läser ut huvu… Otto Mohr published his graphical method for stress transformation in 1882. The circle centred at (σ_x+σ_y)/2 with radius √(((σ_x−σ_y)/2)² + τ_xy²) directly rea…
Läs mer →Read more →
📊
1913 StrassburgStrassbourg
Von Mises hypotes Von Mises hypothesis
Richard von Mises föreslog 1913 att flytning sker när distortionsenergin når ett kritiskt värde. Resultatet: σ_vM = √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²) ≤ σ_y. Idag är det d… Richard von Mises proposed in 1913 that yielding occurs when distortion energy reaches a critical value. The result: σ_vM = √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²) ≤ σ_y. Today…
Läs mer →Read more →
·

11.1 grund

Två krafter belastar en stel platta som sitter på ett rör med d_y = 150 mm och d_i = 120 mm. Tillåten spänning σ_till = 70 MPa. Bestäm i vilket intervall F måste ligga för att vara tillåten.

Two forces act on a rigid plate on a tube (d_o = 150, d_i = 120 mm). σ_allow = 70 MPa. Find the allowable range for F.

VerklighetsanknytningReal-world context Industriella stativ med rörformade pelare bär ofta excentrisk last från fästbeslag — t.ex. konsolinfästningar på processrör, lyftöglor på tryckkärl och stativ för solpanelsfarmer. När en sekundär kraft F kombineras med en huvudlast på en stel platta uppstår både normal- och böjspänning samtidigt. Att finna 'OK-intervallet' för F (både F_min och F_max) förebygger drag-haveri vid yttre fiber och tryck-buckling vid motsatta sidan — samma två-villkors-analys används vid dimensionering av kranbommar och pelarfundament. 💡 **Se även problem 5.2** — vridning ger ren skjuvspänning som ses tydligast på Mohr's cirkel. Industrial supports with tubular columns frequently carry eccentric loads from bracketed fittings — e.g. cantilever supports on process piping, lifting eyes on pressure vessels, and rack frames for solar-panel farms. When a secondary force F combines with a primary load on a rigid plate, normal and bending stresses appear simultaneously. Finding the 'OK range' for F (both F_min and F_max) prevents tensile failure at the outer fibre and compressive buckling on the opposite side — the same two-condition analysis is used when sizing crane jibs and column foundations. 💡 **See also problem 5.2** — torsion produces pure shear that's clearest on Mohr's circle.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: i vilket intervall F måste ligga för att vara tillåten.You're asked to find: the allowable range for F.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Huvudspänningar σ_1, σ_2 = σ_avg ± RPrincipal stresses σ_1, σ_2 = σ_avg ± R
  • Maximal skjuvspänning τ_max = R (radie av Mohrs cirkel)Max shear stress τ_max = R (radius of Mohr's circle)
  • På Mohrs cirkel är vinkeln 2θ — DUBBLA fysiska vinkelnOn Mohr's circle the angle is 2θ — DOUBLE the physical angle
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera (σ_x, σ_y, τ_xy) på elementet.Identify (σ_x, σ_y, τ_xy) on the element.
  2. Räkna σ_avg och R för Mohrs cirkel.Compute σ_avg and R for Mohr's circle.
  3. Plocka σ_1, σ_2 och τ_max — eller använd transformationsformlerna.Read off σ_1, σ_2 and τ_max — or use the transformation formulas.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givet — rörgeometri och tillåten spänningGiven — tube geometry and allowable stress
  6. Tvärsnittsdata för röretTube cross-section properties
  7. Reducera lasterna till tvärsnittets centroidReduce the loads to the section centroid
  8. Kombinerad spänning i fiber A och BCombined stress at fibres A and B
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Två krafter på stel platta + rör. Reducera till tvärsnittscentroiden → N(F), M(F). Två krafter på stel platta + rör. Reducera till tvärsnittscentroiden → N(F), M(F).
2. σ_max = N/A + M·r_y/I_x. Sätt ≤ σ_till = 70 MPa, lös för F. σ_max = N/A + M·r_y/I_x. Sätt ≤ σ_till = 70 MPa, lös för F.
3. Ge intervall: F_min < F < F_max baserat på σ-villkor på BÅDA sidor av tvärsnittet. Ge intervall: F_min < F < F_max baserat på σ-villkor på BÅDA sidor av tvärsnittet.
≈ 12 min≈ 12 min · rör intervall stel-platta
Figure 11.1
Fig. 11.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Reducera lasten till tvärsnittets centroid → N(F) och M(F). Maximal kombinerad σ vid yttre fiber: σ_max = N/A + M·r_y/I. Två villkor: σ_max ≤ σ_till och σ_min ≥ −σ_till. Ger F-intervall. Reduce loads to centroid → N(F) and M(F). Max combined σ at outer fiber: σ_max = N/A + M·r_o/I. Two conditions: σ_max ≤ σ_allow and σ_min ≥ −σ_allow. Gives F range.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Symboliska uttryck visas nedan; i nästa steg sätts numeriska värden in. Identify given quantities and the relevant formulas. Symbolic expressions for cross-section properties and stress are shown below; the next step substitutes numerical values.

