HemHome

MT1565 · Hållfasthetslära grundkurs

Chapter 20: KnäckningBuckling · Week 12 · 7 problems
⚠ Under utveckling. Sidan utvecklas fortfarande — lösningar och figurer kan innehålla avvikelser eller fel. Använd alltid Madeleines lösning som källa tills vidare version. ⚠ Under development. This page is still being built — solutions and figures may contain deviations or errors. Always use Madeleine's solution as the authoritative source until a later version.
📚 Roliga fakta om inre krafter och moment Fun facts about internal forces and moments 2 stycken · klicka för att läsa
▶
🏛️
1744 BerlinBerlin
Eulers knäckningsformel Euler's buckling formula
Leonhard Euler publicerade 1744 P_cr = π²·E·I/(K·L)². För smala pelare är instabilitet — inte spänning — det som begränsar lasten. Slankhetstalet λ = K·L/r avgö… Leonhard Euler published P_cr = π²·E·I/(K·L)² in 1744. For slender columns it's instability — not stress — that limits the load. The slenderness ratio λ = K·L/r…
Läs mer →Read more →
💥
1858 StorbritannienUnited Kingdom
Verkliga pelare — imperfektioner Real columns — imperfections
Perfekta Euler-pelare existerar inte i verkligheten. En liten initialkrökning (e_0 = L/1000 är typiskt) sänker den effektiva knäckningslasten dramatiskt — därav… Perfect Euler columns don't exist in reality. A small initial bow (e_0 = L/1000 is typical) drops the effective buckling load dramatically — hence safety factor…
Läs mer →Read more →
·

Originallösningar — fullständig PDF (Madeleine Hermann) 🔒Original solutions — full PDF (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens fullständiga originallösningar (PDF). The author's complete original solutions (PDF).

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

— page 1 —
— page 2 —
— page 3 —
— page 4 —
— page 5 —
— page 6 —
— page 7 —
20.1 grundinteractive

Vridfjädern vid B har fjäderkonstanten K och stången AB är stel. Beräkna den kritiska lasten P_kr.

Torsion spring at B has stiffness K and bar AB is rigid. Compute the critical load P_kr.

VerklighetsanknytningReal-world context Det här är grundprincipen för stabilitet i en cykels styrlager: en stel pinne stabiliserad av en torsionsfjäder (huvudlagret). Om belastningen P (kroppsvikt + bromskraft) överstiger K/L tippar systemet — precis som en cykel som inte håller balansen. Stabilitetsanalys av stela kroppar med fjäderupphängning används också i bilfjädring, robotleder och spårväxlar. This is the underlying principle behind bicycle headset stability: a rigid stem stabilised by a torsion spring (the headset bearing). If the load P (body weight + braking force) exceeds K/L the system tips — exactly like a bike that loses balance. Rigid-body stability with elastic supports also governs car suspension top mounts, robot joints, and railway switches.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska räkna ut: den kritiska lasten P_kr.You're asked to compute: the critical load P_kr.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. Beräkning av P_krCompute P_kr
  7. Numeriskt exempelNumerical example
  8. SlutsvarFinal answer
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Stel stång + vridfjäder vid B. Vid liten vinkel θ är fjäderns moment K·θ. Tippande moment från P är P·L·θ. Stel stång + vridfjäder vid B. Vid liten vinkel θ är fjäderns moment K·θ. Tippande moment från P är P·L·θ.
2. Jämvikt vid neutral position: K·θ = P·L·θ ⇒ P_kr = K/L. Jämvikt vid neutral position: K·θ = P·L·θ ⇒ P_kr = K/L.
3. Linjär i K och L. Större K ⇒ större P_kr; större L ⇒ mindre. Linjär i K och L. Större K ⇒ större P_kr; större L ⇒ mindre.
≈ 5 min≈ 5 min · stel-stång vridfjäder anchor-formula
Figure 20.1
Fig. 20.1 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stel stång + vridfjäder: vid liten vinkel θ är fjäderns återställande moment K·θ. Tippande momentet från P är P·L·θ. Jämvikt vid neutral: K·θ = P·L·θ → P_kr = K/L. Rigid bar + torsion spring: at small angle θ the spring's restoring moment is K·θ. The tipping moment from P is P·L·θ. Equilibrium at neutral: K·θ = P·L·θ → P_kr = K/L.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Stång AB är stel (ingen böjning), bunden vid B av en vrid-fjäder med konstant K. Vid små vinkelutslag Δθ från lod-rätt linje uppstår två moment om B: ett återställande moment K·Δθ från fjädern, och ett tippande moment P·L·sin(Δθ) från lasten P i toppen. Kritisk last är där dessa balanserar. Diagrammet nedan visar den olydiga rotationen Δθ från den vertikala referensen (streckad) — fjäderns återställande moment K·Δθ försöker återföra stången, medan P·L·Δθ-tippande momentet förstärker rotationen. Rod AB is rigid (no bending), hinged at B by a torsion spring with constant K. For a small angular displacement Δθ from vertical, two moments act about B: a restoring moment K·Δθ from the spring, and an overturning moment P·L·sin(Δθ) from the load P at the top. The critical load is where these balance. The diagram shows the disturbance Δθ from the vertical reference (dashed) — the spring's restoring moment K·Δθ tries to return the rod, while the tipping moment P·L·Δθ amplifies the rotation.

Stången AB är STEL. Instabiliteten kommer från... The bar AB is RIGID. The instability comes from...
50%
En stel stång böjs inte — energin sitter i fjädern. Momentbalans i utböjt läge ger P_kr = K/L. A rigid bar does not bend — the energy is in the spring. Moment balance in the deflected state gives P_kr = K/L.
Stel stång + vridfjäder. Streckad = ostörd, lod-rätt position. Solid = roterat element vid liten Δθ. Vid kritisk last: K·Δθ = P·L·Δθ.Rigid rod + torsion spring. Dashed = undisturbed vertical position. Solid = rotated rod at small Δθ. At critical load: K·Δθ = P·L·Δθ.
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{B} = 0:\;\;K\,\Delta\theta - P\cdot L\cdot \sin(\Delta\theta) = 0 $$
2. Givna värdenGiven values

Uppgiften är symbolisk — endast variablerna K (vridfjäder-konstant) och L (stångens längd) är givna. Inga numeriska värden anges. Problem is symbolic — only the variables K (torsion spring constant) and L (rod length) are given. No numerical values.

$$ K\;\textcolor{#888}{\text{(vridfjäderkonstant vid B)}} $$
$$ L\;\textcolor{#888}{\text{(stångens längd, A till B)}} $$
3. Beräkning av P_krCompute P_kr

För små vinklar gäller sin(Δθ) ≈ Δθ. Substituera in i momentbalansen och förkorta Δθ — det ger den kritiska lasten direkt. For small angles sin(Δθ) ≈ Δθ. Substitute into the moment balance and cancel Δθ — this gives the critical load.

$$ \textcolor{#888}{\text{Liten-vinkel-approximation:}}\;\;\sin(\Delta\theta) \approx \Delta\theta $$
$$ K\,\Delta\theta - P_{kr}\cdot L\cdot \Delta\theta = 0 $$
$$ \Delta\theta\,(K - P_{kr}\cdot L) = 0 $$
$$ \textcolor{#888}{\text{För icke-trivial lösning }(\Delta\theta \neq 0)\text{:}}\;\;P_{kr}\cdot L = K $$
$$ P_{kr} = \dfrac{K}{L} $$
4. Numeriskt exempelNumerical example

Formeln P_kr = K/L är symbolisk. För konkreta värden av vridfjäderkonstanten K och stångens längd L får man en siffermässig kritisk last. Här ett representativt par: The formula P_kr = K/L is symbolic. For specific values of the torsion spring constant K and rod length L one gets a numerical critical load. Here is a representative example:

$$ K = 200\;\text{N}\cdot\text{m/rad},\;\;L = 1{,}0\;\text{m}\;\;\textcolor{#888}{\text{(typiska värden)}} $$
$$ P_{kr} = \dfrac{K}{L} = \dfrac{200\;\text{N}\cdot\text{m/rad}}{1{,}0\;\text{m}} = 200\;\text{N} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{För styvare fjäder (K dubbleras) eller kortare stång (L halveras) ökar P}_{kr} \text{ proportionellt.}} $$
5. SlutsvarFinal answer

Kritisk last beror linjärt på fjäderstyvheten och omvänt linjärt på stångens längd. Critical load depends linearly on spring stiffness and inversely on rod length.

$$ \boxed{P_{kr} = \dfrac{K}{L}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
  • Allmänna mekaniken · Stel kropp + fjäder → kritisk last via momentjämvikt vid liten avvikelseRigid body + spring → critical load via moment equilibrium at small disturbance
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-03_rigid_bar_assumed_compliant
Stel stång + fjäder: kolumnens elasticitet IGNORERAS — endast fjäderns. P_cr = K/L kommer från momentjämvikt med liten initial vinkel. Rigid bar + spring: the column's elasticity is IGNORED — only the spring's matters. P_cr = K/L comes from moment equilibrium with a small initial angle.

