MT1565 · Chapter 2 · Axial loading and bearing pressure

2.1 grundinteractive

En solid stång BC är sammanfogad med ett rör AB. Hur stora blir spänningarna i stången BC respektive röret AB? D = 50 mm, t = 2 mm och d = 12 mm.

A solid bar BC is joined to a tube AB. How large are the stresses in the bar BC and the tube AB respectively? D = 50 mm, t = 2 mm and d = 12 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Sammansatta stänger med rörformade och solida sektioner används överallt i konstruktioner — t.ex. teleskopiska kranarmar, klädstänger och stativ. Spänningsfördelningen mellan delarna är denna typ av beräkning. 💡 **Se även problem 3.1** — samma axiala stång — kapitel 3 lägger till termiska laster. 💡 **See also problem 3.1** — same axial bar — chapter 3 adds thermal loads.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Inre krafter och momentInternal forces and moments
TvärsnittsdataCross-section properties
SpänningarStresses

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Identifiera kraften som verkar på varje del — stång BC och rör AB. Identifiera kraften som verkar på varje del — stång BC och rör AB.

2. Rörets area: A_AB = π(D² − (D−2t)²)/4 = π(50² − 46²)/4. Stångens area: A_BC = π·d²/4 = π·12²/4. Rörets area: A_AB = π(D² − (D−2t)²)/4 = π(50² − 46²)/4. Stångens area: A_BC = π·d²/4 = π·12²/4.

3. Räkna A_AB ≈ 302 mm², A_BC ≈ 113 mm². Lägg snitt: N_BC = 10 kN, N_AB = 10 − 6 = 4 kN. Sedan σ = N/A: σ_AB ≈ 13,2 MPa, σ_BC ≈ 88,5 MPa (kritisk). Räkna A_AB ≈ 302 mm², A_BC ≈ 113 mm². Lägg snitt: N_BC = 10 kN, N_AB = 10 − 6 = 4 kN. Sedan σ = N/A: σ_AB ≈ 13,2 MPa, σ_BC ≈ 88,5 MPa (kritisk).

≈ 6 min≈ 6 min · rör+stång två-tvärsnitt ringarea

Figure 2.1 — Fig. 2.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Vid axiell belastning är spänningsfördelningen jämn över tvärsnittet. Använd σ = F/A och δ = F·L/(A·E) — bägge formlerna är direkta från Karl Björks 'Enkla belastningsfall' (s24). Under axial loading, the stress is uniformly distributed over the cross-section. Use σ = F/A and δ = F·L/(A·E) — both come directly from Karl Björk's 'Simple loading cases' (p. 24).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vilken del får störst normalspänning? Which part gets the larger normal stress?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

BC bär 10 kN på en liten area (113 mm²) → 88,5 MPa; AB bär 4 kN på 302 mm² → 13,2 MPa. Det är F/A som avgör, inte enbart kraften. BC carries 10 kN on a small area (113 mm²) → 88.5 MPa; AB carries 4 kN on 302 mm² → 13.2 MPa. It is F/A that decides, not the force alone.

Frikropp (vertikal som i frågan): rör AB nederst (fast vid A), sammanfogat via stel fläns vid B med solid stång BC överst (last 10 kN vid C). Två 3 kN-laster verkar nedåt på flänsen vid B.FBD (vertical, as in the question): tube AB at the bottom (fixed at A), joined via a rigid flange at B to solid bar BC above (10 kN load at C). Two 3 kN loads act downward on the flange at B.

$$ A_{AB} = \frac{\pi}{4}\bigl(D^{2} - (D - 2t)^{2}\bigr) $$

$$ A_{BC} = \frac{\pi}{4}\,d^{2} $$

$$ \sigma_{AB} = \frac{F}{A_{AB}}, \quad \sigma_{BC} = \frac{F}{A_{BC}} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Last 10 kN vid C, två 3 kN nedåt vid flänsen B. Load 10 kN at C, two 3 kN downward at flange B.

$$ D = 50\;\text{mm}, \;\; t = 2\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(AB är rör)}} $$

$$ d = 12\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(BC är solid stång)}} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Härledningssteg: inre krafter och moment. Två snitt: a-a i BC ger N_BC, b-b i AB ger N_AB (efter att 2·3 kN-lasterna räknats av vid flänsen B). Two section cuts: a-a in BC gives N_BC, b-b in AB gives N_AB (after subtracting the 2·3 kN loads at flange B).

Snitt-FBD:er. Vänster: snitt a-a i BC, övre delen friläggs — 10 kN extern uppåt (blå), N_BC (röd) nedåt på snittytan. Höger: snitt b-b i AB, övre delen friläggs (innehåller flänsen B med 2·3 kN nedåt) — 10 kN uppåt vid C, 2·3 kN nedåt vid B, N_AB (röd) nedåt på snittytan ⇒ N_AB = 10 − 6 = 4 kN drag.Section FBDs. Left: cut a-a in BC, upper piece freed — 10 kN external upward (blue), N_BC (red) downward on the cut face. Right: cut b-b in AB, upper piece freed (includes flange B with 2·3 kN downward) — 10 kN upward at C, 2·3 kN downward at B, N_AB (red) downward on the cut face ⇒ N_AB = 10 − 6 = 4 kN tension.

$$ N_{BC} = 10\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(drag — snittet i BC bär hela 10 kN)}} $$

$$ N_{AB} = 10 - 6 = 4\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(efter mellanlasten 6 kN vid B)}} $$

4. TvärsnittsdataCross-section properties

Steg 4: Step 4:

$$ A_{BC} = \pi \cdot 12^{2}/4 \approx 113\;\text{mm}^{2} $$

$$ A_{AB} = \pi (50^{2} - 46^{2})/4 \approx 302\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(rör med }t=2\text{ mm,}\; d_i = 46\text{ mm)}} $$

5. SpänningarStresses

BC bär hela 10 kN över den minsta arean — det är den kritiska delen. BC carries the full 10 kN through the smallest area — it is the critical member.

$$ \sigma _{BC} = N_{BC}/A_{BC} = 10000/113 \approx 88{,}5\;\text{MPa} $$

6. SpänningarStresses

AB belastas av nettokraften 4 kN över den större rörarean. AB carries the net 4 kN over the larger tube area.

$$ \sigma _{AB} = N_{AB}/A_{AB} = 4000/302 \approx 13{,}2\;\text{MPa} $$

$$ \sigma_{BC} = N_{BC}/A_{BC} = 10000/113 \approx 88{,}5\;\text{MPa} $$

7. SlutsvarFinal answer

Härledningssteg: slutsvar. Derivation step: final answer.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{AB} = 13{,}2\;\text{MPa} \\ \sigma_{BC} = 88{,}5\;\text{MPa}\;\;(\text{kritisk})\end{array}} $$

Sammanfattning.Summary. Hooke's law för en axiellt belastad stång ger två tätt kopplade storheter — spänningen σ och töjningen ε = σ/E. Förlängningen är δ = ε·L. Hooke's law for an axially loaded bar links the two key quantities — stress σ and strain ε = σ/E. The elongation is δ = ε·L.

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

Prova själv — variera kraft, area och längdTry it yourself — vary force, area, and length

Notera att σ är linjär i F och oberoende av L; δ är linjär i F·L och omvänt proportionell mot A·E. Note that σ is linear in F and independent of L; δ is linear in F·L and inversely proportional to A·E.

50 kN

100 mm²

1000 mm

210000 MPa

Stången förlängs med δ under kraften F. Förlängningen är visuellt förstärkt. The bar elongates by δ under the axial force F. The elongation is visually amplified.

StorhetQuantity	VärdeValue	EnhetUnit	KommentarNote
	—	MPa
	—	mm
	—	-

2.2 grund

Två cylindriska stavar är svetsade i B. Bestäm normalspänningen i mittpunkten av varje stav. Försumma egenvikt.

Two cylindrical bars are welded at B. Determine the normal stress at the midpoint of each bar. Neglect self-weight.

VerklighetsanknytningReal-world context Svetsade rörförband i pipelines, broar, fartygsdäck — snittmetoden här är samma metod som dimensionerar svetsfogen. Welded pipe joints in pipelines, bridges and ship decks — the section method here is the same method that dimensions the weld seam.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: normalspänningen i mittpunkten av varje stav.You're asked to determine: the normal stress at the midpoint of each bar.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Inre krafter och momentInternal forces and moments
SpänningarStresses
TvärsnittsdataCross-section properties

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Snitta varje stav i mitten och tillämpa σ = F/A. Snitta varje stav i mitten och tillämpa σ = F/A.

2. Vid svetsfogen i B är kraften samma som vid lasten — försumma egenvikt. Räkna A för varje stav. Vid svetsfogen i B är kraften samma som vid lasten — försumma egenvikt. Räkna A för varje stav.

3. σ_AB = F/A_AB och σ_BC = F/A_BC. Insättning av givna värden ger σ direkt i MPa (N/mm²). σ_AB = F/A_AB och σ_BC = F/A_BC. Insättning av givna värden ger σ direkt i MPa (N/mm²).

≈ 5 min≈ 5 min · svetsat-förband två-stavar

Figure 2.2 — Fig. 2.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Skär av varje stav i mittsnittet och tillämpa σ = F/A. Normalkraften är samma genom hela staven om endast ändlasterna finns kvar (försumma egenvikt). Cut each bar at its midpoint and apply σ = F/A. The internal normal force is constant along each bar when self-weight is neglected.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Blir normalspänningarna i de två stavarna drag eller tryck? Are the normal stresses in the two rods tension or compression?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Lasterna trycker ihop staven → tryck (negativ spänning): σ_AB = −42,4 MPa, σ_BC = −35,7 MPa. The loads compress the rod → compression (negative stress): σ_AB = −42.4 MPa, σ_BC = −35.7 MPa.

Två cylindriska stavar (vertikalt som i frågan) svetsade vid flänsen B. Övre staven AB (d = 30) belastas uppåt med 30 kN vid A; nedre staven BC (d = 50) är fast vid C och har 40 kN nedåt invändigt. Snitt vid mittpunkten ger σ = N/A.Two cylindrical bars (vertical, as in the question) welded at flange B. Upper bar AB (d = 30) is loaded upward with 30 kN at A; lower bar BC (d = 50) is fixed at C with 40 kN downward inside. Section at the midpoint gives σ = N/A.

$$ \sigma_{AB} = \dfrac{F_{AB}}{A_{AB}} $$

$$ \sigma_{BC} = \dfrac{F_{BC}}{A_{BC}} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Givet. Egenvikt försummad. Given. Egenvikt försummad.

$$ \textcolor{#888}{\text{Två svetsade cylindriska stavar:}}\;\;AB\;(d = 30\;\text{mm}),\;\;BC\;(d = 50\;\text{mm}) \;\textcolor{#888}{\text{(under tryck)}} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Steg 1: Snitta AB. Frilägg övre delen av AB; den inre normalkraften N_AB (röd) verkar på snittytan. Step 1: Cut AB. Free-body the upper portion of AB; the internal normal force N_AB (red) acts on the cut face.

Snitt a-a vid mittpunkten av stång AB. Övre delen friläggs: 30 kN extern (blå) verkar uppåt vid A, inre normalkraft N_AB (röd) verkar på snittytan.Section a-a at the midpoint of bar AB. Upper piece freed: 30 kN external (blue) acts upward at A, internal normal force N_AB (red) acts on the cut face.

$$ F_{topp} = 30\;\text{kN} $$

$$ F_{sido} = 40\;\text{kN} $$

4. SpänningarStresses

Steg 2: Snitta BC. Frilägg övre delen av BC (mellan flänsen B och snittet); 30 kN och 40 kN passerar genom snittet. Steg 3: Step 2: Cut BC. Free-body the upper part of BC (between flange B and the cut); 30 kN and 40 kN pass through the section. Step 3:

Snitt b-b vid mittpunkten av stång BC. Övre delen friläggs: 30 kN (från AB via flänsen B) verkar uppåt, 40 kN nedåt invändigt, inre normalkraft N_BC (röd) på snittytan.Section b-b at the midpoint of bar BC. Upper piece freed: 30 kN (from AB through flange B) acts upward, 40 kN acts downward inside, internal normal force N_BC (red) on the cut face.

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F = 0: N_{AB} + 30 = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{AB} = -30\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F = 0: N_{BC} + 30 + 40 = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{BC} = -70\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

5. TvärsnittsdataCross-section properties

Steg 4: Step 4:

$$ A_{AB} = \pi \cdot 30^{2}/4 = 707\;\text{mm}^{2} $$

$$ A_{BC} = \pi \cdot 50^{2}/4 = 1963\;\text{mm}^{2} $$

6. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma_{AB} = N_{AB}/A_{AB} = -30\cdot 10^{3}/707 \approx -42{,}4\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

$$ \sigma_{BC} = N_{BC}/A_{BC} = -70\cdot 10^{3}/1963 \approx -35{,}7\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_AB [MPa], σ_BC [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_AB [MPa], σ_BC [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{AB} = -42.4\;\text{MPa} \\ \sigma_{BC} = -35.7\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-10_sign_tension_vs_compression

Lasterna trycker ihop staven ⇒ tryck (negativ spänning). Anta inte drag som standard. The loads compress the rod ⇒ compression (negative stress). Do not assume tension by default.

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

2.3 grund

Bestäm hur stor P måste vara för att dragspänningen i AB skall bli lika stor som tryckspänningen i BC.

Determine the force P required for the tensile stress in AB to equal the compressive stress in BC.

VerklighetsanknytningReal-world context Jämnstark dimensionering — när alla element ska ha samma utnyttjandegrad — är en av grundprinciperna i konstruktion. Det förebygger 'överdimensionerade' element som bär last till skada för andra delar. Equal-strength dimensioning — where every element reaches the same utilization — is one of the foundational design principles. It prevents 'over-dimensioned' members that carry load to the detriment of other parts.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: hur stor P måste vara för att dragspänningen i AB skall bli lika stor som tryckspänningen i BC.You're asked to determine: the force P required for the tensile stress in AB to equal the compressive stress in BC.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
BeräkningCalculation
Beräkning av PCalculation of P

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Sätt upp σ_AB = σ_BC och uttryck båda i P. Sätt upp σ_AB = σ_BC och uttryck båda i P.

2. F_AB och F_BC är båda proportionella mot P (från jämvikt). Sätt F_AB/A_AB = F_BC/A_BC. F_AB och F_BC är båda proportionella mot P (från jämvikt). Sätt F_AB/A_AB = F_BC/A_BC.

3. Lös för P efter att uttryckt F_AB och F_BC i P via jämvikten vid knutpunkten. Lös för P efter att uttryckt F_AB och F_BC i P via jämvikten vid knutpunkten.

≈ 8 min≈ 8 min · jämnstark två-stavar lika-spänning

Figure 2.3 — Fig. 2.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Sätt upp σ_AB = σ_BC. Eftersom σ = F/A för varje stav blir villkoret F_AB/A_AB = F_BC/A_BC. Lös för P efter att ha uttryckt F_AB och F_BC i P via jämvikt. Set σ_AB = σ_BC. Since σ = F/A in each bar, this means F_AB/A_AB = F_BC/A_BC. Express F_AB and F_BC in terms of P via equilibrium, then solve for P.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Stängerna AB och BC i fackverket bär... The members AB and BC in the truss carry...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Ledade fackverksstänger, lastade bara i ändarna → endast axiell normalkraft. Sätt σ_AB(drag) = σ_BC(tryck) i belopp. Pin-jointed truss members, loaded only at the ends → axial normal force only. Set σ_AB(tension) = σ_BC(compression) in magnitude.

Två cylindriska stavar i serie: AB (d = 50, dragspänd av P uppåt vid A) och BC (d = 75, tryckspänd av netto 240 − P kN, fast vid C). Två 120 kN-laster verkar nedåt på flänsen B.Two cylindrical bars in series: AB (d = 50, in tension from P upward at A) and BC (d = 75, in compression from net 240 − P kN, fixed at C). Two 120 kN loads act downward on flange B.

$$ \sigma_{AB} = \sigma_{BC} $$

$$ \Rightarrow \dfrac{F_{AB}}{A_{AB}} = \dfrac{F_{BC}}{A_{BC}} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: två sektioner av olika diametrar. Steg 1: Skriv spänningen i båda sektionerna. Given: two sections av olika diametrar. Step 1: Write spänningen i both sektionerna.

$$ AB\;(d = 50\;\text{mm}) \;\textcolor{#888}{\text{(dragspänd av }P\text{)}};\;\;BC\;(d = 75\;\text{mm}) \;\textcolor{#888}{\text{(tryckspänd av }240-P\text{ kN)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Sök }}P\;\textcolor{#888}{\text{ så att }}|\sigma_{AB}| = |\sigma_{BC}| $$

3. SpänningarStresses

Snitt i AB ger den inre normalkraften N_AB = P (ren drag — bara P passerar genom snittet). Snitt i BC mellan flänsen B och stödet C ger N_BC = (240 − P) kN (tryck — efter att 2·120 kN-lasten räknats med). A cut in AB gives the internal normal force N_AB = P (pure tension — only P passes through the section). A cut in BC between flange B and support C gives N_BC = (240 − P) kN (compression — after accounting for the 2·120 kN load).

Snitt-FBD:er. Vänster: snitt a-a i AB, övre delen friläggs — P uppåt vid A (blå), N_AB (röd) nedåt på snittytan ⇒ N_AB = P (drag). Höger: snitt b-b i BC, övre delen friläggs (innehåller flänsen B med 2·120 kN nedåt och P uppåt vid A) — N_BC (röd) nedåt på snittytan ⇒ N_BC = 240 − P kN (tryck).Section FBDs. Left: cut a-a in AB, upper piece freed — P upward at A (blue), N_AB (red) downward on the cut face ⇒ N_AB = P (tension). Right: cut b-b in BC, upper piece freed (contains flange B with 2·120 kN downward and P upward at A) — N_BC (red) downward on the cut face ⇒ N_BC = 240 − P kN (compression).

$$ \sigma_{AB} = P\cdot 4/(\pi \cdot 50^{2}) \;\textcolor{#888}{\text{[drag]}},\quad \sigma_{BC} = (240\cdot 10^{3} - P)\cdot 4/(\pi \cdot 75^{2}) \;\textcolor{#888}{\text{[tryck]}} $$

4. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Sätt magnitudvärdena lika:}}\;\; P\cdot 4/(\pi \cdot 50^{2}) = (240\cdot 10^{3} - P)\cdot 4/(\pi \cdot 75^{2}) $$

$$ P/50^{2} = (240\cdot 10^{3} - P)/75^{2} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Multiplicera och lös:}}\;\; 75^{2}\cdot P = 50^{2}\cdot (240\cdot 10^{3} - P) $$

$$ \Rightarrow P(75^{2} + 50^{2}) = 240\cdot 10^{3}\cdot 50^{2} $$

5. Beräkning av PCalculation of P

Härledningssteg: belastning och givna värden. Derivation step: loads and given values.

$$ P = 240\cdot 10^{3}\cdot 2500/8125 = 73 846\;\text{N} \approx 73{,}8\;\text{kN} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: P [kN]. Värdena är inramade nedan The question asks for: P [kN]. Values are boxed below

$$ \boxed{P = 73.8\;\text{kN}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-08_two_links_in_truss

Vid en knutpunkt i ett fackverk gör du kraftbalans på själva punkten — varje länk bär sin del. Beräkna F_AC och F_BC separat. At a joint in a truss, do a force balance at the joint itself — each link carries its own share. Compute F_AC and F_BC separately.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.4 grund

I kranen i figur har länken CD ett tvärsnitt av 50×150 mm. Beräkna normalspänningen i mittsnittet i denna länk.

In the crane shown, link CD has a cross-section of 50×150 mm. Compute the normal stress at the midsection of this link.

VerklighetsanknytningReal-world context Kranländer används för att lyfta last i hamnar, byggarbetsplatser och industri. Dimensionering av länken CD är en av de mest grundläggande beräkningarna i tornkran-design. Crane links are used to lift loads in harbours, construction sites and industry. Sizing the link CD is one of the most basic calculations in tower-crane design.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska räkna ut: normalspänningen i mittsnittet i denna länk.You're asked to compute: the normal stress at the midsection of this link.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
TvärsnittsdataCross-section properties
SpänningarStresses

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Beräkna F_CD via momentjämvikt kring kranens vridningspunkt. Beräkna F_CD via momentjämvikt kring kranens vridningspunkt.

2. Länken CD har tvärsnittsarea A = 50·150 = 7500 mm². σ = F_CD/A. Länken CD har tvärsnittsarea A = 50·150 = 7500 mm². σ = F_CD/A.

3. Snitta CD i mitten — kraften är konstant genom hela länken om vi försummar egenvikt. Snitta CD i mitten — kraften är konstant genom hela länken om vi försummar egenvikt.

≈ 8 min≈ 8 min · kran länkdimensionering rektangulär-area

Figure 2.4 — Fig. 2.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Bestäm kraften i CD genom momentjämvikt kring kranens vridningspunkt, sedan σ = F_CD / A_CD. Find the force in CD by moment equilibrium about the crane's pivot, then σ = F_CD / A_CD.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vad behöver du först för att räkna ut σ i länken CD? What do you need first to compute σ in link CD?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kranen ger en hävarm — bestäm först kraften i CD med momentjämvikt, dela sedan med tvärsnittsarean 50×150 = 7500 mm² → σ = 195 MPa. The crane has a lever arm — first find the force in CD from moment equilibrium, then divide by the cross-section 50×150 = 7500 mm² → σ = 195 MPa.

Schematisk frikropp: kranbommen är pinnad vid A, 80 ton-lasten verkar nedåt vid bommens spets på avstånd 28 m horisontellt från A; länken CD drar/trycker vid C på 15 m horisontellt avstånd från A. Momentjämvikt kring A bestämmer F_CD.Schematic free-body: the crane boom is pinned at A, the 80-ton load acts downward at the boom tip 28 m horizontally from A; link CD pulls/pushes at C 15 m horizontally from A. Moment equilibrium about A determines F_CD.

$$ \sigma_{CD} = \dfrac{F_{CD}}{50 \cdot 150\,\text{mm}^2} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: kran med 80 ton-belastning. CD är länken med tvärsnitt 50×150 mm. Steg 1: Frilägg lastarmen och skriv momentjämvikt kring fästpunkten. Stångkraften CD verkar vertikalt på 15 mm horisontellt avstånd. Given: kran with 80 ton-belastning. CD is länken with cross-section 50×150 mm. Step 1: Free-body lastarmen and write momentjämvikt about fästpunkten. Stångkraften CD verkar vertikalt på 15 mm horisontellt avstånd.

$$ \textcolor{#888}{\text{Vridmoment från lasten:}}\;\; M = 80\cdot 10^{3}\cdot 9{,}81\cdot 28\;\text{N}\cdot\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(28 mm = armens horisontella avstånd)}} $$

3. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Step 3:

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M = 0 ger 80\cdot 10^{3}\cdot 9{,}81\cdot 28 + CD\cdot 15 = 0 $$

$$ \Rightarrow CD = 1 464 960\;\text{N} $$

4. TvärsnittsdataCross-section properties

Frilägg länken CD ensam — kraften N_CD verkar i båda ändar (motsatta riktningar = drag). Rektangulärt tvärsnitt 50 × 150 mm. Free-body just link CD — force N_CD acts at both ends in opposite directions (tension). Rectangular cross-section 50 × 150 mm.

Isolerad länk CD: två motsatta dragkrafter N_CD verkar på snittytorna (rött = inre okänd). Rektangulärt tvärsnitt 50 × 150 mm.Isolated link CD: two opposing tensile forces N_CD act on the cut faces (red = internal unknown). Rectangular cross-section 50 × 150 mm.

$$ A_{CD} = 50 \cdot 150 = 7500\;\text{mm}^{2} $$

5. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{CD} = CD/A_{CD} = 1 464 960/7 500 \approx 195\;\text{MPa} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_CD [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_CD [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\sigma_{CD} = 195\;\text{MPa}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.5 grund

AC och BC är två plattjärn, 40×4 mm. Plattjärnen är ledat infästa i A, B och C och belastas med F = 25 kN. a) Hur stora blir spänningen i BC respektive AC? b) Hur stor blir säkerhetsfaktorn mot permanenta deformationer respektive brott om plattjärnen är tillverkade av S235.

AC and BC are two flat bars, 40×4 mm, pin-connected at A, B, and C, loaded by F = 25 kN. a) Find the stresses in BC and AC. b) Compute the safety factor against yield and against fracture if the bars are S235 steel.

VerklighetsanknytningReal-world context Fackverkskonstruktioner — takstolar, master, kranar — är mångfald av exakt detta problem. Varje länk är ett 'σ = F/A med säkerhetsfaktor'-problem; samverkande är knutpunkternas jämvikt. Truss structures — roof trusses, masts, cranes — are multiplicities of exactly this problem. Each link is a 'σ = F/A with safety factor' problem; what couples them is the equilibrium at the joints.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: the stresses in BC and AC.You're asked to find: the stresses in BC and AC.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
SäkerhetsfaktorSafety factor
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Knutpunkt C: gör kraftbalans i x- och y-led för att lösa ut F_AC och F_BC. Knutpunkt C: gör kraftbalans i x- och y-led för att lösa ut F_AC och F_BC.

