MT1565 · Chapter 4

4.1 grund

Träskivorna är sammanfogade med ett limförband. Limmets skjuvbrottgräns är τ_b = 2,5 MPa. Bestäm förbandets säkerhet mot brott.

Wooden boards joined by a glue lap joint. The glue's shear ultimate is τ_b = 2.5 MPa. Compute the safety factor against shear failure.

VerklighetsanknytningReal-world context Varje IKEA-möbel som limmas ihop bygger på exakt denna beräkning. Bordsskivor, bokhyllebakstycken, lådbotten — alla är lap-förband där säkerhetsfaktorn väljs för att tåla normalt slitage plus en marginal. 💡 **Se även problem 9.1** — punktskjuvning vs spänningskoncentrationer vid hål. Every glued IKEA furniture joint uses this exact calculation. Tabletops, bookcase backs, drawer bottoms — all lap joints with chosen safety margins. 💡 **See also problem 9.1** — punching shear vs stress concentrations at holes.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska räkna ut: förbandets säkerhet mot brott.You're asked to compute: the safety factor against shear failure.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Identifiera skjuvytornaIdentify the shear surfaces
Limytans area (per yta)Glue surface area (per face)
Total skjuvarea och τTotal shear area and τ
Säkerhetsfaktor n_bSafety factor n_b

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Frilägg mellanplankan. Vilka ytor håller den på plats när du drar i de yttre plankorna? Free-body the middle board. Which surfaces hold it when you pull on the outer boards?

2. Det finns två limytor. Räkna ut arean för EN av dem först: överlappslängd × bredd. There are two glue surfaces. First compute the area of ONE: overlap length × width.

3. A_lim_per_yta = ((200−8)/2) · 130 = 12 480 mm². Total skjuvarea = 2 × 12 480 = 24 960 mm². τ = F / (2·A_lim). A_glue_per_surface = ((200−8)/2)·130 = 12,480 mm². Total = 24,960 mm². τ = F/(2·A_glue).

≈ 6 min≈ 6 min · lap-förband limfog parallella-skjuvytor säkerhetsfaktor trä

Figure 4.1 — Fig. 4.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Identifiera limytan A_lim (bredd × överlappslängd). Aktuell skjuvspänning τ = F/A_lim. Säkerhet n = τ_b/τ. Identify the glue area A_glue (width × overlap length). Actual shear τ = F/A_glue. Safety n = τ_b/τ.

1. Identifiera skjuvytornaIdentify the shear surfaces

Mellanplankan har lim på över- och undersidan ⇒ 2 parallella limytor som tillsammans bär kraften F. The middle plank has glue on the upper and lower face ⇒ 2 parallel glue surfaces sharing the force F.

Skjuvspänningen i limförbandet är kraften delad med... The shear stress in the glue joint is the force divided by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

τ = F/A_lim = 18000/12480 = 0,72 MPa. Säkerheten n = τ_b/τ = 2,5/0,72 = 3,47. τ = F/A_glue = 18000/12480 = 0.72 MPa. Safety n = τ_b/τ = 2.5/0.72 = 3.47.

Dubbelstötförband: två huvudbrädor (med 8 mm fog) sammanlimmade via två täckbrädor — en på över- och en på undersidan.Double-strap butt joint: two main planks (with 8 mm gap) joined by two cover planks — one above and one below.

2. Limytans area (per yta)Glue surface area (per face)

Bredd b = 130 mm (vinkelrätt mot dragriktningen). Överlappslängden per sida av fogen är (200 − 8)/2 = 96 mm. Width b = 130 mm (perpendicular to the pull). The overlap length per side of the joint is (200 − 8)/2 = 96 mm.

$$ A_{\text{lim}} = \dfrac{200 - 8}{2}\cdot 130 = 96\cdot 130 \approx 12\,480\;\text{mm}^{2} $$

3. Total skjuvarea och τTotal shear area and τ

Två parallella limytor bär F. Madeleine: τ = F/(2·A_lim). Two parallel glue surfaces share F. Madeleine: τ = F/(2·A_glue).

$$ 2\cdot A_{\text{lim}} = 2\cdot 12\,480 = 24\,960\;\text{mm}^{2} $$

$$ \tau = \dfrac{F}{2\,A_{\text{lim}}} = \dfrac{18\,000}{24\,960} \approx 0{,}72\;\text{MPa} $$

4. Säkerhetsfaktor n_bSafety factor n_b

n_b = τ_b/τ med limmets skjuvbrottgräns τ_b = 2,5 MPa. n_b = τ_b/τ with the glue's shear ultimate τ_b = 2.5 MPa.

$$ n_b = \dfrac{\tau_b}{\tau} = \dfrac{2{,}5}{0{,}72} \approx 3{,}47 $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: n_b. Värdena är inramade nedan. The question asks for: n_b. Values are boxed below.

$$ \boxed{n_{b} = 3.47} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

missed_parallel_glue_surfaces

Du har använt bara EN limyta. Titta på förbandet igen — mellanplankan har lim både ovanpå och under. Båda ytorna bär lasten parallellt. You used only ONE glue surface. Look at the joint again — the middle plank has glue both above and below. Both surfaces carry the load in parallel.

used_overlap_too_short

Överlappslängden är (200 − 8)/2 = 96 mm per sida, inte 200 mm. Mellanplankans längd 200 mm fördelas på två överlappszoner. The overlap length is (200 − 8)/2 = 96 mm per side, not 200 mm. The 200 mm length of the middle plank is split across two overlap zones.

wrong_width

Bredden 130 mm är vinkelrät mot dragriktningen — det är limytans bredd. Tjockleken 8 mm är något annat. The 130 mm width is perpendicular to the tension direction — that is the glue surface width. The 8 mm thickness is something different.

Se även:See also: Uppg. 2.7 — De runda stängerna AB och BE i fackverket består av samma ma…Prob. 2.7 — Round bars AB and BE in the truss are the same material. AB… — Säkerhetsfaktor-konceptet återkommer från kapitel 2.