Prova själv — stel stång + vridfjäderTry it yourself — rigid bar + torsion spring

P_kr = K / L. Vrida fjäder hårdare (större K) ⇒ större kritisk last; längre arm L ⇒ mindre kritisk last. Linjärt på båda. P_cr = K / L. Stiffer torsion spring (larger K) ⇒ higher critical load; longer arm L ⇒ lower critical load. Linear in both.

500 Nm/rad
1.0 m
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— N
— kN
20.2 grundinteractive

Stel balk AB med gångjärn vid A och två fjädrar (k = 250 N/mm) vid C och D. Beräkna P_kr för h = 0,75 m.

Rigid beam AB pinned at A with two springs (k = 250 N/mm) at C and D. Find P_kr for h = 0.75 m.

VerklighetsanknytningReal-world context Detta är förenklad modell av en hyllställning som hålls upprätt av fjäderbelastade ankarbultar i väggen. Två återställande punkter ger högre kritisk last än en — men deras inbördes höjd avgör hur stort tillskott man får. Samma matematik gäller pelarstyrning i hissar (sidofjädrar i flera nivåer) och stagade tornkonstruktioner. This is a simplified model of a shelving rack held upright by spring-loaded wall anchors. Two restoring points give a higher critical load than one — but their relative spacing dictates how much extra capacity you get. The same maths governs elevator-shaft column guides (multiple side-springs) and guyed tower bracings.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: P_kr för h = 0,75 m.You're asked to find: P_kr for h = 0.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. Beräkning av P_crCompute P_cr
  7. SlutsvarFinal answer
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (1 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (1 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Stel balk + två fjädrar vid C och D. Roterar vinkel θ kring A. Stel balk + två fjädrar vid C och D. Roterar vinkel θ kring A.
2. δ_C = a_C·θ, δ_D = a_D·θ. Återställande moment Σ k·δ_i·a_i = θ·k·(a_C² + a_D²). δ_C = a_C·θ, δ_D = a_D·θ. Återställande moment Σ k·δ_i·a_i = θ·k·(a_C² + a_D²).
3. P_kr = k·(a_C² + a_D²)/h. Beräkna med h = 0,75 m + givna positioner. P_kr = k·(a_C² + a_D²)/h. Beräkna med h = 0,75 m + givna positioner.
≈ 8 min≈ 8 min · stel-balk två-fjädrar
Figure 20.2
Fig. 20.2 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stel balk roterar vinkeln θ kring A. Fjäder­förskjutningar δ_C = a_C·θ, δ_D = a_D·θ. Återställande moment Σ k·δ_i·a_i = θ·k·(a_C² + a_D²). Tippande P·h·θ. Jämvikt → P_kr = k·(a_C² + a_D²)/h. Rigid beam rotates θ about A. Spring deflections δ_C = a_C·θ, δ_D = a_D·θ. Restoring moment Σ k·δ_i·a_i = θ·k·(a_C² + a_D²). Tipping P·h·θ. Equilibrium → P_kr = k·(a_C² + a_D²)/h.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Stel balk AB med gångjärn vid A (foten) och två fjädrar vid C (höjd h) och D (höjd 2h). Toppen B på höjd 3h har lasten P. Vid liten vinkelutslag Δθ från lodrätt försjuts C och D horisontellt; fjädrarna utövar återställande krafter. Momentbalansen om A ger P_cr. Figuren nedan visar både ostörd lägeskontur (streckad) och roterad konfiguration (solid). Rigid bar AB with hinge at A (foot) and two springs at C (height h) and D (height 2h). Top B at height 3h carries load P. For small angle Δθ from vertical, C and D shift horizontally; the springs apply restoring forces. Moment balance about A gives P_cr. The figure shows both the undisturbed reference (dashed) and the rotated configuration (solid).

Eftersom balken är stel ges stabiliteten av... Because the beam is rigid, the stability is governed by...
50%
Stel balk ⇒ EI spelar ingen roll. Momentbalans kring gångjärnet A med fjäderkrafterna ger P_kr = 312500 N. Rigid beam ⇒ EI is irrelevant. Moment balance about hinge A with the spring forces gives P_kr = 312500 N.
Stel balk roterar Δθ om A. Fjäder vid C (höjd h) deformeras h·Δθ; fjäder vid D (höjd 2h) deformeras 2h·Δθ. Vid kritisk last balanserar 5kh²·Δθ tippande 3h·P·Δθ.Rigid bar rotates Δθ about A. Spring at C (height h) deflects h·Δθ; spring at D (height 2h) deflects 2h·Δθ. At critical load 5kh²·Δθ balances tipping 3h·P·Δθ.
$$ \overset{+}{\curvearrowleft}\;\sum M_{A} = 0:\;\;F_1\cdot h + F_2\cdot 2h - P_{cr}\cdot 3h\cdot \sin(\Delta\theta) = 0 $$
$$ F_1 = k\cdot \Delta x_C = k\cdot h\cdot \Delta\theta $$
$$ F_2 = k\cdot \Delta x_D = k\cdot 2h\cdot \Delta\theta $$
2. Givna värdenGiven values

Symmetriskt fjäderpar, lika fjäderkonstant, tre lika höjdsteg. Symmetric spring pair, same spring constant, three equal height intervals.

$$ h = 0{,}75\;\text{m} = 750\;\text{mm} $$
$$ k = 250\;\text{N/mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(per fjäder)}} $$
$$ a_C = h,\quad a_D = 2h,\quad L = 3h\;\;\textcolor{#888}{\text{(höjder från A)}} $$
3. Beräkning av P_crCompute P_cr

Substituera F_1 och F_2 i momentbalansen, använd sin(Δθ) ≈ Δθ för liten vinkel, och förkorta Δθ. Resultatet är P_cr = 5kh/3. Substitute F_1 and F_2 into the moment balance, use sin(Δθ) ≈ Δθ for small angles, and cancel Δθ. Result is P_cr = 5kh/3.

$$ k\,h\,\Delta\theta\cdot h + k\,2h\,\Delta\theta\cdot 2h - P_{cr}\cdot 3h\,\Delta\theta = 0 $$
$$ k\,h^{2}\,\Delta\theta + 4k\,h^{2}\,\Delta\theta - 3P_{cr}\,h\,\Delta\theta = 0 $$
$$ 5k\,h^{2}\,\Delta\theta = 3P_{cr}\,h\,\Delta\theta $$
$$ P_{cr} = \dfrac{5\,k\,h}{3} = \dfrac{5\cdot 250\cdot 750}{3} = \dfrac{937\,500}{3} $$
$$ P_{cr} = 312\,500\;\text{N} = 312{,}5\;\text{kN} $$
4. SlutsvarFinal answer

Boxat värde nedan. Boxed value below.

$$ \boxed{P_{cr} = \dfrac{5\,k\,h}{3} = 312\,500\;\text{N}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
  • Allmänna mekaniken · Stel kropp + fjäder → kritisk last via momentjämvikt vid liten avvikelseRigid body + spring → critical load via moment equilibrium at small disturbance
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-03_rigid_bar_assumed_compliant
Stel stång + fjäder: kolumnens elasticitet IGNORERAS — endast fjäderns. P_cr = K/L kommer från momentjämvikt med liten initial vinkel. Rigid bar + spring: the column's elasticity is IGNORED — only the spring's matters. P_cr = K/L comes from moment equilibrium with a small initial angle.

Prova själv — två fjädrar på stel kolumnTry it yourself — two springs on a rigid column

Stel kolumn AB (höjd 3h) med två fjädrar (k) på avstånd h och 2h från ledat fundament A. Vid liten vinkel θ blir återställande moment k·θ·(h² + (2h)²) = 5kh²·θ; tippande moment är P·(3h)·θ. Sätt lika: **P_kr = 5·k·h/3**. Linjärt i k, linjärt i h. Rigid column AB (height 3h) with two springs (k) at distances h and 2h from the pinned base A. At small θ the restoring moment is k·θ·(h² + (2h)²) = 5kh²·θ; the tipping moment is P·(3h)·θ. Setting equal: **P_cr = 5·k·h/3**. Linear in k, linear in h.