Spänningen i röret är en kombination av... The stress in the tube is a combination of...
50%
σ = N/A ± M/W_b. Det tillåtna intervallet blir 59,3 ≤ F ≤ 190,4 kN. σ = N/A ± M/W_b. The allowable range is 59.3 ≤ F ≤ 190.4 kN.
Rör (d_y=150, d_i=120 mm) under två excentriska vertikala laster (150 kN och F)Tube (d_y=150, d_i=120 mm) under two eccentric vertical loads (150 kN and F)
$$ A = \tfrac{\pi}{4}(d_y^2 - d_i^2),\;W_b = \tfrac{\pi(d_y^4 - d_i^4)}{32\,d_y} $$
$$ N(F) = 150 + F\;[\text{kN, tryck}] $$
$$ M(F) = 150\cdot 80 - F\cdot 80 = 80\,(150 - F)\;[\text{kNmm}] $$
$$ \sigma_A = \dfrac{N}{A} + \dfrac{M}{W_b},\quad \sigma_B = \dfrac{N}{A} - \dfrac{M}{W_b} $$
2. Givet — rörgeometri och tillåten spänningGiven — tube geometry and allowable stress

Rörets ytter- och innerdiameter, samt tillåten spänning. Last på den stela plattan är 150 kN excentriskt vänster om röret och F excentriskt höger om röret, båda med excentricitet 80 mm. Tube outer and inner diameter, and the allowable stress. The rigid plate carries 150 kN eccentric to the left of the tube and F eccentric to the right, both at 80 mm from the tube centroid.

$$ d_y = 150\;\text{mm},\quad d_i = 120\;\text{mm} $$
$$ \sigma _{till} = 70\;\text{MPa},\quad e = 80\;\text{mm} $$
3. Tvärsnittsdata för röretTube cross-section properties

Cirkelringens area och böjmotstånd kring rörets centrumaxel (KB s.17). Area and section modulus of the annular section about the tube centroidal axis (KB p.17).

$$ A = \pi /4\cdot (d_y^{2} - d_i^{2}) = \pi /4\cdot (150^{2} - 120^{2}) \approx 6362\;\text{mm}^{2} $$
$$ W_b = \dfrac{\pi (d_y^{4} - d_i^{4})}{32\,d_y} = \dfrac{\pi (150^{4} - 120^{4})}{32\cdot 150} \approx 195\,623\;\text{mm}^{3} $$
4. Reducera lasterna till tvärsnittets centroidReduce the loads to the section centroid

Båda krafterna pekar nedåt ⇒ deras summa ger en axiell tryckkraft N. Excentriciteterna är lika men på motsatta sidor ⇒ deras nettomoment beror på lasternas skillnad. Snittvy nedan: röret klipps på godtycklig nivå mellan plattan och inspänningen — på snittytan dyker den inre normalkraften N och böjmomentet M upp som ekvivalenta inre lastresultanter (tvärkraft V = 0 eftersom båda yttre lasterna är vertikala). Both forces point downward ⇒ they sum to an axial compression N. The eccentricities are equal but on opposite sides ⇒ the net moment depends on the difference between the loads. Section view below: cut the tube at any level between the plate and the base — on the cut face the internal normal force N and bending moment M appear as the equivalent internal resultants (shear V = 0 since both external loads are vertical).