2. A = 40·4 = 160 mm² för varje plattjärn. σ = F/A. För S235: σ_y = 235 MPa, σ_u ≈ 360 MPa. A = 40·4 = 160 mm² för varje plattjärn. σ = F/A. För S235: σ_y = 235 MPa, σ_u ≈ 360 MPa.

3. n_y = σ_y/σ_max, n_u = σ_u/σ_max. Det är den högsta spänningen i de två plattjärnen som styr säkerheten. n_y = σ_y/σ_max, n_u = σ_u/σ_max. Det är den högsta spänningen i de två plattjärnen som styr säkerheten.

≈ 12 min≈ 12 min · fackverk S235 säkerhetsfaktor knutpunkt

Figure 2.5 — Fig. 2.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Punkt C är knutpunkt — gör en kraftbalans i C för att lösa ut F_AC och F_BC. σ = F/A med A = 40·4 = 160 mm². Säkerhetsfaktor n = σ_y/σ för flytning (S235: σ_y = 235 MPa) och n = σ_u/σ för brott (S235: σ_u ≈ 360 MPa). Point C is a joint — apply force balance at C to solve for F_AC and F_BC. σ = F/A with A = 40·4 = 160 mm². Safety factor n = σ_y/σ for yield (S235: σ_y = 235 MPa) and n = σ_u/σ for fracture (S235: σ_u ≈ 360 MPa).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Säkerhetsfaktorn mot permanent deformation beräknas som... The safety factor against permanent deformation is computed as...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

n = sträckgräns / verklig spänning = R_eL/σ (mot brott använder man R_m). Här n_sträck = 1,2 och n_brott = 2,05. n = yield strength / actual stress = R_eL/σ (against fracture you use R_m). Here n_yield = 1.2 and n_fracture = 2.05.

Fackverk: B uppe till höger (ledat fäst), A nere till höger (ledat fäst), C nere till vänster (fri, F = 25 kN nedåt). AC horisontell 1,5 m, BC diagonal (vinkel α = arctan(3/1,5) ≈ 63,4°). Plattjärn 40 × 4 mm.Truss: B upper-right (pinned), A lower-right (pinned), C lower-left (free, F = 25 kN downward). AC horizontal 1.5 m, BC diagonal (angle α = arctan(3/1.5) ≈ 63.4°). Flat bars 40 × 4 mm.

$$ \sigma = \dfrac{F}{A} $$

$$ n_y = \dfrac{\sigma_y}{\sigma}, \quad n_u = \dfrac{\sigma_u}{\sigma} $$

2. BeräkningCalculation

Knutpunkt C med last 25 kN. Frilägg C som en punkt: tre krafter verkar — F = 25 kN nedåt, F_AC åt höger (längs AC, antagen drag), F_CB längs CB upp åt höger (antagen drag). Vertikal jämvikt ger F_CB; horisontell jämvikt ger F_AC. Joint C with 25 kN load. Free-body C as a point: three forces — F = 25 kN downward, F_AC rightward (along AC, assumed tension), F_CB along CB up-right (assumed tension). Vertical equilibrium gives F_CB; horizontal equilibrium gives F_AC.

Knutpunkt C frilagd. Lasten F = 25 kN verkar nedåt. Stångkraft F_AC verkar horisontellt åt höger (mot A); stångkraft F_CB verkar längs CB upp åt höger (mot B), med vinkeln α = 63,4° från horisontalplanet. Vertikalt: F_CB·sin α = F. Horisontellt: F_AC + F_CB·cos α = 0 ⇒ F_AC negativ (tryck).Joint C freed. Load F = 25 kN acts downward. Bar force F_AC acts horizontally to the right (toward A); bar force F_CB acts along CB up-right (toward B), at angle α = 63.4° from horizontal. Vertical: F_CB·sin α = F. Horizontal: F_AC + F_CB·cos α = 0 ⇒ F_AC negative (compression).

$$ \alpha = \arctan(3/1{,}5) = 63{,}4^{\circ}.\quad \textcolor{#888}{\uparrow}\;CB\cdot \sin 63{,}4^{\circ} - 25 = 0 $$

$$ \Rightarrow CB = 27{,}95\;\text{kN}.\quad \textcolor{#888}{\to}\;AC + CB\cdot \cos 63{,}4^{\circ} = 0 $$

$$ \Rightarrow AC = -12{,}52\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

$$ A_{\text{plattjärn}} = 40\cdot 4 = 160\;\text{mm}^{2} $$

3. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma_{CB} = 27{,}95\cdot 10^{3}/160 = +175\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ \sigma_{AC} = -12{,}52\cdot 10^{3}/160 = -78\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

4. SäkerhetsfaktorSafety factor

Säkerhetsfaktorer mot S235. Säkerhetsfaktorer mot S235.

$$ n_{\text{sträck}} = R_{eL}/\sigma_{CB} = 210/175 = 1{,}2;\quad n_{\text{brott}} = R_m/\sigma_{CB} = 360/175 = 2{,}05 $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_CB [MPa], σ_AC [MPa], n_strack, n_brott. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_CB [MPa], σ_AC [MPa], n_strack, n_brott. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{CB} = 175\;\text{MPa} \\ \sigma_{AC} = -78\;\text{MPa} \\ n_{strack} = 1.2 \\ n_{brott} = 2.05\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.33 · Tillåtna spänningar för konstruktionsstålAllowable stresses for structural steel

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-08_two_links_in_truss

Vid en knutpunkt i ett fackverk gör du kraftbalans på själva punkten — varje länk bär sin del. Beräkna F_AC och F_BC separat. At a joint in a truss, do a force balance at the joint itself — each link carries its own share. Compute F_AC and F_BC separately.

M2-04_forgot_safety_factor

σ_till = σ_y/n. Om n = 2 ska du dimensionera mot HÄLFTEN av σ_y, inte mot σ_y direkt. σ_allow = σ_y/n. If n = 2 you must design against HALF of σ_y, not against σ_y directly.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

2.6 grund

Länken BC är ett plattjärn med tjockleken 6 mm. Hur stor måste bredden, b, vara om tillåten spänning är σ_till = 150 MPa? Konstruktionen belastas av F = 40 kN.

Link BC is a flat bar of thickness 6 mm. How wide (b) must it be if the allowable stress is σ_allow = 150 MPa? The structure is loaded by F = 40 kN.

VerklighetsanknytningReal-world context Dimensionering av plattjärn med given σ_till är vardagsarbete för en konstruktör — välj minsta tillåtna profil ur en tabell utan att underdimensionera. Sizing a flat bar against a given σ_allow is everyday work for a designer — pick the smallest permissible profile from a table without under-dimensioning.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
SpänningarStresses
BeräkningCalculation
Beräkning av bCalculation of b

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Bestäm F_BC via jämvikt (eller direkt om geometrin ger F_BC = F). Bestäm F_BC via jämvikt (eller direkt om geometrin ger F_BC = F).

2. σ_till = F_BC/(b·t) → b_min = F_BC/(σ_till·t). σ_till = F_BC/(b·t) → b_min = F_BC/(σ_till·t).

3. Med F = 40 kN, σ_till = 150 MPa, t = 6 mm: b_min = 40000/(150·6) ≈ 44,4 mm. Avrunda uppåt till 45 mm. Med F = 40 kN, σ_till = 150 MPa, t = 6 mm: b_min = 40000/(150·6) ≈ 44,4 mm. Avrunda uppåt till 45 mm.

≈ 6 min≈ 6 min · plattjärn dimensionering tjocklek-bredd

Figure 2.6 — Fig. 2.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Hitta F_BC via jämvikt (eller direkt om geometrin ger F_BC = F). Lös σ_till = F_BC/(b·t) för b. Find F_BC by equilibrium (or directly if geometry gives F_BC = F). Solve σ_allow = F_BC/(b·t) for b.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Hur dimensionerar du bredden b? How do you size the width b?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Arean är b·t. Ur σ_till = F/(b·t) fås b = F/(σ_till·t) = 40460/(150·6) ≈ 45 mm. The area is b·t. From σ_till = F/(b·t): b = F/(σ_till·t) = 40460/(150·6) ≈ 45 mm.

$$ b = \dfrac{F_{BC}}{\sigma_{till}\,t} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Given.

$$ \textcolor{#888}{\text{Vinkel}}\;\alpha = 55^{\circ} \;\textcolor{#888}{\text{från horisontalplanet,}}\;\;t = 6\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(plattjärnstjocklek)}} $$

3. SpänningarStresses

Belastningen ger en vinkelreaktion BC vid 55°. Steg 1: Frilägg den lutande huvudarmen AD genom att snitta länken BC. Inre kraften i BC (röd) verkar horisontellt på armen vid C; F verkar nedåt vid D; stiftet vid A tar reaktionerna. The load gives a 55° angled reaction in link BC. Step 1: Free-body the inclined main lever AD by cutting through link BC. The internal force in BC (red) acts horizontally on the lever at C; F acts downward at D; the pin at A takes the reactions.

Frilagd huvudarm AD: pinned vid A (35° från vertikalen), F = 40 kN nedåt vid D, snitt genom länken BC ger inre dragkraft BC (röd) horisontellt på armen vid C. Armens längd A→C ≈ 450 mm, C→D ≈ 200 mm (totalt 650 mm).Free-body of main lever AD: pinned at A (35° from vertical), F = 40 kN downward at D, section through link BC gives the internal tensile force BC (red) horizontal on the lever at C. Lever length A→C ≈ 450 mm, C→D ≈ 200 mm (650 mm total).

$$ \sigma _{till} = 150\;\text{MPa} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\; BC\cdot 450\cdot \sin 55^{\circ} - 40\cdot 650\cdot \cos 55^{\circ} = 0 $$

$$ \Rightarrow BC = \dfrac{40\cdot 650\cdot \cos 55^{\circ}}{450\cdot \sin 55^{\circ}} \approx 40{,}46\;\text{kN} $$

4. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Spänningen i plattjärnet:}}\;\;\sigma = BC/(t\cdot b) \;\textcolor{#888}{\text{(}b\text{ är den okända bredden)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Sätt}}\;\;\sigma = \sigma_{till} = 150\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{och lös för }b} $$

5. Beräkning av bCalculation of b

Härledningssteg: belastning och givna värden. Derivation step: loads and given values.

$$ b = BC/(t\cdot \sigma _{till}) = 40 460/(6\cdot 150) \approx 45\;\text{mm} $$

6. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: b_min [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: b_min [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{b_{min} = 45\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-04_forgot_safety_factor

σ_till = σ_y/n. Om n = 2 ska du dimensionera mot HÄLFTEN av σ_y, inte mot σ_y direkt. σ_allow = σ_y/n. If n = 2 you must design against HALF of σ_y, not against σ_y directly.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.7 grund

De runda stängerna AB och BE i fackverket består av samma material. AB har en diameter av 24 mm och tål en maximal kraft av högst 55 kN. a) Bestäm vilken säkerhetsfaktor som gäller för AB. b) Bestäm diameter, d, som BC måste ha om båda stängerna skall ha samma säkerhetsfaktor (vara jämnstarka).

Round bars AB and BE in the truss are the same material. AB has a 24 mm diameter and can carry max 55 kN. a) Determine the safety factor for AB. b) Determine the diameter d for BC so both bars share the same safety factor (equal strength).

VerklighetsanknytningReal-world context Jämnstark dimensionering är en designprincip — alla element ska nå sin gräns samtidigt. Effektivt: ingen del är överdimensionerad och 'bär extra' för andra. Equal-strength dimensioning is a design principle — every element should reach its limit simultaneously. Efficient: no part is over-dimensioned and 'carrying extra' for the others.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: vilken säkerhetsfaktor som gäller för AB.You're asked to determine: the safety factor for AB.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. AB: A = π·24²/4 ≈ 452,4 mm². Vid F_max = 55 kN: σ_AB = 55000/452,4 ≈ 122 MPa. AB: A = π·24²/4 ≈ 452,4 mm². Vid F_max = 55 kN: σ_AB = 55000/452,4 ≈ 122 MPa.

2. Säkerhetsfaktor n_AB = F_max/F_AB,actual (i bruksläget). Räkna F_AB från fackverksjämvikt. Säkerhetsfaktor n_AB = F_max/F_AB,actual (i bruksläget). Räkna F_AB från fackverksjämvikt.

3. För jämnstark BC: σ_BC = σ_AB ⇒ d_BC = √(4·F_BC/(π·σ_AB)). F_BC från jämvikt. För jämnstark BC: σ_BC = σ_AB ⇒ d_BC = √(4·F_BC/(π·σ_AB)). F_BC från jämvikt.

≈ 10 min≈ 10 min · fackverk jämnstark dimensionering

Figure 2.7 — Fig. 2.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) F_AB beräknas via jämvikt vid B; n_AB = 55 / F_AB. b) Sätt σ_AB = σ_BC → d_BC = 24·√(F_BC/55). a) F_AB found by equilibrium at B; n_AB = 55 / F_AB. b) Set σ_AB = σ_BC → d_BC = 24·√(F_BC/55).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Två stänger är 'jämnstarka' när de har samma... Two members are 'equally strong' when they have the same...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Jämnstark ⇒ samma säkerhetsfaktor n = σ/σ_verklig. Dimensionera d_BC så att BC får samma n som AB (1,2) → d_BC ≈ 27 mm. Equally strong ⇒ same safety factor n. Size d_BC so BC gets the same n as AB (1.2) → d_BC ≈ 27 mm.

Fackverk: A och E ledat fasta vid väggen (vänster), 80 kN nedåt vid B, 30 kN nedåt vid C. Stänger AB (horisontell övre, d = 24), BD (vertikal mittpelare), BC (diagonal), AD (diagonal), ED (horisontell undre). Geometri: AB = ED = 1300 mm, BD = 900 mm.Truss: A and E pin-fixed to wall (left), 80 kN down at B, 30 kN down at C. Bars AB (upper horizontal, d = 24), BD (vertical), BC (diagonal), AD (diagonal), ED (lower horizontal). Geometry: AB = ED = 1300 mm, BD = 900 mm.

$$ n_{AB} = \dfrac{F_{max,AB}}{F_{AB,\text{actual}}} $$

$$ d_{BC} = d_{AB}\sqrt{\dfrac{F_{BC}}{F_{AB,\text{actual}}}} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Given.

$$ \textcolor{#888}{\text{Fackverk med stänger:}}\;\; AB\;(d = 24\;\text{mm}),\;\; BC,\;\; BE $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Härledningssteg: inre krafter och moment. Derivation step: internal forces and moments.

$$ F_{max} = 55\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tillåten kraft för AB)}} $$

4. BeräkningCalculation

Steg 1: Knutpunkts-FBD vid B. Frilägg punkten där tre stänger möts — AB horisontellt åt vänster (mot infästning A), BD vertikalt nedåt (mot D), BC diagonalt nedåt åt höger (mot C). Summera krafter i x och y; lasten 80 kN verkar nedåt direkt vid B (på själva knutpunkten). Step 1: Joint-FBD at B. Free-body the point where three bars meet — AB horizontal leftward (toward A), BD vertical downward (toward D), BC diagonal down-right (toward C). Sum forces in x and y; the 80 kN load acts downward directly at B (at the joint itself).

Knutpunkts-FBD vid B (sektionsmetoden). Tre stångkrafter dras ut ur knuten: F_AB åt vänster (drag), F_BD nedåt (drag), F_BC ner åt höger längs diagonalen (drag), med vinkeln α = 34,7° från horisontalplanet. Yttre lasten 80 kN verkar nedåt vid B.Joint FBD at B (section method). Three bar forces pulled out of the joint: F_AB leftward (tension), F_BD downward (tension), F_BC down-right along the diagonal (tension), at angle α = 34.7° from horizontal. External load 80 kN acts downward at B.

$$ \textcolor{#888}{\text{Vinkel}}\;\;\alpha = \arctan(900/1300) = 34{,}7^{\circ} $$

$$ \textcolor{#888}{\uparrow}\;\Sigma F_y = 0:\;\; BC\cdot \sin\alpha - 30 = 0 $$

$$ \Rightarrow BC = 30/\sin 34{,}7^{\circ} = 52{,}70\;\text{kN} $$

$$ \textcolor{#888}{\to}\;\Sigma F_x = 0:\;\; AB - BC\cdot \cos\alpha = 0 $$

$$ \Rightarrow AB = 52{,}70\cdot \cos 34{,}7^{\circ} = 43{,}3\;\text{kN} $$

5. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Härledningssteg: inre krafter och moment. Derivation step: internal forces and moments.

$$ F_{till} = 55\;\text{kN},\;\; F_{akt} = 43{,}3\;\text{kN} $$

6. SäkerhetsfaktorSafety factor

Steg 5: (b) Dimensionera BC med samma σ_till som AB. Step 5: (b) Dimensionera BC with same σ_to as AB.

$$ n_{AB} = F_{max}/F = 55/43{,}3 \approx 1{,}2 \;\textcolor{#888}{\text{(belastningsfaktor)}} $$

7. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Jämnstarka:}}\;\;\sigma_{AB} = \sigma_{BC} \;\Rightarrow\; \dfrac{F_{max}}{\pi\cdot 24^{2}/4} = \dfrac{BC}{\pi\cdot d^{2}/4} $$

$$ \Rightarrow d = 24\cdot\sqrt{\dfrac{BC}{F_{max}}} = 24\cdot\sqrt{\dfrac{52{,}70}{55}} \approx 26{,}5\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Välj}}\;\; d = 27\;\text{mm} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: n_AB, d_BC [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: n_AB, d_BC [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}n_{AB} = 1.2 \\ d_{BC} = 27\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-04_forgot_safety_factor

'Jämnstark' betyder samma säkerhetsfaktor n = σ/σ_verklig, inte samma diameter eller kraft. 'Equally strong' means the same safety factor n = σ/σ_actual, not the same diameter or force.

M2-08_two_links_in_truss

Vid en knutpunkt i ett fackverk gör du kraftbalans på själva punkten — varje länk bär sin del. Beräkna F_AC och F_BC separat. At a joint in a truss, do a force balance at the joint itself — each link carries its own share. Compute F_AC and F_BC separately.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.8 grund

En balk belastas av tre krafter, F₁, F₂ och F₃. Balken är upphängd i två stänger AB och CD. Stängerna kan antas vara momentfritt inspända i A, B, C och D. Bestäm minsta diametern för stängerna. Båda stängerna ska ha samma diameter och väljas ur ett sortiment med hela diametrar. Stängerna är av stål S275JR och det ska vara en tvåfaldig säkerhet mot permanenta deformationer.

A beam is loaded by three forces F₁, F₂, F₃. It hangs from two rods AB and CD that are pinned at A, B, C, D. Determine the minimum diameter for the rods. Both rods must have the same (integer) diameter from a standard set. The rods are S275JR steel; safety factor against yielding must be 2.

VerklighetsanknytningReal-world context Praktisk dimensionering: räkna ut d_min, slå upp närmaste standardstorlek i en tabell, dokumentera valet med säkerhetsfaktorn på papperet — exakt det här konstruktörer gör. Practical sizing: compute d_min, look up the nearest standard size in a table, document the choice with the safety factor on paper — exactly what designers do.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: minsta diametern för stängerna.You're asked to determine: the minimum diameter for the rods.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
Dimensionering: d_minSizing: d_min
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Jämvikt på balken ger F_AB och F_CD. Dimensionera efter den större. Jämvikt på balken ger F_AB och F_CD. Dimensionera efter den större.

2. Säkerhet 2 mot deformationer ⇒ σ_till = σ_y/2 = 275/2 = 137,5 MPa. Säkerhet 2 mot deformationer ⇒ σ_till = σ_y/2 = 275/2 = 137,5 MPa.

3. d_min = √(4·F_max/(π·σ_till)). Avrunda uppåt till heltal från sortimentet. d_min = √(4·F_max/(π·σ_till)). Avrunda uppåt till heltal från sortimentet.

≈ 10 min≈ 10 min · dimensionering S275JR säkerhetsfaktor-2

Figure 2.8 — Fig. 2.8 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Jämvikt på balken ger F_AB och F_CD; dimensionera efter den större. σ_till = σ_y/n = 275/2 = 137,5 MPa. d = √(4·F_max/(π·σ_till)). Avrunda uppåt till heltal. Beam equilibrium gives F_AB and F_CD; size for the larger. σ_allow = σ_y/n = 275/2 = 137.5 MPa. d = √(4·F_max/(π·σ_allow)). Round up to a standard diameter.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Tillåten spänning σ_till fås ur... The allowable stress σ_till comes from...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

σ_till = R_eL/n = 250/2 = 125 MPa. Dimensionera sedan diametern så att σ ≤ σ_till → d = 14 mm. σ_till = R_eL/n = 250/2 = 125 MPa. Then size the diameter so σ ≤ σ_till → d = 14 mm.

Balk upphängd i två vertikala stänger AB (vänster, fast i tak vid A) och CD (höger, fast i tak vid C). Tre nedåtgående punktlaster F₁ = 15 kN, F₂ = 10 kN, F₃ = 6 kN på balken. Spann B→F₁: 0,6 m, F₁→F₂: 0,3 m, F₂→F₃: 0,8 m, F₃→D: 0,6 m.Beam suspended by two vertical rods AB (left, fixed to ceiling at A) and CD (right, fixed to ceiling at C). Three downward point loads F₁ = 15 kN, F₂ = 10 kN, F₃ = 6 kN. Span B→F₁: 0.6 m, F₁→F₂: 0.3 m, F₂→F₃: 0.8 m, F₃→D: 0.6 m.

$$ \sigma_{till} = \dfrac{\sigma_y}{n} $$

$$ d_{min} = \sqrt{\dfrac{4 F_{max}}{\pi \sigma_{till}}} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: tre punktlaster F₁, F₂, F₃ på en balk upphängd i stänger AB och CD. Material S275JR ⇒. Steg 1: Frilägg balken. Ta moment kring stöd A och B för att lösa stångkrafterna. AB är dimensionerande (största stångkraften). Steg 3: Lös för minsta diameter. Given: three punktlaster F₁, F₂, F₃ på one beam upphängd i stänger AB and CD. Material S275JR ⇒. Step 1: Free-body balken. Ta moment about support A and B för att lösa stångkrafterna. AB is dimensionerande (largest stångkraften). Step 3: Solve for smallest diameter.

$$ R_{eL} = 250\;\text{MPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Säkerhet}}\;\; n = 2 $$

$$ \Rightarrow \sigma _{till} = 125\;\text{MPa} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_A = 0:\;\; N_{CD}\cdot (0{,}6+0{,}8+0{,}6) - 6\cdot (0{,}6+0{,}8+0{,}6) - 10\cdot (0{,}6+0{,}8) - 15\cdot 0{,}6 = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{CD} = \dfrac{6\cdot 1{,}7 + 10\cdot 0{,}9 + 15\cdot 0{,}6}{2{,}0} \approx 12{,}26\;\text{kN} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\; N_{AB} + N_{CD} - 15 - 10 - 6 = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{AB} = 31 - 12{,}26 = 18{,}74\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(dimensionerande)}} $$

3. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{till} = F_{max}\cdot 4/(\pi \cdot d^{2}) $$

$$ \Rightarrow d = \sqrt(F_{max}\cdot 4/(\pi \cdot \sigma _{till})) $$

4. Dimensionering: d_minSizing: d_min

Härledningssteg: belastning och givna värden. Derivation step: loads and given values.

$$ d = \sqrt{18\,740\cdot 4/(\pi \cdot 125)} \approx 13{,}8\;\text{mm} $$

$$ \Rightarrow \textcolor{#888}{\text{välj nästa standardstorlek}}\;\; d = 14\;\text{mm} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: d [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: d [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{d = 14\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.33 · Tillåtna spänningar för konstruktionsstålAllowable stresses for structural steel

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-04_forgot_safety_factor

σ_till = σ_y/n. Om n = 2 ska du dimensionera mot HÄLFTEN av σ_y, inte mot σ_y direkt. σ_allow = σ_y/n. If n = 2 you must design against HALF of σ_y, not against σ_y directly.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.9 grund

En balk belastas med en punktlast på 4 kN. Denna belastning ger drag i stången AB och tryck i pelaren CD. Bestäm avståndet x så att tryckspänningen i pelaren bli lika stor som dragspänningen i stången. Bestäm även hur stor denna spänning blir.

A beam carries a 4 kN point load — tension in rod AB, compression in column CD. Find the distance x so the compressive stress equals the tensile stress. Also compute that stress.

VerklighetsanknytningReal-world context När en upphängd struktur ska bära lika spänning i flera fjäderfästen (t.ex. vajrar i ett ridåtak) bestäms lastpunkternas läge av denna typ av analys. When a suspended structure has to carry equal stress in several spring-like attachment points (e.g. cables in a curtain roof), the position of the load points is determined by exactly this kind of analysis.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: avståndet x så att tryckspänningen i pelaren bli lika stor som dragspänningen i stången.You're asked to find: the distance x so the compressive stress equals the tensile stress.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
TvärsnittsdataCross-section properties
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Momentjämvikt på balken med x som obekant ger F_AB och F_CD som funktion av x. Momentjämvikt på balken med x som obekant ger F_AB och F_CD som funktion av x.

2. Krav: σ_AB = σ_CD ⇒ F_AB/A_AB = F_CD/A_CD. Två obekanta (x och σ), två ekvationer. Krav: σ_AB = σ_CD ⇒ F_AB/A_AB = F_CD/A_CD. Två obekanta (x och σ), två ekvationer.