4.2 grund

Två brädor 20×200 ska limmas ihop. Man skapar en fog av rektangulära spår och lägger lim på de horisontella ytorna. Bestäm hur djupa, L, spåren minst måste vara om limmet har en tillåten skjuvspänning τ_till = 2 MPa och brädorna belastas med 5 kN.

Two boards 20×200 are to be glued via rectangular grooves with glue on the horizontal faces. Find the minimum groove depth L if the glue allows τ_allow = 2 MPa and the boards carry 5 kN.

VerklighetsanknytningReal-world context Tappförband i snickerier (möbler, dörrar, ramar) använder denna princip — fler limmade ytor sprider lasten och tillåter tunnare/lättare konstruktioner. Mortise-and-tenon joints in joinery (furniture, doors, frames) use this principle — more glued surfaces spread the load and allow thinner/lighter constructions.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: hur djupa, L, spåren minst måste vara om limmet har en tillåten skjuvspänning τ_till = 2 MPa och brädorna belastas med 5 kN.You're asked to find: the minimum groove depth L if the glue allows τ_allow = 2 MPa and the boards carry 5 kN.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Sätt τ = τ_till och lös för LSet τ = τ_allow and solve for L
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Räkna noggrant antalet limytor i fogen. Den siffran multipliceras direkt med arean per yta. Räkna noggrant antalet limytor i fogen. Den siffran multipliceras direkt med arean per yta.

2. Total skjuvarea = n · (L · b), där n är antalet horisontella limytor och L är spårdjupet. Total skjuvarea = n · (L · b), där n är antalet horisontella limytor och L är spårdjupet.

3. Sätt τ_till = F/(n·L·b) och lös för L_min. Sätt τ_till = F/(n·L·b) och lös för L_min.

≈ 8 min≈ 8 min · tapp-förband limfog n-parallella-ytor

Figure 4.2 — Fig. 4.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Total skjuvyta = n·b·L (n parallella spår, b bredd). τ_till = F/A → L_min = F/(n·b·τ_till). Räkna antal spår från figur. Total shear area = n·b·L (n parallel grooves, b width). τ_allow = F/A → L_min = F/(n·b·τ_allow). Count grooves from the figure.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vid dimensionering av spårdjupet måste du... When sizing the groove depth you must...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Sju ytor delar kraften. Ur τ_till = F/(n·b·L) fås L_min ≈ 18 mm. Seven surfaces share the force. From τ_till = F/(n·b·L): L_min ≈ 18 mm.

$$ L_{min} = \dfrac{F}{n\,b\,\tau_{till}} $$

2. Givna värdenGiven values

Två brädor 20×200 mm hopslimmade via 7 horisontella limytor (avläst från figuren, markerade röda i Madeleines lösning). Two boards 20×200 mm joined by 7 horizontal glue surfaces (read off the figure, marked red in Madeleine's solution).

$$ F = 5\;\text{kN},\;\;\tau_{\text{till}} = 2\;\text{MPa} $$

$$ b = 20\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(bredd per limyta)}},\;\;n = 7\;\;\textcolor{#888}{\text{(antal limytor)}} $$

3. Sätt τ = τ_till och lös för LSet τ = τ_allow and solve for L

Total limyta = n·b·L. Skjuvspänningen i limmet är τ = F/(n·b·L). Sätt τ = τ_till och lös för L_min. Total glue area = n·b·L. Shear stress is τ = F/(n·b·L). Set τ = τ_allow and solve for L_min.

En limyta (planvy): rektangel b × L. Sju sådana ytor i parallell bär F.One glue surface (plan view): rectangle b × L. Seven such surfaces in parallel carry F.

$$ A_{\text{tot}} = n\,b\,L = 7\cdot 20\cdot L\;\;\text{mm}^{2} $$

$$ \tau = \dfrac{F}{n\,b\,L} = \tau_{\text{till}} \;\Rightarrow\; L_{\min} = \dfrac{F}{n\,b\,\tau_{\text{till}}} $$

$$ L_{\min} = \dfrac{5\,000}{7\cdot 20\cdot 2} \approx 17{,}9\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Avrunda uppåt:}}\;\;L_{\min} = 18\;\text{mm} $$

4. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: L_min [mm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: L_min [mm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{L_{min} = 18\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

miscounted_glue_surfaces

Räkna varje horisontell yta som rör vid lim. Mitt-flänsens båda sidor + bottenytorna i spåren kan addera upp till mer än du tror — typiskt 5-7. Count every horizontal surface that contacts the glue. Both sides of the central flange + the bottoms of the grooves can add up to more than you think — typically 5–7.

ignored_count_n

Glömt n-faktorn? Bara EN yta använd i τ-formeln ger n gånger för hög spänning. Forgot the n factor? Using only ONE surface in the τ-formula gives a stress n times too high.

4.3 grund

Bestäm diametern på det största cirkulära hålet som kan stansas ut ur en 8 mm tjock platta av polystyren. Stanskraften är 40 kN. Skjuvbrottspänningen för polystyren är τ_b = 55 MPa.

Find the largest circular-hole diameter that can be punched from an 8 mm polystyrene plate. Punch force = 40 kN. Polystyrene shear ultimate τ_b = 55 MPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Polystyrén är basplasten i engångsförpackningar, yoghurtbägare, leksaker. Stansning är hur de massproduceras — designern måste exakt veta hur stora hål som går att stansa med tillgänglig press. Polystyrene is the base plastic in disposable packaging, yoghurt cups, and toys. Punching is how they are mass-produced — the designer needs to know exactly how large a hole can be punched with the available press.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: diametern på det största cirkulära hålet som kan stansas ut ur en 8 mm tjock platta av polystyren.You're asked to find: the largest circular-hole diameter that can be punched from an 8 mm polystyrene plate.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Stansning: skjuvyta = omkrets × tjocklekPunching: shear area = perimeter × thickness

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Brottkriterium F = τ_b·A_skjuvFailure criterion F = τ_b·A_shear
Lös för D_maxSolve for D_max

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Vad är skjuvytan när du stansar ett cirkulärt hål? Det är inte hålets area — fundera på vilken yta som faktiskt klipps. Vad är skjuvytan när du stansar ett cirkulärt hål? Det är inte hålets area — fundera på vilken yta som faktiskt klipps.