Snittvy — det övre delen av röret med plattan, snittat horisontellt. På snittytan: inre normalkraft N (tryck) och inre böjmoment M.Section view — upper portion of the tube with the plate, cut horizontally. On the cut face: internal normal force N (compression) and internal bending moment M.
$$ N(F) = 150 + F\;[\text{kN, tryck}] $$
$$ M(F) = 150\cdot 80 - F\cdot 80 = 80\,(150 - F)\;[\text{kN·mm}] $$
5. Kombinerad spänning i fiber A och BCombined stress at fibres A and B

Vid yttre fibrerna superponeras axial och böjning: lastsidans fiber A får mer tryck när M är stort, motsatta fiber B får mindre tryck. Båda fibrerna måste hålla σ ≤ σ_till i magnitud. Spänningsfördelningen är linjär över tvärsnittet — den axiella delen är konstant N/A, böjdelen lineär ±M/W_b. At the outer fibres axial and bending superpose: fibre A on the load side gets more compression when M is large, the opposite fibre B less. Both fibres must keep σ ≤ σ_allow in magnitude. The stress distribution is linear over the cross-section — axial part is constant N/A, bending part linear ±M/W_b.

Spänningsfördelning över tvärsnittet vid F = F_max: axial N/A (uniform tryck) + böjning M/W_b (linjär) = total σ. Fiber A (vänster) på max tryck.Stress distribution across the tube section at F = F_max: axial N/A (uniform compression) + bending M/W_b (linear) = total σ. Fibre A (left) at max compression.
$$ \sigma _A = N/A + M/W_b\;\textcolor{#888}{\text{ (150 kN-sidan)}} $$
$$ \sigma _B = N/A - M/W_b\;\textcolor{#888}{\text{ (F-sidan)}} $$
6. Lös F-intervalletSolve for the allowable F range

F_min styrs av fiber A (när F litet ⇒ stort M ⇒ stort bidrag adderas till tryck). F_max styrs av fiber B (när F stort ⇒ axial-bidraget överstiger böjningens upplyftning). F_min is set by fibre A (when F is small ⇒ large M ⇒ extra compression added). F_max is set by fibre B (when F is large ⇒ axial term overpowers the bending relief).

$$ \sigma _A = 70:\;\;\dfrac{(150+F)\cdot 10^{3}}{6362} + \dfrac{80\cdot(150-F)\cdot 10^{3}}{195\,623} = 70 \;\Rightarrow\; F_{min} \approx 59\,261\;\text{N} \approx 59{,}3\;\text{kN} $$
$$ \sigma _B = 70:\;\;\dfrac{(150+F)\cdot 10^{3}}{6362} - \dfrac{80\cdot(150-F)\cdot 10^{3}}{195\,623} = 70 \;\Rightarrow\; F_{max} \approx 190\,353\;\text{N} \approx 190{,}4\;\text{kN} $$
7. SlutsvarFinal answer

Slutsvar. The question asks for: F_min [kN], F_max [kN]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}F_{min} = 59.3\;\text{kN} \\ F_{max} = 190.4\;\text{kN}\end{array}} $$

⭕ Mohrs cirkel — pröva spänningstillståndet vid F_min / F_maxMohr's circle — explore the stress state at F_min / F_max

Vid F = F_max = 190,4 kN är fiber B vid kompressionsgränsen σ_x = −70 MPa (rent enaxligt tryck). Ändra σ_x för att se hur σ_1 och σ_2 ändras. Spelar τ_xy roll här? Pröva små värden — uppgift 11.1 har inga skjuvkomponenter eftersom belastningarna är axiella + böjning kring tvärsnittet.At F = F_max = 190.4 kN, fiber B sits at the compression limit σ_x = −70 MPa (uniaxial compression). Slide σ_x to see σ_1, σ_2 change. Does τ_xy matter here? Try small values — problem 11.1 has no shear because the loads are purely axial + bending around the cross-section.