250 N/mm
750 mm
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— mm
— mm
— mm
— N
— kN
20.3 grund

Stel hävarm AB monterad på stång BC. BC fast inspänd vid C. P_kr om d = 12 mm, G = 77 GPa.

Rigid arm AB attached to bar BC. BC fixed at C. Find P_kr for d = 12 mm, G = 77 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context En klassisk konstruktionsbrygga mellan vridning (kapitel 10) och knäckning. Vridfjädern i 20.1 är här en riktig vridstång — och dess GIp/L blir den ekvivalenta fjäderkonstanten K. Samma princip används i bilars stabiliseringsstänger (krängningshämmare), vridstavfjädring i lastbilar och i precisionsmekanik där styvheten skräddarsys via stångdiameter och längd. Se kapitel 10 (vridning) för var GIp/L kommer ifrån — samma stångekvation, omanvänd som fjäder här. A classic conceptual bridge between torsion (chapter 10) and buckling. The torsion spring in 20.1 is here a real torsion bar — and its GIp/L becomes the equivalent stiffness K. The same principle drives car anti-roll bars, torsion-bar suspensions on trucks, and precision-mechanism stiffness tuning via bar diameter and length. See chapter 10 (torsion) for where GIp/L comes from — same shaft equation, repurposed as a spring here.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: P_kr for d = 12 mm, G = 77 GPa.You're asked to find: P_kr for d = 12 mm, G = 77 GPa.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. Tvärsnittsdata för torsionsstångenSection data for the torsion shaft
  7. Beräkning av P_crCompute P_cr
  8. SlutsvarFinal answer
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (2 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (2 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Stel hävarm + vridfjäder (stång BC fast inspänd → ekvivalent vridstyvhet K = GI_p/L). Stel hävarm + vridfjäder (stång BC fast inspänd → ekvivalent vridstyvhet K = GI_p/L).
2. K = G·I_p/L_BC med I_p = πd⁴/32 = π·12⁴/32 ≈ 2036 mm⁴, G = 77 GPa, L_BC från figur. K = G·I_p/L_BC med I_p = πd⁴/32 = π·12⁴/32 ≈ 2036 mm⁴, G = 77 GPa, L_BC från figur.
3. Sedan P_kr = K/L_AB (som 20.1). Sedan P_kr = K/L_AB (som 20.1).
≈ 10 min≈ 10 min · vridstyvhet hävarm
Figure 20.3
Fig. 20.3 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Stångens vridstyvhet ersätter fjädern: K = G·I_p/L_BC. Sedan som 20.1: P_kr = K/L_AB. The shaft's torsional stiffness plays the role of a spring: K = G·I_p/L_BC. Then as in 20.1: P_kr = K/L_AB.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Lasten P i toppen av en stel hävarm AB (längd L_1) ger ett moment om B när armen tippar med vinkeln Δθ. Det momentet vrider torsionsstången BC (diameter d, längd L_2, modul G), som verkar som en ekvivalent vridfjäder. Hitta först den ekvivalenta fjäderkonstanten K, sedan P_cr från moment-balans (samma som 20.1: P_cr = K/L_1). Figuren visar att armens rotation Δθ direkt blir torsionsstångens vridvinkel — exakt samma mekanism som i 20.1, men nu med en fysisk stång som fjäder. Load P at the top of a rigid arm AB (length L_1) creates a moment about B when the arm tilts by Δθ. That moment twists torsion shaft BC (diameter d, length L_2, modulus G), acting as an equivalent torsion spring. Find K first, then P_cr from moment balance (same as 20.1: P_cr = K/L_1). The figure shows that the arm rotation Δθ equals the shaft twist angle — same mechanism as 20.1, with a real shaft acting as the spring.

Den 'fjäder' som ger stabilitet åt den stela hävarmen är... The 'spring' that stabilises the rigid lever is...
50%
BC vrids ⇒ vridstyvhet K = G·π·d⁴/(32·L₂) ger återföringsmomentet. P_kr ≈ 836 N. BC twists ⇒ torsional stiffness K = G·π·d⁴/(32·L₂) provides the restoring moment. P_kr ≈ 836 N.
Stel hävarm + torsionsstång. Rotation Δθ av armen vrider stången BC samma vinkel. K = G·I_p/L_2 ersätter vridfjädern i 20.1.Rigid arm + torsion bar. Arm rotation Δθ twists shaft BC by the same angle. K = G·I_p/L_2 replaces the torsion spring in 20.1.
$$ K = \dfrac{G\,I_p}{L_2}\;\;\textcolor{#888}{\text{(ekvivalent vridfjäder för torsionsstången)}} $$
$$ P_{cr} = \dfrac{K}{L_1}\;\;\textcolor{#888}{\text{(samma resonemang som 20.1)}} $$
2. Givna värdenGiven values

Geometri och material från figuren. Geometry and material from the figure.

$$ \textcolor{#888}{\text{Belastning: }} P_{cr}\;\;\textcolor{#888}{\text{(den okända kritiska lasten — sökt)}} $$
$$ L_1 = 375\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(hävarmens längd)}} $$
$$ L_2 = 500\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(torsionsstångens längd)}} $$
$$ d = 12\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(torsionsstångens diameter)}} $$
$$ G = 77\;\text{GPa} = 77\cdot 10^{3}\;\text{N/mm}^{2}\;\;\textcolor{#888}{\text{(skjuvmodul)}} $$
3. Tvärsnittsdata för torsionsstångenSection data for the torsion shaft

Polärt tröghetsmoment för solid cirkulär axel. Polar second moment for solid circular shaft.

$$ I_p = \dfrac{\pi\,d^{4}}{32} = \dfrac{\pi\cdot 12^{4}}{32} = \dfrac{\pi\cdot 20\,736}{32} \approx 2036\;\text{mm}^{4} $$
4. Beräkning av P_crCompute P_cr

Räkna först ekvivalent vridfjäderkonstant från G, I_p och L_2. Sätt sedan in i P_cr = K/L_1. First compute the equivalent torsion spring constant from G, I_p, and L_2. Then substitute into P_cr = K/L_1.

$$ K = \dfrac{G\,I_p}{L_2} = \dfrac{77\cdot 10^{3}\cdot 2036}{500} \approx 313\,544\;\text{N}\cdot\text{mm/rad} $$
$$ P_{cr} = \dfrac{K}{L_1} = \dfrac{313\,544}{375} \approx 836\;\text{N} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{Eller sammansatt:}}\;\;P_{cr} = \dfrac{G\,\pi\,d^{4}}{L_1\,L_2\,32} = \dfrac{77\cdot 10^{9}\cdot \pi\cdot 0{,}012^{4}}{0{,}375\cdot 0{,}500\cdot 32} \approx 836\;\text{N} $$
5. SlutsvarFinal answer

Boxat värde nedan. Boxed value below.

$$ \boxed{P_{cr} \approx 836\;\text{N}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
  • Allmänna mekaniken · Stel kropp + fjäder → kritisk last via momentjämvikt vid liten avvikelseRigid body + spring → critical load via moment equilibrium at small disturbance
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-03_rigid_bar_assumed_compliant
Stel stång + fjäder: kolumnens elasticitet IGNORERAS — endast fjäderns. P_cr = K/L kommer från momentjämvikt med liten initial vinkel. Rigid bar + spring: the column's elasticity is IGNORED — only the spring's matters. P_cr = K/L comes from moment equilibrium with a small initial angle.
M20-02_used_wrong_I
För knäckning gäller I_min (minsta tröghetsmoment om någon axel). Eftersom kolumnen knäcker i den svagaste riktningen, INTE den styvaste. For buckling use I_min (the smallest moment of inertia about any axis). The column buckles in the weakest direction, NOT the stiffest.
20.4 grund

a) Max tillåten tryckkraft för kvadratisk stötta CD enligt stålbyggnadsnormen. b) Radie för AB som ger samma P_kr som a). Stål SS1312.

a) Maximum allowable compression for the square strut CD via the steel code. b) Radius for AB giving the same P_kr as (a). Steel SS1312.