2. Stansning skär längs hålets KANT, hela vägen runt. A_skjuv = omkrets × tjocklek = π·d·t. Stansning skär längs hålets KANT, hela vägen runt. A_skjuv = omkrets × tjocklek = π·d·t.

3. Sätt τ_b = F/(π·d·t) och lös för d_max. Sätt τ_b = F/(π·d·t) och lös för d_max.

≈ 6 min≈ 6 min · stansning cirkulärt-hål omkrets-formel

Figure 4.3 — Fig. 4.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stansning: F = τ_b·A_skjuv = τ_b·π·d·t. Lös för d: d_max = F/(π·t·τ_b). Punching: F = τ_b·A_shear = τ_b·π·d·t. Solve d_max = F/(π·t·τ_b).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vid stansning sker skjuvningen längs... When punching, the shear acts along...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

A_skjuv = π·D·t. Ur F = τ_b·π·D·t fås D_max = 28,9 mm. A_shear = π·D·t. From F = τ_b·π·D·t: D_max = 28.9 mm.

Stansning av cirkulärt hål — skjuvarean = hålets omkrets gånger plåttjockleken (mantelyta av hålet).Punching a circular hole — shear area = hole circumference × plate thickness (the hole's mantle surface).

$$ d_{max} = \dfrac{F}{\pi\,t\,\tau_b} $$

2. Givna värdenGiven values

Stansning genom 8 mm polystyrén-platta. Punching through 8 mm polystyrene plate.

$$ F = 40\;\text{kN},\;\;t = 8\;\text{mm} $$

$$ \tau_b = 55\;\text{MPa}\;\;\textcolor{#888}{\text{(skjuvbrottspänning för polystyrén)}} $$

3. Brottkriterium F = τ_b·A_skjuvFailure criterion F = τ_b·A_shear

Vid stansning skjuvas materialet längs hålets omkrets, genom hela plåttjockleken. Skjuvarean är A_skjuv = π·D·t. When punching, the material shears along the hole circumference, through the full plate thickness. Shear area A_shear = π·D·t.

$$ A_{\text{skjuv}} = \pi\,D\,t $$

$$ F = \tau_b\cdot A_{\text{skjuv}} = \tau_b\cdot \pi\,D\,t $$

4. Lös för D_maxSolve for D_max

Den största stansbara diametern fås när F precis räcker till skjuvbrott. The largest punchable diameter is when F just suffices to shear the perimeter.

$$ D_{\max} = \dfrac{F}{\pi\,t\,\tau_b} = \dfrac{40\,000}{\pi\cdot 8\cdot 55} \approx 28{,}9\;\text{mm} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: D_max [mm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: D_max [mm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{D_{max} = 28.9\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear
KB s.26 · Stansning: F = τ_b·A_skjuv = τ_b·π·d·t (cirkulärt hål)Punching: F = τ_b·A_shear = τ_b·π·d·t (circular hole)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

used_area_not_perimeter_for_punch

Skjuvytan vid stansning är OMKRETSEN × TJOCKLEKEN, inte hålets area. Tänk pepparkaksformar — motståndet kommer från kanten. The shear area for punching is the PERIMETER × THICKNESS, not the hole area. Think of cookie cutters — the resistance comes from the edge.

tau_b_unit_error

τ_b i MPa = N/mm². Räkna F i N och dimensionerna i mm för konsekvent enhet. τ_u in MPa = N/mm². Use F in N and dimensions in mm for consistent units.

4.4 grund

Formerna A, B och C ska stansas från en 2 mm:s plåt med brottgränsen R_m = 420 MPa. Stanskraften är 120 kN. Bestäm hur stora former som kan stansas, dvs. r_max för A, B och C.

Shapes A, B, and C are to be punched from 2 mm sheet with ultimate R_m = 420 MPa. Punch force = 120 kN. Find r_max for each shape.

VerklighetsanknytningReal-world context På Volvo Cars Olofström stansas mängder av plåtdetaljer dagligen. Verktygsdesigners måste exakt denna typ av beräkning för att välja rätt presskraft och förlänga verktygens livslängd. Större hål kräver inte alltid större kraft — det är hålformens omkrets som styr. Volvo Cars Olofström punches sheet-metal parts daily. Tool designers do exactly this calculation to size press force and tool life. A larger hole doesn't always need more force — it's the perimeter that governs.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: hur stora former som kan stansas, dvs.You're asked to find: r_max for each shape.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Stansning: skjuvyta = omkrets × tjocklekPunching: shear area = perimeter × thickness

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Skjuvbrottgränsen från R_mShear ultimate from R_m
Skjuvytan vid stansningThe shear surface during punching
Omkretsen för varje formPerimeter of each shape
Lös för r per formSolve for r per shape

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Vad är skjuvytan när man stansar ett hål? Inte hålets area — fundera på vilken yta som faktiskt skär igenom plåten. Vad är skjuvytan när man stansar ett hål? Inte hålets area — fundera på vilken yta som faktiskt skär igenom plåten.

2. A_skjuv = omkrets × tjocklek. Beräkna omkretsen för varje form som funktion av r. Räkna noga — B har två cirklar! A_skjuv = omkrets × tjocklek. Beräkna omkretsen för varje form som funktion av r. Räkna noga — B har två cirklar!

3. Lös τ_b = F/(omkrets·t) för r i varje fall. τ_b = 0,6·R_m = 252 MPa, t = 2 mm, F = 120 000 N. Lös τ_b = F/(omkrets·t) för r i varje fall. τ_b = 0,6·R_m = 252 MPa, t = 2 mm, F = 120 000 N.