σ_x = -70 MPa
σ_y = 0 MPa
τ_xy = 0 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.24, s.30 · Superposition normal + böjningSuperposition normal + bending
  • KB s.31 · Spänningstransformation, Mohrs cirkel, huvudspänningarStress transformation, Mohr's circle, principal stresses
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M11-01_used_wrong_formula_for_principal
Huvudspänningar: σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ± √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy². Två tecken — båda måste räknas. Principal stresses: σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ± √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy². Two signs — both must be computed.
M11-02_max_shear_separate_formula
τ_max = √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² = (σ_1 − σ_2)/2 i 2D. ALDRIG bara τ_xy från det ursprungliga koordinatsystemet. τ_max = √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² = (σ_1 − σ_2)/2 in 2D. NEVER just τ_xy from the original coordinate system.
M9-02_wrong_sign_for_side
På lastsidan: σ = N/A + M·y/I (drag förstärks). På motsatt sida: σ = N/A − M·y/I (drag försvagas / blir tryck). On the load side: σ = N/A + M·y/I (tension is amplified). On the opposite side: σ = N/A − M·y/I (tension is reduced / becomes compression).
11.2 grund

Röret belastas genom en förspänd kabel (S = 15 kN). Bestäm spänningarna i punkterna B och C. Redovisa typ, riktning och jämförelsespänning (von Mises) om aktuellt.

A tube is loaded by a pre-tensioned cable (S = 15 kN). Find the stresses at B and C. Identify type, direction, and (if relevant) the von Mises equivalent stress.

VerklighetsanknytningReal-world context Förspända linor på pylonkonstruktioner — snedkabelbroar, master på sändarstationer, stagade vindkraftstorn och tältkonstruktioner — skapar exakt denna typ av sammansatt spänningstillstånd: axiell tryck från linkraftens horisontalkomponent, böjmoment från excentriciteten och transversell skjuvning från vertikalkomponenten. Vid fast inspänning råder ren böjning (punkt B), vid sidan dominerar skjuvning (punkt C). Mohrs cirkel och von Mises σ_vM = √(σ² + 3τ²) är standardverktyg för slutkontroll mot flytning i stagsockel och pylonfot. 💡 **Se även problem 10.2** — kombinerad N+M+V analyseras med Mohr's cirkel + von Mises. Pre-tensioned cables on pylon structures — cable-stayed bridges, broadcast masts, guyed wind turbines and tent membrane anchorages — produce exactly this combined stress state: axial compression from the cable's horizontal component, bending moment from the eccentricity, and transverse shear from the vertical component. At the fixed end (point B) pure bending dominates, while on the side (point C) shear governs. Mohr's circle and von Mises σ_vM = √(σ² + 3τ²) are the standard yield-check tools for stay sockets and pylon bases. 💡 **See also problem 10.2** — combined N+M+V is analysed via Mohr's circle + von Mises.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: spänningarna i punkterna B och C.You're asked to find: the stresses at B and C.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Huvudspänningar σ_1, σ_2 = σ_avg ± RPrincipal stresses σ_1, σ_2 = σ_avg ± R
  • Maximal skjuvspänning τ_max = R (radie av Mohrs cirkel)Max shear stress τ_max = R (radius of Mohr's circle)
  • På Mohrs cirkel är vinkeln 2θ — DUBBLA fysiska vinkelnOn Mohr's circle the angle is 2θ — DOUBLE the physical angle
  • von Mises σ_vM (plant spänningstillstånd)von Mises σ_vM (plane stress)
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Identifiera (σ_x, σ_y, τ_xy) på elementet.Identify (σ_x, σ_y, τ_xy) on the element.
  2. Räkna σ_avg och R för Mohrs cirkel.Compute σ_avg and R for Mohr's circle.
  3. Plocka σ_1, σ_2 och τ_max — eller använd transformationsformlerna.Read off σ_1, σ_2 and τ_max — or use the transformation formulas.
  4. Frilägg röret — punkter och dimensionerFree-body sketch — points and dimensions
  5. Sätt upp lösningenSet up the solution
  6. Givna värdenGiven values
  7. Tvärsnittsdata för röretPipe section data
  8. Komposantdelar av SComponents of S
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Förspänd kabel S = 15 kN på rör. Reducera kabelkraften till rörets snitt → N, V, M, T. Förspänd kabel S = 15 kN på rör. Reducera kabelkraften till rörets snitt → N, V, M, T.
2. σ_n = N/A + M·y/I. τ = V·Q/(I·b) + T·r/I_p. Bygg σ-τ-tillstånd vid B och C. σ_n = N/A + M·y/I. τ = V·Q/(I·b) + T·r/I_p. Bygg σ-τ-tillstånd vid B och C.
3. σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). σ_1,2 = (σ_x+σ_y)/2 ± √((σ_x−σ_y)/2)² + τ². σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). σ_1,2 = (σ_x+σ_y)/2 ± √((σ_x−σ_y)/2)² + τ².
≈ 18 min≈ 18 min · Mohr von-Mises förspänd-kabel rör
Figure 11.2
Fig. 11.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Reducera kabelkraften till rörets snitt (vid B och C). Snittlaster: N, V, M (eventuellt även vridmoment T). σ_n = N/A + M·y/I; τ = V·Q/(I·b) + T·r/I_p. Sätt ihop spänningstillstånd σ_x, σ_y, τ_xy och beräkna σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). Markera principalriktningar via Mohrs cirkel om frågan ber. Reduce the cable force to the tube section (at B, C). Internal: N, V, M (perhaps torsion T). σ_n = N/A + M·y/I; τ = V·Q/(I·b) + T·r/I_p. Assemble σ_x, σ_y, τ_xy and compute σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). Mark principal directions via Mohr if requested.
1. Frilägg röret — punkter och dimensionerFree-body sketch — points and dimensions