VerklighetsanknytningReal-world context Det här är vardagsmat för stålkonstruktörer: en stötta i ett pallställ eller en byggnadsstomme dimensioneras enligt SS1312 / Eurokod 3 mot knäckning. Slankhetstalet λ bestämmer reduktionsfaktorn χ — som i sin tur sätter maximal tillåten last. Just denna typ av tabell-uppslagning används dagligen vid kontrollberäkning av lagerhyllor, scaffolding och fackverkstorn. 💡 **Se även problem 7.5** — böjspänningskontroll vs slankhets-knäckning enligt SS1312. Daily work for steel designers: a strut in a pallet rack or building frame is sized to SS1312 / Eurocode 3 against buckling. The slenderness ratio λ sets the reduction factor χ — which in turn sets the allowable load. This exact code lookup is what engineers do every day when checking warehouse racking, scaffolding, and lattice towers. 💡 **See also problem 7.5** — bending-stress check vs slenderness buckling per SS1312.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Läs frågan noga. Vad är det som ska beräknas, och i vilka enheter?Read the question carefully. What is being asked, and in which units?

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Geometri och belastningGeometry and load
  6. Material och säkerhetsfaktorMaterial and safety factor
  7. TvärsnittsdataSection data
  8. (a) Beräkning av P_k för kvadratisk stötta(a) Compute P_k for the square strut
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Stålbyggnadsnormen: slankhet λ = K·L/r. r = √(I/A) (gyrationsradien). Stålbyggnadsnormen: slankhet λ = K·L/r. r = √(I/A) (gyrationsradien).
2. På KB s.50 — slå upp reduktionsfaktor χ(λ) för materialet (SS1312). På KB s.50 — slå upp reduktionsfaktor χ(λ) för materialet (SS1312).
3. P_till = χ·σ_y·A. b) För AB: P_kr,AB = P_a ⇒ lös för diameter d. P_till = χ·σ_y·A. b) För AB: P_kr,AB = P_a ⇒ lös för diameter d.
≈ 15 min≈ 15 min · stålbyggnadsnorm slankhet SS1312
Figure 20.4
Fig. 20.4 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

a) Använd stålbyggnadsnormen i KB s50: slankhetstal λ = K·L/r, läs av reduktionsfaktor χ, P_till = χ·σ_y·A. b) Sätt P_kr,AB = P_a; för cirkulärt tvärsnitt r = d/4, A = π·d²/4. Justera d (eller r) tills samma P_kr. a) Use the steel-code method (KB s50): slenderness λ = K·L/r, read reduction factor χ, P_allow = χ·σ_y·A. b) Set P_kr,AB = P_a; for a circular section r = d/4, A = π·d²/4. Adjust d (or r) until same P_kr.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Två deluppgifter: (a) max tryckkraft på kvadratisk stötta CD enligt stålbyggnadsnorm SS1312 (slankhetsbaserad σ_till från KB s.46 reduktionskurva). (b) Cirkulär stötta AB som ger samma P_k, dimensionerad elastiskt med säkerhetsfaktor s = 2,3. Two sub-problems: (a) max compressive force on square strut CD per steel code SS1312 (slenderness-based σ_till from KB p.46 reduction curve). (b) Circular strut AB giving same P_k, sized elastically with safety factor s = 2.3.

Vid knäckning enligt stålbyggnadsnormen beror tillåten last på... For buckling per the steel design code, the allowable load depends on...
50%
λ = L_k/i = 138 ⇒ σ_till = 47 MPa ⇒ P_k = 29375 N. Slankheten, inte bara arean, avgör. λ = L_k/i = 138 ⇒ σ_till = 47 MPa ⇒ P_k = 29375 N. The slenderness, not just the area, decides.
$$ i = \sqrt{I_{min}/A}\;\;\textcolor{#888}{\text{(tröghetsradie)}} $$
$$ \lambda = \dfrac{K\,L}{i}\;\;\textcolor{#888}{\text{(slankhetstal)}} $$
$$ P_{till} = \sigma_{till}(\lambda)\cdot A\;\;\textcolor{#888}{\text{(a)}} $$
$$ I_{min} = \dfrac{F\,L^{2}\,s}{\pi^{2}\,E}\;\;\textcolor{#888}{\text{(b, elastisk dim.)}} $$
2. Geometri och belastningGeometry and load

Stötta CD: längd och tvärsnitt enligt skiss. Knäcklasten söks med en ände fast (Euler 2 effektiv riktning). Notera: statementet skriver 'en ände fast', men Madeleines facit räknar K = 1 (ledat-ledat) i den böjsvaga riktningen — stötten roteras fritt om bägge ändar gör att den böjsvaga knäcker först som pin-pin. Vi följer Madeleines konvention för det boxade svaret. Strut CD: length and cross-section per sketch. Buckling load is sought with one fixed end (Euler 2 effective). Note: statement says 'one end fixed', but Madeleine's worked solution treats this as K = 1 (pinned-pinned) in the bending-weak direction — the strut buckles first in pin-pin mode about its weak axis. We follow Madeleine's convention for the boxed answer.

$$ \text{Stötta CD:}\;\;L = 1000\;\text{mm},\;\;\text{tvärsnitt}\;25\times 25\;\text{mm},\;\;A = 625\;\text{mm}^{2} $$
$$ K = 1\;\;\textcolor{#888}{\text{(en ände fast — Euler 2 effektiv för stötta i den böjsvaga riktningen)}} $$
3. Material och säkerhetsfaktorMaterial and safety factor

Stål SS1312, vald tjocklek under 40 mm; säkerhetsfaktor enligt deluppgift (b). Steel SS1312, chosen thickness under 40 mm; safety factor per sub-problem (b).

$$ E = 210\;\text{GPa},\;\;\text{stål SS1312},\;\;t < 40\;\text{mm} $$
$$ \text{(b) säkerhetsfaktor}\;s = 2{,}3 $$
4. TvärsnittsdataSection data

Tröghetsmoment och radie för kvadratiskt tvärsnitt. Second moment and radius for square section.

$$ I_{min} = \dfrac{a^{4}}{12} = \dfrac{25^{4}}{12} = \dfrac{390\,625}{12} \approx 32\,552\;\text{mm}^{4} $$
$$ i = \sqrt{\dfrac{I_{min}}{A}} = \sqrt{\dfrac{25^{4}/12}{25^{2}}} = \dfrac{25}{\sqrt{12}} \approx 7{,}22\;\text{mm} $$
5. (a) Beräkning av P_k för kvadratisk stötta(a) Compute P_k for the square strut

Räkna slankhetstal, slå upp σ_till i KB s.46, och multi-plicera med arean. Buckling-formen för pinned-pinned (K=1) är en halv sinusvåg — pelaren böjs ut maximalt på mitten. Compute slenderness, look up σ_till in KB p.46, and multiply by area. Buckling mode for pinned-pinned (K=1) is a half sine wave — column deflects most at mid-span.

Knäckmod för pinned-pinned (K = 1): halv sinus. Maxförskjutning vid L/2. Effektiv längd L_eff = K·L = L.Buckled mode for pinned-pinned (K = 1): half sine. Maximum deflection at L/2. Effective length L_eff = K·L = L.
$$ \lambda = \dfrac{K\,L}{i} = \dfrac{1\cdot 1000}{7{,}22} \approx 138 $$
$$ \textcolor{#888}{\text{KB s.46 (stål SS1312, t<40):}}\;\;\lambda = 138 \Rightarrow \sigma_{till} \approx 47\;\text{MPa} $$
$$ P_{k} = \sigma_{till}\cdot A = 47\cdot 625 = 29\,375\;\text{N} $$
6. (b) Beräkning av radie för cirkulär stötta(b) Compute radius for the circular strut

Givet samma P_k och säkerhetsfaktor s = 2,3, lös I_min ur elastiska Eulers formel, och sedan d ur I = πd⁴/64. Given the same P_k and safety factor s = 2.3, solve I_min from the elastic Euler formula, then d from I = πd⁴/64.

$$ I_{min} = \dfrac{F\,L^{2}\,s}{\pi^{2}\,E} = \dfrac{29\,375\cdot 1000^{2}\cdot 2{,}3}{\pi^{2}\cdot 210\cdot 10^{3}} \approx 32\,598\;\text{mm}^{4} $$
$$ I = \dfrac{\pi\,d^{4}}{64} \;\;\Rightarrow\;\; d = \sqrt[4]{\dfrac{64\,I}{\pi}} = \sqrt[4]{\dfrac{64\cdot 32\,598}{\pi}} $$
$$ d \approx \sqrt[4]{664\,000} \approx 28{,}6 \approx 29\;\text{mm} $$
7. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\text{(a)}\;\;P_{k} \approx 29\,375\;\text{N} \\[2pt] \text{(b)}\;\;d \approx 29\;\text{mm}\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
  • KB s.50 · Stålbyggnadsnormen — knäckningsdimensionering för verkliga pelareSteel code — column design with imperfections (real-column method)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-01_K_value_wrong
K (effektiv längd-faktor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Använd RÄTT K för stödvillkoren. K (effective length factor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Use the CORRECT K for the support conditions.
M20-02_used_wrong_I
För knäckning gäller I_min (minsta tröghetsmoment om någon axel). Eftersom kolumnen knäcker i den svagaste riktningen, INTE den styvaste. For buckling use I_min (the smallest moment of inertia about any axis). The column buckles in the weakest direction, NOT the stiffest.
M20-04_safety_factor_missed
Knäcknings­säkerhet n = P_cr / P_actual. Sätt n minst 2-3 för verkliga konstruktioner (imperfektioner sänker effektiv P_cr). Buckling safety factor n = P_cr / P_actual. Set n to at least 2-3 for real structures (imperfections lower the effective P_cr).
20.5 grundinteractive

Fem solida stöttor. Stötta (1) har d = 20 mm. Säkerhetsfaktor för (1). Bestäm diametern på (2)-(5) så att alla har samma n. E = 210 GPa.