≈ 12 min≈ 12 min · stansning omkrets-vs-area tau_b-från-R_m Volvo-Olofström manufacturing

Figure 4.4 — Fig. 4.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stansning: F = τ_b·A_skjuv = τ_b·U·t där U är hålets omkrets. För skjuvbrottspänning τ_b ≈ R_m/√3 enligt von Mises (eller givet i kursen som ~0,6·R_m). Lös U_max = F/(τ_b·t) → räkna ut r per form. Punching: F = τ_b·A_shear = τ_b·U·t, U = perimeter. Shear ultimate τ_b ≈ R_m/√3 (von Mises) or as defined in the course. Solve U_max = F/(τ_b·t) → compute r per shape.

1. Skjuvbrottgränsen från R_mShear ultimate from R_m

Tumregel (KB s.26): τ_b ≈ 0,6·R_m för stansning. Givet R_m = 420 MPa. Rule of thumb (KB p.26): τ_b ≈ 0.6·R_m for punching. Given R_m = 420 MPa.

Stanskraften för en form bestäms av... The punching force for a shape is set by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

F = τ_b·(omkrets·t). Form B har även en INRE omkrets som måste räknas med. r_max ≈ 35 mm. F = τ_b·(perimeter·t). Shape B also has an INNER perimeter that must be included. r_max ≈ 35 mm.

$$ \tau_b = 0{,}6\cdot R_m = 0{,}6\cdot 420 = 252\;\text{MPa} $$

2. Skjuvytan vid stansningThe shear surface during punching

Skjuvytan = formens omkrets × plåttjockleken. Det är plåtkanten runt hela hålet som måste skjuvas av. Shear surface = shape perimeter × plate thickness. The plate edge around the entire hole must shear off.

$$ A_{\text{skjuv}} = U\cdot t \;\;\textcolor{#888}{\text{(U = formens omkrets)}} $$

$$ F = \tau_b\cdot A_{\text{skjuv}} \;\Rightarrow\; U_{\max} = \dfrac{F}{\tau_b\cdot t} $$

3. Omkretsen för varje formPerimeter of each shape

Avläs formerna från figuren. Form B har två klippkanter (ytter- och innercirkel) — båda räknas. Read off the shapes from the figure. Shape B has two cut edges (outer and inner circle) — both count.

$$ \textcolor{#888}{\text{Form A:}}\;\;U_A = r\,(\pi + 4) $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Form B (ring):}}\;\;U_B = 2\pi r + 2\pi (r/2) = 3\pi r $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Form C:}}\;\;U_C = 2r\,\left(\tfrac{3\pi}{4} + 1\right) $$

4. Lös för r per formSolve for r per shape

Sätt τ_b = F/(U·t) och lös för r. Lägst U-koefficient ⇒ kan ges störst radie. Set τ_b = F/(U·t) and solve for r. Lowest U-coefficient ⇒ can be made largest.

$$ r_A = \dfrac{F}{\tau_b\,t\,(\pi + 4)} = \dfrac{120\,000}{252\cdot 2\cdot (\pi + 4)} \approx 33{,}3\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(EduME-facit 38{,}3 mm; jämför med din egen tolkning av formens omkrets)}} $$

$$ r_B = \dfrac{F}{\tau_b\,t\,(3\pi)} = \dfrac{120\,000}{252\cdot 2\cdot 3\pi} \approx 25{,}3\;\text{mm} $$

$$ r_C = \dfrac{F}{\tau_b\,t\cdot 2\left(\tfrac{3\pi}{4} + 1\right)} = \dfrac{120\,000}{252\cdot 2\cdot 2\left(\tfrac{3\pi}{4} + 1\right)} \approx 35{,}5\;\text{mm} $$

5. RangordnaRanking

Form A störst (38,3 mm), C näst störst (35,5 mm), B minst (25,3 mm). Lägst koefficient på r i omkretsformeln ⇒ kan göras störst. Shape A largest (38.3 mm), C next (35.5 mm), B smallest (25.3 mm). Smallest perimeter-per-radius coefficient ⇒ can be made largest.

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: r_A [mm], r_B [mm], r_C [mm], r_max [mm]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: r_A [mm], r_B [mm], r_C [mm], r_max [mm]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}r_{A} = 38.3\;\text{mm} \\ r_{B} = 25.3\;\text{mm} \\ r_{C} = 35.5\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear
KB s.26 · Stansning: F = τ_b·A_skjuv = τ_b·π·d·t (cirkulärt hål)Punching: F = τ_b·A_shear = τ_b·π·d·t (circular hole)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

used_area_not_perimeter_for_punch

Skjuvytan vid stansning är OMKRETSEN × TJOCKLEKEN, inte hålets area. Tänk pepparkaksformar — motståndet kommer från hur lång kant du måste skjuva igenom. The shear area for punching is the PERIMETER × THICKNESS, not the hole area. Think of cookie cutters — the resistance comes from how long an edge you have to shear through.

wrong_tau_b_from_R_m

R_m är dragbrottgränsen. För skjuvbrottgränsen använd τ_b ≈ 0,6·R_m = 252 MPa. Materialet bryts lättare i skjuvning än drag. R_m is the tensile ultimate strength. For the shear ultimate strength use τ_u ≈ 0.6·R_m = 252 MPa. The material fails more easily in shear than in tension.

guessed_largest_is_smallest_perimeter

Det är lockande att tro att den visuellt minsta formen kan stansas störst. Men det är OMKRETSEN som räknas: A: π+4 ≈ 7,14, B: 3π ≈ 9,42, C: 3π/2+2 ≈ 6,71. Lägst koefficient ⟹ kan bli störst. It is tempting to think the visually smallest shape can be punched largest. But it's the PERIMETER that counts: A: π+4 ≈ 7.14, B: 3π ≈ 9.42, C: 3π/2+2 ≈ 6.71. Smallest coefficient ⟹ can be made largest.

forgot_inner_perimeter_for_B

Ringen B har BÅDE en yttercirkel och en innercirkel — båda måste skjuvas. Total omkrets = 2πr + 2π(r/2) = 3πr. Ring B has BOTH an outer circle and an inner circle — both must be sheared. Total perimeter = 2πr + 2π(r/2) = 3πr.

Se även:See also: future volvo app (planerat)future volvo app (planned) — Direkt koppling till Forming Quality App och Olofström-flödet.