Röret fast inspänt till vänster, kabelfäste till höger via en konsol som sticker ut 15 mm ovanför röret. Kabeln S = 15 kN bildar 30° vinkel mot röraxeln (per figur). Punkt B är övre fiber vid inspänningen, punkt C är sidopunkt vid neutralaxeln. Pipe fixed at the left, cable attachment on the right via a 15 mm bracket above the pipe. Cable S = 15 kN at 30° to the pipe axis (per figure). Point B is the top fibre at the wall, point C is a side point at the neutral axis.

I punkt C finns både normalspänning och skjuvning. Jämförelsespänningen fås med... At point C there is both normal stress and shear. The equivalent stress is found with...
50%
σ_vM,C = √(18,5² + 3·21,2²) = 41 MPa. Spänningar adderas inte rakt av — använd von Mises. σ_vM,C = √(18.5² + 3·21.2²) = 41 MPa. Stresses don't add directly — use von Mises.
FrikroppFree-body diagram
2. Sätt upp lösningenSet up the solution

Förspänd kabel anbringas på en kort konsol ovanpå röret. Kraften S har en axiell komponent N (tryck) och en tvärkomponent V som ger böjmoment om röret. Excentriciteten från kabelns angreppspunkt till röraxeln ger extra bidrag till böjmomentet vid den fasta inspänningen. A pretensioned cable is applied to a short bracket on top of the pipe. Force S has an axial component N (compression) and a transverse component V that produces bending about the pipe. The eccentricity from the cable attachment point to the pipe axis contributes additional bending moment at the fixed end.

$$ N = S\cos 30^{\circ},\quad V = S\sin 30^{\circ} $$
$$ M = e\cdot N + L\cdot V $$
$$ \sigma_{n} = \dfrac{N}{A} + \dfrac{M\,r_y}{I},\quad \tau = \dfrac{V\,Q}{I\,b} $$
$$ \sigma_{vM} = \sqrt{\sigma_{n}^{2} + 3\tau^{2}} $$
3. Givna värdenGiven values

Geometri och materialdata från figuren. Excentricitet e = rörets ytterradie + konsolhöjd = 30 + 15 = 45 mm (NOT enbart 15 — konsolen sticker ut OVANFÖR rörets mantel, så momentarmens vridcentrum är röraxeln 45 mm bort). Geometry and section data from the figure. Eccentricity e = pipe outer radius + bracket height = 30 + 15 = 45 mm (NOT just 15 — the bracket sits ABOVE the pipe wall, so the moment-arm pivot is the pipe axis 45 mm away).