Five solid struts. Strut (1) has d = 20 mm. Find the safety factor for (1). Choose diameters for (2)-(5) giving the same n. E = 210 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context Denna figur är kapitlets pedagogiska hjärta: fem identiska-utseende stöttor som alla bär samma last men har OLIKA randvillkor — och därför olika kritisk last. Att förstå varför pelare (1) (ledad-ledad) klarar mycket mindre än pelare (3) (fast-fast) är skillnaden mellan en säker konstruktion och en kollaps. Detta är exakt den analys som föregick t.ex. omkonstruktionen av kortida-snöbelastade telthallar efter takkollapser. This figure is the chapter's pedagogical heart: five identically-looking struts all carrying the same load but with DIFFERENT end conditions — and therefore different critical loads. Understanding why column (1) (pin-pin) carries far less than column (3) (fixed-fixed) is the difference between a safe structure and a collapse. This is exactly the kind of analysis that drives the redesign of short-duration snow-load tent halls after roof failures.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: diametern på (2)-(5) så att alla har samma n.You're asked to find: the safety factor for (1).

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. Säkerhetsfaktor för stötta (1)Safety factor for strut (1)
  7. Beräkning av d för stöttor (2)-(5)Compute d for struts (2)-(5)
  8. SlutsvarFinal answer
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Euler: P_cr = π²·E·I/(K·L)². I = π·d⁴/64. Säkerhet n = P_cr/P_actual. Euler: P_cr = π²·E·I/(K·L)². I = π·d⁴/64. Säkerhet n = P_cr/P_actual.
2. Stötta (1): d = 20 mm. Räkna n_1. För (2)-(5): justera d så att n_i = n_1. Stötta (1): d = 20 mm. Räkna n_1. För (2)-(5): justera d så att n_i = n_1.
3. n_i = P_cr,i/P_i. Med samma n: P_cr,i ∝ P_i ⇒ d_i ∝ d_1·(P_i·L_i²·K_i²/(P_1·L_1²·K_1²))^(1/4). n_i = P_cr,i/P_i. Med samma n: P_cr,i ∝ P_i ⇒ d_i ∝ d_1·(P_i·L_i²·K_i²/(P_1·L_1²·K_1²))^(1/4).
≈ 12 min≈ 12 min · Euler jämn-säkerhet fem-stöttor
Figure 20.5
Fig. 20.5 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Euler: P_cr = π²·E·I/(K·L)² med I = π·d⁴/64. n = P_cr/P. För (2)-(5): lös samma n → d_i fås från (P_cr,i · L_i²)·(K_i²) konstant. Euler: P_cr = π²·E·I/(K·L)² with I = π·d⁴/64. n = P_cr/P. For (2)-(5): same n → solve for d_i.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Fem solida cirkulära stöttor med olika randvillkor (olika γ-värden enligt KB s.49). Stötta (1) har d = 20 mm; F = 7,5 kN i alla. Beräkna säkerhetsfaktorn n_k för (1) (Eulers elastiska knäckning), och välj sedan d för (2)-(5) så att samma n_k uppnås. Figuren nedan visar de fyra standardfallen för K (effektiv-längdsfaktor) — knäckmodens form bestämmer hur mycket av den fysiska längden L som faktiskt knäcker. γ-värdena 1,0 / 2,1 / 0,6 / 0,8 / 1,2 är hämtade från Karl Björks utökade Eulerfallskatalog (KB s. 49 + Madeleines annoterade ändkondition-tabell). Värdet γ = 0,6 är icke-standard för Euler 1–4 men dokumenteras i Madeleines facit. Five solid circular struts with different boundary conditions (different γ per KB p.49). Strut (1) has d = 20 mm; F = 7.5 kN in all. Compute safety factor n_k for (1) (elastic Euler), then choose d for (2)-(5) so the same n_k is achieved. The figure below shows the four standard K-factor cases — the buckling mode shape determines how much of the physical length L actually buckles. γ values 1.0 / 2.1 / 0.6 / 0.8 / 1.2 are taken from Karl Björk's extended Euler-case catalog (KB p. 49 + Madeleine's annotated end-condition table). γ = 0.6 is non-standard for Euler 1–4 but is documented in Madeleine's worked answer key.

De fem stöttorna med samma längd skiljer sig främst i... The five struts of equal length differ mainly in...
50%
Olika ändvillkor ger olika K-faktor och därmed olika knäcklängd. Samma säkerhet kräver att d justeras per stötta. Different end conditions give different K-factors and thus different effective lengths. Equal safety requires d to be tuned per strut.
K-faktor referens (Euler-fall 1-4): formen på knäckmoden bestämmer hur stor andel av L som är 'effektiv längd' L_eff = K·L. Mindre K → större P_cr.K-factor reference (Euler cases 1-4): the buckled mode shape sets the 'effective length' L_eff = K·L. Smaller K → larger P_cr.
$$ N_{cr} = \dfrac{\pi^{2}\,E\,I}{L_{cr}^{2}},\;\;L_{cr} = \gamma\cdot L,\;\;I = \dfrac{\pi\,d^{4}}{64} $$
$$ n_k = \dfrac{N_{cr}}{F}\;\;\textcolor{#888}{\text{(säkerhetsfaktor mot knäckning)}} $$
$$ \textcolor{#888}{\text{Krav på (2)-(5):}}\;\;d_i = \sqrt[4]{\dfrac{L_{cr,i}^{2}\,N_{cr}\cdot 64}{\pi^{3}\,E}} $$
2. Givna värdenGiven values

Gemensam längd L = 900 mm och kraft F = 7,5 kN för alla fem stöttor. Endast γ-värdet (effektiv-längdsfaktor) skiljer. Common length L = 900 mm and load F = 7.5 kN for all five struts. Only γ (effective-length factor) differs.

$$ L = 900\;\text{mm},\;\;F = 7500\;\text{N},\;\;E = 210\;\text{GPa} $$
$$ d_1 = 20\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(referens-stötta)}} $$
$$ \gamma_1 = 1{,}0,\;\;\gamma_2 = 2{,}1,\;\;\gamma_3 = 0{,}6,\;\;\gamma_4 = 0{,}8,\;\;\gamma_5 = 1{,}2 $$
3. Säkerhetsfaktor för stötta (1)Safety factor for strut (1)

Beräkna I, L_cr och N_cr för referens-stöttan; dela med F. Compute I, L_cr and N_cr for the reference strut; divide by F.

$$ I_1 = \dfrac{\pi\cdot 20^{4}}{64} \approx 7854\;\text{mm}^{4} $$
$$ L_{cr,1} = \gamma_1\cdot L = 1\cdot 900 = 900\;\text{mm} $$
$$ N_{cr,1} = \dfrac{\pi^{2}\cdot 210\cdot 10^{3}\cdot 7854}{900^{2}} \approx 20\,097\;\text{N} $$
$$ n_{k,1} = \dfrac{N_{cr,1}}{F} = \dfrac{20\,097}{7500} \approx 2{,}68 $$
4. Beräkning av d för stöttor (2)-(5)Compute d for struts (2)-(5)

Samma N_cr (= 20 097 N) krävs. Lös d ur Eulers formel med L_cr = γ_i·L. Same N_cr (= 20 097 N) required. Solve d from Euler's formula with L_cr = γ_i·L.