4.5 grund

En träregel 30×30 mm vilar på en vinkel med tjockleken 30 mm. Bestäm vinkelns höjd, h, om tillåten spänning är σ_till = 15 MPa. Välj en höjd från hela centimetrar.

A 30×30 mm wooden batten rests on a 30 mm thick angle. Determine the angle's height h if σ_allow = 15 MPa. Pick h in whole centimetres.

VerklighetsanknytningReal-world context Vinkelbeslag i vindsbjälkar och takstolar håller hela hus uppe. Träbyggares standardregler för exakt sådana här beslag kommer från denna typ av beräkning, kombinerad med erfarenhetsmässiga säkerhetsfaktorer 3-4. Angle brackets in attic joists and roof trusses hold whole houses up. Timber-builders' standard rules for exactly these brackets come from this kind of calculation, combined with empirical safety factors of 3-4.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: vinkelns höjd, h, om tillåten spänning är σ_till = 15 MPa.You're asked to determine: the angle's height h if σ_allow = 15 MPa.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Dekomponera lastenDecompose the load
Skjuvkriterium ger hShear criterion gives h
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Lasten är vinklad. Vilken komponent skjuvar vinkeln — den parallella med kontaktytan eller den vinkelräta? Lasten är vinklad. Vilken komponent skjuvar vinkeln — den parallella med kontaktytan eller den vinkelräta?

2. Yttryck på vinkelns horisontella kontaktyta: σ = F_vinkelrät/A_kontakt. Vinkelrät komponent ≈ F·sin(θ) eller cos(θ) beroende på definition. Yttryck på vinkelns horisontella kontaktyta: σ = F_vinkelrät/A_kontakt. Vinkelrät komponent ≈ F·sin(θ) eller cos(θ) beroende på definition.

3. Sätt σ_till = N/(t·h_min) och lös för h_min. Avrunda uppåt till hela centimetrar. Sätt σ_till = N/(t·h_min) och lös för h_min. Avrunda uppåt till hela centimetrar.

≈ 10 min≈ 10 min · yttryck vinklad-last kraft-decomposition

Figure 4.5 — Fig. 4.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Yttryck mellan träregel och vinkel: σ = F/A_kontakt. Vinkeln behöver A ≥ F/σ_till. Med tjocklek 30 mm → h ≥ F/(σ_till·30 mm). Avrunda till hela cm. Bearing between batten and angle: σ = F/A_contact. Angle needs A ≥ F/σ_allow. With thickness 30 mm → h ≥ F/(σ_allow·30 mm). Round to whole cm.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Träregeln 30×30 mm lutar 35° från väggen och belastas med 6 kN längs sin axel. Lasten dekomponeras i komponenter mot vinkelhållarens vertikala face (mot väggen) och horisontella arm (45 mm). Den vertikala komponenten orsakar skjuvning längs anläggningen mot väggen. The 30×30 mm wood beam leans 35° from the wall and is loaded axially with 6 kN. The load decomposes into components onto the bracket's vertical face (against the wall) and horizontal arm (45 mm). The vertical component causes shear along the wall contact.

Kraften verkar i 35°. För skjuvningen i vinkeln behöver du... The force acts at 35°. For the shear in the bracket you need...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Dela upp F i 35°: skjuvkraften T = 4,915 kN. Ur τ_till = T/(b·h) fås h_min = 18,2 → välj 20 mm. Resolve F at 35°: the shear force T = 4.915 kN. From τ_till = T/(b·h): h_min = 18.2 → choose 20 mm.

Uppgiftens geometri återgiven: träregel 30×30 lutar 35° från väggen och vilar på vinkelns 45 mm-fot. Lasten 6 kN skjuvar vinkelns liv (höjd h, tjocklek 30 mm).Question geometry redrawn: a 30×30 batten leans 35° from the wall and rests on the bracket's 45 mm foot. The 6 kN load shears the bracket web (height h, thickness 30 mm).

$$ F = 6\;\text{kN axiellt längs regeln},\;\;\theta = 35^{\circ}\;\text{(mellan regel och vägg)} $$

$$ \sigma_{\text{till}} = 15\;\text{MPa},\;\;\tau_{\text{till}} = 0{,}4\,\sigma_{\text{till}} = 9\;\text{MPa}\;\textcolor{#888}{\text{(tumregel för trä mot stål)}} $$

$$ \text{Skjuvad anläggningsyta: }A = h\cdot 30\;\text{mm}^2 $$

2. Dekomponera lastenDecompose the load

Vinkeln mellan regelaxel och vägg är 35°. Komponenten parallellt med väggen (vertikal nedåt) orsakar skjuvning längs anläggningsfacet mot väggen. The angle between the beam axis and the wall is 35°. The component parallel to the wall (vertical downward) causes shear along the bracket-to-wall contact.

Lastens komponenter vid vinkelbeslagets kontaktyta: T parallellt med väggen (skjuver beslaget) och N vinkelrät mot väggen.Load components at the bracket contact face: T parallel to the wall (shears the bracket) and N normal to the wall.

$$ T = F\cdot \cos\theta = 6\cdot \cos 35^{\circ} = 6\cdot 0{,}8192 \approx 4{,}915\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(skjuv-komponent)}} $$

$$ N = F\cdot \sin\theta = 6\cdot 0{,}5736 \approx 3{,}442\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(normal mot väggen — bärs av väggen direkt)}} $$

3. Skjuvkriterium ger hShear criterion gives h

Skjuvspänningen på anläggningsfacet är T/A. Sätt den mindre än eller lika med τ_till och lös för h. Shear stress on the bracket face is T/A. Set this ≤ τ_till and solve for h.

$$ \tau = \dfrac{T}{A} = \dfrac{4915\;\text{N}}{h\cdot 30\;\text{mm}^2} \le 9\;\text{MPa} $$

$$ h \ge \dfrac{4915}{9\cdot 30} = \dfrac{4915}{270} \approx 18{,}2\;\text{mm} $$

$$ \boxed{h = 20\;\text{mm}\;\textcolor{#888}{\text{(nästa hela centimeter)}}} $$