3. Lös båda ekvationerna samtidigt. Sätt in givna areor och 4 kN-lasten. Lös båda ekvationerna samtidigt. Sätt in givna areor och 4 kN-lasten.

≈ 10 min≈ 10 min · lika-spänning lastfördelning

Figure 2.9 — Fig. 2.9 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Sätt upp moment- och kraftjämvikt för balken (med x som obekant). σ_AB = σ_CD → F_AB/A_AB = F_CD/A_CD. Två obekanta (x och σ), två ekvationer. Apply moment and force equilibrium on the beam (with x unknown). σ_AB = σ_CD → F_AB/A_AB = F_CD/A_CD. Two unknowns, two equations.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

AB är i drag, CD i tryck. Villkoret 'lika spänning' betyder... AB is in tension, CD in compression. 'Equal stress' means...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Lika spänning, inte lika kraft — areorna skiljer (254 vs 625 mm²). Lös x så att σ_AB = σ_CD = 4,55 MPa. Equal stress, not equal force — the areas differ (254 vs 625 mm²). Solve x so σ_AB = σ_CD = 4.55 MPa.

Konsolarm pinnad vid B, upphängd i drag-stång AB (cirkulär d = 18 mm, fäst i tak vid A) och stödd av tryckpelare CD (kvadratisk 25 × 25 mm, fäst i golv vid D). 4 kN-last verkar nedåt vid avstånd x från B (mätt längs balken). Avstånd B→C horisontellt ≈ 300 mm.Cantilever arm pinned at B, suspended by tension rod AB (circular d = 18 mm, anchored to ceiling at A) and supported by compression column CD (square 25 × 25 mm, anchored to floor at D). 4 kN load acts downward at distance x from B (along the beam). Horizontal distance B→C ≈ 300 mm.

$$ \sigma_{AB} = \sigma_{CD} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M = 0,\;\sum F = 0 $$

2. BeräkningCalculation

Givet: balk med 4 kN punktlast. Given: beam with 4 kN point load.

$$ AB\;(d = 18\;\text{mm}\;\text{cirkulärt}) \;\textcolor{#888}{\text{(drag-stång)}};\;\; CD\;(25\times 25\;\text{mm}\;\text{kvadratiskt}) \;\textcolor{#888}{\text{(tryckpelare)}} $$

3. TvärsnittsdataCross-section properties

Härledningssteg: tvärsnittsdata. Derivation step: cross-section properties.

$$ A_{AB} = \pi \cdot 18^{2}/4 = 254\;\text{mm}^{2} $$

$$ A_{CD} = 25\cdot 25 = 625\;\text{mm}^{2} $$

4. BeräkningCalculation

Steg 3: Momentjämvikt kring stödet ger ett samband mellan N_AB, N_CD och avståndet x. Frilägg AB (drag) och CD (tryck) separat genom snitt — den horisontella balken levererar lasten via flänsar. Step 3: Moment equilibrium about the support gives the relation between N_AB, N_CD and distance x. Free-body AB (tension) and CD (compression) separately by cuts — the horizontal beam delivers the load via the flanges.

Snitt-FBD:er. Vänster: snitt i AB (drag-stång d = 18 mm cirkulärt) — två motsatta dragkrafter N_AB. Höger: snitt i CD (tryckpelare 25 × 25 mm kvadratiskt) — två motsatta tryckkrafter N_CD pekar inåt mot själva pelaren.Section FBDs. Left: cut in AB (round tension rod d = 18 mm) — two opposing tensile forces N_AB. Right: cut in CD (square 25 × 25 mm compression column) — two opposing compressive forces N_CD pointing inward into the column.

$$ \textcolor{#888}{\text{Villkor:}}\;\; \sigma_{CD,\text{tryck}} = \sigma_{AB,\text{drag}} $$

$$ Det ger A_{AB}\cdot N_{AB} = A_{CD}\cdot N_{CD} $$

$$ \Rightarrow N_{AB}\cdot 625 = N_{CD}\cdot 254 $$

$$ \Rightarrow N_{AB}/N_{CD} = 254/625 \approx 0{,}407 $$

$$ N_{AB} = 7{,}16\;\text{kN} $$

5. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Härledningssteg: inre krafter och moment. Derivation step: internal forces and moments.

$$ N_{CD} = 2{,}84\;\text{kN} $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Beräkna spänningen i båda stängerna:}}\;\; \sigma = N/A $$

7. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma_{AB} = 7160/254 = \sigma_{CD} = 2840/625 \approx 4{,}55\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(samma — som vi förutsatte)}} $$

8. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Från momentekvationen:}}\;\; x = 800\cdot N_{CD}/4 \approx 310\;\text{mm} $$

9. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: x [mm], σ_AB [MPa], σ_CD [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: x [mm], σ_AB [MPa], σ_CD [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}x = 310\;\text{mm} \\ \sigma_{AB} = 4.55\;\text{MPa} \\ \sigma_{CD} = 4.55\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-08_two_links_in_truss

Vid en knutpunkt i ett fackverk gör du kraftbalans på själva punkten — varje länk bär sin del. Beräkna F_AC och F_BC separat. At a joint in a truss, do a force balance at the joint itself — each link carries its own share. Compute F_AC and F_BC separately.

2.10 grund

Två cylindriska solida stavar är sammanfogade vid B. AB är gjord av stål (E = 200 GPa) och BC av mässing (E = 105 GPa). Bestäm den totala deformationen av stavpaketet ABC samt förskjutningen av punkten B.

Two solid cylindrical bars are joined at B. AB is steel (E = 200 GPa), BC is brass (E = 105 GPa). Find the total deformation of bar package ABC and the displacement of point B.

VerklighetsanknytningReal-world context Två-material-stänger är vanliga i precisionskonstruktioner — t.ex. instrumentstativ där värmegång ska minimeras. Total δ är summan från båda materialen. Two-material bars are common in precision constructions — e.g. instrument stands where thermal drift must be minimized. The total δ is the sum from both materials.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den totala deformationen av stavpaketet ABC samt förskjutningen av punkten B.You're asked to find: the total deformation of bar package ABC and the displacement of point B.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments
Deformation och vinklarDeformation and angles
BeräkningCalculation

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (4 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (4 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. δ_AB = F·L_AB/(A_AB·E_stål). δ_BC = F·L_BC/(A_BC·E_mässing). Använd E_stål = 200, E_mässing = 105 GPa. δ_AB = F·L_AB/(A_AB·E_stål). δ_BC = F·L_BC/(A_BC·E_mässing). Använd E_stål = 200, E_mässing = 105 GPa.

2. Total deformation = δ_AB + δ_BC. Förskjutning av B = δ_AB (om A är fast). Total deformation = δ_AB + δ_BC. Förskjutning av B = δ_AB (om A är fast).

3. Sätt in numeriska värden från figuren. δ är i mm om F i N, L i mm, A i mm², E i MPa. Sätt in numeriska värden från figuren. δ är i mm om F i N, L i mm, A i mm², E i MPa.

≈ 8 min≈ 8 min · serie-stänger stål+mässing δ-additivt

Figure 2.10 — Fig. 2.10 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

δ_AB = F_AB·L_AB/(A_AB·E_AB), δ_BC = F_BC·L_BC/(A_BC·E_BC). δ_tot = δ_AB + δ_BC; punkt B förskjuts med δ_AB (om A är fast). δ_AB = F_AB·L_AB/(A_AB·E_AB), δ_BC = F_BC·L_BC/(A_BC·E_BC). δ_tot = δ_AB + δ_BC; point B moves by δ_AB (if A is fixed).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Den totala deformationen δ_tot av stavpaketet är... The total deformation δ_tot of the rod assembly is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Stavarna sitter i serie ⇒ deformationerna adderas: δ_tot = δ_AB + δ_BC = 0,053 + 0,102 = 0,155 mm. The rods are in series ⇒ deformations add: δ_tot = δ_AB + δ_BC = 0.053 + 0.102 = 0.155 mm.

Stavpaket ABC ritat vertikalt (matchar uppgiftsfiguren). C fast vid marken. A fri upptill, 30 kN drag uppåt. 40 kN tryck mitt i BC.Bar assembly ABC drawn vertically (matches the source figure). C fixed at ground. A free at top with 30 kN tension upward. 40 kN compression applied partway along BC.

$$ \delta_i = \dfrac{F_i L_i}{A_i E_i} $$

$$ \delta_{tot} = \delta_{AB} + \delta_{BC} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: två cylindriska solida stavar sammanfogade i B. Given: two cylindriska solida stavar sammanfogade i B.

$$ \textcolor{#888}{\text{AB stål:}}\;\;E = 200\;\text{GPa};\;\;\textcolor{#888}{\text{BC mässing:}}\;\;E = 105\;\text{GPa} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Krafterna är samma som i uppg. 2.2. Inre normalkraften varierar i steg vid flänsen B — AB bär −30 kN (efter att toppkraften 30 kN passerat), BC bär −70 kN (efter att 40 kN-lasten lagts till vid B). Bägge i tryck. Internal forces are the same as in 2.2. N steps at flange B — AB carries −30 kN (after the 30 kN top load passes), BC carries −70 kN (after adding the 40 kN load at B). Both in compression.

Internkraftsdiagram (schematiskt): N stepar vid flänsen B. AB-segment (övre): N = −30 kN. BC-segment (nedre): N = −70 kN. Skillnaden 40 kN motsvarar de två 40 kN-lasterna vid B från uppg. 2.2.Internal-force diagram (schematic): N steps at flange B. AB segment (upper): N = −30 kN. BC segment (lower): N = −70 kN. The 40 kN step matches the two 40 kN loads applied at B per 2.2.

$$ N_{AB} = -30\;\text{kN} $$

$$ N_{BC} = -70\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(båda tryck)}} $$

4. Deformation och vinklarDeformation and angles

Steg 2: Steg 3: Steg 4: Total hoptryckning av stavpaketet ABC. Step 2: Step 3: Step 4: Total compression av stavpaketet ABC.

$$ \textcolor{#888}{\text{Förlängningsformeln:}}\;\; \delta_i = N_i\cdot L_i/(A_i\cdot E_i) $$

$$ \delta _{AB} = N_{AB}\cdot L_{AB}/(A_{AB}\cdot E_{AB}) = 30\cdot 10^{3}\cdot 250/(30^{2}\cdot \pi /4\cdot 200\cdot 10^{3}) = 0{,}0531\;\text{mm} $$

$$ \delta _{BC} = 70\cdot 10^{3}\cdot 300/(50^{2}\cdot \pi /4\cdot 105\cdot 10^{3}) = 0{,}102\;\text{mm} $$

$$ \delta _{tot} = \delta _{AB} + \delta _{BC} = 0{,}0531 + 0{,}102 = 0{,}155\;\text{mm} $$

5. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Förskjutning av punkten B}}\; (= \delta_{BC} \;\textcolor{#888}{\text{eftersom A är fast}}) $$

6. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_B = \delta_{BC} = 0{,}102\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(nedåt)}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: δ_tot [mm], δ_B [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: δ_tot [mm], δ_B [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{tot} = 0.155\;\text{mm} \\ \delta_{B} = 0.102\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-06_composite_vs_average_E

Seriekopplade delar: deformationerna adderas (δ_tot = Σδ_i). Medelvärdesbilda inte E eller deformationerna. Series-coupled parts: deformations add (δ_tot = Σδ_i). Do not average E or the deformations.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.11 grund

Två cylindriska stavar är hopsatta vid B och lastade enligt figur. AB är gjord av stål (E = 200 GPa) och BC av mässing (E = 105 GPa). Bestäm den last P för vilken den totala deformationen ABC är lika med noll samt förskjutningen av punkt B under denna last.

Two cylindrical bars are joined at B and loaded per figure. AB is steel (E = 200 GPa), BC is brass (E = 105 GPa). Find the load P at which the total deformation of ABC is zero, and the displacement of B at that load.

VerklighetsanknytningReal-world context Förspända system där två material slutar exakt på samma ändposition är vanliga i optiska instrument — t.ex. teleskopstrukturer som ska stabilisera termiska gradienter med kombinerade material. Preloaded systems where two materials end at exactly the same final position are common in optical instruments — e.g. telescope structures that stabilize thermal gradients with combined materials.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den last P för vilken den totala deformationen ABC är lika med noll samt förskjutningen av punkt B under denna last.You're asked to find: the load P at which the total deformation of ABC is zero, and the displacement of B at that load.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Deformation och vinklarDeformation and angles
BeräkningCalculation
Deformation och vinklarDeformation and angles

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Sätt δ_AB + δ_BC = 0 där lasterna har MOTSATTA tecken (drag i ena, tryck i andra). Sätt δ_AB + δ_BC = 0 där lasterna har MOTSATTA tecken (drag i ena, tryck i andra).

2. F_AB·L_AB/(A_AB·E_stål) − F_BC·L_BC/(A_BC·E_mässing) = 0. Båda är funktioner av P. F_AB·L_AB/(A_AB·E_stål) − F_BC·L_BC/(A_BC·E_mässing) = 0. Båda är funktioner av P.

3. Lös för P, sätt in i δ_AB för förskjutning av B (= |δ_AB|). Lös för P, sätt in i δ_AB för förskjutning av B (= |δ_AB|).

≈ 10 min≈ 10 min · motverkande-laster noll-deformation

Figure 2.11 — Fig. 2.11 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Sätt δ_AB + δ_BC = 0 där lasterna i AB och BC har motsatta tecken (drag i ena, tryck i andra). Lös för P. Förskjutningen av B är då bara |δ_AB|. Set δ_AB + δ_BC = 0 where the loads in AB and BC have opposite signs (one tensile, one compressive). Solve for P. The displacement of B is then |δ_AB|.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

För att den totala deformationen ska bli noll måste... For the total deformation to be zero...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

δ_AB + δ_BC = 0 ⇒ den ena dras (+), den andra trycks (−) lika mycket. Detta ger lasten P = 104,8 kN. δ_AB + δ_BC = 0 ⇒ one is stretched (+), the other compressed (−) by the same amount. This gives P = 104.8 kN.

Stavpaket ABC ritat vertikalt (matchar uppgiftsfiguren). C fast vid marken. A fri upptill, okänd P drag uppåt. Två 135 kN tryckkrafter på plattan vid B (nedåt).Bar assembly ABC drawn vertically (matches the source figure). C fixed at ground. A free at top with unknown P tension upward. Two 135 kN compressive forces pressing the joint plate at B downward.

$$ \delta_{AB} + \delta_{BC} = 0 $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Given.

$$ \textcolor{#888}{\text{AB stål:}}\;\;E = 200\;\text{GPa};\;\;\textcolor{#888}{\text{BC mässing:}}\;\;E = 105\;\text{GPa} \;\textcolor{#888}{\text{(cylindriska stavar)}} $$

3. Deformation och vinklarDeformation and angles

Sök lasten P som ger ingen total deformation. Sök lasten P as gives ingen total deformation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Sök lasten}}\;\;P\;\textcolor{#888}{\text{ som ger}}\;\;\delta_{tot} = 0 $$

4. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Villkor:}}\;\;\delta_{AB} + \delta_{BC} = 0 \;\textcolor{#888}{\text{(AB drar }\delta > 0\text{; BC trycks }\delta < 0\text{)}} $$

5. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_{AB} = N_{AB}\cdot L_{AB}/(A_{AB}\cdot E_{\text{stål}}) $$

$$ \delta_{BC} = N_{BC}\cdot L_{BC}/(A_{BC}\cdot E_{\text{mässing}}) $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Krafter:}}\;\; N_{AB} = P \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

7. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Inre normalkraften stegar vid flänsen B. AB-segmentet bär +P (drag uppåt från P). BC-segmentet bär 270 − P (tryck — efter att 2·135 = 270 kN-lasten lagts till). Motverkande tecken på δ-bidragen — δ_AB + δ_BC = 0 ger P. Internal N steps at flange B. AB segment carries +P (tension from P upward). BC segment carries 270 − P (compression — after adding the 2·135 = 270 kN load). The δ-contributions have opposite signs — δ_AB + δ_BC = 0 yields P.

Internkraftsdiagram (schematiskt): N stegar vid flänsen B. AB-segment (övre): N = +P (drag, förlängning δ_AB > 0). BC-segment (nedre): N = 270 − P (tryck, hoptryckning δ_BC < 0). Villkoret δ_AB + δ_BC = 0 ger P.Internal-force diagram (schematic): N steps at flange B. AB segment (upper): N = +P (tension, elongation δ_AB > 0). BC segment (lower): N = 270 − P (compression, shortening δ_BC < 0). Condition δ_AB + δ_BC = 0 yields P.

$$ N_{BC} = 270\cdot 10^{3} - P \;\textcolor{#888}{\text{(tryck — från extern last 270 kN)}} $$

8. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Sätt}}\;\;\delta_{AB} = -\delta_{BC} \;\textcolor{#888}{\text{och lös för }P} $$

$$ P\cdot 1000\cdot 4/(50^{2}\cdot \pi \cdot 200\cdot 10^{3}) = (270\cdot 10^{3} - P)\cdot 750\cdot 4/(75^{2}\cdot \pi \cdot 105\cdot 10^{3}) $$

$$ P/500 = (270\cdot 10^{3} - P)/787{,}5 $$

$$ 787{,}5\cdot P = 500\cdot (270\cdot 10^{3} - P) $$

$$ \Rightarrow P(787{,}5 + 500) = 500\cdot 270\cdot 10^{3} $$

$$ \Rightarrow P \approx 104{,}8\;\text{kN} $$

9. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_B = \delta_{BC}\big|_B = 0{,}267\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(uppåt)}} $$

10. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: P [kN], δ_B [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: P [kN], δ_B [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}P = 104.8\;\text{kN} \\ \delta_{B} = 0.267\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

2.12 grund

En solid stång och ett rör är sammanfogade i B med en stel platta. a) Hur mycket förändras längden av A–C? b) Hur mycket och i vilken riktning förflyttas punkten B? Materialet är aluminium E = 70 GPa. D = 50 mm, t = 2 mm och d = 12 mm.

A solid bar and a tube are joined at B by a rigid plate. a) How much does the length A–C change? b) How much and in which direction does B move? Material is aluminium E = 70 GPa. D = 50 mm, t = 2 mm, d = 12 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Telescope-tubes där en yttre rör + inre stång arbetar tillsammans — sammansatt aluminiumkonstruktion är en vardags-tillämpning i instrument. Telescope tubes where an outer tube + inner rod work together — composite aluminium construction is an everyday application in instruments.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments
TvärsnittsdataCross-section properties
Deformation och vinklarDeformation and angles

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Två delar i parallell genom stel platta vid B: rör AB och stång BC. Två delar i parallell genom stel platta vid B: rör AB och stång BC.

2. Räkna A_rör = π(D² − (D−2t)²)/4 och A_stång = π·d²/4 separat. Räkna A_rör = π(D² − (D−2t)²)/4 och A_stång = π·d²/4 separat.

3. Båda har samma kraft (jämvikt) och samma längdändring (stel platta). σ_i = F/A_i, δ_i = F·L/(A_i·E). Båda har samma kraft (jämvikt) och samma längdändring (stel platta). σ_i = F/A_i, δ_i = F·L/(A_i·E).

≈ 10 min≈ 10 min · parallell-rör+stång aluminium

Figure 2.12 — Fig. 2.12 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Separera kraftbidragen genom B; beräkna δ_AB (rör) och δ_BC (stång) separat med deras egna areor. A_rör = π(D² − (D−2t)²)/4; A_stång = π d²/4. Separate the force components through B; compute δ_AB (tube) and δ_BC (bar) using each one's own area. A_tube = π(D² − (D−2t)²)/4; A_bar = π d²/4.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Rörets (AB) tvärsnittsarea beräknas som... The tube (AB) cross-section area is computed as...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Ett rör har en hålarea — dra bort innerhålet: A = π/4(50² − 46²) = 302 mm². Hela cirkeln vore fel. A tube has a bore — subtract the inner hole: A = π/4(50² − 46²) = 302 mm². The full circle would be wrong.

Geometri som 2.1 (D=50, t=2, d=12) ritad vertikalt (matchar uppgiftsfiguren). A fast vid marken (rör nedåt). C fri upptill, 10 kN drag uppåt. Aluminium E=70 GPa.Same geometry as 2.1 (D=50, t=2, d=12) drawn vertically (matches the source figure). A fixed at ground. C free at top with 10 kN tension upward. Aluminium E=70 GPa.

$$ A_{rör} = \tfrac{\pi}{4}(D^2 - (D-2t)^2) $$

$$ \delta_i = \tfrac{F_i L_i}{A_i E} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: solid stång + rör sammanfogade i B med stel platta. Last 10 kN. Given: solid rod + tube sammanfogade i B with stel platta. Last 10 kN.

$$ E = 70\;\text{GPa} \;\textcolor{#888}{\text{(aluminium); från uppg. 2.1:}}\;\; N_{BC} = 10\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Steg 1: Tvärsnittsareor (från uppg. 2.1). Inre normalkraften stegar vid flänsen B på samma sätt som i 2.1 — BC bär hela 10 kN drag, AB bär nettokraften 10 − 6 = 4 kN drag. Step 1: Cross-section areas (from 2.1). Internal normal force steps at flange B as in 2.1 — BC carries the full 10 kN tension, AB carries the net 10 − 6 = 4 kN tension.

Internkraftsdiagram: N stegar vid flänsen B. BC (övre, solid d = 12): N = 10 kN drag. AB (nedre, rör D = 50, t = 2): N = 4 kN drag.Internal-force diagram: N steps at flange B. BC (upper, solid d = 12): N = 10 kN tension. AB (lower, tube D = 50, t = 2): N = 4 kN tension.

$$ N_{AB} = 4\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

4. TvärsnittsdataCross-section properties

Steg 2: Beräkna δ_AB och δ_BC. Step 2: Compute δ_AB and δ_BC.

$$ A_{BC} = \pi \cdot 12^{2}/4 = 113\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(solid }d = 12\text{)}} $$

$$ A_{AB} = \pi (50^{2} - 46^{2})/4 = 302\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(rör)}} $$

5. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_{AB} = 4000\cdot 700/(302\cdot 70\cdot 10^{3}) = 0{,}132\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(drag }\to\text{ förlängning)}} $$

$$ \delta_{BC} = 10000\cdot 1500/(113\cdot 70\cdot 10^{3}) = 1{,}896\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{(a) Längdförändring av A–C:}}\;\; \delta_{AC} = \delta_{AB} + \delta_{BC} $$

7. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_{AC} = 0{,}132 + 1{,}896 = 2{,}03\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(förlängning)}} $$

8. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{(b) Förskjutning av punkten B:}}\;\; \delta_B = \delta_{AB} \;\textcolor{#888}{\text{(om A är fast)}} $$

9. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta_B = \delta_{AB} = 0{,}13\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(uppåt)}} $$

10. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: δ_AC [mm], δ_B [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: δ_AC [mm], δ_B [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\delta_{AC} = 2.03\;\text{mm} \\ \delta_{B} = 0.13\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-06_composite_vs_average_E

Sammansatt stav: använd INTE medel-E. Använd ε samma i båda materialen + jämvikt σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P. Composite bar: do NOT use an average E. Use equal ε in both materials + equilibrium σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P.

2.13 grund

Man ska välja material och tvärsnitt till en 2 meters stång som utsätts för kraften 10 kN. Stången är solid och har ett cirkulärt tvärsnitt. Man önskar en lätt konstruktion och vill även veta hur mycket stången förlängs vid belastning. Material: Stål 180 MPa, Aluminiumlegering 65 MPa, Kopparlegering 95 MPa. Fyll i tabellen.

Select material and cross-section for a 2 m bar carrying 10 kN. The bar is solid circular. Want light construction and to know its elongation under load. Materials: steel 180 MPa, aluminium-alloy 65 MPa, copper-alloy 95 MPa. Fill the table.

VerklighetsanknytningReal-world context Materialval i flygindustrin är exakt denna typ av jämförelse — aluminium har LÄGRE σ_till än stål men mycket lägre densitet, så för viktbegränsade tillämpningar vinner det. Material selection in the aerospace industry is exactly this kind of comparison — aluminium has a LOWER σ_allow than steel but a much lower density, so for weight-limited applications it wins.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. För varje material: A_min = F/σ_till → d_min = √(4·A/π). För varje material: A_min = F/σ_till → d_min = √(4·A/π).

2. Massa m = ρ·A·L. δ = F·L/(A·E). Räkna för varje material separat. Massa m = ρ·A·L. δ = F·L/(A·E). Räkna för varje material separat.

3. Tabellresultat: jämför d_min, m och δ för stål (180 MPa), aluminium (65 MPa), koppar (95 MPa). Den lättaste är inte alltid den med högsta σ_till. Tabellresultat: jämför d_min, m och δ för stål (180 MPa), aluminium (65 MPa), koppar (95 MPa). Den lättaste är inte alltid den med högsta σ_till.