$$ d_i = \sqrt[4]{\dfrac{L_{cr,i}^{2}\cdot N_{cr}\cdot 64}{\pi^{3}\cdot E}} $$
$$ (2):\;\;L_{cr,2} = 2{,}1\cdot 900 = 1890\;\text{mm}\;\;\Rightarrow\;\;d_2 \approx 29\;\text{mm} $$
$$ (3):\;\;L_{cr,3} = 0{,}6\cdot 900 = 540\;\text{mm}\;\;\Rightarrow\;\;d_3 \approx 15{,}5\;\text{mm} $$
$$ (4):\;\;L_{cr,4} = 0{,}8\cdot 900 = 720\;\text{mm}\;\;\Rightarrow\;\;d_4 \approx 17{,}9\;\text{mm} $$
$$ (5):\;\;L_{cr,5} = 1{,}2\cdot 900 = 1080\;\text{mm}\;\;\Rightarrow\;\;d_5 \approx 21{,}9\;\text{mm} $$
5. SlutsvarFinal answer

Säkerhetsfaktor och dimensioner för stöttor (1)-(5). Safety factor and diameters for struts (1)-(5).

$$ \boxed{\begin{array}{l}n_{k,1} \approx 2{,}68 \\[2pt] d_2 \approx 29\;\text{mm} \\[2pt] d_3 \approx 15{,}5\;\text{mm} \\[2pt] d_4 \approx 17{,}9\;\text{mm} \\[2pt] d_5 \approx 21{,}9\;\text{mm}\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-01_K_value_wrong
K (effektiv längd-faktor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Använd RÄTT K för stödvillkoren. K (effective length factor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Use the CORRECT K for the support conditions.
M20-02_used_wrong_I
För knäckning gäller I_min (minsta tröghetsmoment om någon axel). Eftersom kolumnen knäcker i den svagaste riktningen, INTE den styvaste. For buckling use I_min (the smallest moment of inertia about any axis). The column buckles in the weakest direction, NOT the stiffest.
M20-05_L_squared
P_cr ∝ 1/L². Fördubblas L ⇒ P_cr blir 1/4. Detta är den dramatiska känslighets-effekten av längd i Euler-formeln. P_cr ∝ 1/L². Doubling L ⇒ P_cr drops to 1/4. This is the dramatic length-sensitivity of the Euler formula.

Prova själv — Eulers knäckningslastTry it yourself — Euler buckling

P_kr = π²·E·I / (K·L)². K bestäms av stödvillkoren — välj 1.0 (pinned-pinned), 0.5 (fixed-fixed), 0.7 (fixed-pinned), 2.0 (cantilever). Notera den kvadratiska känsligheten i L och K. P_cr = π²·E·I / (K·L)². K is set by end conditions — pick 1.0 (pinned-pinned), 0.5 (fixed-fixed), 0.7 (fixed-pinned), 2.0 (cantilever). Note the quadratic sensitivity to L and K.

210000 MPa
20 mm
1000 mm
1.0 -
Knäckningsmoden för aktuellt K — formen visar var pelaren "inflexar" (vändpunkter). First buckling mode for the chosen K — the shape shows where the column inflects.
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— mm⁴
— N
— kN
20.6 grundinteractive

Balken ACB med rektangulärt tvärsnitt fixerat i xz-planet vid C. a) Bestäm b/d så att samma säkerhet i båda planen. b) Bestäm b och d om P = 4400 N, L = 1 m, E = 210 GPa, n = 3.

Beam ACB, rectangular section, fixed in xz-plane at C. a) Find b/d so safety factor is equal in both planes. b) Find b and d if P = 4400 N, L = 1 m, E = 210 GPa, n = 3.

VerklighetsanknytningReal-world context När en pelare har olika randvillkor i två plan (t.ex. en pelare som är fastsvetsad mot en vägg på en sida men fri på den andra) får man olika K-värden och olika tröghetsmoment i de två planen. Optimal dimensionering ger samma säkerhet i båda planen — annars överdimensionerar man i ett plan och underdimensionerar i det andra. Detta gäller också för bokhyllor (djupare än bredare → tippar utåt), torn-mast bredd-djup-förhållanden och pelare i industrihallar med envägs-stagning. When a column has different end conditions in two planes (e.g. welded to a wall on one side, free on the other) it sees different K-values and different second moments of area in each plane. Optimal sizing makes both planes equally safe — otherwise you over-size one direction and under-size the other. The same applies to bookshelves (deeper than wide → tip outward), tower-mast width-depth ratios, and one-way-braced column grids in industrial buildings.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: b/d så att samma säkerhet i båda planen.You're asked to find: b/d so safety factor is equal in both planes.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. (a) Beräkning av b/d(a) Compute b/d
  7. (b) Beräkning av b och d(b) Compute b and d
  8. SlutsvarFinal answer
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Rektangulärt tvärsnitt b×d, fixerat i xz-planet vid C. Knäckning i två plan med OLIKA K. Rektangulärt tvärsnitt b×d, fixerat i xz-planet vid C. Knäckning i två plan med OLIKA K.
2. I_z = b·d³/12, I_y = d·b³/12. Olika K för x-z och y-z plan från stödvillkoren. I_z = b·d³/12, I_y = d·b³/12. Olika K för x-z och y-z plan från stödvillkoren.
3. Sätt P_cr,xz = P_cr,yz: I_z/(K_xz·L)² = I_y/(K_yz·L)². Lös för b/d. Sätt P_cr,xz = P_cr,yz: I_z/(K_xz·L)² = I_y/(K_yz·L)². Lös för b/d.
≈ 15 min≈ 15 min · rektangel dubbla-plan
Figure 20.6
Fig. 20.6 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Buckling i xz: I_z = b·d³/12, K_xz beroende på stödet. Buckling i yz: I_y = d·b³/12, K_yz annorlunda. Sätt P_cr,xz = P_cr,yz: (I_z/(K_xz)²) = (I_y/(K_yz)²) → b/d-förhållande. Sedan b och d från säkerhetsfaktor. Buckling in xz: I_z = b·d³/12, K_xz set by support. In yz: I_y = d·b³/12, different K_yz. Set P_cr,xz = P_cr,yz: I_z/(K_xz)² = I_y/(K_yz)² → b/d ratio. Then solve b, d from safety factor.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

Rektangulärt tvärsnitt med olika randvillkor i de två böjplanen. I xz-planet är stången pinned-pinned (γ=1, Euler 2) eftersom C hindrar förskjutning i x-led. I yz-planet är stången fast-fri (γ=2, Euler 1). För samma säkerhet ska N_cr vara lika i båda planen. Figuren visar de två knäckmoderna sida vid sida — i xz-planet en halv-sinus över hela L, i yz-planet en kvartsvåg med fri topp över effektivlängden 2L. Rectangular section with different boundary conditions in the two bending planes. xz-plane: pinned-pinned (γ=1, Euler 2) since C blocks x-translation. yz-plane: fixed-free (γ=2, Euler 1). For equal safety, N_cr must be equal in both planes. The figure shows the two buckling modes side by side — in the xz-plane a half-sine over L, in the yz-plane a quarter wave with a free top over effective length 2L.

För samma knäcksäkerhet i de båda planen måste... For equal buckling safety in the two planes...
50%
Upplagsvillkoren skiljer sig mellan planen ⇒ olika knäcklängd ⇒ b/d = 0,5 ger samma säkerhet (b = 14, d = 28 mm). The supports differ between planes ⇒ different effective lengths ⇒ b/d = 0.5 gives equal safety (b = 14, d = 28 mm).
Vänster: knäckning i xz-planet (svag axel, I_y = db³/12, K=1, halv-sinus). Höger: knäckning i yz-planet (stark axel I_x = bd³/12, K=2, kvartsvåg). Olika I OCH olika K — optimum vid b/d = 1/2.Left: buckling in xz-plane (weak axis, I_y = db³/12, K=1, half sine). Right: buckling in yz-plane (strong axis I_x = bd³/12, K=2, quarter wave). Different I AND different K — optimum at b/d = 1/2.
$$ \text{xz-planet (Euler 2):}\;\;I_y = \dfrac{d\,b^{3}}{12},\;\;N_{cr}^{xz} = \dfrac{\pi^{2}\,E\,I_y}{L^{2}} $$
$$ \text{yz-planet (Euler 1):}\;\;I_x = \dfrac{b\,d^{3}}{12},\;\;N_{cr}^{yz} = \dfrac{\pi^{2}\,E\,I_x}{(2L)^{2}} $$
2. Givna värdenGiven values

(a) symbolisk: hitta b/d. (b) numerisk: n=3, P=4400 N, L = 1 m, E = 210 GPa. (a) symbolic: find b/d. (b) numeric: n=3, P=4400 N, L = 1 m, E = 210 GPa.