$$ S = 15\;\text{kN},\;\alpha = 30^{\circ} $$
$$ D_y = 60\;\text{mm},\;t = 4\;\text{mm}\;\;\Rightarrow\;\;r_y = 30,\;r_i = 26\;\text{mm} $$
$$ L = 150\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(konsollängd)}} $$
$$ e = r_y + 15 = 30 + 15 = 45\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(excentricitet)}} $$
4. Tvärsnittsdata för röretPipe section data

Område, böjtröghet, böjmotstånd och statiskt moment räknas en gång och återanvänds i alla spänningssteg. Area, second moment, section modulus, and first moment computed once and reused in every stress step.

$$ A = \tfrac{\pi}{4}\,(60^{2} - 52^{2}) \approx 704\;\text{mm}^{2} $$
$$ I_x = \tfrac{\pi}{64}\,(60^{4} - 52^{4}) \approx 277\,266\;\text{mm}^{4} $$
$$ W_b = \dfrac{I_x}{r_y} = \dfrac{277\,266}{30} \approx 9242\;\text{mm}^{3} $$
$$ Q_{max} = \tfrac{2}{3}(r_y^{3} - r_i^{3}) \approx 6283\;\text{mm}^{3}\;\;\textcolor{#888}{\text{(halva ringen)}} $$
$$ b = 2t = 8\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(två rörväggar vid neutralaxeln)}} $$
5. Komposantdelar av SComponents of S

Dela S i längs- och tvärkomponent. N är tryckkraft (kabeln drar mot konsolen, vilket trycker ihop röret). Split S into longitudinal and transverse components. N is compressive (the cable pulls towards the bracket, compressing the pipe).

$$ N = S\cos 30^{\circ} = 15\cdot 0{,}866 \approx 12{,}99\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
$$ V = S\sin 30^{\circ} = 15\cdot 0{,}500 \approx 7{,}50\;\text{kN} $$
6. Böjmoment vid fast inspänningBending moment at the fixed end

Den förspända kabeln ger två momentbidrag vid inspänningen. (1) Den axiella kraften N angriper inte i röraxeln utan på konsolen, 45 mm utanför. Flyttar man N in till röraxeln måste ett moment M_N = e·N läggas till (kraftöverföringsprincipen — en excentrisk kraft motsvarar samma kraft i tyngdpunkten plus ett par-moment). (2) Tvärkomponenten V verkar på hävarmen L = 150 mm från inspänningen och ger momentet L·V. De två momenten har samma rotationsriktning och adderas till totala böjmomentet M = e·N + L·V. The pre-tensioned cable produces two moment contributions at the fixed end. (1) The axial force N does not act on the pipe axis but on the bracket, 45 mm offset. Moving N in to the pipe axis requires adding a couple M_N = e·N (force-transfer principle — an eccentric force equals the same force at the centroid plus a couple). (2) The transverse component V acts on the lever arm L = 150 mm from the fixed end, giving the moment L·V. The two moments share the same sense and add to the total bending moment M = e·N + L·V.

$$ M = e\cdot N + L\cdot V = 45\cdot 12{,}99 + 150\cdot 7{,}50 $$
$$ M \approx 585 + 1125 = 1710\;\text{kN·mm} \approx 1{,}71\;\text{kN·m} $$
7. Punkt B — övre fiber (max böjspänning + axial)Point B — top fibre (max bending + axial)

Punkt B ligger på övre fibern vid fast inspänning. Här adderas axiell trycksspänning N/A och böjsspänning M/W_b. Båda är tryck → samma tecken. Spänningstillståndet är enaxligt (τ_xy = 0 vid yttre fiber): hela cirkeln på Mohrs cirkel kollapsar till en punkt på σ-axeln vid σ_x = −203 MPa. Point B is on the top fibre at the fixed end. The axial compressive stress N/A and the bending stress M/W_b add. Both compressive → same sign. State is uniaxial (τ_xy = 0 at the outer fibre): Mohr's circle collapses to a single point on the σ-axis at σ_x = −203 MPa.