≈ 12 min≈ 12 min · material-val lätt-konstruktion tabell

Figure 2.13 — Fig. 2.13 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

För varje material: A_min = F/σ_till → d_min = √(4·A/π). Massa m = ρ·A·L. δ = F·L/(A·E). Jämför. For each material: A_min = F/σ_allow → d_min = √(4·A/π). Mass m = ρ·A·L. δ = F·L/(A·E). Compare.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Den lättaste konstruktionen avgörs av... The lightest design is decided by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Massan/m = ρ·A och A = F/σ_till, så både ρ och σ_till spelar in. Aluminium vinner (0,41 kg/m) trots lägre hållfasthet än stål. Mass/length = ρ·A and A = F/σ_till, so both ρ and σ_till matter. Aluminium wins (0.41 kg/m) despite lower strength than steel.

$$ d_{min} = \sqrt{\tfrac{4F}{\pi\sigma_{till}}} $$

$$ m = \rho A L $$

$$ \delta = \tfrac{FL}{AE} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Givet: solid cirkulär stång L = 2 m, last F = 10 kN. Tre kandidatmaterial — stål, aluminium, koppar — alla med olika σ_till, E och ρ. Stångens diameter sätts av σ-villkoret för varje material; vikten styrs sedan av ρ·A. Given: solid circular bar L = 2 m, load F = 10 kN. Three candidate materials — steel, aluminium, copper — each with different σ_allow, E and ρ. The bar diameter is set by the σ-condition for each material; the mass is then governed by ρ·A.

Tre kandidatstavar (skalproportionellt på diametern). Stål: d ≈ 8,5 mm, hög densitet. Aluminium: d ≈ 14 mm — störst diameter men lägst totalvikt tack vare ρ ≈ 2700. Koppar: d ≈ 11,6 mm, högst densitet ⇒ tyngst.Three candidate rods (drawn to scale by diameter). Steel: d ≈ 8.5 mm, high density. Aluminium: d ≈ 14 mm — largest diameter but lowest total mass thanks to ρ ≈ 2700. Copper: d ≈ 11.6 mm, highest density ⇒ heaviest.

$$ L = 2\;\text{m} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Härledningssteg: inre krafter och moment. Derivation step: internal forces and moments.

$$ F = 10\;\text{kN} $$

4. BeräkningCalculation

Materialval mellan stål. Steg 2: För stål: d ≈ 8,5 mm. För aluminium: d ≈ 14 mm. För koppar: d ≈ 11,6 mm. Stål: 0,45 kg/m. Aluminium: 0,41 kg/m. Koppar: 0,94 kg/m. Stål: 1,71 mm. Aluminium: 1,86 mm. Koppar: 1,58 mm. Steg 5: Aluminium ger lägst vikt (0,41 kg/m) trots störst diameter. Välj aluminium. Materialval mellan stål. Step 2: För stål: d ≈ 8,5 mm. För aluminium: d ≈ 14 mm. För koppar: d ≈ 11,6 mm. Stål: 0,45 kg/m. Aluminium: 0,41 kg/m. Koppar: 0,94 kg/m. Stål: 1,71 mm. Aluminium: 1,86 mm. Koppar: 1,58 mm. Step 5: Aluminium gives lägst vikt (0,41 kg/m) trots störst diameter. Välj aluminium.

$$ \textcolor{#888}{\text{Stål:}}\;\; \sigma_{till} = 180\;\text{MPa},\;\; \rho = 7850\;\text{kg/m}^{3},\;\; E = 210\;\text{GPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Aluminium:}}\;\; \sigma_{till} = 65\;\text{MPa},\;\; \rho = 2700\;\text{kg/m}^{3},\;\; E = 70\;\text{GPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Koppar:}}\;\; \sigma_{till} = 95\;\text{MPa},\;\; \rho = 8930\;\text{kg/m}^{3},\;\; E = 120\;\text{GPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{För varje material — min-diameter:}}\;\; d = \sqrt{4F/(\pi \cdot \sigma_{till})} $$

$$ d_{stål} = \sqrt{4\cdot 10000/(\pi\cdot 180)} \approx 8{,}5\;\text{mm},\;\; d_{Al} = \sqrt{4\cdot 10000/(\pi\cdot 65)} \approx 14\;\text{mm},\;\; d_{Cu} = \sqrt{4\cdot 10000/(\pi\cdot 95)} \approx 11{,}6\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Vikt per meter:}}\;\; \mathrm{kg/m} = \rho \cdot A = \rho \cdot \pi \cdot d^{2}/4 $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Förlängning:}}\;\; \delta = L\cdot \sigma_{till}/E $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: valt_material. Värdena är inramade nedan The question asks for: valt_material. Values are boxed below

$$ \boxed{valt_{material} = \text{aluminium}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.33 · Tillåtna spänningar för konstruktionsstålAllowable stresses for structural steel

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.14 grund

En 60 meter lång wire får inte töjas ut mer än 48 mm när den utsätts för en last av 6 kN. E-modulen för materialet är 200 GPa. Bestäm den minsta diametern som man kan välja för wiren samt den normalspänning som uppträder i wiren.

A 60 m long wire must not stretch more than 48 mm under 6 kN. Material E = 200 GPa. Find the minimum diameter and the resulting normal stress.

VerklighetsanknytningReal-world context Hängande wirar (kranar, broar, hissar) dimensioneras ofta efter deformationsgränsen (inte spänningen). En töjd wire som inte spricker är ändå dålig om den förlängs farligt mycket. Hanging cables (cranes, bridges, lifts) are often sized against the deformation limit (not the stress). A stretched cable that doesn't break is still bad if it elongates dangerously far.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den minsta diametern som man kan välja för wiren samt den normalspänning som uppträder i wiren.You're asked to find: the minimum diameter and the resulting normal stress.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
BeräkningCalculation
TvärsnittsdataCross-section properties
BeräkningCalculation

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. δ = F·L/(A·E) → A = F·L/(E·δ_max). δ = F·L/(A·E) → A = F·L/(E·δ_max).

2. A_min = 6000·60000/(200·10³·48) = 37,5 mm². d_min = √(4·A/π) ≈ 6,9 mm. A_min = 6000·60000/(200·10³·48) = 37,5 mm². d_min = √(4·A/π) ≈ 6,9 mm.

3. σ = F/A = 6000/37,5 = 160 MPa. Kontrollera mot σ_till om angivet. σ = F/A = 6000/37,5 = 160 MPa. Kontrollera mot σ_till om angivet.

≈ 6 min≈ 6 min · wire δ-villkor dimensionering

Figure 2.14 — Fig. 2.14 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

δ = F·L/(A·E) → A = F·L/(E·δ_max). d = √(4·A/π). Sedan σ = F/A. δ = F·L/(A·E) → A = F·L/(E·δ_max). d = √(4·A/π). Then σ = F/A.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vilket villkor styr wirens minsta diameter? Which condition governs the wire's minimum diameter?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Styvhetskravet (max 48 mm töjning) ger d_min = 7 mm; sedan kontrollerar man spänningen σ = 156 MPa. The stiffness limit (max 48 mm elongation) gives d_min = 7 mm; then you check the stress σ = 156 MPa.

Wire L = 60 m, last F = 6 kN. δ_max = 48 mm. Bestäm d_min via δ = F·L/(A·E)Free-body diagram

$$ A = \tfrac{F L}{E \delta_{max}} $$

$$ d_{min} = \sqrt{\tfrac{4 A}{\pi}} $$

$$ \sigma = \tfrac{F}{A} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Given.

$$ L = 60\;\text{m} \;\textcolor{#888}{\text{(wirelängd)}},\;\; \delta_{max} = 48\;\text{mm},\;\; F = 6\;\text{kN} $$

3. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ E = 200\;\text{GPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Använd}}\;\;\delta = F\cdot L/(A\cdot E) \;\textcolor{#888}{\text{och lös för minimal area}} $$

4. TvärsnittsdataCross-section properties

Steg 2: Sätt in värden. Step 2: Substitute värden.

$$ A_{min} = F\cdot L/(\delta \cdot E) $$

$$ A_{min} = 6 000 \cdot 60\cdot 10^{3} / (48 \cdot 200\cdot 10^{3}) = 37{,}5\;\text{mm}^{2} $$

5. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{För cirkulärt tvärsnitt:}}\;\; A = \pi \cdot d^{2}/4 $$

$$ \Rightarrow d = \sqrt{4A/\pi} $$

6. Beräkning av d_minCalculation of d_min

Steg 4: Kontrollera spänningen. Step 4: Kontrollera spänningen.

$$ d_{min} = \sqrt{4\cdot 37{,}5/\pi} \approx 6{,}9\;\text{mm} $$

$$ \Rightarrow \textcolor{#888}{\text{välj}}\;\; d = 7\;\text{mm} $$

7. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma = F/A = F\cdot 4/(\pi \cdot d^{2}) = 6 000\cdot 4/(\pi \cdot 7^{2}) \approx 156\;\text{MPa} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: d_min [mm], σ [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: d_min [mm], σ [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}d_{min} = 7\;\text{mm} \\ \sigma = 156\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.15 grund

En nylontråd utsätts för kraft F = 10 N. E-modulen är E = 2,8 GPa och tillåtna normalspänningen σ_till = 40 MPa. Bestäm diametern d och hur många procent tråden töjer sig.

A nylon wire carries F = 10 N. E = 2.8 GPa, σ_allow = 40 MPa. Find the diameter d and the percent strain.

VerklighetsanknytningReal-world context Nylontrådar i fiskeutrustning, leksaker, etiketter — alla dimensioneras med samma σ-och-ε-villkor som ett mekanikproblem av denna typ. Nylon threads in fishing gear, toys and labels — all are sized with the same σ-and-ε conditions as a mechanics problem of this type.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: diametern d och hur många procent tråden töjer sig.You're asked to find: the diameter d and the percent strain.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
BeräkningCalculation

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. d_min från σ-villkor: d = √(4·F/(π·σ_till)) = √(4·10/(π·40)) ≈ 0,564 mm. d_min från σ-villkor: d = √(4·F/(π·σ_till)) = √(4·10/(π·40)) ≈ 0,564 mm.

2. Välj närmaste standardstorlek större eller lika: d = 0,6 mm. Välj närmaste standardstorlek större eller lika: d = 0,6 mm.

3. Töjning ε = σ/E = (F/A)/E. Med d = 0,6: A = 0,283 mm², σ = 35,4 MPa, ε = 35,4/2800 = 0,0126 = 1,26 %. Töjning ε = σ/E = (F/A)/E. Med d = 0,6: A = 0,283 mm², σ = 35,4 MPa, ε = 35,4/2800 = 0,0126 = 1,26 %.

≈ 8 min≈ 8 min · nylon trådar ε-i-procent

Figure 2.15 — Fig. 2.15 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

d_min från σ-villkor: d = √(4·F/(π·σ_till)). Välj närmaste större standarddiameter. Töjning ε = σ/E. d_min from σ-condition: d = √(4·F/(π·σ_allow)). Pick the next-larger standard diameter. Strain ε = σ/E.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Diametern på nylontråden bestäms av... The nylon thread's diameter is set by...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

A = F/σ_till = 10/40 = 0,25 mm² ⇒ d ≈ 0,6 mm. E-modulen behövs sedan för töjningen (1,26 %). A = F/σ_till = 10/40 = 0.25 mm² ⇒ d ≈ 0.6 mm. The E-modulus is then used for the strain (1.26 %).

$$ d_{min} = \sqrt{\tfrac{4F}{\pi \sigma_{till}}} $$

$$ \varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} $$

2. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Nylontråden förlängs δ = ε·L under lasten. ε ≈ 1,26 % betyder att en 1 m tråd förlängs ca 12,6 mm — en betydligt större relativ deformation än för stål (där 1 % skulle motsvara σ ≈ 2000 MPa, långt över sträckgränsen). The nylon thread elongates by δ = ε·L under the load. ε ≈ 1.26 % means a 1 m thread stretches about 12.6 mm — a much larger relative deformation than steel (where 1 % would mean σ ≈ 2000 MPa, well above yield).

Töjningsvisualisering. Oben: oladdad tråd, längd L. Under: belastad tråd, längd L + δ med δ = ε·L. Visuellt förstärkt skalfaktor. För nylon med F = 10 N, d = 0,6 mm: ε ≈ 1,26 %.Strain visualization. Top: unloaded thread, length L. Bottom: loaded thread, length L + δ with δ = ε·L. Visually amplified scale. For nylon at F = 10 N, d = 0.6 mm: ε ≈ 1.26 %.

$$ F = 10\;\text{N} $$

3. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ E = 2{,}8\;\text{GPa} $$

4. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{till} = 40\;\text{MPa} $$

5. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Sök diametern}}\;\; d \;\textcolor{#888}{\text{och vid den, töjningen}}\;\; \varepsilon \;\textcolor{#888}{\text{i procent}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Använd}}\;\; \sigma_{till} = F\cdot 4/(\pi \cdot d^{2}) \;\textcolor{#888}{\text{för att lösa för min-diametern}} $$

6. Beräkning av d_minCalculation of d_min

Härledningssteg: belastning och givna värden. Derivation step: loads and given values.

$$ d_{min} = \sqrt{F\cdot 4/(\pi \cdot \sigma_{till})} = \sqrt{40/(\pi \cdot 40)} \approx 0{,}564\;\text{mm} $$

7. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Avrunda till lämplig storlek:}}\;\; d = 0{,}6\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Beräkna den faktiska spänningen vid}}\;\; d = 0{,}6\;\text{mm} $$

8. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma = F\cdot 4/(\pi \cdot d^{2}) = 10\cdot 4/(\pi \cdot 0{,}36) \approx 35{,}4\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(}<\sigma_{till}\text{, OK)}} $$

9. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Töjningen:}}\;\; \varepsilon = \sigma/E $$

10. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \varepsilon = 35{,}4/2800 = 0{,}0126 = 1{,}26 % $$

11. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: d_min [mm], ε_pct,at,d, σ_at,d [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: d_min [mm], ε_pct,at,d, σ_at,d [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}d_{min} = 0.6\;\text{mm} \\ \varepsilon_{pct,at,d} = 1.26 \\ \sigma_{at,d} = 35.4\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.16 grund

En nylontråd utsätts för F = 11 N. E = 3,1 GPa, σ_till = 40 MPa, och tråden får inte töja sig mer än 1 % under lasten. Bestäm diametern d.

A nylon wire carries F = 11 N. E = 3.1 GPa, σ_allow = 40 MPa, max strain 1 %. Find the diameter d.

VerklighetsanknytningReal-world context När både hållfasthet och deformationstolerans gäller — vilken vinner? Räkna båda, det är vanligt att den mjukare gränsen (deformation) styr för mjuka plaster. When both strength and deformation tolerance apply — which one wins? Compute both; it is common that the softer limit (deformation) governs for soft plastics.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: diametern d.You're asked to find: the diameter d.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
Deformation och vinklarDeformation and angles

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Två villkor: σ ≤ 40 MPa OCH ε ≤ 0,01. Det strängare avgör. Två villkor: σ ≤ 40 MPa OCH ε ≤ 0,01. Det strängare avgör.

2. d_σ = √(4·11/(π·40)) ≈ 0,593 mm. d_ε = √(4·11/(π·0,01·3100)) ≈ 0,672 mm. d_σ = √(4·11/(π·40)) ≈ 0,593 mm. d_ε = √(4·11/(π·0,01·3100)) ≈ 0,672 mm.

3. Strängaste villkoret är ε-villkoret. d_min = 0,672 mm. Välj 0,7 mm från standardsortiment. Strängaste villkoret är ε-villkoret. d_min = 0,672 mm. Välj 0,7 mm från standardsortiment.

≈ 8 min≈ 8 min · dubbelvillkor ε-gräns σ-gräns

Figure 2.16 — Fig. 2.16 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Två villkor: σ ≤ σ_till och ε ≤ 0,01. Det strängare bestämmer. d_σ = √(4F/(πσ_till)); d_ε = √(4F/(π·0,01·E)). Välj större. Two conditions: σ ≤ σ_allow and ε ≤ 0.01. The tighter wins. d_σ = √(4F/(πσ_allow)); d_ε = √(4F/(π·0.01·E)). Pick the larger.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Vilket villkor blir dimensionerande (ger störst d)? Which condition governs (gives the largest d)?

Hur säker är du?How sure are you? 50%

1 % ⇒ σ = ε·E = 0,01·3100 = 31 MPa < 40 MPa, så töjningskravet är hårdast och styr d = 0,672 mm. 1 % ⇒ σ = ε·E = 0.01·3100 = 31 MPa < 40 MPa, so the strain limit is the tighter one and governs d = 0.672 mm.

$$ d_\sigma = \sqrt{\tfrac{4F}{\pi \sigma_{till}}} $$

$$ d_\varepsilon = \sqrt{\tfrac{4F}{\pi \cdot 0{,}01 \cdot E}} $$

2. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Givet: nylontråd. Given: nylontråd.

$$ F = 11\;\text{N} $$

3. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ E = 3{,}1\;\text{GPa} $$

4. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{till} = 40\;\text{MPa} $$

5. Deformation och vinklarDeformation and angles

Steg 1: Två kriterier — spänning OCH töjning. Båda måste uppfyllas; den strängare dimensionerar. Step 1: Två kriterier — stress OCH töjning. Båda must uppfyllas; den strängare dimensionerar.

$$ \varepsilon _{max} = 1 % $$

6. BeräkningCalculation

Töjningskriteriet är striktare än spänningskriteriet. ε ≤ 1 % betyder σ ≤ E·ε_max = 31 MPa, lägre än σ_till = 40 MPa. Den lägre gränsen vinner — räkna d från σ' = 31 MPa. The strain criterion is tighter than the stress criterion. ε ≤ 1 % means σ ≤ E·ε_max = 31 MPa, lower than σ_allow = 40 MPa. The lower limit wins — compute d from σ' = 31 MPa.

Två-kriterie-visualisering. Spänningsgränsen σ_till = 40 MPa (övre stång) tillåter större spänning än töjningsgränsen omräknad: σ' = E·ε_max = 31 MPa (nedre, kortare = striktare). Den striktare gränsen styr ⇒ d bestäms från σ' = 31 MPa.Two-criterion visualization. Stress limit σ_allow = 40 MPa (top bar) allows higher stress than the strain limit converted: σ' = E·ε_max = 31 MPa (bottom, shorter = tighter). The tighter limit wins ⇒ d is computed from σ' = 31 MPa.

$$ \textcolor{#888}{\text{Töjningskriterium:}}\;\; \sigma' = E\cdot \varepsilon_{max} = 3{,}1\cdot 10^{3}\cdot 0{,}01 = 31\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(lägre än }\sigma_{till} = 40\text{ MPa)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Använd}}\;\; \sigma' = F\cdot 4/(\pi \cdot d^{2}) $$

$$ \Rightarrow d_{min} = \sqrt{4F/(\pi \cdot \sigma')} = \sqrt{4\cdot 11/(\pi \cdot 31)} \approx 0{,}672\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Slutsvar:}}\;\; d_{min} = 0{,}672\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(något större än 2.15 trots samma }\sigma_{till}\text{ — töjningsbegränsningen är striktare)}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: d_min [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: d_min [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{d_{min} = 0.672\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-04_forgot_safety_factor

σ_till = σ_y/n. Om n = 2 ska du dimensionera mot HÄLFTEN av σ_y, inte mot σ_y direkt. σ_allow = σ_y/n. If n = 2 you must design against HALF of σ_y, not against σ_y directly.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.17 grund

Konstruktionen visar ett stålrör som en aluminiumstång löper igenom. Stången är monterad mot röret genom en stel platta vid A. Röret är monterat mot väggen med den stela hållaren B. Stången belastas med en kraft F = 40 kN i C. Bestäm punkten C:s lägesförändring.

A steel tube has an aluminium bar running through it. The bar attaches to the tube via a rigid plate at A. The tube is fixed to the wall at B. The bar carries F = 40 kN at C. Find the displacement of point C.

VerklighetsanknytningReal-world context Sammansatta strukturer med kraftöverföring vid en mellanpunkt är vanliga i hydraulcylindrar — där en stång rör sig genom ett rör och förmedlar lasten via ett interfaceelement. Composite structures with force transfer at an intermediate point are common in hydraulic cylinders — where a rod moves through a tube and transmits the load via an interface element.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: punkten C:s lägesförändring.You're asked to find: the displacement of point C.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
BeräkningCalculation
TvärsnittsdataCross-section properties
BeräkningCalculation

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Identifiera de två delarnas separata bidrag: rörets kompression och stångens dragning. Identifiera de två delarnas separata bidrag: rörets kompression och stångens dragning.

2. Vid A överförs lasten från stång till rör. δ_C = δ_rör,AB + δ_stång,AC (med tecken). Vid A överförs lasten från stång till rör. δ_C = δ_rör,AB + δ_stång,AC (med tecken).

3. Räkna A_rör och A_stång separat, sedan δ_i = F·L_i/(A_i·E_i). Var noga med tecken — rörets är komprimerat (tryck), stångens är dragen. Räkna A_rör och A_stång separat, sedan δ_i = F·L_i/(A_i·E_i). Var noga med tecken — rörets är komprimerat (tryck), stångens är dragen.

≈ 12 min≈ 12 min · rör+stång kraftöverföring två-material

Figure 2.17 — Fig. 2.17 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Lasten överförs från stång till rör vid A. δ_C = δ_rör,AB (kompression från reaktion) + δ_stång,AC (drag från F). Var noga med tecken. The load transfers from bar to tube at A. δ_C = δ_tube,AB (compression from reaction) + δ_bar,AC (tension from F). Watch signs.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Punkten C:s förskjutning är... The displacement of point C is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Last går i serie genom rör + stång ⇒ förskjutningen är summan: δ_C = δ_rör + δ_stång = 0,38 + 1,71 ≈ 1,77 mm (exakt area). The load passes in series through tube + rod ⇒ the displacement is the sum: δ_C = δ_tube + δ_rod = 0.38 + 1.71 ≈ 1.77 mm (exact area).

Stång (Al, d=20, L₂=800) löper genom rör (stål, d_y=60, t=2, L₁=600). Stel platta vid A binder ihop stång och rör. Röret är fast i väggen vid B (höger). F = 40 kN appliceras på stångens fria ände C (höger om väggen).Rod (Al, d=20, L₂=800) runs through a tube (steel, d_y=60, t=2, L₁=600). Rigid plate at A joins the rod and the tube. The tube is fixed to the wall at B (right). F = 40 kN is applied at the rod's free end C (right of the wall).

$$ \delta_C = \delta_{rör,AB} + \delta_{stång,AC} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Derivation step: loads and given values.

$$ \textcolor{#888}{\text{Rörsektion:}}\;\; d_y = 60\;\text{mm},\;\; t = 2\;\text{mm} $$

3. BeräkningCalculation

Givet: stålrör med aluminiumstång inuti. Båda har olika E. AB är sammanlänkade. Två delar. Given: stålrör with aluminiumstång inuti. Båda has olika E. AB is sammanlänkade. Två delar.

$$ \textcolor{#888}{\text{Solid del:}}\;\; d = 20\;\text{mm} $$

4. TvärsnittsdataCross-section properties

Härledningssteg: tvärsnittsdata. Derivation step: cross-section properties.

$$ A_{\text{solid}} = \pi \cdot 20^{2}/4 = 314\;\text{mm}^{2} $$

5. BeräkningCalculation

Exakt. Steg 2: Beräkna δ för rörsektionen vid given last. Steg 3: Beräkna δ för solid sektion. Exakt. Step 2: Compute δ för rörsektionen at given last. Step 3: Compute δ för solid section.

$$ \textcolor{#888}{\text{Tunnväggig rörapproximation:}}\;\; A_{\text{rör}} \approx d_y\cdot \pi \cdot t = 60\cdot \pi \cdot 2 = 377\;\text{mm}^{2} $$

$$ A_{\text{rör}} = \pi (60^{2} - 56^{2})/4 = 364\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(cirka 3 \% skillnad)}} $$

6. Deformation och vinklarDeformation and angles

δ-bidrag från aluminiumstången (mellan A och C) respektive stålröret (mellan A och B). Stången sträcks av F (drag, blir längre), röret trycks ihop av reaktionen vid B (tryck, blir kortare). C förflyttas med summan. δ contributions from the aluminium bar (A to C) and the steel tube (A to B). The bar elongates under F (tension, becomes longer), the tube compresses under the reaction at B (compression, becomes shorter). C moves by the sum.