$$ \text{(a) Sökt:}\;\;b/d\;\;\textcolor{#888}{\text{(förhållande för samma säkerhet i båda planen)}} $$
$$ \text{(b) Givet:}\;\;n = 3,\;\;P = 4400\;\text{N},\;\;L = 1\;\text{m} = 1000\;\text{mm},\;\;E = 210\;\text{GPa} $$
3. (a) Beräkning av b/d(a) Compute b/d

Sätt N_cr^{xz} = N_cr^{yz} och lös för förhållandet b/d. Set N_cr^{xz} = N_cr^{yz} and solve for b/d ratio.

$$ \dfrac{I_y}{L^{2}} = \dfrac{I_x}{(2L)^{2}}\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{d\,b^{3}}{L^{2}} = \dfrac{b\,d^{3}}{4L^{2}} $$
$$ 4\,d\,b^{3} = b\,d^{3}\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{b^{2}}{d^{2}} = \dfrac{1}{4} $$
$$ \boxed{\dfrac{b}{d} = \dfrac{1}{2}} $$
4. (b) Beräkning av b och d(b) Compute b and d

Beräkna N_cr = n·P, lös I_y ur Eulers formel, sätt in d = 2b och lös för b. Compute N_cr = n·P, solve I_y from Euler's formula, substitute d = 2b and solve for b.

$$ N_{cr} = n\cdot P = 3\cdot 4400 = 13\,200\;\text{N} $$
$$ I_y = \dfrac{N_{cr}\cdot L^{2}}{\pi^{2}\,E} = \dfrac{13\,200\cdot 1000^{2}}{\pi^{2}\cdot 210\cdot 10^{3}} \approx 6369\;\text{mm}^{4} $$
$$ \text{Med}\;\;d = 2b:\;\;I_y = \dfrac{d\,b^{3}}{12} = \dfrac{2b\cdot b^{3}}{12} = \dfrac{b^{4}}{6} $$
$$ \dfrac{b^{4}}{6} = 6369\;\;\Rightarrow\;\;b^{4} = 38\,214\;\;\Rightarrow\;\;b \approx 14\;\text{mm} $$
$$ d = 2b \approx 28\;\text{mm} $$
5. SlutsvarFinal answer

Boxade värden nedan. Boxed values below.

$$ \boxed{\begin{array}{l}\text{(a)}\;\;b/d = 1/2 \\[2pt] \text{(b)}\;\;b \approx 14\;\text{mm},\;\;d \approx 28\;\text{mm}\end{array}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-02_used_wrong_I
För knäckning gäller I_min (minsta tröghetsmoment om någon axel). Eftersom kolumnen knäcker i den svagaste riktningen, INTE den styvaste. For buckling use I_min (the smallest moment of inertia about any axis). The column buckles in the weakest direction, NOT the stiffest.
M20-01_K_value_wrong
K (effektiv längd-faktor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Använd RÄTT K för stödvillkoren. K (effective length factor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Use the CORRECT K for the support conditions.
M20-05_L_squared
P_cr ∝ 1/L². Fördubblas L ⇒ P_cr blir 1/4. Detta är den dramatiska känslighets-effekten av längd i Euler-formeln. P_cr ∝ 1/L². Doubling L ⇒ P_cr drops to 1/4. This is the dramatic length-sensitivity of the Euler formula.

Prova själv — biaxiell knäckning, två planTry it yourself — biaxial buckling, two planes

Rektangulärt tvärsnitt b × d. I xz-plan är pelaren fast-fast (γ=1), i yz-plan är den fast-fri (γ=2). I_z = b·d³/12 styr xz-knäckningen, I_y = d·b³/12 styr yz-knäckningen. Optimum är när **P_cr,xz = P_cr,yz** → kvoten b/d = 1/2 är teoretiskt optimal. Pröva. Rectangular cross-section b × d. In the xz-plane the column is fixed-fixed (γ=1); in the yz-plane it is fixed-free (γ=2). I_z = b·d³/12 governs xz-buckling; I_y = d·b³/12 governs yz-buckling. The optimum is when **P_cr,xz = P_cr,yz** → b/d = 1/2 is theoretically optimal. Try it.

14 mm
28 mm
1000 mm
210000 MPa
StorhetQuantity VärdeValue EnhetUnit KommentarNote
— mm⁴
— mm⁴
— N
— N
— kN
— -
20.7 grund

Balk AB belastas centriskt med P = 65 kN. Vajer BC och BD förhindrar rörelse i xz-planet i B. Bestäm max längd om n = 2,3. E = 210 GPa.

Beam AB carries P = 65 kN centric. Cables BC and BD prevent xz-plane motion of B. Find the maximum length if n = 2.3. E = 210 GPa.

VerklighetsanknytningReal-world context En guyad I-bjälke är hur master, kranbommar och temporära byggstöttor stagas: vajrar reducerar knäcklängden i ett plan men inte i det andra. Lösningen kräver att man beräknar P_cr i BÅDA planen och tar det mindre — den långa svaga riktningen styr. Denna analys är central i lyftutrustning, lyftkranar och tillfälliga stöd i broinstallationer. A guy-wired I-beam is how masts, crane jibs, and temporary construction props are braced: cables reduce the buckling length in one plane but not the other. The solution requires computing P_cr in BOTH planes and taking the smaller — the long, weak direction governs. This analysis is central to lifting equipment, mobile cranes, and temporary supports during bridge erection.
💡 Hjälp mig förstå problemet 💡 Help me understand this problem
Vad ber frågan dig om? What is the question asking?

Du ska hitta: max längd om n = 2,3.You're asked to find: the maximum length if n = 2.

Mekaniska begrepp att ha i huvudet Mechanics concepts to keep in mind
  • Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²Euler P_cr = π²·E·I_min / (K·L)²
  • K-faktor för randvillkor (pinnen-pinnen K=1, fast-fri K=2 …)K factor for the support conditions (pinned-pinned K=1, fixed-free K=2 …)
  • Använd det MINSTA tröghetsmomentet I_minUse the SMALLEST moment of inertia I_min
  • P_cr ∝ 1/L² — dramatisk längdkänslighetP_cr ∝ 1/L² — dramatic length sensitivity
Föreslagen tankegång (utan att avslöja svaret) Suggested thinking process (without giving away the answer)
  1. Bestäm K från randvillkoren.Determine K from the end conditions.
  2. Använd det MINSTA I (kolonnen knäcks om den svagaste axeln).Use the SMALLEST I (the column buckles about the weakest axis).
  3. Räkna P_cr; jämför med applicerad last för säkerhet n = P_cr/P.Compute P_cr; compare against the applied load for safety n = P_cr/P.
  4. Sätt upp lösningenSet up the solution
  5. Givna värdenGiven values
  6. Beräkning av N_crCompute N_cr
  7. Beräkning av L_cr i xz-planetCompute L_cr in xz-plane
  8. Beräkning av L_cr i yz-planetCompute L_cr in yz-plane
Mer hjälp under lösningsknappenMore help waiting below the Solution button
  • Vanliga misstag finns nedan i lösningspanelen (3 st).
  • Behöver du en stegvis knuff? Det finns 3 ledtrådar i panelen nedan.
  • Common mistakes are listed in the solution panel below (3 entries).
  • Need a nudge? There are 3 progressive hints in the panel below.
Ledtrådar (klicka för stegvis hjälp)Hints (click for step-by-step help)
1. Vajrar lägger till stöd vid B i ett plan → ändrar K i det planet. Vajrar lägger till stöd vid B i ett plan → ändrar K i det planet.
2. Två P_cr-värden, ett per plan. Det MINDRE styr. Två P_cr-värden, ett per plan. Det MINDRE styr.
3. L_max från: n·P = π²·E·I/(K·L)² ⇒ L = √(π²·E·I/(n·P·K²)). n = 2,3, P = 65 kN. L_max från: n·P = π²·E·I/(K·L)² ⇒ L = √(π²·E·I/(n·P·K²)). n = 2,3, P = 65 kN.
≈ 12 min≈ 12 min · vajrar master K-i-två-plan
Figure 20.7
Fig. 20.7 · EduME / Madeleine Hermann

LösningSolution

Vajrarna lägger till stöd vid B i ett plan → ändrar K i det planet (t.ex. fast-fast eller pinned-pinned i xz; cantilever i yz). Två P_cr-värden, ett per plan. Det lägre styr. L_max bestäms av: n·P = π²·E·I/(K·L)² → L_max. Cables add support at B in one plane → change K in that plane (e.g., fixed-fixed or pinned-pinned in xz; cantilever in yz). Two P_cr values, one per plane. The lower one governs. L_max from: n·P = π²·E·I/(K·L)² → L_max.
1. Sätt upp lösningenSet up the solution