Spänningselement vid punkt B: enaxligt tryck σ_x = −203 MPa, σ_y = 0, τ_xy = 0. Huvudspänningar σ_1 = 0, σ_2 = −203 MPa.Stress element at point B: uniaxial compression σ_x = −203 MPa, σ_y = 0, τ_xy = 0. Principal stresses σ_1 = 0, σ_2 = −203 MPa.
$$ \sigma_B = \dfrac{N}{A} + \dfrac{M}{W_b} = \dfrac{12\,990}{704} + \dfrac{1\,710\,000}{9242} $$
$$ \sigma_B \approx 18{,}5 + 185{,}0 \approx 203\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$
8. Punkt C — sidopunkt vid neutralaxelnPoint C — side point at the neutral axis

Punkt C ligger där böjsspänningen är noll (på neutralaxeln) men där skjuvspänningen är maximal. Endast axiell tryck + skjuv → tvåaxligt spänningstillstånd, jämför med von Mises. Spänningselementet nedan har σ_x = 18,5 MPa (tryck — negativ i Mohr-konvention), σ_y = 0 och skjuvskomponent τ_xy = 21,2 MPa. Genom att rotera elementet med 2θ_p på Mohrs cirkel hittar man huvudriktningarna där τ = 0 och σ_1 = max, σ_2 = min. Point C lies where bending stress is zero (on the neutral axis) but where shear stress is maximal. Axial compression + shear only → biaxial state, compare via von Mises. The stress element below has σ_x = 16.3 MPa (compression — negative in Mohr's convention), σ_y = 0 and shear τ_xy = 27.3 MPa. Rotating the element by 2θ_p on Mohr's circle finds the principal directions where τ = 0 and σ_1 = max, σ_2 = min.

Vänster: spänningselement vid C i x-y-systemet (σ_x tryck + τ_xy skjuv). Höger: roterat θ_p ≈ 53° till huvudriktningarna — bara σ_1 (drag) och σ_2 (tryck), inga skjuv.Left: stress element at C in x-y axes (σ_x compression + τ_xy shear). Right: rotated by θ_p ≈ 53° to the principal directions — only σ_1 (tension) and σ_2 (compression), no shear.
$$ \sigma_{C,n} = \dfrac{N}{A} \approx 18{,}5\;\text{MPa} $$
$$ \tau_C = \dfrac{V\,Q_{max}}{I_x\,b} = \dfrac{7\,500\cdot 6283}{277\,266\cdot 8} \approx 21{,}2\;\text{MPa} $$
$$ \begin{aligned}\sigma_{1,2} &= \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \\ &= \frac{-18{,}5+0}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-18{,}5-0}{2}\right)^2 + 21{,}2^2} \\ &= -9{,}25 \pm \sqrt{85{,}6 + 449{,}4} = -9{,}25 \pm 23{,}1 \\ &\Rightarrow \sigma_1 \approx 13{,}9,\;\; \sigma_2 \approx -32{,}4\;\text{MPa}\end{aligned} $$
$$ \sigma_{vM,C} = \sqrt{\sigma_{C,n}^{2} + 3\tau_C^{2}} = \sqrt{18{,}5^{2} + 3\cdot 21{,}2^{2}} \approx 41\;\text{MPa} $$
9. von Mises-envelop (σ_1, σ_2)von Mises envelope (σ_1, σ_2)

Plana σ_1 mot σ_2: von Mises-ellipsen σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2² = σ_y² är gränsen mot flytning. Arbetsläget vid punkt C ligger en stor marginal innanför ellipsen för stål (σ_y typiskt 200-300 MPa). σ_vM ≈ 50 MPa är ekvivalent enaxlig spänning för jämförelse. Plot σ_1 vs σ_2: the von Mises ellipse σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2² = σ_y² is the yield boundary. The working point at C sits well inside the ellipse for steel (σ_y typically 200-300 MPa). σ_vM ≈ 50 MPa is the equivalent uniaxial stress for comparison.