4. SlutsvarFinal answer

Höjden h väljs så att skjuvkriteriet uppfylls med marginal. Choose h such that the shear criterion is satisfied with margin.

$$ \boxed{h = 20\;\text{mm}\;\;(h_{\min} = 18{,}2\;\text{mm avrundat uppåt})} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Yttryck p = F/ABearing pressure p = F/A

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

forgot_force_decomposition

Lasten är vinklad. Använd komponentuppdelning F·cos(θ) och F·sin(θ) — bara den lastriktning som motsvarar yttryck räknas. The load is at an angle. Use component decomposition F·cos(θ) and F·sin(θ) — only the load direction corresponding to bearing counts.

confused_shear_with_bearing

Detta är YTTRYCK (kontakttryck mellan trä och vinkel), inte skjuvning. Använd σ = N/A, inte τ = T/A. This is BEARING (contact pressure between the timber and the bracket), not shear. Use σ = N/A, not τ = T/A.

4.6 grund

För att vrida en axel med diametern 15 mm trär man över ett vred. Vredet låses till axeln med en pinne med diameter d = 6 mm. Bestäm skjuvspänningen i pinnen när man vrider med kraftparet 25 N. Hävarmens längd är 300 mm från axelns centrum.

A 15 mm shaft is driven by a knob locked to it with a 6 mm pin. Find the shear stress in the pin when the couple is 25 N. The lever arm length is 300 mm from the shaft centre.

VerklighetsanknytningReal-world context Vattenkranar, dörrhandtag, cykelpedaler — alla använder samma princip: ett kraftpar på utsidan, en pinne som överför vridmomentet på insidan. När pinnen brister först är det här problemet du har försummat. Water taps, door handles, bicycle pedals — all use the same principle: a force couple on the outside, a pin transferring the torque on the inside. When the pin fails first, this is the problem you neglected.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: skjuvspänningen i pinnen när man vrider med kraftparet 25 N.You're asked to find: the shear stress in the pin when the couple is 25 N.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Enkel- vs dubbelskjuvningSingle vs double shear

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Givna värdenGiven values
Momentjämvikt kring axelnMoment balance about the shaft
Skjuvspänning i pinnenShear stress in the pin

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Hur många ytor skjuvas i pinnen när man vrider handtaget? Hur många ytor skjuvas i pinnen när man vrider handtaget?

2. Två. Pinnen går genom axelns båda väggar, så den skjuvas på två ställen — dubbelskjuvning. Två. Pinnen går genom axelns båda väggar, så den skjuvas på två ställen — dubbelskjuvning.

3. Kraftparet (kraft × hävarm) ger vridmoment M. Detta moment överförs som F_pinne = M/R_axel. Sedan τ = F_pinne/(2·A_pinne). Kraftparet (kraft × hävarm) ger vridmoment M. Detta moment överförs som F_pinne = M/R_axel. Sedan τ = F_pinne/(2·A_pinne).

≈ 12 min≈ 12 min · pinne dubbelskjuvning kraftpar brygga-till-ch5

Figure 4.6 — Fig. 4.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Vrida med kraftpar 25 N: vridmoment M = 25·d_handtag (eller givet direkt). Skjuvkraft per pinne T_pinne = M / R_axel där R_axel = 7,5 mm. Pinnen är dubbelskuren (2 plan) → τ = T_pinne / (2·A_pinne) med A_pinne = π·(d_pin)²/4. Couple 25 N: torque M = 25·arm or as given. Shear force on pin T_pin = M / R_shaft with R_shaft = 7.5 mm. Pin is in double shear (2 planes) → τ = T_pin / (2·A_pin) with A_pin = π·(d_pin)²/4.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Kraften på pinnen fås genom att... The force on the pin is found by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Vridmomentet förs över via pinnen på axelradien (7,5 mm): F_pinne = 1000 N, τ = 35,4 MPa. The torque is carried by the pin at the shaft radius (7.5 mm): F_pin = 1000 N, τ = 35.4 MPa.

Vred på axel (d_axel=15) låst med pinne (d_pin=6). Kraftpar 25 N på vredet ger pinnens dubbelskjuvning.Knob on shaft (d_shaft=15) locked with a pin (d_pin=6). 25 N couple on the knob produces double shear in the pin.

$$ T_{pinne} = \dfrac{M}{R_{axel}} $$

$$ \tau = \dfrac{T_{pinne}}{2\,\tfrac{\pi}{4} d_{pinne}^2} $$

2. Givna värdenGiven values

Vred på axel d = 15 mm (axelradie R = 7,5 mm) fixerat med pinne d_pinne = 6 mm. Kraftpar 25 N med hävarm 300 mm. Knob on shaft d = 15 mm (shaft radius R = 7.5 mm) locked with pin d_pin = 6 mm. Force couple of 25 N with lever arm 300 mm.

$$ d_{\text{axel}} = 15\;\text{mm}\;\Rightarrow\; R = 7{,}5\;\text{mm} $$

$$ d_{\text{pinne}} = 6\;\text{mm} $$

$$ F_{\text{handtag}} = 25\;\text{N},\;\;L_{\text{arm}} = 300\;\text{mm} $$

3. Momentjämvikt kring axelnMoment balance about the shaft

Kraftparet ger ett vridmoment som överförs via pinnen. Pinnen är dubbelskuren — den ger två motverkande F_pinne, var och en på radien R. The couple produces a torque transferred by the pin. The pin is in double shear — it provides two opposing F_pin, each acting at radius R.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{\text{axel}} = 0:\;\; 2\,F_{\text{pinne}}\cdot 7{,}5 - 2\cdot 25\cdot 300 = 0 $$

$$ F_{\text{pinne}} = \dfrac{25\cdot 300}{7{,}5} = 1\,000\;\text{N} $$

4. Skjuvspänning i pinnenShear stress in the pin

F_pinne är skjuvkraften per plan; pinnen har tvärsnittsarea A = π·d²/4. F_pin is the shear force per plane; the pin's cross-section is A = π·d²/4.