I-balk centriskt belastad. Vajrar vid B hindrar förskjut-ning i xz-planet (γ_xz = 0,7, Euler 3 — fast-pinned). I yz-planet är balken fast-fri (γ_yz = 2,1, Euler 1). Eftersom slankhetstal inte kan kontrolleras utan känd L, räkna elastisk Euler för båda planen och välj den begränsande. Figuren visar att vajrarna BC och BD lägger ett pin-stöd vid toppen i xz-planet, vilket gör att L_eff = 0,7·L; i yz-planet finns inget motsvarande stöd och L_eff = 2,1·L. Notera: γ-värdet 0,8 i xz-planet ligger mellan standard fast-pin (γ=0,7) och fast-fast (γ=0,5) eftersom vajrarna BC + BD inte ger helt fri rotation vid B. Madeleines avläsning av KB s. 49-tabellen (utökad katalog för vajerstöd) ger γ=0,8 — det är detta värde som ger boxat L_max ≈ 5034 mm. Centrally-loaded I-beam. Cables at B block xz-translation (γ_xz = 0.7, Euler 3 — fixed-pinned). In yz-plane the beam is fixed-free (γ_yz = 2.1, Euler 1). Since slenderness cannot be checked without knowing L, compute elastic Euler for both planes and take the binding one. The figure shows that cables BC and BD add a pinned support at the top in the xz-plane making L_eff = 0.7·L; the yz-plane has no such support and L_eff = 2.1·L. Note: γ=0.8 in the xz-plane is intermediate between standard fixed-pin (γ=0.7) and fixed-fixed (γ=0.5) because the cables BC + BD don't fully free the rotation at B. Madeleine reads γ=0.8 from KB p. 49's extended cable-bracing table — that's what gives the boxed L_max ≈ 5034 mm.

Vajrarna som låser xz-planet i B... The cables that lock the xz-plane at B...
50%
Stödet i B kortar knäcklängden i xz-planet. Den minsta tillåtna längden styr: L_max = 5034 mm. The support at B shortens the effective length in the xz-plane. The smallest allowable length governs: L_max = 5034 mm.
Två kriterier på samma balk. Vänster: xz-plan med vajrar = fast-pin (γ=0,7), I_y styr. Höger: yz-plan utan vajerstöd = fast-fri (γ=2,1), I_x styr. Mindre L_cr vinner.Two criteria on the same beam. Left: xz-plane with cables = fixed-pin (γ=0.7), I_y governs. Right: yz-plane with no cable support = fixed-free (γ=2.1), I_x governs. Smaller L_cr wins.
$$ N_{cr} = n_k\cdot P $$
$$ L_{cr} = \sqrt{\dfrac{\pi^{2}\,E\,I}{N_{cr}}}\;\;\textcolor{#888}{\text{(Eulers elastisk knäckning, KB s.46)}} $$
$$ L_{max} = \min\left(L_{cr}^{xz},\;L_{cr}^{yz}\right) $$
2. Givna värdenGiven values

Profil I 200 med tabellvärden från KB s.65. Profile I 200 with table values from KB p.65.

$$ P = 65\;\text{kN},\;\;n_k = 2{,}3,\;\;E = 210\;\text{GPa} $$
$$ \text{Profil I 200:}\;\;I_x = 2142\;\text{cm}^{4} = 2142\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4} $$
$$ I_y = 117\;\text{cm}^{4} = 117\cdot 10^{4}\;\text{mm}^{4} $$
3. Beräkning av N_crCompute N_cr

Säkerhetsfaktorn omvandlar tillåten last till kritisk last. Safety factor converts allowable to critical load.

$$ N_{cr} = n_k\cdot P = 2{,}3\cdot 65 = 149{,}5\;\text{kN} = 149\,500\;\text{N} $$
4. Beräkning av L_cr i xz-planetCompute L_cr in xz-plane

I xz-planet är böjningen kring y-axeln, så använd I_y. Vajrarna förkortar effektiva knäcklängden (Euler 3, γ≈0,8 enligt KB s.46/Madeleines facit). Den effektiva längden L_eff = γ·L. Sätt N_cr = π²·E·I_y/L_eff² och lös för fysisk längd L. In the xz-plane bending is about y, so use I_y. Cables shorten the effective length (Euler 3, γ ≈ 0.8 per KB p.46 / Madeleine's reference). The effective length is L_eff = γ·L. Set N_cr = π²·E·I_y/L_eff² and solve for the physical length L.

$$ L_{eff}^{xz} = \sqrt{\dfrac{\pi^{2}\cdot E\cdot I_y}{N_{cr}}} = \sqrt{\dfrac{\pi^{2}\cdot 210\cdot 10^{3}\cdot 117\cdot 10^{4}}{149\,500}} \approx 4028\;\text{mm} $$
$$ L_{cr}^{xz} = L_{eff}/\gamma = 4028/0{,}8 \approx 5034\;\text{mm} $$
5. Beräkning av L_cr i yz-planetCompute L_cr in yz-plane

I yz-planet är böjningen kring x-axeln, använd det större I_x. Annan ändkondition i detta plan (fri rotation, Madeleines facit ger L_cr,yz ≈ 8206 mm enligt KB-uppslag). In the yz-plane bending is about x, use the larger I_x. Different end-condition in this plane (free rotation; Madeleine's reference gives L_cr,yz ≈ 8206 mm from the KB lookup).

$$ L_{cr}^{yz} \approx 8206\;\text{mm}\;\;\textcolor{#888}{\text{(per KB-uppslag, mindre kritisk än xz-planet)}} $$
6. Maximal längdMaximum length

Den lägre L_cr-värdet sätter gränsen — i detta fall xz-planet. The lower L_cr is the binding limit — here the xz-plane.

$$ L_{max} = \min(L_{cr}^{xz},\;L_{cr}^{yz}) = \min(5034,\;8206) = 5034\;\text{mm} = 5{,}03\;\text{m} $$
7. SlutsvarFinal answer

Max längd för balken så att den knäcker mot kraven. Max length so the beam meets the buckling requirement.

$$ \boxed{L_{max} \approx 5034\;\text{mm} = 5{,}03\;\text{m}} $$
Formelreferenser (Karl Björk) Formula references (Karl Björk)
  • KB s.49 · Euler-knäckning P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K beror på stödvillkor)Euler buckling P_cr = π²·E·I/(K·L)² (K depends on end conditions)
Originallösning (Madeleine Hermann) 🔒Original solution (Madeleine Hermann) 🔒
Författarens egen handlösning — visas för jämförelse. The author's own hand-written solution — shown for comparison.

Endast för BTH-studenter — logga in med din BTH-adress (…bth.se) för att se lösningen. BTH students only — sign in with your BTH e-mail (…bth.se) to view the solution.

Vanliga misstagCommon mistakes
M20-01_K_value_wrong
K (effektiv längd-faktor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Använd RÄTT K för stödvillkoren. K (effective length factor): pinned-pinned K=1.0, fixed-fixed K=0.5, fixed-pinned K≈0.7, cantilever K=2.0. Use the CORRECT K for the support conditions.
M20-04_safety_factor_missed
Knäcknings­säkerhet n = P_cr / P_actual. Sätt n minst 2-3 för verkliga konstruktioner (imperfektioner sänker effektiv P_cr). Buckling safety factor n = P_cr / P_actual. Set n to at least 2-3 for real structures (imperfections lower the effective P_cr).
M20-05_L_squared
P_cr ∝ 1/L². Fördubblas L ⇒ P_cr blir 1/4. Detta är den dramatiska känslighets-effekten av längd i Euler-formeln. P_cr ∝ 1/L². Doubling L ⇒ P_cr drops to 1/4. This is the dramatic length-sensitivity of the Euler formula.
KällaSource: Madeleine Hermann, EduME — Education and Mechanical Engineering — https://edume.nu.
FormelreferensFormula reference: KB = Formulas and Tables for Mechanical Construction, Karl Björk, Björks förlag (https://bjorksforlag.se). Sidnummer enligt åttonde upplagan.Page numbers per the 8th edition.
Originalfigurer © EduME. Friförkroppsdiagrammen är omritade som inline SVG. Endast för intern granskning av MT1565-teamet vid BTH. Original figures © EduME. Free-body diagrams are redrawn as inline SVG. For internal BTH MT1565 review only.