von Mises-ellipsen för σ_y = 100 MPa (referens). Arbetsläget σ_1 = 13,9, σ_2 = −32,4 MPa ligger inuti — punkten C går ej i flytning.von Mises ellipse for σ_y = 100 MPa (reference). Working point σ_1 = 20.4, σ_2 = −36.6 MPa sits inside — point C is below yield.
$$ \sigma_{vM} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2} \approx \sqrt{13{,}9^2 - 13{,}9\cdot(-32{,}4) + 32{,}4^2} \approx 41\;\text{MPa} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{Säkerhet mot flytning för stål S355:}}\;\;n = \sigma_y/\sigma_{vM} \approx 355/41 \approx 8{,}7 $$
10. SlutsvarFinal answer

Boxat värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{B} \approx 203\;\text{MPa}\;(\text{tryck}) \\ \sigma_{C,n} \approx 18{,}5\;\text{MPa},\;\tau_C \approx 21{,}2\;\text{MPa} \\ \sigma_{vM,C} \approx 41\;\text{MPa}\end{array}} $$

⭕ Mohrs cirkel — Punkt C (sidan av röret vid fast inspänning)Mohr's circle — Point C (tube side at the fixed end)

Vid punkt C verkar både normalspänning σ = 18,5 MPa (från axiell tryck) och skjuvspänning τ = 21,2 MPa (från transversell skjuvning). Mohrs cirkel visar huvudspänningarna σ_1 och σ_2 direkt. Jämför σ_vM = 50 MPa mot enbart σ — bidraget från τ dominerar! Pröva att sätta τ_xy = 0 för att se hur mycket lägre belastningen blir utan skjuvning.At point C, both normal stress σ = 16.3 MPa (from axial compression) and shear stress τ = 27.3 MPa (from transverse shear) act. Mohr's circle gives σ_1 and σ_2 directly. Compare σ_vM = 50 MPa to σ alone — the τ contribution dominates. Set τ_xy = 0 to see how much lower the load would be without shear.

σ_x = 16.3 MPa
σ_y = 0 MPa
τ_xy = 27.3 MPa
θ = 0°
Mohrs cirkel (σ−τ plan)Mohr's circle (σ−τ plane)
Spännings­element (vrider med θ)Stress element (rotates with θ)
σ_1 — MPa
σ_2 — MPa
τ_max — MPa
θ_p —°
σ_vM — MPa
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.31 · Spänningstransformation, Mohrs cirkel, huvudspänningarStress transformation, Mohr's circle, principal stresses
  • KB s.31 · von Mises σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²)von Mises σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M11-01_used_wrong_formula_for_principal
Huvudspänningar: σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ± √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy². Två tecken — båda måste räknas. Principal stresses: σ_1,2 = (σ_x + σ_y)/2 ± √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy². Two signs — both must be computed.
M11-02_max_shear_separate_formula
τ_max = √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² = (σ_1 − σ_2)/2 i 2D. ALDRIG bara τ_xy från det ursprungliga koordinatsystemet. τ_max = √((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² = (σ_1 − σ_2)/2 in 2D. NEVER just τ_xy from the original coordinate system.
M11-03_vM_formula
von Mises (2D plan­spänning): σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). I huvud­koord: √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²). von Mises (2D plane stress): σ_vM = √(σ_x² − σ_x·σ_y + σ_y² + 3τ_xy²). In principal coordinates: √(σ_1² − σ_1σ_2 + σ_2²).
M11-04_mohrs_angle_2theta
På Mohrs cirkel är vinkeln 2θ (dubbel) — fysiskt motsvarar θ till elementets rotation i x-y-planet. Glöm inte faktor 2. On Mohr's circle the angle is 2θ (doubled) — physically θ corresponds to the element's rotation in the x-y plane. Don't forget the factor of 2.
KällaSource: Madeleine Hermann, EduME — Education and Mechanical Engineering — https://edume.nu.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Sidnummer enligt åttonde upplagan.Page numbers per the 8th edition.
Originalfigurer © EduME. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1565-teamet vid BTH. Original figures © EduME. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1565 review only.