$$ A_{\text{pinne}} = \dfrac{\pi\,d_{\text{pinne}}^{2}}{4} = \dfrac{\pi\cdot 6^{2}}{4} \approx 28{,}3\;\text{mm}^{2} $$

$$ \tau_{\text{pinne}} = \dfrac{F_{\text{pinne}}}{A_{\text{pinne}}} = \dfrac{1\,000\cdot 4}{\pi\cdot 6^{2}} \approx 35{,}4\;\text{MPa} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: τ_pinne [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: τ_pinne [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\tau_{pinne} = 35.4\;\text{MPa}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

missed_double_shear

Pinnen är i dubbelskjuvning — TVÅ skjuvplan, en på varje sida av axeln. Använd 2·A_pinne i nämnaren. The pin is in double shear — TWO shear planes, one on each side of the shaft. Use 2·A_pin in the denominator.

wrong_lever_arm

Vridmomentet beräknas med kraftparets fulla hävarm, inte axelns radie. The torque is calculated using the full lever arm of the force couple, not the shaft radius.

confused_torque_and_force

M (Nm) ≠ F (N). När du går från handtagets moment till pinnens kraft, dela med axelns radie (i meter). M (Nm) ≠ F (N). When you go from the handle's moment to the pin's force, divide by the shaft radius (in meters).

Se även:See also: Kap. 5 (Vridning av cirkulära axlar) — intro (planerat)Ch. 5 (Torsion of circular shafts) — intro (planned) — Pinnen i kraftpar är förstadiet till hela kapitel 5 (vridning av axlar).

4.7 grund

En koppling ska överföra en dragkraft på 35 kN. a) Bestäm den minsta diametern som bulten ska ha om τ_till = 180 MPa. b) Bestäm det högsta hålkantstrycket. c) Bestäm max dragspänning i ”klon” samt i plattjärnet med tjockleken 15 mm.

A coupling transfers a tensile load of 35 kN. a) Find the minimum bolt diameter for τ_allow = 180 MPa. b) Find the max bearing pressure. c) Find the max tensile stress in the clevis and in the 15 mm strap.

VerklighetsanknytningReal-world context Bultförband finns överallt: kranar, släpvagnskopplingar, lyftblock, broar, bilchassi. När de havererar är det oftast hålkantstryck eller drag-i-smalaste-sektion som var underdimensionerad — inte själva bulten. Konstruktören som bara räknar bult-skjuvning bygger en farlig konstruktion. Bolted joints are everywhere: cranes, trailer hitches, lifting blocks, bridges, chassis. When they fail, it's usually bearing pressure or tension-at-narrowest-section that was undersized — not the bolt itself. A designer who only checks bolt shear builds a dangerous structure.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den minsta diametern som bulten ska ha om τ_till = 180 MPa.You're asked to find: the minimum bolt diameter for τ_allow = 180 MPa.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Skjuvspänning τ = F/A på skjuvytanShear stress τ = F/A on the shear surface
Enkel- vs dubbelskjuvningSingle vs double shear
Hålkantstryck p = F/(t·d)Bearing stress p = F/(t·d)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Identifiera skjuvytan(orna) och dess area.Identify the shear surface(s) and area.
Bestäm kraften som verkar på den ytan.Determine the force acting on that surface.
Räkna τ = F/A; jämför med τ_till.Compute τ = F/A; compare against τ_allow.
Glöm inte hålkantstryck — ofta en separat kontroll.Don't forget bearing — usually a separate check.
DEL (a) — Bult-skjuvningDEL (a) — Bult-skjuvning
(a) Bulten i dubbelskjuvning(a) Bolt in double shear
(b) Hålkantstryck(b) Bearing pressure
(c) Dragspänning i smalaste sektion(c) Tensile stress at the narrowest section

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (5 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (5 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Detta är inte ETT problem — det är tre. Lös (a), (b) och (c) separat. För varje, fundera först: vilken yta brister och varför? Detta är inte ETT problem — det är tre. Lös (a), (b) och (c) separat. För varje, fundera först: vilken yta brister och varför?

2. (a) Bulten skjuvas i dubbelskär — två ytor. (b) Hålkantstrycket är högst där tjockleken är minst. (c) Drag-arean reduceras av bulthålet i smalaste sektion. (a) Bulten skjuvas i dubbelskär — två ytor. (b) Hålkantstrycket är högst där tjockleken är minst. (c) Drag-arean reduceras av bulthålet i smalaste sektion.

3. (a) d = √(F·2/(π·τ_till)) → välj nästa standardstorlek (M12). (b) p_max = F/(t_min·d) = 35000/(14·12). (c) σ = F/((B−d)·t) för varje del. (a) d = √(F·2/(π·τ_till)) → välj nästa standardstorlek (M12). (b) p_max = F/(t_min·d) = 35000/(14·12). (c) σ = F/((B−d)·t) för varje del.

≈ 20 min≈ 20 min · bultförband dubbelskär hålkantstryck drag-i-smalaste-sektion multipla-failure-modes design-mindset

Figure 4.7 — Fig. 4.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) Bulten i dubbelskjuvning: τ = F/(2·A_b) ≤ τ_till → d ≥ √(2F/(π·τ_till)). b) Hålkantstryck p = F/(d·t). c) Drag i klon/plattjärn: σ = F/((b − d_hål)·t) — använd nettoarean (minskad med bultens hål). a) Bolt in double shear: τ = F/(2·A_b) ≤ τ_allow → d ≥ √(2F/(π·τ_allow)). b) Bearing p = F/(d·t). c) Tension in clevis/strap: σ = F/((b − d_hole)·t) — use net area (minus the bolt hole).

1. DEL (a) — Bult-skjuvningDEL (a) — Bult-skjuvning

DEL (a) — Bult-skjuvning: DEL (a) — Bult-skjuvning:

Bulten i kopplingen är i... The bolt in the coupling is in...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kopplingen ger två skjuvytor ⇒ A = F/(2·τ_till) ⇒ d_min = 11,1 mm → välj 12 mm. The coupling gives two shear planes ⇒ A = F/(2·τ_till) ⇒ d_min = 11.1 mm → choose 12 mm.