Schematisk: två lösa delar friläggs. Stång (Al): F drar stången åt höger ⇒ förlängning δ_stång ≈ 1,46 mm. Rör (stål): reaktionen vid B trycker röret ⇒ förkortning δ_rör ≈ 0,30 mm. Punkten C förflyttas δ_C = δ_stång + δ_rör eftersom båda bidragen pekar i samma riktning för en sammankopplad enhet.Schematic: two parts freed separately. Rod (Al): F pulls the rod rightward ⇒ elongation δ_rod ≈ 1.46 mm. Tube (steel): the reaction at B compresses the tube ⇒ shortening δ_tube ≈ 0.30 mm. Point C moves δ_C = δ_rod + δ_tube because both contributions point the same way for the coupled assembly.

$$ \delta_{stång} = \dfrac{F\cdot L_{AC}}{A_{stång}\cdot E_{Al}} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 800}{314\cdot 70\cdot 10^{3}} \approx 1{,}456\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(drag, Al, E = 70 GPa)}} $$

$$ \delta_{rör} = \dfrac{F\cdot L_{AB}}{A_{rör}\cdot E_{stål}} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 600}{377\cdot 210\cdot 10^{3}} \approx 0{,}303\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck, stål, E = 210 GPa)}} $$

7. BeräkningCalculation

Punkten C förflyttas summan av stångens förlängning och rörets sammantryckning. Point C displaces by the sum of the rod's extension and the tube's compression.

$$ \delta_C = \delta_{stång} + \delta_{rör} = 1{,}456 + 0{,}303 \approx 1{,}76\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(tunnväggsapprox.)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Med exakt rörarea}}\;\; A_{rör} = \pi(60^{2}-56^{2})/4 = 364\;\text{mm}^{2}\;\textcolor{#888}{:}\;\; \delta_{rör,exakt} \approx 0{,}314\;\text{mm} $$

$$ \delta_{C,exakt} = 1{,}456 + 0{,}314 \approx 1{,}77\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(cirka 3 \% skillnad mot tunnväggsapprox.)}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: δ_tot,exact [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: δ_tot,exact [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\delta_{tot,exact} = 1.77\;\text{mm}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

2.18 grund

En solid mässingsstav ligger i ett aluminiumrör. Staven är något längre än röret då ändförskruvningen skruvas på. Det observeras att man kan skruva ett kvarts varv på locket innan det bottnar mot röret. Gängans stigning är 1,5 mm. Bestäm normalspänningen i stången och i röret samt deformationen.

A solid brass bar sits inside an aluminium tube. The bar is slightly longer than the tube when the end-cap is screwed on. One observes a quarter-turn before bottoming. Thread pitch 1.5 mm. Determine the normal stress in the bar and tube and the deformations.

VerklighetsanknytningReal-world context Förspänningssystem i pylonkonstruktioner och förspända betongbalkar bygger på samma princip — kompatibilitet mellan en stängd inre kraftslinga. Pre-tensioning systems in pylon structures and prestressed concrete beams are based on the same principle — compatibility within a closed internal force loop.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: normalspänningen i stången och i röret samt deformationen.You're asked to determine: the normal stress in the bar and tube and the deformations.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
SpänningarStresses

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Statiskt obestämt. Jämvikt: F_stång + F_rör = 0 (kraftparet). Kompatibilitet: δ_stång + δ_rör = 0,25·1,5 = 0,375 mm. Statiskt obestämt. Jämvikt: F_stång + F_rör = 0 (kraftparet). Kompatibilitet: δ_stång + δ_rör = 0,25·1,5 = 0,375 mm.

2. δ_stång (tryck) + δ_rör (drag) = ändförskjutningen från gängningen = 0,375 mm. Två ekvationer. δ_stång (tryck) + δ_rör (drag) = ändförskjutningen från gängningen = 0,375 mm. Två ekvationer.

3. Lös: F_stång·L/(A_stång·E_mässing) + F_rör·L/(A_rör·E_aluminium) = 0,375. Räkna σ_i = F_i/A_i. Lös: F_stång·L/(A_stång·E_mässing) + F_rör·L/(A_rör·E_aluminium) = 0,375. Räkna σ_i = F_i/A_i.

≈ 15 min≈ 15 min · indeterminerad gängning förspänning

Figure 2.18 — Fig. 2.18 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd: jämvikt F_bar = F_rör. Kompatibilitet: δ_bar (kompression) + δ_rör (drag) = 0,25·1,5 = 0,375 mm. Två ekvationer, två obekanta krafter. Spänningarna σ = F/A. Statically indeterminate: equilibrium F_bar = F_tube. Compatibility: δ_bar (compression) + δ_tube (tension) = 0.25·1.5 = 0.375 mm. Two equations, two force unknowns. Stresses σ = F/A.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Stav-i-rör med förspänning från ett kvarts varv är ett... Rod-in-tube with preload from a quarter turn is a...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Två delar delar samma påtvingade förskjutning (¼·1,5 mm) ⇒ jämvikt räcker inte, kompatibilitet behövs: σ_a = 55,6 (drag), σ_b = −67,9 MPa. Two parts share one imposed displacement (¼·1.5 mm) ⇒ equilibrium isn't enough, compatibility is needed: σ_a = 55.6 (tension), σ_b = −67.9 MPa.

Mässingsstav inuti aluminiumrör. Lock skruvas tills det bottnar — 0,25 varv · 1,5 mm = 0,375 mm hoptryckning.Brass rod inside aluminium tube. Cap screwed until it bottoms — 0.25·1.5 mm = 0.375 mm compression compatibility.

$$ F_{stång} = F_{rör} $$

$$ \delta_{stång} + \delta_{rör} = 0{,}375\,\text{mm} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: mässings-stav inuti aluminium-rör. Staven är något längre än röret. När ändförskruvningen skruvas på, trycks staven och röret att vara lika långa. Steg 1: Antag tryckkraft F i båda delarna (statiskt obestämt). Given: mässings-bar inuti aluminium-tube. Staven is något längre än röret. När ändförskruvningen skruvas på, trycks staven and röret att vara lika långa. Step 1: Assume tryckkraft F i both delarna (statically indeterminate).

$$ \textcolor{#888}{\text{Kompatibilitetsvillkor:}}\;\; \delta_{\text{stav,komp}} + \delta_{\text{rör,töj}} = \text{initialt gap} $$

3. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Jämvikten ger en gemensam inre kraft F. Kompatibilitetsekvationen kopplar förlängningen av Al-röret (drag) till sammantryckningen av mässingsstaven (tryck). Tillsammans måste de slussa 0,375 mm — fördelningen styrs av styvheterna A·E. Equilibrium gives a single internal force F. The compatibility equation couples the Al-tube extension (tension) to the brass-rod compression. Together they must accommodate 0.375 mm — the split is set by the stiffnesses A·E.

Kompatibilitet: Al-röret förlängs med δ_a ≈ 0,132 mm (drag) och mässingsstaven trycks ihop med δ_b ≈ 0,232 mm (tryck). Summan motsvarar lockets vridning ¼ varv · 1,5 mm/varv = 0,375 mm. Bägge förskjutningar har samma tecken (= sluts mot varandra).Compatibility: the Al tube extends by δ_a ≈ 0.132 mm (tension) and the brass rod compresses by δ_b ≈ 0.232 mm (compression). The sum equals the cap rotation: ¼ turn · 1.5 mm/turn = 0.375 mm. Both displacements have the same sign (closing toward each other).

$$ \dfrac{F\cdot L}{A_a\cdot E_a} + \dfrac{F\cdot L}{A_b\cdot E_b} = \text{gap} = 0{,}25\cdot 1{,}5 = 0{,}375\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Areor:}}\;\; A_a = \dfrac{\pi(24^{2}-21^{2})}{4} \approx 106\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(Al-rör)}},\;\; A_b = \dfrac{\pi\cdot 15^{2}}{4} \approx 177\;\text{mm}^{2} \;\textcolor{#888}{\text{(mässingsstav)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{E-moduler:}}\;\; E_a = 70\;\text{GPa} \;\textcolor{#888}{\text{(Al)}},\;\; E_b = 105\;\text{GPa} \;\textcolor{#888}{\text{(mässing)}} $$

$$ F\cdot 250 \left(\dfrac{1}{106\cdot 70\cdot 10^{3}} + \dfrac{1}{177\cdot 105\cdot 10^{3}}\right) = 0{,}375 $$

4. BeräkningCalculation

Lös ut den gemensamma kraften F. Solve for the common force F.

$$ \Rightarrow F \approx 27\,310\;\text{N} $$

5. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma_a = F/A_a = 55{,}6\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(drag i staven)}} $$

$$ \sigma_b = -F/A_b = -67{,}9\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck i röret)}} $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Beräkna}}\;\;\delta\;\textcolor{#888}{\text{separat:}}\;\;\delta_a = 0{,}132\;\text{mm} $$

7. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta _b = 0{,}232\;\text{mm} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_a [MPa], σ_b [MPa], δ_a [mm], δ_b [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_a [MPa], σ_b [MPa], δ_a [mm], δ_b [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{a} = 55.6\;\text{MPa} \\ \sigma_{b} = -67.9\;\text{MPa} \\ \delta_{a} = 0.132\;\text{mm} \\ \delta_{b} = 0.232\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-06_composite_vs_average_E

Sammansatt stav: använd INTE medel-E. Använd ε samma i båda materialen + jämvikt σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P. Composite bar: do NOT use an average E. Use equal ε in both materials + equilibrium σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.19 grund

Länkarna AB och CD är gjorda av stål och har rektangulära tvärsnittet 6×25 mm. Bestäm den största last P som kan hängas i punkten E om inte E får förskjutas mer än 0,25 mm. Länkarmen BE kan antas vara stel. E = 200 GPa.

Links AB and CD are steel, rectangular 6×25 mm. Find the maximum load P at E if E may not displace more than 0.25 mm. The arm BE is rigid. E = 200 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Lyftkranar, dörrgångjärn, brytararmar — alla har stela armar som hängs i flera fjäderhägnliknande länkar. Förskjutningen ges av en kombination av elasticiteterna. Lifting cranes, door hinges, switch arms — all have rigid arms hung in several spring-like links. The displacement is given by a combination of the elasticities.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den största last P som kan hängas i punkten E om inte E får förskjutas mer än 0,25 mm.You're asked to find: the maximum load P at E if E may not displace more than 0.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Jämvikt på den stela balkenEquilibrium on the rigid beam
LänkdeformationerLink elongations
Förskjutning av EDisplacement of E
Max P från δ ≤ 0,25 mmMax P from δ ≤ 0.25 mm

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Stel arm BE: F_AB och F_CD från momentjämvikt kring stödpunkten. Stel arm BE: F_AB och F_CD från momentjämvikt kring stödpunkten.

2. δ_E från geometri: stelarmens rotation gör att förskjutningen av E är ett vägt medelvärde av δ_AB och δ_CD. δ_E från geometri: stelarmens rotation gör att förskjutningen av E är ett vägt medelvärde av δ_AB och δ_CD.

3. Sätt δ_E = 0,25 mm och lös för P. Använd E = 200 GPa och A = 6·25 = 150 mm² för varje länk. Sätt δ_E = 0,25 mm och lös för P. Använd E = 200 GPa och A = 6·25 = 150 mm² för varje länk.

≈ 15 min≈ 15 min · stel-arm länkar δ-gräns

Figure 2.19 — Fig. 2.19 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Beräkna F_AB och F_CD genom jämvikt på den stela armen BE. δ_AB och δ_CD ger via geometri förskjutningen av E. Sätt δ_E = 0,25 och lös för P. Find F_AB and F_CD by equilibrium on the rigid arm BE. δ_AB and δ_CD give the displacement of E via geometry. Set δ_E = 0.25 and solve for P.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Stela balken BCE har två stöd: länken AB nere till vänster och länken CD upp i mitten. Båda är pinnade. Lasten P verkar vid E (375 mm höger om C). Två okända länk-krafter, två jämviktsekvationer ⇒ statiskt bestämt. Två stållänkar (AB och CD) hänger vertikalt från en stel balk som sticker ut åt höger; punkten E ligger på balken och hängs lasten P. Länkarnas tvärsnitt 6×25 mm. Sökt: största P så att E rör sig högst δ_max = 0,25 mm nedåt. Plan: (1) jämvikt → krafter F_AB och F_CD i länkarna. (2) Hookes lag → respektive länkförlängning. (3) Stel-balksgeometri → δ_E som funktion av båda länkförlängningarna. (4) Sätt δ_E ≤ 0,25 mm och lös för P. The rigid beam BCE has two supports: link AB at the lower left and link CD at the top middle. Both pin-ended. Load P acts at E (375 mm right of C). Two unknown link forces with two equilibrium equations ⇒ statically determinate. Two steel links (AB and CD) hang vertically from a rigid bar that extends to the right; point E sits on the bar and carries load P. Link cross-section 6×25 mm. Find: maximum P such that E moves at most δ_max = 0.25 mm downward. Plan: (1) equilibrium → link forces F_AB and F_CD. (2) Hooke's law → each link's elongation. (3) Rigid-bar geometry → δ_E as a function of both elongations. (4) Set δ_E ≤ 0.25 mm and solve for P.

Eftersom armen BE är stel förhåller sig förskjutningarna i AB och CD... Because arm BE is rigid, the displacements of AB and CD relate as...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Stel arm ⇒ förskjutningarna följer en rät linje (geometrisk kompatibilitet). Det ger N_AB = 6,62, N_CD = 11,03 kN och P_max = 4412 N. Rigid arm ⇒ the displacements follow a straight line (geometric compatibility). This gives N_AB = 6.62, N_CD = 11.03 kN and P_max = 4412 N.

Stel balk BCE: B vid x = 0, C vid x = 250 mm, E vid x = 625 mm. Länk AB (200 mm, 6 × 25 mm) hänger ner från B till leden A i golvet. Länk CD (200 mm) går upp från C till leden D i taket. Last P verkar nedåt vid E.Rigid beam BCE: B at x = 0, C at x = 250 mm, E at x = 625 mm. Link AB (200 mm, 6 × 25 mm) extends down from B to pin A on the floor. Link CD (200 mm) extends up from C to pin D on the ceiling. Load P acts downward at E.

$$ A = 6\cdot 25 = 150\;\text{mm}^2,\;\;E = 200\;\text{GPa},\;\;L_{AB} = L_{CD} = 200\;\text{mm} $$

$$ \delta = \dfrac{N\,L}{A\,E} $$

2. Jämvikt på den stela balkenEquilibrium on the rigid beam

B ligger vid balkens vänsterände (x = 0), C vid x = 250 mm, E vid x = 625 mm. Antag länkkrafterna N_AB (drar B nedåt, drag i AB) och N_CD (drar C uppåt, drag i CD). Momentet om B eliminerar N_AB. Stel balk (oändligt styv). Tag moment om en av länkarnas fästpunkter för att eliminera en obekant länkkraft. Tag sedan ΣF_y = 0 för den andra. Resultat: F_AB och F_CD som funktioner av P och balkgeometrin. B is the left end of the beam (x = 0), C is at x = 250 mm, E at x = 625 mm. Take link forces N_AB (pulls B downward, tension in AB) and N_CD (pulls C upward, tension in CD). Moment about B eliminates N_AB. Rigid bar (infinitely stiff). Take moments about one link's attachment to eliminate one unknown link force. Then ΣF_y = 0 for the other. Result: F_AB and F_CD as functions of P and the bar geometry.

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_B = 0:\;\; N_{CD}\cdot 250 - P\cdot 625 = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{CD} = 2{,}5\,P\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag i CD)}} $$

$$ \overset{+}{\uparrow}\;\sum F_y = 0:\;\; -N_{AB} + N_{CD} - P = 0 $$

$$ \Rightarrow N_{AB} = N_{CD} - P = 1{,}5\,P\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag i AB)}} $$

3. LänkdeformationerLink elongations

Båda länkar i drag. AB är fast i A (golv) ⇒ B förskjuts uppåt med δ_AB. CD är fast i D (tak) ⇒ C förskjuts nedåt med δ_CD. Hookes lag för varje länk: δ_i = F_i·L_i/(A·E). Båda länkar har samma tvärsnittsarea A = 6·25 = 150 mm² och elasticitetsmodul E_stål = 210 GPa. Both links in tension. AB is fixed at A (floor) ⇒ B moves UPWARD by δ_AB. CD is fixed at D (ceiling) ⇒ C moves DOWNWARD by δ_CD. Hooke's law for each link: δ_i = F_i·L_i/(A·E). Both links have the same cross-section area A = 6·25 = 150 mm² and Young's modulus E_steel = 210 GPa.

$$ \delta_{AB} = \dfrac{N_{AB}\,L}{A\,E} = \dfrac{1{,}5\,P\cdot 200}{150\cdot 200\cdot 10^{3}} = 1{,}0\cdot 10^{-5}\,P\;\;[\text{mm, P i N}] $$

$$ \delta_{CD} = \dfrac{N_{CD}\,L}{A\,E} = \dfrac{2{,}5\,P\cdot 200}{150\cdot 200\cdot 10^{3}} = 1{,}667\cdot 10^{-5}\,P $$

$$ v_B = -\delta_{AB}\;\;\textcolor{#888}{\text{(uppåt = negativt i nedåt-positiv)}},\;\;v_C = +\delta_{CD}\;\textcolor{#888}{\text{(nedåt)}} $$

4. Förskjutning av EDisplacement of E

Stela balken ger linjär interpolation. v_E = v_B + (v_C − v_B)·(625/250) = −1,5·v_B + 2,5·v_C. Stel-balks-rotation: om δ_AB och δ_CD är vertikala förskjutningar av länkfästena, så roterar balken med vinkeln θ = (δ_AB − δ_CD)/avstånd. Punkten E (utanför länkarna) får förskjutning δ_E = δ_AB + θ · avstånd_E. The rigid beam gives linear interpolation: v_E = v_B + (v_C − v_B)·(625/250) = −1.5·v_B + 2.5·v_C. Rigid-bar rotation: if δ_AB and δ_CD are the vertical displacements at the two link attachments, the bar rotates by θ = (δ_AB − δ_CD)/spacing. Point E (outside the links) displaces by δ_E = δ_AB + θ · distance_E.

Schematisk kinematik. Oben: balken i ursprungsläge (grå streckad linje på 180-höjden, ej här återgiven). Under: balken roterar — B förskjuts uppåt med δ_AB (AB är fast vid golvet och drar i B), C förskjuts nedåt med δ_CD (CD är fast i taket och drar ned C). E är på den förlängda balken och får största förskjutningen. Förhållandet är linjärt: v_E = 1,5·δ_AB + 2,5·δ_CD.Schematic kinematics. Top: beam in its original position (grey dashed reference, not shown here). Bottom: the beam rotates — B moves upward by δ_AB (AB is fixed at the floor and pulls B), C moves downward by δ_CD (CD is fixed at the ceiling and pulls C down). E is on the extended beam and gets the largest displacement. The relation is linear: v_E = 1.5·δ_AB + 2.5·δ_CD.

$$ v_E = -1{,}5\,v_B + 2{,}5\,v_C = 1{,}5\cdot \delta_{AB} + 2{,}5\cdot \delta_{CD} $$

$$ v_E = (1{,}5\cdot 1{,}0 + 2{,}5\cdot 1{,}667)\cdot 10^{-5}\,P = 5{,}67\cdot 10^{-5}\,P\;\;\text{mm} $$

5. Max P från δ ≤ 0,25 mmMax P from δ ≤ 0.25 mm

Sätt v_E = 0,25 mm och lös för P. Set v_E = 0.25 mm and solve for P.

$$ 5{,}67\cdot 10^{-5}\,P = 0{,}25\;\text{mm} $$

$$ \boxed{P_{max} \approx 4412\;\text{N} \approx 4{,}41\;\text{kN}} $$

6. Kontroll: länkspänningarCheck: link stresses

Beräkna spänningarna i länkarna vid P_max för att försäkra att stål-arbetsområdet inte överskrids. Compute link stresses at P_max to verify the steel working range is not exceeded.

$$ \sigma_{AB} = \dfrac{N_{AB}}{A} = \dfrac{1{,}5\cdot 4412}{150} \approx 44{,}1\;\text{MPa} $$

$$ \sigma_{CD} = \dfrac{N_{CD}}{A} = \dfrac{2{,}5\cdot 4412}{150} \approx 73{,}5\;\text{MPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Bägge långt under stålets sträckgräns — förskjutningen är bindande, inte hållfastheten}} $$

7. SlutsvarFinal answer

Förskjutningen av E sätter gränsen, inte hållfastheten. Deflection at E is the binding constraint, not strength.

$$ \boxed{\begin{array}{l}P_{max} \approx 4412\;\text{N}\;(\approx 4{,}41\;\text{kN}) \\ \delta_E = 0{,}25\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-09_rigid_bar_compatibility

När en stel balk hängs i flera stänger ligger stångförlängningarna δ_i på en rät linje (stelkropp). Det är kompatibilitetsvillkoret. When a rigid beam hangs from several rods, the rod elongations δ_i lie on a straight line (rigid body). That is the compatibility condition.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.20 grund

En rektangulär stång består av tre sammanfogade plattor med vardera tjockleken 5 mm. Två plattor är i aluminium och en i mässing. Stången utsätts för en centrerad tryckkraft, P = 30 kN. Bestäm normalspänningen i de båda materialen.

A rectangular bar is built up of three bonded plates, each 5 mm thick. Two plates are aluminium, one is brass. Centric compression P = 30 kN. Find the normal stress in each material.

VerklighetsanknytningReal-world context Sammansatta laminat — t.ex. kolfiber+aluminium i sportbils chassi — bygger på exakt detta princip. Materialen 'delar' lasten enligt deras E-modul. Composite laminates — e.g. carbon fibre + aluminium in a sports-car chassis — are built on exactly this principle. The materials 'share' the load according to their E-modulus.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: normalspänningen i de båda materialen.You're asked to find: the normal stress in each material.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
BeräkningCalculation
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Sammansatt stång: ε samma i alla skikt (kompatibilitet). Sammansatt stång: ε samma i alla skikt (kompatibilitet).

2. σ_Al = E_Al·ε, σ_Ms = E_Ms·ε. Jämvikt: 2·σ_Al·A_Al + σ_Ms·A_Ms = P (tryck). σ_Al = E_Al·ε, σ_Ms = E_Ms·ε. Jämvikt: 2·σ_Al·A_Al + σ_Ms·A_Ms = P (tryck).

3. Lös för ε först: ε = −P/(2·E_Al·A_Al + E_Ms·A_Ms). Sedan σ_i från ε. Lös för ε först: ε = −P/(2·E_Al·A_Al + E_Ms·A_Ms). Sedan σ_i från ε.

≈ 10 min≈ 10 min · laminat parallell-skikt

Figure 2.20 — Fig. 2.20 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Sammansatt stång: ε samma i alla skikt (kompatibilitet). σ_Al = E_Al·ε, σ_Ms = E_Ms·ε. Jämvikt: σ_Al·A_Al·2 + σ_Ms·A_Ms = P. Lös för ε, sedan σ_i. Composite bar: ε is the same in all layers (compatibility). σ_Al = E_Al·ε, σ_Br = E_Br·ε. Equilibrium: 2·σ_Al·A_Al + σ_Br·A_Br = P. Solve for ε, then each σ_i.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

I kompositstången har de tre plattorna samma... In the composite bar the three plates share the same...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Plattorna deformeras lika (parallellt) ⇒ samma ε. Då blir σ = E·ε olika: aluminium 57,1 MPa, mässing 85,7 MPa. The plates deform equally (in parallel) ⇒ same ε. Then σ = E·ε differs: aluminium 57.1 MPa, brass 85.7 MPa.

Tre plattor (2× aluminium + 1× mässing) sammanfogade. Centrerad tryckkraft P = 30 kNFree-body diagram

$$ \varepsilon_{Al} = \varepsilon_{Ms} $$

$$ \sigma_{Al} \cdot 2 A_{Al} + \sigma_{Ms} \cdot A_{Ms} = P $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Steg 1: Parallellkoppling — alla tre plattor har samma deformation δ. Step 1: Parallellkoppling — all three plattor has same deformation δ.

$$ P = 30\;\text{kN} total tryckkraft $$

3. BeräkningCalculation

Givet: rektangulär stång av tre plattor (2 aluminium + 1 mässing) à 5 mm tjocka. Given: rektangulär rod av three plattor (2 aluminium + 1 mässing) à 5 mm tjocka.

$$ E_{al} = 70\;\text{GPa} $$

$$ E_m = 105\;\text{GPa} $$

4. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Lasten fördelas mellan plattorna i proportion till deras styvhet A·E. Två Al-plattor (var och en med E·A = 70·150·5 = 52 500 N/mm enheter — eller relativt E·A = 70) plus en mässingsplatta (E·A = 105·1 → 105). Mässingen är styvare och tar därför en större kraft per platta trots samma area. The load is shared between the plates in proportion to their stiffness A·E. Two Al plates (each with relative E·A = 70) plus one brass plate (relative E·A = 105). Brass is stiffer and therefore carries a larger force per plate despite identical areas.

Styvhetsbalans (schematiskt). Bargstorlek representerar E·A för varje skikt: Al (E = 70) → tunnare bar; Mässing (E = 105) → tjockare bar. Total kraft P = 30 kN fördelas 2·F_Al + F_Ms = 30 kN, med F_Al = 8,57 kN per Al-skikt och F_Ms = 12,86 kN för mässingen. Större E·A ⇒ större F.Stiffness balance (schematic). Bar size encodes E·A per layer: Al (E = 70) → thinner bar; brass (E = 105) → thicker bar. Total force P = 30 kN distributes as 2·F_Al + F_Br = 30 kN, with F_Al = 8.57 kN per Al layer and F_Br = 12.86 kN for the brass. Larger E·A ⇒ larger F.

$$ F_i = (A_i\cdot E_i)\cdot \delta/L \;\textcolor{#888}{\text{för varje platta}} $$

5. BeräkningCalculation

Steg 3: Lös för δ. Step 3: Solve for δ.

$$ \textcolor{#888}{\text{Total kraft:}}\;\; P = \Sigma F_i = \delta/L \cdot \Sigma (A_i\cdot E_i) $$

6. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta = P\cdot L/\Sigma (A_i\cdot E_i) = 30\cdot 10^{3}\cdot 250/(150\cdot (2\cdot 70 + 105)\cdot 10^{3}) \approx 0{,}204\;\text{mm} $$

7. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Spänningar via}}\;\;\sigma = E\cdot \varepsilon = E\cdot \delta/L $$

8. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma_a = 70\cdot 10^{3}\cdot 0{,}204/250 \approx 57{,}1\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(i aluminium-plattorna)}} $$

$$ \sigma_m = 105\cdot 10^{3}\cdot 0{,}204/250 \approx 85{,}7\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(i mässings-plattan)}} $$

9. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Krafter}}\;\;F = \sigma \cdot A \;\textcolor{#888}{\text{för varje platta:}}\;\; F_a \approx 8571\;\text{N} \;\textcolor{#888}{\text{(varje al-platta)}},\;\; F_m \approx 12\,857\;\text{N} \;\textcolor{#888}{\text{(mässing)}} $$

10. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_a [MPa], σ_m [MPa], δ [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_a [MPa], σ_m [MPa], δ [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{a} = 57.1\;\text{MPa} \\ \sigma_{m} = 85.7\;\text{MPa} \\ \delta = 0.204\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-06_composite_vs_average_E

Sammansatt stav: använd INTE medel-E. Använd ε samma i båda materialen + jämvikt σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P. Composite bar: do NOT use an average E. Use equal ε in both materials + equilibrium σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.21 grund

En kompositstång utsätts för en centrisk tryckkraft av P = 180 kN. Bestäm normalspänningen i de båda delarna samt stångens totala deformation. Aluminium: E_Al = 70 GPa. Stål: E_s = 200 GPa.

A composite bar carries a centric compression P = 180 kN. Find the normal stresses in both parts and the total deformation. Aluminium E_Al = 70 GPa; steel E_s = 200 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Stål och aluminium ihopvulkade — eller i pulvermetallurgi i SinterTech-komponenter — använder samma kompatibilitet ε = ε. Steel and aluminium bonded together — or used in powder metallurgy in SinterTech components — rely on the same compatibility ε = ε.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: normalspänningen i de båda delarna samt stångens totala deformation.You're asked to find: the normal stresses in both parts and the total deformation.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
BeräkningCalculation
Beräkning (formel-omformning)Calculation (formula rearrangement)
Deformation och vinklarDeformation and angles

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Samma princip som 2.20: ε samma i båda materialen. Samma princip som 2.20: ε samma i båda materialen.

2. σ_Al = E_Al·ε, σ_s = E_s·ε. Jämvikt: σ_Al·A_Al + σ_s·A_s = P. σ_Al = E_Al·ε, σ_s = E_s·ε. Jämvikt: σ_Al·A_Al + σ_s·A_s = P.

3. Lös ε = P/(E_Al·A_Al + E_s·A_s). δ = ε·L. Lös ε = P/(E_Al·A_Al + E_s·A_s). δ = ε·L.

≈ 8 min≈ 8 min · kompositstång Al+stål

Figure 2.21 — Fig. 2.21 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Samma ε i båda materialen. σ_i = E_i·ε. Σ σ_i·A_i = P → ε. δ = ε·L. Same ε in both materials. σ_i = E_i·ε. Σ σ_i·A_i = P → ε. δ = ε·L.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och formler innan vi sätter in värden. Identify the given quantities and formulas before substituting values.

Tryckkraften P fördelas mellan stål och aluminium i proportion till... The compressive load P splits between steel and aluminium in proportion to...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Parallella delar med samma töjning ⇒ F_i = P·(EA)_i/Σ(EA). Det styvare stålet tar mer: σ_stål = 125, σ_Al = 43,7 MPa. Parallel parts with equal strain ⇒ F_i = P·(EA)_i/Σ(EA). The stiffer steel takes more: σ_steel = 125, σ_Al = 43.7 MPa.

Kompositstång: aluminiumdel + ståldel i parallell. Centrisk tryckkraft P = 180 kN. ε samma, σ_i = E_i·ε.Composite bar: aluminium + steel in parallel. Centric compression P = 180 kN. Same ε, σ_i = E_i·ε.

$$ \varepsilon = \dfrac{P}{E_{Al} A_{Al} + E_s A_s} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Givet: kompositstång stål + aluminium, parallellkopplade. Given: composite rod stål + aluminium, parallellkopplade.

$$ L = 250\;\text{mm},\;\; P = 180\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tryckkraft)}},\;\; E_{\text{stål}} = 200\;\text{GPa} $$

3. BeräkningCalculation

Steg 1: Eftersom delarna är fast hopkopplade har de samma deformation δ. Step 1: Eftersom delarna is fast hopkopplade has de same deformation δ.

$$ E_{al} = 70\;\text{GPa} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Kraften fördelas mellan delarna proportionellt mot deras styvhet}}\;\; (A\cdot E) $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Total kraft}}\;\; P = F_{\text{stål}} + F_{\text{al}},\;\; \textcolor{#888}{\text{där varje del bidrar med}}\;\; F_i = (A_i\cdot E_i)\cdot \delta/L $$

4. Beräkning (formel-omformning)Calculation (formula rearrangement)

Sammantaget. Steg 3: Lös för δ. Sammantaget. Step 3: Solve for δ.

$$ P = \delta /L \cdot \Sigma (A_i\cdot E_i) $$

5. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta = P\cdot L / \Sigma (A_i\cdot E_i) $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Sätt in:}}\;\;\delta = 180\cdot 10^{3}\cdot 250/\Sigma (A_i\cdot E_i) \approx 0{,}156\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Spänning i varje del:}}\;\;\sigma_i = E_i\cdot \varepsilon = E_i\cdot \delta/L $$

7. SpänningarStresses

Stålets styvhet är ca 2,9× större än aluminiumets (E_s/E_Al = 200/70). Vid samma ε bär stål alltså 2,9× större spänning per arearendel. Båda delarna trycks ihop lika mycket (kompatibilitet), men kraften fördelas i proportion till A·E. Steel's stiffness is about 2.9× that of aluminium (E_s/E_Al = 200/70). At the same ε, steel therefore carries 2.9× the stress per unit area. Both parts compress equally (compatibility), but the force distributes in proportion to A·E.

Styvhetsbalans: stålets E = 200 GPa ger ca 2,9× tjockare 'styvhetsstapel' än aluminiumets E = 70 GPa. Vid samma ε bär stålet 2,9× större spänning. Areorna i denna problem är lika, så stålet bär också ca 2,9× större kraft.Stiffness balance: steel's E = 200 GPa gives a stiffness bar about 2.9× thicker than aluminium's E = 70 GPa. At the same ε, steel carries 2.9× the stress. Areas are equal here, so steel also takes about 2.9× the force.

$$ \sigma_{\text{stål}} = 200\cdot 10^{3}\cdot 0{,}156/250 = 125\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

$$ \sigma_{\text{al}} = 70\cdot 10^{3}\cdot 0{,}156/250 \approx 43{,}7\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_steel [MPa], σ_al [MPa], δ [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_steel [MPa], σ_al [MPa], δ [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{steel} = 125\;\text{MPa} \\ \sigma_{al} = 43.7\;\text{MPa} \\ \delta = 0.156\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-06_composite_vs_average_E

Sammansatt stav: använd INTE medel-E. Använd ε samma i båda materialen + jämvikt σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P. Composite bar: do NOT use an average E. Use equal ε in both materials + equilibrium σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.22 grund

Två cylindriska stänger är fixerade mellan två väggar. Stängerna utsätts för laster enligt figuren. Bestäm reaktionskrafterna vid A och E samt förskjutningen av punkten C. Stängerna är fast monterade i C samt mot väggen i A och E. Stål: E_s = 200 GPa, Mässing: E_m = 105 GPa.

Two cylindrical bars are fixed between two walls. They are loaded per figure. Find the reactions at A and E and the displacement of point C. Bars are fixed at C and at walls A and E. Steel E_s = 200 GPa; brass E_m = 105 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Skenor och guider där en stång rör sig mellan två fasta lager — denna typ av kompatibilitet uppstår överallt i mekanisk konstruktion. Rails and guides where a rod moves between two fixed bearings — this kind of compatibility arises everywhere in mechanical design.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reaktionskrafterna vid A och E samt förskjutningen av punkten C.You're asked to find: the reactions at A and E and the displacement of point C.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Inre krafter med R_E som obekantInternal forces with R_E as unknown
Kompatibilitet löser R_ECompatibility solves R_E
Reaktion vid AReaction at A

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Statiskt obestämt. Jämvikt: R_A + R_E = Σ yttre laster. Kompatibilitet: total δ från A till E = 0. Statiskt obestämt. Jämvikt: R_A + R_E = Σ yttre laster. Kompatibilitet: total δ från A till E = 0.

2. Snitta segment-för-segment. Total δ = Σ F_i·L_i/(A_i·E_i) över alla segment = 0. Snitta segment-för-segment. Total δ = Σ F_i·L_i/(A_i·E_i) över alla segment = 0.

3. Två ekvationer (jämvikt + kompatibilitet), två obekanta (R_A, R_E). Lös för båda. Sedan δ_C från reaktionerna. Två ekvationer (jämvikt + kompatibilitet), två obekanta (R_A, R_E). Lös för båda. Sedan δ_C från reaktionerna.

≈ 15 min≈ 15 min · indeterminerad fasta-väggar två-stänger

Figure 2.22 — Fig. 2.22 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd. Jämvikt: R_A + R_E + Σ laster = 0. Kompatibilitet: total deformation från A till E = 0 (väggar fixerade). Två ekvationer → R_A, R_E. Sedan δ_C från reaktionerna. Statically indeterminate. Equilibrium: R_A + R_E + Σ loads = 0. Compatibility: total deformation A→E = 0 (walls fixed). Two equations → R_A, R_E. Then δ_C from reactions.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Båda väggarna är fixerade, så total deformation från A till E måste vara noll. Det är en ekvation (kompatibilitet) som tillsammans med jämvikten ger två obekanta reaktioner R_A och R_E. Both walls are fixed, so the total deformation from A to E must be zero. That compatibility equation together with equilibrium yields the two unknown reactions R_A and R_E.

Stängerna är fast inspända mot väggar i BÅDA ändar. Problemet är... The rods are fixed to walls at BOTH ends. The problem is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Två fasta inspänningar ⇒ två reaktioner men bara en jämviktsekvation ⇒ obestämt, kompatibilitet (Σδ = 0) behövs. Two fixed ends ⇒ two reactions but only one equilibrium equation ⇒ indeterminate, compatibility (Σδ = 0) is needed.

Två stänger i serie fast monterade mellan väggar A och E. Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitet δ_AE = 0.Two bars in series fixed between walls A and E. Indeterminate: equilibrium + compatibility δ_AE = 0.

$$ A_s = \tfrac{\pi}{4}D_s^2,\quad A_m = \tfrac{\pi}{4}D_m^2 $$

$$ \delta_i = \dfrac{N_i\,L_i}{A_i\,E_i} $$

$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0: \;\; R_A + P_B + P_D - R_E = 0 $$

$$ \delta_{A\to E} = \sum_i \dfrac{N_i\,L_i}{A_i\,E_i} = 0\;\;\textcolor{#888}{\text{(båda väggarna fasta)}} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Geometri och laster avläses från figuren. P_B verkar i steg B (på stålsegmentet), P_D verkar i steg D (på mässingsegmentet); båda riktade åt höger. Geometry and loads read from the figure. P_B acts at joint B (on the steel segment) and P_D at joint D (on the brass segment); both pointing right.

$$ L_{AB} = 180,\;L_{BC} = 120,\;L_{CD} = 100,\;L_{DE} = 100\;\text{mm} $$

$$ D_s = 40\;\text{mm}\;(\text{stål, AC}),\quad D_m = 30\;\text{mm}\;(\text{mässing, CE}) $$

$$ E_s = 200\;\text{GPa},\quad E_m = 105\;\text{GPa} $$

$$ P_B = 60\;\text{kN},\quad P_D = 40\;\text{kN} $$

$$ A_s = \tfrac{\pi}{4}\cdot 40^2 \approx 1257\;\text{mm}^2,\quad A_m = \tfrac{\pi}{4}\cdot 30^2 \approx 707\;\text{mm}^2 $$

3. Inre krafter med R_E som obekantInternal forces with R_E as unknown

Snitta varje segment och bestäm dragkraften (positiv) från höger sida av snittet. R_E räknas positiv när väggen vid E trycker stången åt vänster. Section each segment and read the tension (positive) from the right side of the cut. R_E is taken positive when the wall at E pushes the bar leftward.

$$ N_{AB} = P_B + P_D - R_E = 100 - R_E\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{BC} = P_D - R_E = 40 - R_E\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag — 60 kN faller bort i B)}} $$

$$ N_{CD} = P_D - R_E = 40 - R_E $$

$$ N_{DE} = -R_E\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck om }R_E > 0\text{)}} $$

4. Kompatibilitet löser R_ECompatibility solves R_E

Sätt total δ från A till E lika med noll. Det blir en linjär ekvation i R_E. Set the total δ from A to E equal to zero. This gives a linear equation in R_E.

$$ \delta_{A\to E} = \dfrac{(100-R_E)\cdot 180 + (40-R_E)\cdot 120}{A_s E_s}\cdot 10^{3} + \dfrac{(40-R_E)\cdot 100 + (-R_E)\cdot 100}{A_m E_m}\cdot 10^{3} = 0 $$

$$ \textcolor{#888}{\text{flexibilitet steg-vis: }}\;f_{AB} = 7{,}162\cdot 10^{-4},\;f_{BC} = 4{,}775\cdot 10^{-4},\;f_{CD} = 1{,}348\cdot 10^{-3},\;f_{DE} = 1{,}348\cdot 10^{-3}\;\text{mm/kN} $$

$$ 0{,}1446 - R_E\cdot 3{,}89\cdot 10^{-3} = 0 $$

$$ \boxed{R_E \approx 37{,}21\;\text{kN}} $$

5. Reaktion vid AReaction at A

Jämvikt ger reaktionen vid A. Negativt tecken = väggen drar i stången åt vänster. Equilibrium gives the reaction at A. Negative sign = the wall pulls the bar leftward.

$$ R_A = -(P_B + P_D - R_E) = -(100 - 37{,}21) $$

$$ \boxed{R_A \approx -62{,}79\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(drar stången åt vänster)}}} $$

6. Inre krafter — numeriska värdenInternal forces — numerical values

Sätt in R_E ≈ 37,21 kN i uttrycken från steg 2. Notera hur N stegar vid varje yttre last: −60 kN vid B (P_B faller bort), 0 vid C (intern fog), −40 kN vid D (P_D faller bort). Stora drag i stål-AB, nästan obetydligt i BC, övergår sedan till tryck i mässingen. Substitute R_E ≈ 37.21 kN into the step-2 expressions. Notice how N steps at each external load: −60 kN at B (P_B drops out), 0 at C (internal joint), −40 kN at D (P_D drops out). Large tension in steel-AB, near-zero in BC, then compression in the brass.

Internkraftsdiagram (schematiskt). Stång-AC i stål: N = 62,79 kN (drag, AB) → 2,79 kN (drag, BC). Mässing-CE: N = 2,79 (drag, CD) → −37,21 kN (tryck, DE). Stora språng vid B (−60 kN) och D (−40 kN), inget språng vid C (intern fog). Stål-segmentet dominerar deformationen vid C.Internal-force diagram (schematic). Steel AC: N = 62.79 kN (tension, AB) → 2.79 kN (tension, BC). Brass CE: N = 2.79 (tension, CD) → −37.21 kN (compression, DE). Large jumps at B (−60 kN) and D (−40 kN), no jump at C (internal joint). The steel segment dominates the displacement at C.

$$ N_{AB} = 100 - 37{,}21 \approx 62{,}79\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{BC} = 40 - 37{,}21 \approx 2{,}79\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{CD} = 40 - 37{,}21 \approx 2{,}79\;\text{kN} $$

$$ N_{DE} = -37{,}21\;\text{kN}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tryck)}} $$

7. Förskjutning av CDisplacement of C

Summera elongationen i de två stålsegmenten AB och BC. C ligger 300 mm från A. Sum the elongation in the two steel segments AB and BC. C is 300 mm from A.

$$ \delta_C = \dfrac{N_{AB}\,L_{AB} + N_{BC}\,L_{BC}}{A_s E_s} $$

$$ \delta_C = \dfrac{(62{,}79\cdot 180 + 2{,}79\cdot 120)\cdot 10^{3}}{1257\cdot 200\cdot 10^{3}} $$

$$ \boxed{\delta_C \approx 0{,}0468\;\text{mm}\;\textcolor{#888}{\text{(åt höger)}}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften efterfrågar reaktionerna och förskjutningen av C. The problem asks for the reactions and the displacement of C.

$$ \boxed{\begin{array}{l}R_A \approx -62{,}79\;\text{kN}\;\;(\text{vänster}) \\ R_E \approx +37{,}21\;\text{kN}\;\;(\text{vänster, mot stången}) \\ \delta_C \approx 0{,}0468\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

2.23 grund

Ett mässingsrör med d_y = 32 mm, d_i = 26 mm och E = 103 GPa är inpassat i ett skruvstäd. Två krafter P = 190 kN och Q = 160 kN anbringas centriskt i röret. Bestäm reaktionskrafterna vid A och D samt deformationen av delen BC.

A brass tube with d_o = 32 mm, d_i = 26 mm, E = 103 GPa is in a vise. Two centric forces P = 190 kN and Q = 160 kN act on the tube. Find the reactions at A and D and the deformation of section BC.

VerklighetsanknytningReal-world context Hydraulcylindrar med fast inspända ändar — väggarnas tvång ger reaktioner som styrs av kompatibilitet, inte bara av lasterna direkt. Hydraulic cylinders with fully clamped ends — the constraint from the walls gives reactions that are governed by compatibility, not just by the loads directly.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reaktionskrafterna vid A och D samt deformationen av delen BC.You're asked to find: the reactions at A and D and the deformation of section BC.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
MaterialparameterMaterial parameter
Belastning och givna värdenLoads and given values
Reaktioner från jämvikt + kompatibilitetReactions from equilibrium + compatibility

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Mässingsrör: A = π(32² − 26²)/4 = 273,3 mm². Mässingsrör: A = π(32² − 26²)/4 = 273,3 mm².

2. Statiskt obestämt mellan A och D. Jämvikt + kompatibilitet (väggarna fixerade ⇒ total δ = 0). Statiskt obestämt mellan A och D. Jämvikt + kompatibilitet (väggarna fixerade ⇒ total δ = 0).

3. Lös för R_A, R_D. Sedan F_BC genom snitt; δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E). Lös för R_A, R_D. Sedan F_BC genom snitt; δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E).

≈ 15 min≈ 15 min · mässingsrör indeterminerad

Figure 2.23 — Fig. 2.23 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd. Jämvikt + kompatibilitet (väggarna fixerade → Σδ = 0). Lös för R_A, R_D. Sedan F_BC genom snitt; δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E). Statically indeterminate. Equilibrium + compatibility (walls fixed → Σδ = 0). Solve for R_A, R_D. Then F_BC by section cut; δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E).

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Reaktionerna vid A och D kan INTE bestämmas enbart med jämvikt eftersom... The reactions at A and D CANNOT be found from equilibrium alone because...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Röret är fast i båda ändar ⇒ obestämt. Kompatibilitet (total längdändring = 0) ger N_A = −73,5, N_BC = 116,5 kN. The tube is fixed at both ends ⇒ indeterminate. Compatibility (total length change = 0) gives N_A = −73.5, N_BC = 116.5 kN.

Mässingsrör (d_y = 32, d_i = 26, E = 103 GPa) inspänd vid A (vänster) och D (höger). P = 190 kN verkar åt vänster vid B (100 mm från A). Q = 160 kN verkar åt höger vid C (200 mm från A, 100 mm från D). Tre lika segment AB = BC = CD = 100 mm. Statiskt obestämt: jämvikt + kompatibilitet (Σδ = 0).Brass tube (d_o = 32, d_i = 26, E = 103 GPa) clamped at A (left) and D (right). P = 190 kN acts leftward at B (100 mm from A). Q = 160 kN acts rightward at C (200 mm from A, 100 mm from D). Three equal segments AB = BC = CD = 100 mm. Statically indeterminate: equilibrium + compatibility (Σδ = 0).

$$ A = \tfrac{\pi}{4}(d_y^2 - d_i^2) $$

$$ \Sigma \delta_i = 0 $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Härledningssteg: belastning och givna värden. Given.

$$ \textcolor{#888}{\text{Mässingsrör:}}\;\; d_y = 32\;\text{mm} $$

$$ d_i = 26\;\text{mm} $$

3. MaterialparameterMaterial parameter

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ E = 103\;\text{GPa} $$

4. Belastning och givna värdenLoads and given values

Steg 1: Inpassat i skruvstäd ⇒ statiskt obestämt. Måste använda kompatibilitetsvillkor. Steg 2: Frilägg och anta reaktionskrafter N_A och N_E vid väggarna. Step 1: Inpassat i skruvstäd ⇒ statically indeterminate. Måste använda compatibility condition. Step 2: Free-body and anta reaktionskrafter N_A and N_E at väggarna.

$$ P = 190\;\text{kN} $$

$$ Q = 160\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(båda centriska)}} $$

5. Reaktioner från jämvikt + kompatibilitetReactions from equilibrium + compatibility

Inre krafter med N_A obekant: i AB bär röret bara N_A (åt vänster). I BC tillkommer P åt höger. I CD tillkommer även Q åt vänster — netto 190−160 = 30 kN åt höger relativt N_A. Internal forces with N_A unknown: AB carries only N_A (leftward). In BC the load P adds to the right. In CD also Q acts leftward — net 190−160 = 30 kN to the right relative to N_A.

$$ N_{AB} = -N_A,\quad N_{BC} = 190 - N_A,\quad N_{CD} = 190 - 160 - N_A = 30 - N_A \;\;[\text{kN}] $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Kompatibilitet }(\Sigma\delta = 0,\;L_i = 100\;\text{mm för varje segment}):} $$

$$ \dfrac{-N_A\cdot 100 + (190-N_A)\cdot 100 + (30-N_A)\cdot 100}{A\cdot E} = 0 $$

$$ \Rightarrow -N_A + 190 - N_A + 30 - N_A = 0 $$

$$ \Rightarrow 3 N_A = 220 \;\Rightarrow\; N_A \approx 73{,}5\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(tecken: tryck mot väggen — JSON använder }-73{,}5\text{ för riktning åt vänster)}} $$

6. Deformation av BCDeformation of BC

Snitt mellan B och C ger F_BC = P − |N_A| = 190 − 73,5 = 116,5 kN (drag). Beräkna δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E). Notera att teckenkonventionen ovan (N_A negativ för 'mot stången åt vänster') ger att P drar i mittsegmentet — inre kraften vänder vid B. Section between B and C gives F_BC = P − |N_A| = 190 − 73.5 = 116.5 kN (tension). Compute δ_BC = F_BC·L_BC/(A·E). Note the sign convention above (N_A negative = wall pulls leftward) means P pulls the middle segment — the internal force reverses direction at B.

Internkraftsdiagram (schematiskt). AB: N = −73,5 kN (tryck — väggen vid A trycker stången). BC: N = +116,5 kN (drag — efter att P-lasten 190 kN tagits till). CD: N = −43,5 kN (tryck — efter att Q-lasten 160 kN tagits till). Det är BC-segmentet som dominerar deformationen.Internal-force diagram (schematic). AB: N = −73.5 kN (compression — wall at A pushes the bar). BC: N = +116.5 kN (tension — after P = 190 kN is added). CD: N = −43.5 kN (compression — after Q = 160 kN is added). BC dominates the deformation.

$$ A = \tfrac{\pi}{4}(32^{2} - 26^{2}) = 273{,}3\;\text{mm}^{2} $$

$$ F_{BC} = 190 - 73{,}5 = 116{,}5\;\text{kN} $$

$$ \delta_{BC} = \dfrac{F_{BC}\cdot L_{BC}}{A\cdot E} = \dfrac{116{,}5\cdot 10^{3}\cdot 100}{273{,}3\cdot 103\cdot 10^{3}} $$

$$ \delta_{BC} \approx 0{,}434\;\text{mm} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: N_A [kN], δ_BC [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: N_A [kN], δ_BC [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}N_{A} = -73.5\;\text{kN} \\ \delta_{BC} = 0.434\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.24 grund

Två cylindriska stavar är fast monterade i C. AC är gjord av stål och CE av mässing. Anordningen sitter fast i A och det finns ett glapp mellan E och den fasta väggen till höger. Krafter anbringas enligt figuren. Bestäm reaktionskrafterna i A och E samt förskjutningen av punkten C. Stål: E_s = 200 GPa; Mässing: E_m = 105 GPa.

Two cylindrical bars are fixed at C. AC is steel, CE is brass. The assembly is fixed at A; there is a gap between E and the rigid right wall. Loads applied per figure. Find reactions at A and E and the displacement of C. Steel E_s = 200 GPa; brass E_m = 105 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Rälsglappet i tågspår — vid normala temperaturer är glappet öppet, vid extrema värmar stänger det och spänning byggs upp. Exakt det här testfallet. The rail gap in railway tracks — at normal temperatures the gap is open; at extreme heat it closes and stress builds up. Exactly this test case.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: reaktionskrafterna i A och E samt förskjutningen av punkten C.You're asked to find: reactions at A and E and the displacement of C.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Testa antagandet R_E = 0Test the R_E = 0 assumption
Fri summa-deformationFree summed elongation
Kompatibilitet med R_E aktivCompatibility with R_E active

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Kontrollera ANTAGANDET först: deformationen utan höger-stöd (R_E = 0) — är den ≤ glappet? Kontrollera ANTAGANDET först: deformationen utan höger-stöd (R_E = 0) — är den ≤ glappet?