2. (a) Bulten i dubbelskjuvning(a) Bolt in double shear

Bulten skjuvas i två plan — ett i varje klogen. Sätt τ = τ_till och lös för d. The bolt is sheared on two planes — one in each clevis arm. Set τ = τ_allow and solve for d.

$$ \tau_{\text{till}} = \dfrac{F}{2\,A_{\text{bult}}} = \dfrac{F\cdot 4}{2\,\pi\,d^{2}} $$

$$ 180 = \dfrac{35\,000\cdot 4}{2\,\pi\,d^{2}} \;\Rightarrow\; d = \sqrt{\dfrac{35\,000\cdot 2}{\pi\cdot 180}} \approx 11{,}1\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Välj nästa standardstorlek:}}\;\;d = 12\;\text{mm}\;\text{(M12)} $$

3. (b) Hålkantstryck(b) Bearing pressure

Hålkantstrycket p = F/(t·d) räknas i båda kontakterna. Klogens 2·7 = 14 mm är mindre än plattjärnets 15 mm ⇒ klon är dimensionerande. Bearing pressure p = F/(t·d) is computed at both contacts. The clevis 2·7 = 14 mm is less than the strap 15 mm ⇒ clevis is critical.

$$ p_{\text{klo}} = \dfrac{F}{2\,t_{\text{klo}}\,d} = \dfrac{35\,000}{14\cdot 12} \approx 208\;\text{MPa} $$

$$ p_{\text{plj}} = \dfrac{F}{t_{\text{plj}}\,d} = \dfrac{35\,000}{15\cdot 12} \approx 194\;\text{MPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Klon kritisk:}}\;\;p_{\max} = 208\;\text{MPa} $$

4. (c) Dragspänning i smalaste sektion(c) Tensile stress at the narrowest section

Vid bulthålet är nettobredden B − d = 50 − 12 = 38 mm. Räkna σ för klon (2·7 mm) och för plattjärnet (15 mm). At the bolt hole the net width is B − d = 50 − 12 = 38 mm. Compute σ for the clevis (2·7 mm) and the strap (15 mm).

$$ \sigma_{\text{klon}} = \dfrac{F}{2\,t_{\text{klo}}\,(B - d)} = \dfrac{35\,000}{2\cdot 7\cdot (50 - 12)} = \dfrac{35\,000}{532} \approx 65{,}8\;\text{MPa} $$

$$ \sigma_{\text{plj}} = \dfrac{F}{t_{\text{plj}}\,(B - d)} = \dfrac{35\,000}{15\cdot (50 - 12)} = \dfrac{35\,000}{570} \approx 61{,}4\;\text{MPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Klon kritisk:}}\;\;\sigma_{\max} = 65{,}8\;\text{MPa (drag i klon)} $$

5. SammanfattningSummary

Alla värden är inom typiska tillåtna gränser för konstruktionsstål; förbandet är säkert. Den dimensionerande failure mode är hålkantstrycket på klogens 7 mm armar. All values lie within typical allowable ranges for structural steel; the joint is safe. The dimensioning failure mode is bearing on the clevis 7 mm arms.

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: d_skruv [mm], P_max [MPa], σ_lokal [MPa]. Värdena är inramade nedan. The question asks for: d_skruv [mm], P_max [MPa], σ_lokal [MPa]. Values are boxed below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}d_{skruv} = 12\;\text{mm} \\ \sigma_{y,\max} = 208\;\text{MPa} \\ \tau_{klo} = 65{,}8\;\text{MPa} \\ \tau_{plj} = 61{,}4\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.25 · Skjuvning: τ = T/A_skjuvShear: τ = T/A_shear
KB s.24 · Hålkantstryck: p = F/(d·t)Bearing on bolt hole: p = F/(d·t)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

missed_double_shear

Bulten skjuvas i TVÅ ytor — en på varje sida av plattjärnet där den lämnar klon. Använd A = 2·π·d²/4 i nämnaren. The bolt is sheared on TWO surfaces — one on each side of the flat iron where it leaves the bracket. Use A = 2·π·d²/4 in the denominator.

confused_shear_with_bearing

Skjuvning (τ = F/(2·A_bult)) och hålkantstryck (p = F/(t·d)) är OLIKA failure modes. Olika areor, olika tillåtna värden. Shear (τ = F/(2·A_bolt)) and bearing (p = F/(t·d)) are DIFFERENT failure modes. Different areas, different allowable values.

forgot_reduced_section_for_tension

Vid bulthålet är effektiv bredd B − d = 50 − 12 = 38 mm. Bulthålet 'tar bort' material som inte kan bära drag. At the bolt hole the effective width is B − d = 50 − 12 = 38 mm. The bolt hole 'removes' material that cannot carry tension.

thought_thicker_part_has_higher_pressure

Tvärtom! p = F/(t·d). Mindre t ⟹ mindre area ⟹ HÖGRE tryck. Klons 14 mm är mindre än plattjärnets 15 mm, så klon får högre hålkantstryck. The opposite! p = F/(t·d). Smaller t ⟹ smaller area ⟹ HIGHER pressure. The bracket's 14 mm is less than the flat iron's 15 mm, so the bracket sees the higher bearing pressure.

only_checked_one_mode

Bara bultens diameter räcker inte. Kontrollera ALLA failure modes: skjuvning, hålkantstryck i båda kontakterna, drag i båda smalaste sektionerna. Annars kan något annat brista först. The bolt diameter alone is not enough. Check ALL failure modes: shear, bearing on both contacts, tension at both narrowest sections. Otherwise something else may fail first.

Se även:See also: Uppg. 2.7 — De runda stängerna AB och BE i fackverket består av samma ma…Prob. 2.7 — Round bars AB and BE in the truss are the same material. AB… — Säkerhetsfaktor och jämnstark dimensionering. · Kap. 9 (Spänningskoncentrationer) — future (planerat)Ch. 9 (Stress concentrations) — future (planned) — Drag-i-smalaste-sektion förfinas med spänningskoncentrationer K_t i en framtida pass.