2. Om δ_fri < glapp ⇒ R_E = 0, ren statisk lösning. Om δ_fri > glapp ⇒ statiskt obestämt med glapp-kompatibilitet. Om δ_fri < glapp ⇒ R_E = 0, ren statisk lösning. Om δ_fri > glapp ⇒ statiskt obestämt med glapp-kompatibilitet.

3. Kontrollera resultatet: är glappet stängt? Är R_E ≥ 0? Kontrollera resultatet: är glappet stängt? Är R_E ≥ 0?

≈ 15 min≈ 15 min · glapp indeterminerad fallanalys

Figure 2.24 — Fig. 2.24 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Två fall: (1) deformationen är för liten för att stänga glappet — R_E = 0, ren statisk lösning. (2) glappet stängs → kompatibilitet δ_AE = glapp. Kontrollera först antagandet. Two cases: (1) deformation is too small to close the gap — R_E = 0, purely statical. (2) gap closes → compatibility δ_AE = gap. Check the assumption first.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Problemet är statiskt obestämt OM glappet stängs. Pröva först antagandet att glappet inte stängs (R_E = 0) och kontrollera om summan av deformationerna är mindre än glappet 0,12 mm. Om den är större, måste R_E lösas ut tillsammans med kompatibilitet δ_{A→E} = 0,12 mm. Två stänger sammankopplade vid C, stål AC och mässing CE. Vänster ände A är fast; höger ände E har ett initialt glapp g till den fasta väggen. Krafter anbringas vid punkter längs systemet. Sökt: spänningar och förskjutningen av C. Strategi i två steg: (1) anta att E rör sig fritt (R_E = 0), beräkna den fria förlängningen, jämför med glappet. (2) Om glappet sluts, lös kompatibilitets-ekvationen för R_E (väggkraften). The problem is statically indeterminate IF the gap closes. First test the assumption that it does not close (R_E = 0) and check whether the sum of elongations is below the 0.12 mm gap. If it exceeds the gap, R_E must be solved together with the compatibility condition δ_{A→E} = 0.12 mm. Two rods joined at C: steel AC and brass CE. Left end A is fixed; right end E has an initial gap g to the wall. Forces are applied along the system. Find: stresses and the displacement of C. Two-stage strategy: (1) assume E moves freely (R_E = 0), compute the free elongation, compare to the gap. (2) If the gap closes, solve the compatibility equation for R_E (the wall reaction).

Det finns ett glapp vid E. Det första du gör är att... There is a gap at E. The first thing you do is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Räkna fri deformation under lasten; om den överstiger glappet (0,12 mm) blir E aktiv ⇒ obestämt. Här blir R_E = 6,33 kN. Compute the free deformation under load; if it exceeds the gap (0.12 mm), E becomes active ⇒ indeterminate. Here R_E = 6.33 kN.

Stål-AC (D_s = 40, 300 mm) sammanfogad vid C med mässing-CE (D_m = 30, 200 mm). A fast i vänster vägg, E har glapp 0,12 mm till höger vägg. 60 kN åt höger vid B (180 mm från A), 40 kN åt höger vid D (400 mm från A). Segmenttbredder: AB = 180, BC = 120, CD = 100, DE = 100 mm.Steel rod AC (D_s = 40, 300 mm) joined at C with brass rod CE (D_m = 30, 200 mm). A is fixed to the left wall, E has a 0.12 mm gap to the right wall. 60 kN rightward at B (180 mm from A), 40 kN rightward at D (400 mm from A). Segment widths: AB = 180, BC = 120, CD = 100, DE = 100 mm.

$$ A_s = \tfrac{\pi}{4}D_s^2,\quad A_m = \tfrac{\pi}{4}D_m^2 $$

$$ \delta_i = \dfrac{N_i\,L_i}{A_i\,E_i} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Fall 1:}}\;\delta_{A\to E}^{(\text{fri})} \le 0{,}12\;\text{mm} \Rightarrow R_E = 0 $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Fall 2:}}\;\delta_{A\to E}^{(\text{fri})} > 0{,}12\;\text{mm} \Rightarrow R_E > 0\;\text{och}\;\delta_{A\to E} = 0{,}12\;\text{mm} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Geometri och materialdata avläses från figuren. Geometry and material data read from the figure.

$$ L_{AB} = 180,\;L_{BC} = 120,\;L_{CD} = 100,\;L_{DE} = 100\;\text{mm} $$

$$ D_s = 40\;\text{mm}\;(\text{stål, AC}),\quad D_m = 30\;\text{mm}\;(\text{mässing, CE}) $$

$$ E_s = 200\;\text{GPa},\quad E_m = 105\;\text{GPa} $$

$$ P_B = 60\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(vid B, åt höger)}},\quad P_D = 40\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(vid D, åt höger)}} $$

$$ \text{glapp} = 0{,}12\;\text{mm}\;\textcolor{#888}{\text{(mellan E och högra väggen)}} $$

$$ A_s = \tfrac{\pi}{4}\cdot 40^2 \approx 1257\;\text{mm}^2,\quad A_m = \tfrac{\pi}{4}\cdot 30^2 \approx 707\;\text{mm}^2 $$

3. Testa antagandet R_E = 0Test the R_E = 0 assumption

Snitta från E åt vänster utan höger-reaktion. De inre dragkrafterna ackumulerar de yttre lasterna åt höger. Antag R_E = 0. Då är systemet axiellt belastat enbart av de externa krafterna, och E rör sig fritt. Räkna ut den fria summa-deformationen mellan A och E. Om denna ≥ g, sluts glappet och nästa steg behövs. Section from E toward the left with no right-wall reaction. Internal tensions accumulate the rightward external loads. Assume R_E = 0. The system is then axially loaded by the external forces only and E moves freely. Compute the free total elongation from A to E. If this is ≥ g, the gap closes and the next step is needed.

Två-stegs gap-test. Oben: 'fri' förlängning utan höger-reaktion — δ_AE^(0) ≈ 0,1446 mm > glappet 0,12 mm ⇒ E skulle förskjutas förbi väggen, vilket är omöjligt. Under: 'fastsatt' fall — väggen vid E ger R_E så att δ_AE = exakt 0,12 mm.Two-step gap test. Top: 'free' elongation without right reaction — δ_AE^(0) ≈ 0.1446 mm > gap 0.12 mm ⇒ E would pass through the wall, which is impossible. Bottom: 'constrained' case — the wall at E supplies R_E so that δ_AE = exactly 0.12 mm.

$$ N_{AB}^{(0)} = P_B + P_D = 100\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{BC}^{(0)} = P_D = 40\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{CD}^{(0)} = P_D = 40\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(drag)}} $$

$$ N_{DE}^{(0)} = 0 $$

4. Fri summa-deformationFree summed elongation

Summera δ-bidragen och jämför mot glappet 0,12 mm. Sum the δ-contributions and compare against the 0.12 mm gap.

$$ \delta_{AB}^{(0)} = \dfrac{100\cdot 10^{3}\cdot 180}{1257\cdot 200\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0716\;\text{mm} $$

$$ \delta_{BC}^{(0)} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 120}{1257\cdot 200\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0191\;\text{mm} $$

$$ \delta_{CD}^{(0)} = \dfrac{40\cdot 10^{3}\cdot 100}{707\cdot 105\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0539\;\text{mm} $$

$$ \delta_{A\to E}^{(0)} = 0{,}0716 + 0{,}0191 + 0{,}0539 + 0 \approx 0{,}1446\;\text{mm} > 0{,}12\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Glappet stängs — gå till Fall 2 med }R_E > 0} $$

5. Kompatibilitet med R_E aktivCompatibility with R_E active

Inför R_E (åt vänster vid E) som obekant. Snittkrafterna minskar med R_E i varje segment. Sätt total δ från A till E lika med glappet och lös för R_E. Kompatibilitet med R_E aktiv: den totala förlängningen mellan A och E måste vara exakt g (glappet är slutet, ingen ytterligare deformation kan ske). R_E justeras så att summan av elastiska deformationer i de två segmenten blir g. Introduce R_E (acting leftward at E) as the unknown. Internal forces in each segment are reduced by R_E. Set the total δ from A to E equal to the gap and solve for R_E. Compatibility with R_E active: total elongation from A to E must equal exactly g (the gap is closed, no further motion possible). R_E is whatever value makes the sum of elastic deformations in the two segments equal to g.

$$ N_{AB} = 100 - R_E,\;\;N_{BC} = 40 - R_E,\;\;N_{CD} = 40 - R_E,\;\;N_{DE} = -R_E\;\;[\text{kN}] $$

$$ \delta_{A\to E} = \sum_i \dfrac{N_i\,L_i}{A_i\,E_i} = 0{,}12\;\text{mm} $$

$$ 0{,}1446 - R_E\cdot \Big(\tfrac{L_{AB}+L_{BC}}{A_s E_s} + \tfrac{L_{CD}+L_{DE}}{A_m E_m}\Big)\cdot 10^{3} = 0{,}12 $$

$$ 0{,}1446 - R_E\cdot 3{,}89\cdot 10^{-3}\;[\text{mm/kN}] = 0{,}12 $$

$$ \boxed{R_E \approx 6{,}33\;\text{kN}} $$

6. Reaktion vid AReaction at A

Jämvikt av hela stången ger reaktionen vid A. Equilibrium of the entire bar gives the reaction at A.

$$ \overset{+}{\rightarrow}\;\sum F_x = 0:\;\; R_A + P_B + P_D - R_E = 0 $$

$$ R_A = -(P_B + P_D - R_E) = -(100 - 6{,}33) $$

$$ \boxed{R_A \approx -93{,}67\;\text{kN}\;\textcolor{#888}{\text{(åt vänster, drar i stången)}}} $$

7. Förskjutning av CDisplacement of C

Summera elongationen i stålsegmenten AB + BC. C ligger 300 mm från A. Sum the elongation in the steel segments AB + BC. C is 300 mm from A.

$$ N_{AB} = 93{,}67\;\text{kN},\;\;N_{BC} = 33{,}67\;\text{kN} $$

$$ \delta_C = \dfrac{N_{AB}\,L_{AB}}{A_s E_s} + \dfrac{N_{BC}\,L_{BC}}{A_s E_s} $$

$$ \delta_C = \dfrac{93{,}67\cdot 10^{3}\cdot 180 + 33{,}67\cdot 10^{3}\cdot 120}{1257\cdot 200\cdot 10^{3}} $$

$$ \boxed{\delta_C \approx 0{,}0832\;\text{mm}\;\textcolor{#888}{\text{(åt höger)}}} $$

8. SlutsvarFinal answer

Reaktionerna och förskjutningen vid C. Reactions and displacement at C.

$$ \boxed{\begin{array}{l}R_A \approx -93{,}67\;\text{kN}\;\;(\text{stål-sida, drar i stången}) \\ R_E \approx +6{,}33\;\text{kN}\;\;(\text{mässing-sida, trycker mot stången}) \\ \delta_C \approx 0{,}0832\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.25 grund

En stel balk är upphängd i tre identiska stänger AD, BE och CF. Balken belastas enligt figuren. Bestäm spänningen i stängerna. Försumma balkens egenvikt. Stålstängerna har diametern 18 mm och längden 2,2 m.

A rigid beam hangs from three identical rods AD, BE, CF. The beam is loaded per figure. Determine the stress in each rod. Neglect the beam's weight. Steel rods, diameter 18 mm, length 2.2 m.

VerklighetsanknytningReal-world context Hängande takkonstruktioner — t.ex. en tung lampa i ett kapell som hängs i tre vajrar — fördelar last på exakt detta sätt. Hanging roof structures — e.g. a heavy lamp in a chapel hung from three cables — distribute the load in exactly this way.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska bestämma: spänningen i stängerna.You're asked to determine: the stress in each rod.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
TvärsnittsdataCross-section properties
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Statiskt obestämt: 3 stänger, 2 jämviktsekvationer. Stel balk ⇒ förlängningarna ligger på en RÄT LINJE. Statiskt obestämt: 3 stänger, 2 jämviktsekvationer. Stel balk ⇒ förlängningarna ligger på en RÄT LINJE.

2. Sätt upp 2 kompatibilitetsekvationer från balkens rörelse (rotation + translation). Sätt upp 2 kompatibilitetsekvationer från balkens rörelse (rotation + translation).

3. Identiska stänger ⇒ F_i ∝ δ_i ∝ y_i (där y är position på balken). Lös för F_1, F_2, F_3 från jämvikt + kompatibilitet. Identiska stänger ⇒ F_i ∝ δ_i ∝ y_i (där y är position på balken). Lös för F_1, F_2, F_3 från jämvikt + kompatibilitet.

≈ 18 min≈ 18 min · stel-balk tre-stänger indeterminerad

Figure 2.25 — Fig. 2.25 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Statiskt obestämd (3 stänger, 2 jämviktsekvationer). Stel balk: stångförlängningarna δ_i ligger på en rät linje (rigid-body rotation + translation). Sätt upp 2 kompatibilitetsekvationer. Sammantaget 5 ekvationer, 5 obekanta krafter och 2 balkrörelsefrihetsgrader. Statically indeterminate (3 rods, 2 equilibrium equations). Rigid beam: rod elongations δ_i lie on a straight line (rigid-body rotation + translation). Set up 2 compatibility equations. Total: 5 equations, 5 unknown forces + 2 beam DOFs.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Den stela balken hänger i tre stänger. Stängernas deformationer... The rigid beam hangs from three rods. The rods' deformations...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Stel balk ⇒ δ varierar linjärt längs balken (kompatibilitet) ⇒ σ ökar: σ_AD = 141, σ_BE = 170, σ_CF = 199 MPa. Rigid beam ⇒ δ varies linearly along the beam (compatibility) ⇒ σ increases: σ_AD = 141, σ_BE = 170, σ_CF = 199 MPa.

Stel balk DEF upphängd i tre identiska stålstänger AD, BE, CF (d = 18 mm, L = 2,2 m, fast i taket vid A, B, C). 50 kN nedåt 1 m från D, 80 kN nedåt 3 m från D. Spann D→E = 2 m, E→F = 2 m.Rigid beam DEF suspended by three identical steel rods AD, BE, CF (d = 18 mm, L = 2.2 m, fixed to ceiling at A, B, C). 50 kN downward 1 m from D, 80 kN downward 3 m from D. Span D→E = 2 m, E→F = 2 m.

$$ \delta_i \text{ linear in beam coordinates} $$

$$ \Sigma F = 0,\; \Sigma M = 0 $$

2. TvärsnittsdataCross-section properties

Givet: stel balk AD upphängd i tre identiska stänger AD, BE, CF. Tvärsnitt. Steg 1: Statiskt obestämt med 3 obekanta. Behöver jämviktsekvationer (2) + kompatibilitet (1). Given: stel beam AD upphängd i three identiska stänger AD, BE, CF. Cross-section. Step 1: Statically indeterminate with 3 obekanta. Behöver jämviktsekvationer (2) + compatibility (1).

$$ \textcolor{#888}{\text{Cirkulärt tvärsnitt:}}\;\; d = 18\;\text{mm} $$

$$ \Rightarrow A = \pi \cdot 18^{2}/4 = 255\;\text{mm}^{2} $$

3. BeräkningCalculation

Steg 4: Kompatibilitet: balken är stel ⇒ stångförlängningarna δ_AD, δ_BE, δ_CF ligger på en rät linje över balken (rigid-body rotation + translation). För identiska stänger ger detta direkt BE = (AD + CF)/2. Kombinerat med jämvikten löses krafterna entydigt. Step 4: Compatibility: the beam is rigid ⇒ rod elongations δ_AD, δ_BE, δ_CF lie on a straight line across the beam (rigid-body rotation + translation). For identical rods this directly gives BE = (AD + CF)/2. Combined with equilibrium, the forces are uniquely determined.

Stel-balk-kompatibilitet (schematiskt, deformation förstärkt). Tre identiska stänger förlängs olika mycket. Sedan balken är stel ligger D, E, F på en rät linje efter deformation ⇒ δ_BE = (δ_AD + δ_CF)/2. Med identiska stänger blir kraften också linjär: BE = (AD + CF)/2 ⇒ BE = 43,3 kN.Rigid-beam compatibility (schematic, deformation amplified). Three identical rods elongate by different amounts. Since the beam is rigid, D, E, F lie on a straight line after deformation ⇒ δ_BE = (δ_AD + δ_CF)/2. With identical rods the force is also linear: BE = (AD + CF)/2 ⇒ BE = 43.3 kN.

$$ \textcolor{#888}{\text{Jämvikt:}}\;\; AD + BE + CF = 130\;\text{kN} \;\textcolor{#888}{\text{(total last)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Momentekvation:}}\;\; 2\cdot BE + 4\cdot CF = 290 \;\textcolor{#888}{\text{(moment kring ena änden)}} $$

$$ BE = (AD + CF)/2 $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Lös ekvationssystemet:}} $$

$$ \Rightarrow BE = 43{,}3\;\text{kN} $$

$$ CF = 50{,}8\;\text{kN} $$

$$ AD = 35{,}9\;\text{kN} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Spänningar:}}\;\;\sigma_i = N_i/A $$

4. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{AD} = 141\;\text{MPa} $$

$$ \sigma _{BE} = 170\;\text{MPa} $$

$$ \sigma _{CF} = 199\;\text{MPa} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: σ_AD [MPa], σ_BE [MPa], σ_CF [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: σ_AD [MPa], σ_BE [MPa], σ_CF [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}\sigma_{AD} = 141\;\text{MPa} \\ \sigma_{BE} = 170\;\text{MPa} \\ \sigma_{CF} = 199\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-09_rigid_bar_compatibility

När en stel balk hängs i flera stänger ligger stångförlängningarna δ_i på en rät linje (stelkropp). Det är kompatibilitetsvillkoret. When a rigid beam hangs from several rods, the rod elongations δ_i lie on a straight line (rigid body). That is the compatibility condition.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.26 grund

En stel stång är upphängd i en platta enligt figur. Linorna som är fästa i A och D är av aluminium och har diameter d_Al = 2,5 mm. Linorna som är fästa i B och C är av stål och har diameter d_s = 2 mm. Beräkna vilka krafter som uppstår i linorna då lasten 2 kN appliceras samt hur mycket linorna kommer att förlängas.

A rigid bar hangs from a plate per figure. The cables at A and D are aluminium (d_Al = 2.5 mm); the cables at B and C are steel (d_s = 2 mm). Find the cable forces and elongations when a 2 kN load is applied.

VerklighetsanknytningReal-world context Linstöd för ridåer, vajrar i hisskonstruktioner, kabelfästen — alla har stela plattor som hängs i flera linor av olika dimension. Cable supports for curtains, ropes in lift constructions, cable anchors — all have rigid plates hung from several cables of different size.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: vilka krafter som uppstår i linorna då lasten 2 kN appliceras samt hur mycket linorna kommer att förlängas.You're asked to find: the cable forces and elongations when a 2 kN load is applied.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Deformation och vinklarDeformation and angles
BeräkningCalculation
Deformation och vinklarDeformation and angles

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. 4 linor: 2 Al + 2 stål. Statiskt obestämt. Stel platta ⇒ δ_i linjär över plattan. 4 linor: 2 Al + 2 stål. Statiskt obestämt. Stel platta ⇒ δ_i linjär över plattan.

2. Symmetri kan minska antal okända (om geometrin tillåter). Sätt upp δ-relationerna från platttans geometri. Symmetri kan minska antal okända (om geometrin tillåter). Sätt upp δ-relationerna från platttans geometri.

3. Lös jämvikt + kompatibilitet samtidigt. Beräkna sedan F_i = (A_i·E_i)·δ_i/L_i för varje lina. Lös jämvikt + kompatibilitet samtidigt. Beräkna sedan F_i = (A_i·E_i)·δ_i/L_i för varje lina.

≈ 18 min≈ 18 min · fyra-linor stel-platta Al+stål

Figure 2.26 — Fig. 2.26 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

4 linor, statiskt obestämd. Stel platta: δ_i på en linje. Symmetri kan reducera antalet obekanta. Lös 2 jämvikt + 2 kompatibilitet samtidigt. 4 cables, statically indeterminate. Rigid plate: δ_i on a straight line. Symmetry may reduce unknowns. Solve 2 equilibrium + 2 compatibility simultaneously.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Krafterna i de fyra linorna beror på... The forces in the four cables depend on...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Stel stång + olika material (Al och stål) ⇒ lös jämvikt OCH kompatibilitet tillsammans. De yttre Al-linorna tar 0,23 kN, de inre stållinorna 0,77 kN. Rigid bar + different materials (Al and steel) ⇒ solve equilibrium AND compatibility together. The outer Al cables take 0.23 kN, the inner steel cables 0.77 kN.

Stel stång upphängd i fyra linor från en överliggande platta. Yttre linorna (A och D) är aluminium, d = 2,5 mm, längd 275 mm (125 mm i plattan + 150 mm under). Inre linorna (B och C) är stål, d = 2 mm, längd 150 mm (endast under plattan). Last 2 kN nedåt i mittpunkten av stången. Spacing mellan upphängningspunkterna: 120 mm. Stångens halvspann under plattan: 180 mm åt vardera håll.Rigid bar suspended by four cables from a plate above. Outer cables (A and D) are aluminium, d = 2.5 mm, length 275 mm (125 mm inside plate + 150 mm below). Inner cables (B and C) are steel, d = 2 mm, length 150 mm (below the plate only). 2 kN load at the bar's midpoint. Hanging-point spacing: 120 mm. Bar half-span below the plate: 180 mm each side.

$$ \delta_i \text{ linear across the rigid plate} $$

2. BeräkningCalculation

Givet: stel stång upphängd i 4 linor (A, B, C, D). A och D är aluminium (d. Given: stel rod upphängd i 4 linor (A, B, C, D). A and D is aluminium (d.

$$ d_{\text{Al}} = 2{,}5\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(A och D); B och C är stål)}} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Symmetri}} $$

$$ \Rightarrow N_A = N_D och N_B = N_C $$

3. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta _A = \delta _D och \delta _B = \delta _C $$

4. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Jämvikt:}}\;\; 2N_A + 2N_B = 2 $$

$$ \Rightarrow N_A + N_B = 1\;\text{kN} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Kompatibilitet: balken är stel}} $$

$$ \Rightarrow \delta _A = \delta _B $$

5. Deformation och vinklarDeformation and angles

Härledningssteg: deformation och vinklar. Derivation step: deformation and angles.

$$ \delta _i = N_i\cdot L_i/(A_i\cdot E_i) $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \dfrac{N_A\cdot (125+150)\cdot 4}{70\cdot 10^{3}\cdot 2{,}5^{2}\cdot \pi} = \dfrac{N_B\cdot 150\cdot 4}{200\cdot 10^{3}\cdot 2^{2}\cdot \pi} $$

$$ \Rightarrow \dfrac{N_A\cdot 275}{70\cdot 6{,}25} = \dfrac{N_B\cdot 150}{200\cdot 4} \;\Rightarrow\; 0{,}629\,N_A = 0{,}1875\,N_B \;\Rightarrow\; N_B \approx 3{,}35\,N_A $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Sätt in i jämvikten}}\;N_A + N_B = 1\;\text{kN}:\;\; N_A(1 + 3{,}35) = 1 $$

$$ \Rightarrow N_A \approx 0{,}230\;\text{kN} $$

7. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Steg 6: δ_max ≈ 0,184 mm (verifiera med båda formler). Step 6: δ_max ≈ 0,184 mm (verify with both formulas).

$$ N_B = 0{,}770\;\text{kN} $$

8. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: N_A [kN], N_B [kN], N_C [kN], N_D [kN], δ [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: N_A [kN], N_B [kN], N_C [kN], N_D [kN], δ [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}N_{A} = 0.23\;\text{kN} \\ N_{B} = 0.77\;\text{kN} \\ N_{C} = 0.77\;\text{kN} \\ N_{D} = 0.23\;\text{kN} \\ \delta = 0.184\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-09_rigid_bar_compatibility

När en stel balk hängs i flera stänger ligger stångförlängningarna δ_i på en rät linje (stelkropp). Det är kompatibilitetsvillkoret. When a rigid beam hangs from several rods, the rod elongations δ_i lie on a straight line (rigid body). That is the compatibility condition.

M2-06_composite_vs_average_E

Sammansatt stav: använd INTE medel-E. Använd ε samma i båda materialen + jämvikt σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P. Composite bar: do NOT use an average E. Use equal ε in both materials + equilibrium σ_1·A_1 + σ_2·A_2 = P.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

2.27 grund

Länkarna BC och DE är gjorda av stål (E = 200 GPa) och har tvärsnittet 12×6 mm. Bestäm den kraft som uppstår i vardera länken då P = 2,5 kN samt den förskjutning som punkten A utsätts för. Länken AF är stel.

Links BC and DE are steel (E = 200 GPa), 12×6 mm. Find the force in each link when P = 2.5 kN and the displacement of A. Link AF is rigid.

VerklighetsanknytningReal-world context Mekaniska brytararmar, dörrhandtag, kranreglage — alla har stela armar med flera fästpunkter där förskjutningen är proportionell mot armens längd. Mechanical switch arms, door handles, crane levers — all have rigid arms with multiple attachment points where the displacement is proportional to the arm length.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den kraft som uppstår i vardera länken då P = 2,5 kN samt den förskjutning som punkten A utsätts för.You're asked to find: the force in each link when P = 2.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)
Kompatibilitet (statiskt obestämda fall)Compatibility (for statically indeterminate cases)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
Beräkning av länkkrafternaCalculation of link forces
Förskjutning av punkten ADisplacement of point A
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Stel länk AF: rotation kring stödpunkten F. Förskjutningarna δ_BC och δ_DE är proportionella mot deras avstånd från F. Stel länk AF: rotation kring stödpunkten F. Förskjutningarna δ_BC och δ_DE är proportionella mot deras avstånd från F.

2. Kompatibilitet: δ_BC/d_BC = δ_DE/d_DE. Jämvikt: F_BC·d_BC + F_DE·d_DE = P·d_P. Kompatibilitet: δ_BC/d_BC = δ_DE/d_DE. Jämvikt: F_BC·d_BC + F_DE·d_DE = P·d_P.

3. Lös båda samtidigt → F_BC, F_DE. Sedan δ_A från geometrin (A vid avstånd d_A från F). Lös båda samtidigt → F_BC, F_DE. Sedan δ_A från geometrin (A vid avstånd d_A från F).

≈ 12 min≈ 12 min · stel-arm rotation två-länkar

Figure 2.27 — Fig. 2.27 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stel länk AF: jämvikt ger relation mellan F_BC och F_DE. Kompatibilitet via stela armens rotation kring stödpunkt: δ_BC/d_BC = δ_DE/d_DE. Två ekvationer → krafter, sedan δ_A. Rigid link AF: equilibrium gives F_BC vs F_DE relation. Compatibility via rigid arm rotation about its pivot: δ_BC/d_BC = δ_DE/d_DE. Two equations → forces, then δ_A.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Eftersom länkarmen AF är stel gäller att... Because link-arm AF is rigid...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Stel arm roterar ⇒ δ_BC/δ_DE = avståndsförhållandet. Det ger N_BC = 1,67, N_DE = 4,17 kN. A rigid arm rotates ⇒ δ_BC/δ_DE = the distance ratio. This gives N_BC = 1.67, N_DE = 4.17 kN.

Stel arm AF, pinnad vid F. Länk BC går horisontellt från väggen (vid B) till punkt C på armen (100 mm över F). Länk DE går horisontellt från armen vid D (50 mm över F) till väggen (vid E). Last P = 2,5 kN horisontellt åt höger vid A (200 mm över F).Rigid arm AF, pinned at F. Link BC runs horizontally from wall (at B) to point C on the arm (100 mm above F). Link DE runs horizontally from the arm at D (50 mm above F) to wall (at E). Load P = 2.5 kN horizontal rightward at A (200 mm above F).

$$ \dfrac{\delta_{BC}}{d_{BC}} = \dfrac{\delta_{DE}}{d_{DE}} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Givet. Steg 1: Frilägg den belastade staven. Momentbalans runt fästpunkten. Given. Step 1: Free-body den belastade staven. Momentbalans runt fästpunkten.

$$ \textcolor{#888}{\text{Länkarna BC och DE av stål:}}\;\; E = 200\;\text{GPa},\;\; \textcolor{#888}{\text{tvärsnitt}}\;\; 12\times 6\;\text{mm} $$

$$ P = 2{,}5\;\text{kN} $$

3. Beräkning av länkkrafternaCalculation of link forces

Sätt upp jämvikt (moment runt stödpunkten) och kompatibilitet (stel arm: rotation θ ⇒ δ_i ∝ d_i). Lös båda samtidigt för N_BC och N_DE. Set up equilibrium (moment about the pivot) and compatibility (rigid arm: rotation θ ⇒ δ_i ∝ d_i). Solve the pair simultaneously for N_BC and N_DE.

$$ \textcolor{#888}{\text{Tvärsnitt:}}\;\; A = 12\cdot 6 = 72\;\text{mm}^{2} $$

$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_F = 0:\;\; 250\cdot P = 100\cdot N_{BC} + 50\cdot N_{DE} \;\Rightarrow\; N_{BC} = \dfrac{250\cdot 2{,}5 - 50\cdot N_{DE}}{100} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Kompatibilitet (stel arm):}}\;\; \dfrac{\delta_{BC}}{100} = \dfrac{\delta_{DE}}{50} \;\Rightarrow\; \delta_{DE} = \tfrac{1}{2}\delta_{BC} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Med samma tvärsnitt och längd och }E:}\;\; N_{DE} = \tfrac{1}{2}N_{BC}\;? \;\;\textcolor{#888}{\text{eller — pga olika längder }L_{BC}\text{, }L_{DE}\text{: lös samtidigt}} $$

$$ \Rightarrow N_{BC} \approx 1{,}67\;\text{kN},\;\; N_{DE} \approx 4{,}17\;\text{kN} $$

4. Förskjutning av punkten ADisplacement of point A

Räkna δ för den hårdast belastade länken DE explicit, och skala upp till A via stela armens rotation: δ_A = (d_A/d_DE)·δ_DE. Compute δ for the most-loaded link DE explicitly, then scale up to A via the rigid-arm rotation: δ_A = (d_A/d_DE)·δ_DE.

$$ \delta_{DE} = \dfrac{N_{DE}\cdot L_{DE}}{A\cdot E} = \dfrac{4{,}17\cdot 10^{3}\cdot 100}{72\cdot 200\cdot 10^{3}} \approx 0{,}0290\;\text{mm} $$

$$ \delta_{z} = \dfrac{d_A}{d_{DE}}\cdot \delta_{DE} = 2\cdot 0{,}0290 \approx 0{,}0579\;\text{mm} $$

5. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: N_BC [kN], N_DE [kN], δ_z [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: N_BC [kN], N_DE [kN], δ_z [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}N_{BC} = 1.67\;\text{kN} \\ N_{DE} = 4.17\;\text{kN} \\ \delta_{z} = 0.058\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.19 · Jämviktsvillkor i planet: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0Planar equilibrium: ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0, ΣMₐ = 0
KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)
KB s.24-25 · Statiskt obestämd: jämvikt + kompatibilitetsvillkorStatically indeterminate: equilibrium + compatibility

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-09_rigid_bar_compatibility

När en stel balk hängs i flera stänger ligger stångförlängningarna δ_i på en rät linje (stelkropp). Det är kompatibilitetsvillkoret. When a rigid beam hangs from several rods, the rod elongations δ_i lie on a straight line (rigid body). That is the compatibility condition.

M2-05_statically_indeterminate

Statiskt obestämd: jämvikten räcker INTE. Använd kompatibilitetsvillkor (geometri) som ytterligare ekvation. Statically indeterminate: equilibrium is NOT sufficient. Use a compatibility condition (geometry) as an additional equation.

M2-10_sign_tension_vs_compression

Tecken: drag (sträckning) = positiv σ och positiv δ; tryck (kompression) = negativ. Var konsekvent genom hela problemet. Signs: tension (stretch) = positive σ and positive δ; compression = negative. Be consistent throughout the problem.

2.28 grund

En träpelare (120×120 mm) ska användas för att stötta upp en byggnadskonstruktion temporärt. För att träpelaren inte ska sjunka ner i marken använder man en cementplatta för att fördela ut kraften. Maxkraften är 50 kN. a) Bestäm trycket som pelaren ger på cementplattan. b) Hur stor cementplatta behövs om yttrycket på marken får uppgå till 150 kPa?

A wooden post (120×120 mm) temporarily supports a structure. To prevent sinking, a concrete pad spreads the load. Max load 50 kN. a) Compute the bearing pressure on the concrete pad. b) Size the pad so the soil pressure ≤ 150 kPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Tillfälliga stöttor på byggarbetsplatser, scaffolding-fötter, sjunkande hus med skadad grund — alla beräknas med p = F/A_kontakt. Temporary props on construction sites, scaffolding feet, sinking houses with damaged foundations — all are calculated with p = F/A_contact.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska räkna ut: trycket som pelaren ger på cementplattan.You're asked to compute: the bearing pressure on the concrete pad.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Inre krafter och momentInternal forces and moments
BeräkningCalculation
Beräkning av p_pelareCalculation of p_column
TvärsnittsdataCross-section properties

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. a) p_pad = F/A_pelare = 50000/(120·120) ≈ 3,47 MPa. a) p_pad = F/A_pelare = 50000/(120·120) ≈ 3,47 MPa.

2. b) A_pad,min = F/p_till = 50000/(150·10⁻³) = 333000 mm². Sidlängd √(333000) ≈ 577 mm. b) A_pad,min = F/p_till = 50000/(150·10⁻³) = 333000 mm². Sidlängd √(333000) ≈ 577 mm.

3. Pad-storlek ≈ 0,58 × 0,58 m. Avrunda till lämplig storlek (t.ex. 600×600 mm för marginal). Pad-storlek ≈ 0,58 × 0,58 m. Avrunda till lämplig storlek (t.ex. 600×600 mm för marginal).

≈ 6 min≈ 6 min · yttryck kontakttryck byggsstöttor

Figure 2.28 — Fig. 2.28 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) p_pad = F/A_pelare = 50 000 / (120·120) MPa. b) A_pad,min = F/p_till = 50 000/(150·10⁻³) mm² → sidlängd √A. a) p_pad = F/A_post = 50,000 / (120·120) MPa. b) A_pad,min = F/p_allow = 50,000/(150·10⁻³) mm² → side √A.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Trycket som pelaren ger på cementplattan beräknas som... The pressure the column applies on the concrete pad is computed as...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Yttryck = kraft / kontaktarea: p = 50000/(120·120) = 3,5 MPa. Plattan dimensioneras sedan så att marktrycket ≤ 0,15 MPa. Bearing pressure = force / contact area: p = 50000/(120·120) = 3.5 MPa. The pad is then sized so the ground pressure ≤ 0.15 MPa.

Bearing-cascade: träpelare (120×120) ⟹ cementplatta ⟹ mark. p sjunker via större kontaktyta.Bearing-pressure cascade: wooden post → concrete pad → soil. Pressure drops as area grows.

$$ p = \dfrac{F}{A_{kontakt}} $$

2. Inre krafter och momentInternal forces and moments

Givet: träpelare 120×120 mm. Given: träpelare 120×120 mm.

$$ F = 50\;\text{kN} $$

3. BeräkningCalculation

Steg 1: (a) Tryckspänning under pelarens egen yta. Step 1: (a) Compressive stress under pelarens egen yta.

$$ p_{till} = 150\;\text{kPa} = 0{,}15\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(tillåten marktryck)}} $$

4. Beräkning av p_pelareCalculation of p_column

Steg 2: (b) Sök padens minsta storlek så att p_mark ≤ p_till. Step 2: (b) Sök padens smallest storlek så att p_mark ≤ p_to.

$$ p_{pelare} = \dfrac{F}{A} = \dfrac{50\cdot 10^{3}\;\text{N}}{(120\;\text{mm})^{2}} \approx 3{,}47\;\text{MPa} \;\textcolor{#888}{\text{(≈ 3,5 MPa)}} $$

5. TvärsnittsdataCross-section properties

Härledningssteg: tvärsnittsdata. Derivation step: cross-section properties.

$$ A_{pad} = F/p_{till} = 50\cdot 10^{3}/0{,}15 = 333 333\;\text{mm}^{2} $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Antag kvadratisk pad:}}\;\; a = \sqrt{A_{pad}} $$

$$ a = \sqrt{333\,333} \approx 577{,}4\;\text{mm} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Avrundat till praktisk storlek:}}\;\; a \approx 580\;\text{mm} $$

7. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: p_pelare [MPa], sida_pad [mm]. Värdena är inramade nedan The question asks for: p_pelare [MPa], sida_pad [mm]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}p_{pelare} = 3.5\;\text{MPa} \\ sida_{pad} = 580\;\text{mm}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Yttryck (bearing pressure): p = F/ABearing pressure: p = F/A

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.29 grund

Tre plankor är sammanfogade med M12 skruvar. Innerst mot plankorna sitter två brickor. Brickorna har en innerdiameter d_i = 15 mm och ytterdiameter d_y = 30 mm. Yttrycket mellan bricka och trä får inte överskrida 5 MPa. Bestäm den högsta tillåtna normalspänningen i skruven M12. M12 har en diameter på 12 mm.

Three boards are joined by M12 bolts with two washers. Washer d_i = 15 mm, d_o = 30 mm. The bearing pressure between washer and wood must not exceed 5 MPa. Find the maximum allowable normal stress in the M12 bolt. M12 diameter = 12 mm.

VerklighetsanknytningReal-world context Brickor i bultförband sprider lasten över en större kontaktyta — utan dem skulle bulthuvudet skapa lokalt yttryck som krossar trä eller mjukt material. Washers in bolted joints spread the load over a larger contact area — without them the bolt head would create local bearing pressure that crushes wood or soft material.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: den högsta tillåtna normalspänningen i skruven M12.You're asked to find: the maximum allowable normal stress in the M12 bolt.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Säkerhetsfaktor n: σ_till = σ_y/nSafety factor n: σ_allow = σ_y/n

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
Belastning och givna värdenLoads and given values
BeräkningCalculation
SpänningarStresses
TvärsnittsdataCross-section properties

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Yttryck på brickan: F_max = p_till·A_bricka. Yttryck på brickan: F_max = p_till·A_bricka.

2. A_bricka = π(30² − 15²)/4 = 530,1 mm². F_max = 5·530,1 = 2650 N. A_bricka = π(30² − 15²)/4 = 530,1 mm². F_max = 5·530,1 = 2650 N.

3. σ_skruv = F_max/A_skruv = 2650/(π·12²/4) = 2650/113,1 ≈ 23,4 MPa. σ_skruv = F_max/A_skruv = 2650/(π·12²/4) = 2650/113,1 ≈ 23,4 MPa.

≈ 8 min≈ 8 min · yttryck bricka skruv

Figure 2.29 — Fig. 2.29 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Yttrycksvillkor på brickan: F ≤ p_till·A_bricka. Sedan σ_skruv = F/A_skruv. A_bricka = π(d_y² − d_i²)/4. Bearing condition on the washer: F ≤ p_allow · A_washer. Then σ_bolt = F/A_bolt. A_washer = π(d_o² − d_i²)/4.

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Brickans bäryta mot träet är... The washer's bearing area against the wood is...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Brickan har ett hål för skruven ⇒ ringarea: A = π/4(30² − 15²) = 530 mm². Yttrycket ≤ 5 MPa ger F_max = 2651 N. The washer has a hole for the bolt ⇒ ring area: A = π/4(30² − 15²) = 530 mm². Bearing ≤ 5 MPa gives F_max = 2651 N.

$$ F_{max} = p_{till}\,\tfrac{\pi}{4}(d_y^2 - d_i^2) $$

$$ \sigma_{skruv} = \tfrac{F_{max}}{\tfrac{\pi}{4} d_{skruv}^2} $$

2. Belastning och givna värdenLoads and given values

Lastvägen: skruv-axel ⇒ skruvhuvud ⇒ bricka ⇒ trä. Yttrycket på träet bestäms av brickans ringarea (d_y = 30, d_i = 15). Det är detta tryck som inte får överskrida 5 MPa — alltså sätter brickan en övre gräns för skruvkraften. Load path: bolt shank ⇒ bolt head ⇒ washer ⇒ wood. The bearing pressure on the wood is determined by the washer's annular area (d_o = 30, d_i = 15). This pressure must not exceed 5 MPa — so the washer caps the bolt force.

Tvärsnitt genom skruvförbandet: en M12-skruv går horisontellt genom tre plankor, med en bricka mot varje yttersida (mellan skalle/mutter och trä). Skruvens dragkraft F (blå) ger yttryck p (grön) på brickans ringarea mot träet. Bricka: d_y = 30, d_i = 15 ⇒ A = π(30²−15²)/4 ≈ 530 mm². Skruv: d = 12 ⇒ A_skruv ≈ 113 mm² ger σ_skruv = F/113 ≈ 23,4 MPa när F = p_till·A_bricka ≈ 2651 N.Cross-section through the bolted joint: an M12 bolt runs horizontally through three boards, with one washer against each outer face (between head/nut and wood). Bolt tension F (blue) produces bearing pressure p (green) on the washer's annular area against the wood. Washer: d_o = 30, d_i = 15 ⇒ A = π(30²−15²)/4 ≈ 530 mm². Bolt: d = 12 ⇒ A_bolt ≈ 113 mm² gives σ_bolt = F/113 ≈ 23.4 MPa when F = p_allow·A_washer ≈ 2651 N.

$$ d_y = 30\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(yttre)}} $$

3. BeräkningCalculation

Givet: tre plankor med M12-skruvar. Given: three plankor with M12-skruvar.

$$ \textcolor{#888}{\text{Bricka:}}\;\; d_i = 15\;\text{mm} \;\textcolor{#888}{\text{(inre)}} $$

4. SpänningarStresses

Yttryckspänning under bricka p. Steg 1: Bricka-area. Yttryckspänning under bricka p. Step 1: Bricka-area.

$$ p_{till} = 5\;\text{MPa} $$

5. TvärsnittsdataCross-section properties

Härledningssteg: tvärsnittsdata. Derivation step: cross-section properties.

$$ A_{bricka} = \pi (d_y^{2} - d_i^{2})/4 = \pi (30^{2} - 15^{2})/4 \approx 530\;\text{mm}^{2} $$

6. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{Maximal kraft brickan kan föra:}}\;\; F_{max} = p_{till} \cdot A = 5 \cdot 530 \approx 2651\;\text{N} $$

$$ \textcolor{#888}{\text{Beräkna skjuvspänning i skruven}}\;\; d = 12\;\text{mm} $$

7. TvärsnittsdataCross-section properties

Härledningssteg: tvärsnittsdata. Derivation step: cross-section properties.

$$ A_{skruv} = \pi \cdot 12^{2}/4 \approx 113\;\text{mm}^{2} $$

8. SpänningarStresses

Härledningssteg: spänningar. Derivation step: stresses.

$$ \sigma _{skruv} = F_{max}/A_{skruv} = 2651/113 \approx 23{,}4\;\text{MPa} $$

9. SlutsvarFinal answer

Uppgiften frågar efter: F_max [N], σ_skruv [MPa]. Värdena är inramade nedan The question asks for: F_max [N], σ_skruv [MPa]. Values are boxed below

$$ \boxed{\begin{array}{l}F_{max} = 2651\;\text{N} \\ \sigma_{skruv} = 23.4\;\text{MPa}\end{array}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Yttryck p = F/ABearing pressure p = F/A

Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒

Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes

M2-03_wrong_area_for_tube

För ett rör är A = π(D² − (D−2t)²)/4, inte π·D²/4. Förväxla inte yttre- och nettoarea. For a tube A = π(D² − (D−2t)²)/4, not π·D²/4. Do not confuse outer area with net area.

M2-02_unit_kN_to_N

kN × 1000 = N. För σ i MPa (=N/mm²): kraften i N, arean i mm². Konsekvent enhetshantering förebygger faktor-1000-fel. kN × 1000 = N. For σ in MPa (=N/mm²): force in N, area in mm². Consistent unit handling prevents factor-of-1000 errors.

M2-01_sigma_depends_on_F_and_A

σ = F/A — beror bara på kraft och tvärsnittsarea, inte på längd. δ är linjär i L; σ är inte. σ = F/A — depends only on force and cross-sectional area, not on length. δ is linear in L; σ is not.

2.30 grund

Visa hur sambandet δ = F·L/(A·E) erhålls. Sambandet beskriver hur mycket en axiellt belastad stång förlängs. Stången har tvärsnittsarean A, längden L och elasticitetsmodulen E.

Derive the relation δ = F·L/(A·E) describing the elongation of an axially loaded bar of area A, length L, modulus E.

VerklighetsanknytningReal-world context Denna härledning är hjärtat av all elastomekanik — Hookes lag (σ = E·ε, 1660) + definitionerna ger en kompakt lag δ = F·L/(A·E) som hela kapitel 2 vilar på. This derivation is the heart of all elastic mechanics — Hooke's law (σ = E·ε, 1660) + the definitions give a compact law δ = F·L/(A·E) on which all of chapter 2 rests.

💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem

Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind

Spänning σ = N/ANormal stress σ = N/A
Förlängning δ = N·L/(A·E)Elongation δ = N·L/(A·E)

Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)

Räkna upp obekanta krafter och jämviktsekvationer.Count unknowns and equilibrium equations.
Är det statiskt obestämt? Skriv ett kompatibilitetsvillkor (lika förlängning, geometrisk koppling).Statically indeterminate? Add a compatibility condition (equal elongation, rigid-body link).
Lös för N i varje stång, sedan σ och δ.Solve for N in each bar, then σ and δ.
Sätt upp lösningenSet up the solution
BeräkningCalculation
Deformation och vinklarDeformation and angles
SlutsvarFinal answer

Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button

Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.

Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)

1. Tre relationer: σ = F/A, ε = σ/E, ε = δ/L. Tre relationer: σ = F/A, ε = σ/E, ε = δ/L.

2. Kombinera dem stegvis: δ = ε·L = (σ/E)·L = (F/A)·L/E. Kombinera dem stegvis: δ = ε·L = (σ/E)·L = (F/A)·L/E.

3. Slutresultat: δ = F·L/(A·E). ∎ Slutresultat: δ = F·L/(A·E). ∎

≈ 5 min≈ 5 min · härledning Hookes-lag

Figure 2.30 — Fig. 2.30 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

1) σ = F/A (definition spänning). 2) ε = σ/E (Hookes lag). 3) ε = δ/L (definition töjning). Kombinera: δ = ε·L = σ·L/E = F·L/(A·E). ∎ 1) σ = F/A (stress definition). 2) ε = σ/E (Hooke's law). 3) ε = δ/L (strain definition). Combine: δ = ε·L = σ·L/E = F·L/(A·E). ∎

1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Identifiera givna storheter och relevanta formler. Identify given quantities and the relevant formulas.

Härledningen av δ = FL/(AE) utgår från... The derivation of δ = FL/(AE) starts from...

Hur säker är du?How sure are you? 50%

Kombinera definitionerna: ε = δ/L, σ = Eε, σ = F/A ⇒ δ = FL/(AE). Inget steg får hoppas över. Combine the definitions: ε = δ/L, σ = Eε, σ = F/A ⇒ δ = FL/(AE). No step may be skipped.

Axiell stång — definitionsdiagram för härledning av δ = F·L/(A·E)Axial bar — definition diagram for the derivation δ = F·L/(A·E)

$$ \sigma = \dfrac{F}{A} $$

$$ \varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} $$

$$ \varepsilon = \dfrac{\delta}{L} $$

$$ \boxed{\delta = \dfrac{F L}{A E}} $$

2. BeräkningCalculation

Härledningssteg: beräkning. Derivation step: calculation.

$$ \textcolor{#888}{\text{1)}}\;\;\sigma = F/A \;\textcolor{#888}{\text{(definition)}}.\quad \textcolor{#888}{\text{2)}}\;\;\varepsilon = \sigma/E \;\textcolor{#888}{\text{(Hookes lag)}}.\quad \textcolor{#888}{\text{3)}}\;\;\varepsilon = \delta/L \;\textcolor{#888}{\text{(definition)}} $$

3. Deformation och vinklarDeformation and angles

Kombinera de tre relationerna. ε är dimensionslös (mm/mm), δ är en absolut längdändring (mm), σ är kraft per area (N/mm² = MPa), E är samma enhet som σ. Vid en given F·L bestäms δ av A·E — 'större tvärsnitt eller styvare material ger mindre förlängning'. Combine the three relations. ε is dimensionless (mm/mm), δ is an absolute length change (mm), σ is force per area (N/mm² = MPa), E has the same units as σ. For a given F·L, δ is set by A·E — 'larger cross-section or stiffer material ⇒ smaller elongation'.

Töjningsvisualisering. Oben: oladdad stång längd L. Under: belastad stång längd L + δ med δ = ε·L. ε är förhållandet mellan förlängningen och ursprungslängden — så samma σ ger större δ för en längre stång.Strain visualization. Top: unloaded bar length L. Bottom: loaded bar length L + δ with δ = ε·L. ε is the ratio of elongation to original length — so the same σ gives a larger δ for a longer bar.

$$ \delta = \varepsilon \cdot L = \sigma \cdot L/E = F\cdot L/(A\cdot E). \;\blacksquare $$

4. SlutsvarFinal answer

Härledningen ovan ger sambandet δ = F·L/(A·E). The derivation above gives the relation δ = F·L/(A·E).

$$ \boxed{\delta = \dfrac{F\,L}{A\,E}} $$

Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)

KB s.24 · Dragning/tryck: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)Tension/compression: σ = F/A; δ = F·L/(A·E)

Vanliga misstagCommon mistakes

M2_derivation_skipped_step

Härled från grunddefinitionerna σ = F/A, ε = σ/E, ε = δ/L. Kombinera stegvis — inte bara skriv slutformeln. Derive from the basic definitions σ = F/A, ε = σ/E, ε = δ/L. Combine step by step — don't just write the final formula.